Colunmnas, tipos, fallas, tipos de apoyos, y formulas para determinar el esfuerzo así como para diseñar columnas según el tipo

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
AREA DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
Prof. Gauddy Arcila

2. Una columna es un miembro que soporta una carga a
compresión axial. Esta carga puede ser concéntrica, es decir,
aplicada a todo lo largo del eje centroidal, ó excéntrica,
cuando una carga paralelamente al eje del miembro centroidal,
pero a cierta distancia del mismo
Una COLUMNA puede ser definida como un elemento
sometido a COMPRESION que es tan esbelto que al recibir
carga cada vez mayor fallara por PANDEO mucho antes de que
falle por aplastamiento.
Las columnas pueden ser clasificadas en tres grupos según su
comportamiento:
1) Columnas Largas: Fallan por pandeo o flecha lateral excesiva
2) Columnas Intermedias: Fallan por una combinación de
aplastamiento y pandeo
3) Columnas Cortas: Fallan por aplastamiento (exceso de
compresión)

3. Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas
se ha demostrado que la carga crítica señalada por las
ecuaciones de Euler y de la secante puede ser superior a la
carga crítica real necesaria para pandear la columna, como
muestra el gráfico.

4. De la gráfica anterior pueden verse con claridad tres zonas
que, en función de la relación de esbeltez, permiten clasificar las
columnas en tres grupos:
Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos
cargados axialmente a compresión con relaciones de esbeltez muy
pequeñas, en los que no se produce pandeo y la falla ocurre cuando
‘smax ≈ sy’.
Columnas Intermedias. Cuando en los elementos cargados
comienza a presentarse el fenómeno de pandeo, éstos experimentar
esfuerzos menores a “sy”. La ecuación de Euler no se aproxima
satisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo
esta zona de ecuaciones experimentales complejas para predecir con
cierta precisión el valor del esfuerzo crítico (con el cual comienza el
pandeo en la columna).
Columnas Largas. Referida a aquellos elementos con
grandes relaciones de esbeltez. La ecuación de Euler describe con
precisión aceptable el comportamiento de estas columnas.

5. El pandeo es la perturbación repentina del estado
original de equilibrio, produciendo la falla por
inestabilidad.
El pandeo depende de varios factores, no todos de la misma
importancia, entre los cuales se puede mencionar:
•La esbeltez del miembro
•La geometría de su sección transversal
•La intensidad y forma de aplicación de las cargas
•El tipo de vínculo a tierra y de los soportes laterales
intermedios
•La posibilidad de desplazamientos
•La presencia de tensiones residuales o defectos del
material.

6. Al pandeo se le puede clasificar según:
•Según la magnitud de los esfuerzos normales
longitudinales que se originan por causa del pandeo.
Estas pueden ser pandeo elástico y pandeo inelástico.
El pandeo elástico es el que ocurre cuando los esfuerzos no ha
alcanzado el límite de proporcionalidad, y el pandeo inelástico,
cuando lo superan.
•Según el modo de falla el pandeo se analiza de acuerdo al
tipo de solicitaciones que resiste el miembro, según:
•El pandeo en miembros comprimidos (columnas)
•El pandeo en miembros flexados (vigas)
•El pandeo en miembros flexo-comprimidos (vigas-columnas)

7. En las Normas CoveninMindur 1618-98 se recomienda usar valores de
k*L/r menores de 200.

8. Los miembros largos sometidos a una fuerza de
compresión se llama columnas
La deflexión lateral que sufre una columna se llama
pandeo
La carga axial máxima que una columna puede soportar
cuando esta a punto de pandearse se llama carga crítica
Pcr

9. .
OSCI
LA
SUPERFICIE
CONCAVA
CAE
SUPERFICIE
CONVEXA
SUPERFICIE
PLANA
Las tres condiciones de equilibrio representadas por el diagrama de la figura 11.3
son análogas a las de una bola colocada sobre una superficie lisa
Si P < Pcr, la estructura es estable.
Si P > Pcr, la estructura es inestable.
Si P = Pcr equilibrio neutro

10. En el año 1757, el gran matemático suizo Leonhard Euler realizó un análisis
teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación
diferencial de la elástica
Cuando la columna está en una posición flexionada, fig. a., el momento
flexionante interno puede determinarse por medio del método de las secciones.

11. El momento de equilibrio requiere que M=-Pv. Por lo tanto, la ecuación de
la elástica se convierte en
Es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden, con coeficientes
constantes. Mediante el uso de los métodos de ecuaciones diferenciales, o por
sustitución directa en la ecuación , se puede demostrarse que la solución general es
Las dos constantes de integración se determinan a partir de las condiciones
de frontera en los extremos de la columna. Como v=0 en x=0, entonces c2=0. Y
puesto que v=0 en x=L, entonces

12. Esta ecuación se cumple si C1=0; sin embargo, entonces v=0, que es una
solución trivial que requiere que la columna permanezca siempre recta, a pesar de
que la carga puede hacer que la columna se vuelva inestable. La otra posibilidad es
que
Que se cumple si
O bien
El valor de P se obtienen cuando n=1, de modo
que la carga critica para la columna articulada en sus
extremos es, por consiguiente

13. La longitud efectiva.
Longitud efectiva (“Le”), la cual representa la distancia entre dos puntos de la
columna en los cuales el momento flector es nulo, y se puede determinar
mediante la relación:
L
K
Le 

Donde “K” es el factor de corrección de longitud efectiva y está tabulado para
distintas condiciones de apoyo de columnas.
Los valores de “K” para las condiciones de apoyo más comunes se ilustran en la
figura.

14. Las cargas críticas menores y las longitudes efectivas correspondientes para las cuatro columnas que
hemos analizado se resumen.

15. Para que la formula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que produzca en el pandeo
no debe exceder al límite de proporcionalidad
Después de determinar la carga critica para una columna, podemos calcular el
esfuerzo crítico correspondiente al dividir la carga entre el área de la sección
transversal.
En donde I es el momento de inercia para el eje principal con respecto al cual
ocurre el pandeo. Esta ecuación se puede escribir en una forma más útil al
introducir la notación
En donde r es el radio de giro de la sección transversal en el plano de flexión.
Entonces la ecuación para el esfuerzo critico se convierte en
En donde L/r es una razón adimensional denominada relación de esbeltez:

16. FLEXO - COMPRESION.
Corresponde el caso de columnas con excentricidad, sea esta causada
por imperfecciones de la propia columnas o por momentos aplicados.
Generalmente en estos casos el pandeo ocurre de inmediato, al aplicar
el momento P*e siendo “P” la carga y “e” la excentricidad.

17. Consideremos entonces una columna sometida a una carga ejercida
con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la sección
transversal, como se muestra.
Podemos plantear una expresión para determinar el momento flector
en cualquier sección transversal:
)
( y
e
P
M cri 


 (1)
FORMULA DE LA SECANTE

18. Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, queda:
La solución general de esta ecuación es:
Al plantear los límites de frontera, se obtiene que cuando ‘x=0’ →
‘y=e’, de modo que ‘C2=e’ . Luego, cuando ‘x=L’ → ‘y=e’, de modo que:
I
E
y
e
P
I
E
x
M
dx
y
d cri







)
(
)
(
2
2
(2)
e
x
I
E
P
C
x
I
E
P
C
y 























 cos
sin 2
1
(3)












2
tan
1
L
I
E
P
e
C (4)

19. Finalmente, la ecuación 6.4.3 queda de la forma:
La deflexión máxima en la viga ocurre cuando ‘x=0,5L. Si
introducimos este valor en la ecuación, obtenemos:
En esta ecuación puede observarse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’. Sin
embargo, si la excentricidad “e” es muy pequeña, y el término dentro de la
función trigonométrica la hiciese tender a infinito, “y” tendría un valor no nulo.










































 1
cos
sin
2
tan x
I
E
P
x
I
E
P
L
I
E
P
e
y (5)












2
sec
max
L
I
E
P
e
y (6)

20. Entonces, como ‘sec(x)→∞’ cuando ‘x→p/2’, podemos plantear:
Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crítica:
Nótese que éste es el mismo resultado arrojado para el caso de carga
excéntrica (ec. 6.2.8). Es preciso recordar que en caso de trabajar con
condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud efectiva (“Le”)
en vez de la longitud nominal (“L”) de la columna.
Tema 64- Columnas
Columnas sometidas a carga excéntrica
2
2
p



L
I
E
Pcri
(7)
(8)
2
2
L
I
E
Pcri



p

21. Podemos entonces plantear la ecuación del esfuerzo máximo en la
sección de mayor deflexión de la viga:
Recordando que ‘I=Ar2’, podemos reescribir esta ecuación de la
forma:
A esta ecuación se le conoce como la fórmula de la secante, y sirve
para determinar el valor del esfuerzo máximo producido tanto por flexión
como por compresión que se produce en la viga. Debe cumplirse:‘P≤Pcri’.
I
c
L
I
E
P
e
P
A
P
I
c
y
P
A
P



















2
sec
)
( max
max
s (9)























r
L
A
E
P
r
c
e
A
P
2
sec
1 2
max
s (10)

22. σmáx. = esfuerzo elástico máximo en la columna, el cual ocurre en el lado
cóncavo interior a la mitad de la columna. este esfuerzo es de
compresión
P= carga vertical aplicada a la columna P< Pcr, a menos que e = 0, y en tal
caso P=Pcr
e= excentricidad de la carga P, medida del eje neutro del área de la
sección transversal hasta la línea de acción P.
c= distancia del eje neutro a la fibra externa de la columna donde ocurre
el esfuerzo a compresión máximo σmáx.
A= área de la sección transversal de la columna.
L= Longitud no soportada de la columna en el plano de la flexión.
E=Modulo de elasticidad del material
r= radio de giro,

23. .
Inestabilidad elástica es cuando sobrepasa el límite de
proporcionalidad.
Las columnas largas esbeltas se vuelven inestables cuando el
esfuerzo de compresión permanece elástico. La falla que ocurre se
conoce como inestabilidad elástica. Las columnas intermedias fallan
debido a inestabilidad elástica, lo que significa que el
Diagrama del esfuerzo P/A
contra la relación de
esbeltez L/r.

24. Teoría del módulo tangente
Carga del módulo tangente
Esfuerzo crítico
Para calcular cargas criticas en este intervalo intermedio necesitamos una teoría
de pandeo inelástico. En esta sección se describen tres teorías de este tipo, la
teoría del modulo tangente, la teoría del modulo reducido y la teoría de Shanley.
Teoría del módulo reducido
Carga del módulo reducido Esfuerzo crítico

25. En la figura que se muestran algunas tendencias que pueden usarse para
determinar el esfuerzo crítico en columnas intermedias. Nótese que la dificultad en
el uso de estos criterios radica en determinar con exactitud los límites de la
relación de esbeltez en los cuales son válidos.
Aproximación lineal deT. H. Johnson:
Fórmula de Gordon-Rankine:
Aproximación parabólica de
J.B Johonson:
Tema 6 - Columnas
Sección 5 - Columnas largas, cortas e intermedias
)
/
( r
L
C e
cri 

s
s
)
/
(
1 1 r
L
k e
cri



s
s
2
)
/
( r
L
C e
cri 

s
s

26. Como se mencionó anteriormente, el uso de la fórmula de
Euler para el diseño es completamente válido si la columna a tratar es
perfectamente recta, hechas de un material completamente homogéneo,
en las que los puntos de aplicación de la carga son perfectamente
conocidos.
En realidad, esto no ocurre así. Para compensar todas
imperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan códigos de
diseño, los cuales son productos de ensayos mecánicos que se llevan a
cabo simulando condiciones reales de construcción y trabajo de
elementos sometidos a cargas axiales de compresión.
A continuación mostraremos algunos ejemplos de códigos de
diseño para columnas hechas de distintos materiales.

27. Columnas de acero
Las columnas de acero estructural se diseñan con base en fórmulas
propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC). A dichas formulas
se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y el American Institute of
Steel Construction (AISC) las ha adoptado como especificaciones para la industria
de construcción. Para columnas largas, se utiliza la ecuación de Euler con un
factor de seguridad de 12/23:
para
Donde el valor mínimo de relación de esbeltez efectiva válido para la
relación viene dado por:
)
/
(
23
12 2
r
KL
E
perm




p
s 200








 
r
L
K
r
L
K
c
y
c
E
r
L
K
s
p 2
2






 
(1)
(2)

28. En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un
ajuste parabólico, con un factor de seguridad dictado por una compleja
relación:
Como existe más incertidumbre en el uso de esta formula para
columnas más largas, se divide por un factor de seguridad definido
como sigue:

29. Por tanto para propósito de diseño:
para


















3
3
2
2
)
/
(
)
/
(
8
1
)
/
(
)
/
(
8
3
3
5
)
/
(
)
/
(
1
c
c
c
perm
r
KL
r
KL
r
KL
r
KL
r
KL
r
KL
s
c
r
L
K
r
L
K





 


(3)

30. Columnas de aluminio
La Aluminium Association especifica el diseño de columnas de aluminio
por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un juego
específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación común de
aluminio (2014-T6) se usa:
ksi
perm 28

s 12
0 


r
L
K
(4)
para
 ksi
r
KL
perm )
/
(
23
,
0
7
,
30 


s 55
12 


r
L
K
(5)
para
2
)
/
(
54000
r
KL
ksi
perm 
s
r
L
K 

55 (6)
para

31. Columnas de aluminio
Las Aluminium Association especifica el diseño de columnas de aluminio
por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un juego
específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación común de
aluminio (2014-T6) se usa:
Mpa
perm 193

s 12
0 


d
L
K
(7)
para
Mpa
r
kL
perm 59
.
1
212 

s 26
11 


d
L
K
(8)
para
2
3
)
/
(
10
372
r
KL
Mpa
x
perm 
s 50
26 


d
L
K (9)
para

32. Diseño de columnas bajo carga
axial excéntrica
Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columna es
excéntrica. Trataremos en esta ocasión los métodos más comunes: el método
del esfuerzo admisible y el método de interacción.
Método del esfuerzo admisible. En este caso, se comparan del
esfuerzo máximo producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por la
ecuación de Euler. El esfuerzo máximo vendría dado por:
I
c
M
A
P 


max
s
(1)

33. El esfuerzo admisible según la ecuación de Euler:
Y debe cumplirse:
Método de Interacción. Se llama así pues en él se observan cómo
interactúan las tensiones producidas por la carga de compresión y por el
momento flector ejercidos en la viga.
2
2
)
/
( r
L
E
adm


p
s (2)
L
K
Le 
 (3)

34. En este caso, la condición que debe cumplirse es:
Donde “[sadm]axial” y “[sadm]flexión” se calculan a partir de códigos de
diseño estipulados para carga axial y carga excéntrica respectivamente.
Note que a diferencia del caso anterior, los esfuerzos producidos por
carga axial y flexión se comparan por separado con el esfuerzo crítico
para cada caso. Según el método anterior se comparan ambos
esfuerzos respecto al esfuerzo admisible proporcionado por la ecuación
de Euler.
   
1

flexión
adm
axial
adm
I
c
M
A
P
s
s





 







(4)

35. Ejemplo 1

36. Solución
De la tabla del acero

37. Ejemplo 2
Solución
Usando la fórmula del FS
Pcr = (2.5) .100kN = 250Kn
I = a^4/12 ,

38. Una columna de 32 in de longitud tiene ambos extremos de pasador. Su sección
transversal es circular de 0.75 in de diámetro El material es acero AISI 1040
laminado en caliente. Calcule el esfuerzo máximo si se aplica una carga de 1075
lb con una excentricidad de 0.75 in.
Objetivo
Calcular el esfuerzo la columna excéntricamente cargada.
Datos
Excentricidad = e=0.75 in.
Sección transversal circular solida: D= 0.75 in; L= 32 in.
Ambos extremos son de pasador: KL=32 in; r = 0.188 in; c = D/2 = 0.375 in.
Material: acero AISI 1040 laminado en caliente; E= 30x106 Psi. σy =60 000 psi
Ejemplo 2