Tema1

APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
La enumeración, o conteo, puede parecer un proceso obvio que un estudiante aprende al estudiar
aritmética por primera vez. Pero luego, según parece, se presta poca atención en lo que se refiere
a un desarrollo más amplio del conteo conforme el estudiante pasa a áreas “más complicadas” de
las matemáticas, como el álgebra, la geometría, la trigonometría y el cálculo. En consecuencia,
este primer tema deberá servir como advertencia acerca de la seriedad y dificultad del “mero”
conteo.
La enumeración no termina con la aritmética. También tiene aplicaciones en áreas como la teoría
de códigos, la probabilidad y estadística dentro de la matemática, y el análisis de algoritmos “en
todo lo referente a la computación”.
A medida que vayamos entrando en este fascinante campo de las matemáticas, nos
encontraremos con muchos problemas que se pueden enunciar en forma sencilla pero que son
“duros” de resolver.
Cabe resaltar que el solo hecho de conocer las formulas no garantiza un análisis correcto, así que
no confíe demasiado en ellas. En vez de ello, acepte el reto de resolver soluciones con base a su
propio análisis sin importar si exactamente se proporciona en este texto guía. Con frecuencia
existen varias vías para resolver un problema dado.
1 REGLA DE LA SUMA
Definición
Nota: También es conocido como principio de adición.
Nótese que cuando decimos que una ocurrencia particular, como una primera tarea, puede
realizarse m formas, se supone que estas m formas son distintas, a menos que se indique lo
contrario. Esto será así a lo largo del texto guía.
Ejemplo 1
La biblioteca de la universidad tiene 40 libros de texto de sociología y 50 de antropología.
¿Cuantas opciones hay si un estudiante puede escoger un libro de antropología o de sociología?
Solución
Si una primera tarea puede realizarse de m formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse
de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces, para llevar a cabo
cualquiera de ella pueden utilizarse cualquiera de m+n formas.

Por regla de la suma, un estudiante puede elegir entre 40 + 50=90 libros de texto para aprender de
alguno de estos dos temas.
Ejemplo 2
Un ingeniero de sistemas cuenta con 5 libros de nivel introductorio de Jquery, C#, Python y Ruby
¿De cuantas maneras él instructor recomendar cualquiera de estos libros?
Solución
5 libros de jquery + 5 libros de c# + 5 libros de python + 5 libros de Ruby
5+5+5+5=20
R. 20
2 REGLA DEL PRODUCTO
Definición
Nota: Esta regla también se conoce como el principio de elección.
Ejemplo 1
Una persona puede viajar de una ciudad “A” a otra ciudad “B” de 5 formas y de “B” a “C” de 6
formas. ¿De cuántas formas puede ir de “A” a “C”?
Solución
ACLARACIÓN
La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ninguna
pareja de tareas pueda ocurrir en forma simultánea.
Véase el ejemplo 2.
Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, y si existe m resultados
posibles de la primera etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles
para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de
formas.

Esta persona puede ir de “A” a “B” de 5 formas. Una vez estando en “B” puede escoger el camino
a “C” de 6 maneras diferentes entonces: .
Ilustración gráfica del ejemplo1.
Ejemplo 2
Contexto
En la memoria principal de un computador, la información se almacena en celdas de memoria.
Para identificar las celdas de memoria principal del computador, cada celda tiene asignado un
nombre único conocido como su dirección de memoria.
Si tenemos una infraestructura de 8 bits por cada lista ordenada de memoria “conocida como
byte”. ¿De cuantas maneras podemos asignar direcciones a cada celda de memoria?.
Solución
Memoria
Ejemplo 3
Del ejemplo si tenemos 16 bits por bloque de memoria consecutivos. ¿De cuantas maneras
podemos asignar direcciones a cada celda de memoria?

3 PERMUTACIONES
Antes de entrar en contexto sobre las permutaciones es importante recordar el concepto de
factorial de un número.
Factorial de un Número
Sea n un número entero positivo, el factorial de n se denota por “n!” y se define como el producto
de todos los enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive, es decir:
( ) ( )
Así,
Si,
De este último, si n=1, tenemos . Y .
Para seguir con el análisis de las aplicaciones de la regla del producto, contaremos ahora
disposiciones lineales de objetos, también conocidas como permutaciones, cuando los objetos son
distintos. Desarrollaremos algunos métodos sistemáticos para el estudio de las disposiciones
lineales, partiendo de un ejemplo bastante común.
Nota: disposición = Colocación de una o más cosas según un orden o en una posición adecuada y
conveniente.
Ejemplo 1
En un grupo de 10 estudiantes, se escogerá a cinco y se les sentará en fila para una foto, ¿Cuántas
disposiciones lineales son posibles?
Análisis
La palabra clave aquí es disposición, que indica la importancia del orden. Si A,B,C…,I,J denotan a
los 10 estudiantes entonces, BECFI, CEFIB y ABCGF son tres disposiciones diferentes, nótese que
las dos primeras están formadas por los mismos cinco estudiantes, quiere decir que sí importa el
orden.
Solución
Para responder la pregunta, analizamos las posiciones y el número posible de estudiantes que
podemos elegir para ocupar cada posición. La Ocupación de una posición es una etapa de nuestro
procedimiento.

Grupo de estudiantes.
A B C D E
F G H I J
X
10
primera
posición
X
9
segunda
posición
X
8
tercera
posición
X
7
cuarta
posición
6
quita
posición
O
=3024
Cualquiera de los 10 estudiantes puede ocupar la primera posición de la fila. Puesto que aquí no
son posibles las repeticiones, sólo podemos elegir a uno de los demás estudiantes para que ocupe
la segunda posición. Continuando de esta manera, sólo tenemos seis estudiantes de donde elegir
para que ocupe la quinta posición. Esto produce un total de 30240 disposiciones posibles de cinco
estudiantes.
Definición
Dada una colección de n objetos distintos, cualquier disposición (lineal) de estos objetos se denomina
permutación de la colección.

Si partimos de las letras a,b,c veremos que hay seis formas de disponerlas, o permutarlas: abc,
acb, bca, cab, bac, cba. Si sólo estamos interesados en colocar dos letras a la vez habrá seis
permutaciones de tamaño dos para la colección, ab,ba,ac,ca,bc,cb.
Denotaremos este número con ( )
. Para , ( )
de modo que ( )
donde . Si entonces Ya que .
Conocer cuántas disposiciones lineales existen es algo tan fácil como se puede ver en este
ejemplo.
Ejemplo 2
Se va a colorear un mapa de cuatro países, con colores diferentes para cada país. Si hay
disponibles 6 colores diferentes ¿De cuántas maneras puede colorear el mapa?
Solución:
Se necesita permutaciones de cuatro de uno conjunto de 6 elementos.
Es decir,
( )
Maneras.
Ejemplo 3
Calcular la cantidad de disposiciones (lineales) de las cuatro letras de la palabra BALL.
Nótese que la letra L se repite dos veces.
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )
En general, si existen n objetos distintos, que se denotan con y es un entero, con.
, entonces, por regla del producto, el número de permutaciones de tamaño r para los n
objetos es.
Primera
posició
n
Segunda
posición
Tercera
posición
r-ésima
posició
n

Si distinguimos la letra L, de esta manera . Y si en este caso particular tenemos la
permutación.
Podemos decir que ambos son lo mismo. Ya que =
De esta manera: sería el número de permutaciones. Pero para obtener el número de
disposiciones. Vemos que la mitad de las letras se está repitiendo => 2!=2
4!/2=12.
El número total de disposiciones (lineales) es de 12.
Ejemplo 4
Si tenemos la palabra “SISTEMAS” y queremos conocer cuantas palabras en disposición se
pueden formar con la condición que comiencen en una vocal.
Solución
Tenemos tres vocales I,E,A respectivamente. Cada palabra debe cumplir esta condición.
Obviando las vocales tenemos las otras letras disponibles para cada caso entonces se permutarían
las restantes de esta forma
I
E
A
S,S,T,E,M,A,S
S,I,S,T,M,A,S
S,I,S,T,E,M,S
7!=5040
7!=5040
7!=5040
Como en el ejemplo anterior la letra S se repite tres veces
La permutación respetara la situación de las letras como , pero si hablamos de
disposición y tomamos en cuenta que S es la misma para todos, entonces la cantidad de
repeticiones de S es 3!=6. Quitamos los casos que respectan a S de esta manera.
840. Por cada Letra.
Aplicamos el caso de suma para las tres vocales 840+840+840=2520.
Respuesta
Formamos 2520 palabras que cumplan la condición.

4 COMBINATORIA
En muchos casos estaremos interesados en el número de formas de seleccionar r objetos de n. sin
importar el orden. Estas selecciones se llaman Combinaciones.
Nota: se lee como combinaciones de n en r. Observe que con =1
Importante:
Un buen consejo cuando se trata de un problema de conteo, debemos preguntarnos acerca de la
importancia del orden en el problema. Cuando el orden es necesario, pensamos en términos de
permutaciones y disposiciones y en la regla del producto. Cuando el orden no sea necesario, las
combinaciones podrían tener un papel importante en la solución del problema.
Ejemplo 1
Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuantas maneras se puede hacer esto?
Solución:
Se extraen 2 cartas sin importar el orden, entonces, el número de formas de seleccionar estas dos
cartas es.
( )
Ejemplo 2
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.
a) ¿De cuántas maneras puede él estudiante escoger las 8 preguntas?
b) Si las tres primeras son obligatorias, ¿de cuántas maneras pueda escoger las preguntas?
c) Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
( )
En general, si partimos de n objetos distintos, cada selección, o combinación, de r de estos objetos,
sin hacer referencia al orden, corresponde a r! permutaciones de tamaño r de los n objetos. Así, el
número de combinaciones de tamaño r de una colección de tamaño n, que se denota C(n,r) o

Ejemplo 3
¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una chica pueden formarse de cinco chicos y ocho
chicas, si cierto chico rehúsa trabajar con dos chicas?
COMBINATORIA CON REPETICIÓN
Las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer
una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan
repetirse.
(( ))
( )
( )
De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un multiconjunto cuyos
elementos pertenezcan a un conjunto dado. Se denota por

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