Este documento presenta los principios fundamentales del conteo y la combinatoria. Introduce las reglas de suma y producto para calcular el número de formas en que pueden ocurrir eventos múltiples. Luego explica los conceptos de permutaciones, combinaciones y combinatoria con repetición, ilustrando cada uno con ejemplos numéricos. El objetivo es desarrollar métodos sistemáticos para resolver problemas de conteo y enumeración que surgen en diferentes áreas como teoría de códigos y probabilidad.
El documento explica los conceptos básicos de cálculo diferencial, incluyendo las derivadas de funciones constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas, implícitas y compuestas. También cubre temas como derivadas sucesivas, derivadas enésimas, diferenciales de funciones y derivadas de funciones implícitas. El documento proporciona fórmulas y ejemplos para cada tipo de derivada.
Este documento presenta un problema de dietas que involucra tres ingredientes (A, B, C) con diferentes contenidos nutricionales. Se pide determinar la cantidad de cada ingrediente necesaria para cumplir con los requerimientos totales de proteínas, lípidos y carbohidratos. El documento explica cómo organizar la información en una tabla y establecer un sistema de ecuaciones para resolver el problema.
Este documento discute el muestreo de señales y el teorema de muestreo. En la primera sección, analiza el muestreo de señales con diferentes frecuencias, incluidos los efectos de aliasing. En la segunda sección, calcula la señal discreta resultante del muestreo de una señal analógica compuesta. En la tercera sección, determina las frecuencias de Nyquist de varias señales derivadas de una señal original. En la cuarta sección, calcula la frecuencia máxima que puede representarse sin ambigü
Este documento contiene los siguientes elementos:
1) Una dedicatoria de los autores a Dios, sus familias y amigos por su apoyo.
2) Un prefacio y prólogo que introducen el tema a tratar.
3) Apuntes y ejercicios resueltos sobre señales y sistemas, incluyendo conceptos como convolución y ecuaciones en diferencia. Los ejercicios están resueltos de manera gráfica y analítica.
Clausura transitiva de un grafo dirigidoguest4b1d8bc
Este documento describe la clausura transitiva de un grafo dirigido. Explica que la clausura transitiva es la relación binaria más pequeña que contiene todos los pares de la relación original y es transitiva. También define la clausura transitiva de un grafo como el grafo que contiene un camino entre cualquier par de vértices, y presenta un algoritmo de O(n3) para encontrarla usando programación dinámica y matrices de adyacencia.
Este documento presenta los fundamentos de la teoría de la información y la capacidad de canal. Introduce conceptos clave como entropía, información mutua y capacidad de canal. Explica el teorema de codificación de fuente, que establece que la longitud mínima promedio de un código para una fuente no puede ser menor que su entropía. También explica el teorema de codificación de canal, que determina la velocidad máxima de transmisión de información a través de un canal dado su capacidad.
El documento describe un método para resolver sistemas de ecuaciones de 3 variables (3x3) en 3 pasos. Primero, se elige una ecuación para despejar una variable. Luego, se sustituye el valor despejado en las otras ecuaciones para obtener 2 nuevas ecuaciones con 2 variables cada una. Finalmente, se repite el proceso para despejar las otras 2 variables y resolver completamente el sistema.
Este documento describe tres métodos para calcular las raíces de ecuaciones no lineales: el método de bisección, el méerto de regula-falsi y el método de Newton-Raphson. Explica los pasos de cada método, incluyendo la selección del intervalo inicial, el cálculo de las aproximaciones sucesivas y los criterios de convergencia. También discute ventajas y desventajas de cada método.
El documento explica los conceptos básicos de cálculo diferencial, incluyendo las derivadas de funciones constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas, implícitas y compuestas. También cubre temas como derivadas sucesivas, derivadas enésimas, diferenciales de funciones y derivadas de funciones implícitas. El documento proporciona fórmulas y ejemplos para cada tipo de derivada.
Este documento presenta un problema de dietas que involucra tres ingredientes (A, B, C) con diferentes contenidos nutricionales. Se pide determinar la cantidad de cada ingrediente necesaria para cumplir con los requerimientos totales de proteínas, lípidos y carbohidratos. El documento explica cómo organizar la información en una tabla y establecer un sistema de ecuaciones para resolver el problema.
Este documento discute el muestreo de señales y el teorema de muestreo. En la primera sección, analiza el muestreo de señales con diferentes frecuencias, incluidos los efectos de aliasing. En la segunda sección, calcula la señal discreta resultante del muestreo de una señal analógica compuesta. En la tercera sección, determina las frecuencias de Nyquist de varias señales derivadas de una señal original. En la cuarta sección, calcula la frecuencia máxima que puede representarse sin ambigü
Este documento contiene los siguientes elementos:
1) Una dedicatoria de los autores a Dios, sus familias y amigos por su apoyo.
2) Un prefacio y prólogo que introducen el tema a tratar.
3) Apuntes y ejercicios resueltos sobre señales y sistemas, incluyendo conceptos como convolución y ecuaciones en diferencia. Los ejercicios están resueltos de manera gráfica y analítica.
Clausura transitiva de un grafo dirigidoguest4b1d8bc
Este documento describe la clausura transitiva de un grafo dirigido. Explica que la clausura transitiva es la relación binaria más pequeña que contiene todos los pares de la relación original y es transitiva. También define la clausura transitiva de un grafo como el grafo que contiene un camino entre cualquier par de vértices, y presenta un algoritmo de O(n3) para encontrarla usando programación dinámica y matrices de adyacencia.
Este documento presenta los fundamentos de la teoría de la información y la capacidad de canal. Introduce conceptos clave como entropía, información mutua y capacidad de canal. Explica el teorema de codificación de fuente, que establece que la longitud mínima promedio de un código para una fuente no puede ser menor que su entropía. También explica el teorema de codificación de canal, que determina la velocidad máxima de transmisión de información a través de un canal dado su capacidad.
El documento describe un método para resolver sistemas de ecuaciones de 3 variables (3x3) en 3 pasos. Primero, se elige una ecuación para despejar una variable. Luego, se sustituye el valor despejado en las otras ecuaciones para obtener 2 nuevas ecuaciones con 2 variables cada una. Finalmente, se repite el proceso para despejar las otras 2 variables y resolver completamente el sistema.
Este documento describe tres métodos para calcular las raíces de ecuaciones no lineales: el método de bisección, el méerto de regula-falsi y el método de Newton-Raphson. Explica los pasos de cada método, incluyendo la selección del intervalo inicial, el cálculo de las aproximaciones sucesivas y los criterios de convergencia. También discute ventajas y desventajas de cada método.
1. El documento presenta varios ejemplos y propiedades de expresiones regulares y autómatas finitos.
2. Incluye 17 propiedades de expresiones regulares, ejemplos de operaciones con lenguajes y expresiones regulares, y la descripción de un autómata finito.
3. Finalmente, propone un ejemplo de construcción del diagrama de Moore a partir de una tabla de transiciones de un autómata finito.
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde verificar si una función es solución de una ecuación diferencial hasta resolver ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y de orden superior usando diferentes métodos como separación de variables, sustituciones apropiadas y condiciones iniciales. El documento provee instrucciones detalladas para cada tipo de ejercicio.
Este documento describe el algoritmo congruencial aditivo para generar números aleatorios. Explica los pasos para implementar el algoritmo, incluyendo solicitar una secuencia de números iniciales del usuario, calcular nuevos números usando la fórmula congruencial, y mostrar los resultados. El objetivo es generar números aleatorios de manera determinista usando esta técnica de simulación de sistemas.
Este documento presenta varios ejercicios para encontrar raíces de funciones utilizando métodos numéricos como el método de la bisección, la regla falsa y gráficamente. En el primer ejercicio se busca la raíz mayor de la función f(x) = -0.5x^2 + 2.5x + 4.5 usando estos tres métodos. Los ejercicios siguientes encuentran raíces de otras funciones aplicando principalmente el método de la regla falsa y comparan los resultados gráficamente.
Este documento presenta 12 ejercicios relacionados con el muestreo y reconstrucción de señales. Los ejercicios cubren temas como la frecuencia de Nyquist, frecuencia de muestreo, aliasing y cuantificación de señales. Se proveen soluciones detalladas a cada ejercicio que involucran cálculos matemáticos para determinar frecuencias clave y representaciones gráficas de señales muestreadas.
Técnicas de conteo - Análisis combinatorioeduargom
El documento describe diferentes técnicas de conteo como el diagrama de árbol y el análisis combinatorio. Estas técnicas se usan para enumerar eventos difíciles de cuantificar de manera sistemática. El diagrama de árbol muestra todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, mientras que el análisis combinatorio se basa en conceptos como permutaciones, combinaciones y principios fundamentales de conteo.
Este documento describe diferentes sistemas de numeración utilizados en el mundo como la numeración griega, china, maya y romana. Explica en detalle la numeración arábiga, incluyendo su desarrollo y la notación posicional. También cubre conversiones entre sistemas numéricos como binario, octal, hexadecimal y de otras bases, usando el método de multiplicar por la base y sumar.
Este documento describe las características de las funciones cuadráticas. Explica cómo calcular la concavidad, los puntos de corte con el eje x, el punto de intersección con el eje y, las coordenadas del vértice, y el eje de simetría de una función cuadrática dada. También muestra cómo graficar funciones cuadráticas.
Este documento presenta información sobre conceptos básicos de probabilidad y estadística como eventos aleatorios, espacio muestral, técnicas de conteo como la multiplicación, permutación y combinación. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferencialesjhonpablo8830
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde determinar si una ecuación diferencial es lineal o no lineal, hasta resolver ecuaciones diferenciales mediante diferentes métodos como separación de variables, sustituciones homogéneas y condiciones iniciales. El documento proporciona instrucciones sobre cómo resolver los ejercicios y dónde encontrar soluciones de referencia.
La tecnología NFC Se utiliza para identificar y mejorar la atención al paciente, haciendo que sea más fácil para el personal médico actualizar los registros de tratamiento de cada paciente.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y explica que son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 2. Describe los tres tipos de ecuaciones de segundo grado (puras, completas y mixtas) y los métodos para resolverlas (factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y fórmula general). Además, presenta ejemplos para clasificar ecuaciones y resolver problemas relacionados con ecuaciones de segundo grado.
El documento explica las inecuaciones lineales con dos incógnitas y cómo resolverlas gráficamente representando los semiplanos de soluciones. También describe los sistemas de inecuaciones lineales y cómo encontrar la región de soluciones común a ambas inecuaciones. Por último, presenta un problema de programación lineal, explicando cómo formularlo como un sistema de inecuaciones para determinar la región factible de soluciones y así encontrar la solución óptima.
Este documento describe el procedimiento de ajuste polinomial de curvas, donde se usan sistemas de ecuaciones lineales para encontrar una función polinomial que pase por un conjunto de puntos de datos en el plano. Explica que para n puntos de datos se puede ajustar un polinomio de grado n-1, y que sustituyendo los puntos en la función polinomial genera un sistema de ecuaciones lineales que al resolver determina los coeficientes del polinomio. Incluye un ejemplo para ilustrar el proceso.
Esquema circuitos lógicos a compuertas semestral unirafael felix
Este documento describe los sistemas ASA e ISO para circuitos lógicos a compuertas. Explica que una compuerta es un dispositivo electrónico que tiene una o más entradas y una sola salida. A continuación, detalla las operaciones lógicas básicas como negación, conjunción, disyunción débil y fuerte para cada sistema, junto con su notación y fórmula correspondiente.
Este documento presenta un resumen sobre radicales. Explica que los radicales pertenecen a los números irracionales. Define los radicales y sus propiedades, y describe cómo simplificar expresiones con radicales mediante la aplicación de propiedades. También cubre operaciones como la multiplicación, suma, resta y división de radicales, así como la resolución de ecuaciones con radicales.
El documento describe la experiencia de una estudiante en la preparatoria a lo largo de varios semestres. Al principio, la estudiante estaba nerviosa porque no conocía a nadie, pero con el tiempo se hizo amiga de Carolina y Maricela. En el tercer semestre, su salón cambió por cuestiones de desastres. En el cuarto semestre, una nueva compañera llamada Giovanna se integró a su grupo de amigas. También en el cuarto semestre, la clase de literatura realizó una obra de teatro llamada "Sec
1. El documento presenta varios ejemplos y propiedades de expresiones regulares y autómatas finitos.
2. Incluye 17 propiedades de expresiones regulares, ejemplos de operaciones con lenguajes y expresiones regulares, y la descripción de un autómata finito.
3. Finalmente, propone un ejemplo de construcción del diagrama de Moore a partir de una tabla de transiciones de un autómata finito.
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde verificar si una función es solución de una ecuación diferencial hasta resolver ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y de orden superior usando diferentes métodos como separación de variables, sustituciones apropiadas y condiciones iniciales. El documento provee instrucciones detalladas para cada tipo de ejercicio.
Este documento describe el algoritmo congruencial aditivo para generar números aleatorios. Explica los pasos para implementar el algoritmo, incluyendo solicitar una secuencia de números iniciales del usuario, calcular nuevos números usando la fórmula congruencial, y mostrar los resultados. El objetivo es generar números aleatorios de manera determinista usando esta técnica de simulación de sistemas.
Este documento presenta varios ejercicios para encontrar raíces de funciones utilizando métodos numéricos como el método de la bisección, la regla falsa y gráficamente. En el primer ejercicio se busca la raíz mayor de la función f(x) = -0.5x^2 + 2.5x + 4.5 usando estos tres métodos. Los ejercicios siguientes encuentran raíces de otras funciones aplicando principalmente el método de la regla falsa y comparan los resultados gráficamente.
Este documento presenta 12 ejercicios relacionados con el muestreo y reconstrucción de señales. Los ejercicios cubren temas como la frecuencia de Nyquist, frecuencia de muestreo, aliasing y cuantificación de señales. Se proveen soluciones detalladas a cada ejercicio que involucran cálculos matemáticos para determinar frecuencias clave y representaciones gráficas de señales muestreadas.
Técnicas de conteo - Análisis combinatorioeduargom
El documento describe diferentes técnicas de conteo como el diagrama de árbol y el análisis combinatorio. Estas técnicas se usan para enumerar eventos difíciles de cuantificar de manera sistemática. El diagrama de árbol muestra todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, mientras que el análisis combinatorio se basa en conceptos como permutaciones, combinaciones y principios fundamentales de conteo.
Este documento describe diferentes sistemas de numeración utilizados en el mundo como la numeración griega, china, maya y romana. Explica en detalle la numeración arábiga, incluyendo su desarrollo y la notación posicional. También cubre conversiones entre sistemas numéricos como binario, octal, hexadecimal y de otras bases, usando el método de multiplicar por la base y sumar.
Este documento describe las características de las funciones cuadráticas. Explica cómo calcular la concavidad, los puntos de corte con el eje x, el punto de intersección con el eje y, las coordenadas del vértice, y el eje de simetría de una función cuadrática dada. También muestra cómo graficar funciones cuadráticas.
Este documento presenta información sobre conceptos básicos de probabilidad y estadística como eventos aleatorios, espacio muestral, técnicas de conteo como la multiplicación, permutación y combinación. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferencialesjhonpablo8830
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde determinar si una ecuación diferencial es lineal o no lineal, hasta resolver ecuaciones diferenciales mediante diferentes métodos como separación de variables, sustituciones homogéneas y condiciones iniciales. El documento proporciona instrucciones sobre cómo resolver los ejercicios y dónde encontrar soluciones de referencia.
La tecnología NFC Se utiliza para identificar y mejorar la atención al paciente, haciendo que sea más fácil para el personal médico actualizar los registros de tratamiento de cada paciente.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y explica que son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 2. Describe los tres tipos de ecuaciones de segundo grado (puras, completas y mixtas) y los métodos para resolverlas (factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y fórmula general). Además, presenta ejemplos para clasificar ecuaciones y resolver problemas relacionados con ecuaciones de segundo grado.
El documento explica las inecuaciones lineales con dos incógnitas y cómo resolverlas gráficamente representando los semiplanos de soluciones. También describe los sistemas de inecuaciones lineales y cómo encontrar la región de soluciones común a ambas inecuaciones. Por último, presenta un problema de programación lineal, explicando cómo formularlo como un sistema de inecuaciones para determinar la región factible de soluciones y así encontrar la solución óptima.
Este documento describe el procedimiento de ajuste polinomial de curvas, donde se usan sistemas de ecuaciones lineales para encontrar una función polinomial que pase por un conjunto de puntos de datos en el plano. Explica que para n puntos de datos se puede ajustar un polinomio de grado n-1, y que sustituyendo los puntos en la función polinomial genera un sistema de ecuaciones lineales que al resolver determina los coeficientes del polinomio. Incluye un ejemplo para ilustrar el proceso.
Esquema circuitos lógicos a compuertas semestral unirafael felix
Este documento describe los sistemas ASA e ISO para circuitos lógicos a compuertas. Explica que una compuerta es un dispositivo electrónico que tiene una o más entradas y una sola salida. A continuación, detalla las operaciones lógicas básicas como negación, conjunción, disyunción débil y fuerte para cada sistema, junto con su notación y fórmula correspondiente.
Este documento presenta un resumen sobre radicales. Explica que los radicales pertenecen a los números irracionales. Define los radicales y sus propiedades, y describe cómo simplificar expresiones con radicales mediante la aplicación de propiedades. También cubre operaciones como la multiplicación, suma, resta y división de radicales, así como la resolución de ecuaciones con radicales.
El documento describe la experiencia de una estudiante en la preparatoria a lo largo de varios semestres. Al principio, la estudiante estaba nerviosa porque no conocía a nadie, pero con el tiempo se hizo amiga de Carolina y Maricela. En el tercer semestre, su salón cambió por cuestiones de desastres. En el cuarto semestre, una nueva compañera llamada Giovanna se integró a su grupo de amigas. También en el cuarto semestre, la clase de literatura realizó una obra de teatro llamada "Sec
The document discusses a meeting that took place in Romania in January 2012. A photo album was made by a Latvian team documenting the meeting. The photos were taken as part of the COMENUS project focused on natural, cultural, and historical heritage.
La autonomía es la capacidad de tomar decisiones por uno mismo sin influencia externa. Tener un buen desarrollo mental y psicológico es fundamental para tener un buen criterio a la hora de tomar decisiones. La autoevaluación implica que una persona evalúa sus propias acciones, ideas o conocimientos. Sin embargo, la objetividad de la autoevaluación puede ser cuestionable dado que es difícil que alguien sea completamente imparcial al juzgarse a sí mismo.
VIA provides eLearning localization and development services. They use a dedicated project team approach and quality management process to localize eLearning content for clients. Their instructional design methodology includes analyzing training needs, designing the training, developing the content, implementing it, and evaluating the results. Examples of eLearning courses they have created include themed safety and anti-corruption training using interactive elements, role-based branching content, and mobile microlearning videos.
La Vía Láctea es una galaxia espiral barrada que contiene entre 200 mil millones y 400 mil millones de estrellas, mide aproximadamente 100 mil años luz de diámetro, y contiene nuestro sistema solar y la Tierra. Recibe su nombre de la mitología griega y significa "camino de leche" en latín.
Las galaxias son enormes acumulaciones de estrellas, gases y polvo. Hay cientos de miles de millones de galaxias en el universo, que varían en tamaño y forma, incluyendo esferas, lentes, espirales como la Vía Láctea, y formas irregulares. Algunas galaxias siguen activas y contienen agujeros negros masivos en su centro que atrapan materia circundante.
Este documento resume conceptos básicos de probabilidad y estadística como probabilidad, estadística, permutaciones, combinaciones, diagrama de árbol, principio multiplicativo y principio aditivo. Explica cada concepto con ejemplos sencillos y proporciona enlaces a recursos adicionales para cada tema.
Este documento contiene información sobre conceptos estadísticos como la combinatoria, las permutaciones, los factoriales y el principio multiplicativo. Explica fórmulas como n! para calcular permutaciones y combinaciones, y cómo usar la regla del producto para calcular el número total de posibilidades cuando hay múltiples opciones. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar estas ideas estadísticas fundamentales.
Este documento explica los conceptos fundamentales del análisis combinatorio, incluyendo el principio de multiplicación y los diagramas de árbol. El análisis combinatorio estudia las diversas formas de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto. El principio de multiplicación establece que si una tarea se puede realizar de varias maneras y cada resultado puede tener múltiples continuaciones, el número total de posibilidades es el producto de las posibilidades individuales. Los diagramas de árbol representan gráficamente las posibles rutas a través de un proceso de
AP-COMB-01-Apuntes de Combinatoria para la Olimpiada de Matemáticas.pdfEnriqueJulcaDelgado
Este documento presenta apuntes sobre combinatoria para la Olimpiada de Matemáticas. Introduce conceptos fundamentales como conteo, permutaciones, combinaciones y coeficientes binomiales. Explica principios básicos de conteo como la adición y la multiplicación, y cómo aplicarlos para calcular el número de arreglos y opciones en diferentes problemas combinatorios. También define conceptos como permutaciones, factoriales y k-permutaciones de n objetos.
El documento explica los conceptos básicos de la combinatoria, incluyendo variaciones, permutaciones y combinaciones, tanto con y sin repetición. Describe fórmulas para calcular el número de formas posibles de seleccionar subconjuntos u ordenar elementos de un conjunto dado.
Este documento presenta una colección de ejercicios de matemática discreta divididos en tres partes: combinatoria, aritmética y conjuntos/lógica. Incluye ejercicios resueltos de examen sobre sudokus, dados y ristras binarias, así como propuestas de ejercicios adicionales sobre combinatoria, inducción y desarrollo de binomios y trinomios. El objetivo es ofrecer material de estudio y práctica para preparar un examen final.
Este documento presenta una colección de ejercicios de matemáticas discretas divididos en tres partes: combinatoria, aritmética y conjuntos/lógica. Incluye ejercicios de examen resueltos, propuestas de ejercicios del libro de Rosen y lecturas recomendadas. El objetivo es que los estudiantes practiquen y aprendan conceptos clave de matemáticas discretas.
El documento presenta los principios fundamentales de conteo, incluyendo el principio de la suma y el principio de la multiplicación. Estos principios se utilizan para resolver problemas de conteo como el número de maneras de elegir libros de una biblioteca, resultados posibles de lanzar dados, y ensaladas que se pueden preparar con diferentes verduras. El documento también incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos principios.
Este documento presenta diferentes métodos de conteo utilizados en probabilidad, incluyendo el principio de la multiplicación, el principio de la suma, permutaciones y combinaciones. Explica cómo usar estos métodos para calcular el número de posibilidades en diferentes situaciones experimentales. También introduce el método del diagrama de árbol como una herramienta gráfica para contar posibilidades al descomponer un experimento en pasos simples.
Este documento describe diferentes técnicas de conteo como combinaciones, permutaciones y diagramas de árbol. Explica el principio multiplicativo y aditivo para entender el uso de estas técnicas. Incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para resolver problemas que involucran el conteo de eventos.
Este documento discute la enseñanza y el aprendizaje del álgebra. Explica que las letras deben introducirse para modelar situaciones, no de forma arbitraria. También analiza diferentes concepciones de ecuación y la importancia de entender que el signo de igualdad representa una condición sobre un dominio. Finalmente, propone utilizar problemas como los cuadrados mágicos para mostrar las limitaciones de lo numérico y la necesidad de razonar algebraicamente.
El documento habla sobre 10 jóvenes que decidieron celebrar su graduación en un restaurante. Se enfrascaron en una discusión sobre el orden en que se sentarían. El camarero les propuso sentarse en cualquier orden y probar todas las combinaciones posibles de asientos durante días consecutivos, ofreciéndoles comidas gratis cuando volvieran a usar el mismo orden. Sin embargo, el número total de combinaciones es de 3'628,800, lo que equivaldría a casi 10,000 años de intentos diarios.
Este documento presenta el plan de estudios de matemáticas para el cuarto bimestre de quinto grado. Incluye los temas, subtemas y actividades planeadas para cada semana, con énfasis en los números naturales, fraccionarios, decimales, figuras planas, medición y análisis de información.
El documento describe los principios fundamentales del conteo y diferentes técnicas de conteo como la adición, la multiplicación, los arreglos con y sin repetición, las permutaciones y las permutaciones con repetición. Explica cómo aplicar estas técnicas para contar el número de posibilidades o decisiones en diferentes situaciones como elegir películas y obras de teatro, ir al teatro y luego a cenar, crear claves de cajero automático y disponer estudiantes en fila para una foto.
Este documento presenta una muestra de actividades para una unidad sobre conjuntos de números para un curso de álgebra superior. Incluye ejemplos de actividades sobre propiedades de los números naturales, inducción matemática, el principio del buen orden, divisibilidad, congruencia y una evidencia de aprendizaje. El facilitador debe crear nuevos ejercicios para las actividades y no enviar este documento tal cual a los estudiantes.
Este documento presenta conceptos básicos de conteo como permutaciones y variaciones. Explica las diferencias entre permutaciones con y sin repetición, así como variaciones. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo calcular el número de formas posibles de organizar un conjunto de elementos teniendo en cuenta restricciones como el orden y la repetición. El objetivo es aplicar estas nociones de conteo a problemas relacionados con la ingeniería civil.
EJERCICIOS RESULETOS SOBRE DIFERENCIAS ENTRE VARIACIÓN,PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓNCesar Suarez Carranza
El documento explica las diferencias entre variaciones, permutaciones y combinaciones. Indica que las variaciones y permutaciones consideran el orden de los elementos, mientras que las combinaciones no. Luego provee ejemplos resueltos de cada uno con el fin de establecer claramente las diferencias entre estos conceptos matemáticos.
Este documento presenta una prueba de matemáticas para estudiantes de 5to grado. Contiene 10 problemas matemáticos con instrucciones para responder la prueba, así como un anexo de conceptos y procedimientos matemáticos. Los estudiantes deben mostrar sus procedimientos y razonamientos para los últimos dos problemas.
Este documento introduce las técnicas de conteo y proporciona ejemplos de su aplicación. Explica las reglas fundamentales del conteo como la regla del producto y la suma. También cubre conceptos como permutaciones y combinaciones, ilustrando cada tema con ejemplos numéricos.
1. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
La enumeración, o conteo, puede parecer un proceso obvio que un estudiante aprende al estudiar
aritmética por primera vez. Pero luego, según parece, se presta poca atención en lo que se refiere
a un desarrollo más amplio del conteo conforme el estudiante pasa a áreas “más complicadas” de
las matemáticas, como el álgebra, la geometría, la trigonometría y el cálculo. En consecuencia,
este primer tema deberá servir como advertencia acerca de la seriedad y dificultad del “mero”
conteo.
La enumeración no termina con la aritmética. También tiene aplicaciones en áreas como la teoría
de códigos, la probabilidad y estadística dentro de la matemática, y el análisis de algoritmos “en
todo lo referente a la computación”.
A medida que vayamos entrando en este fascinante campo de las matemáticas, nos
encontraremos con muchos problemas que se pueden enunciar en forma sencilla pero que son
“duros” de resolver.
Cabe resaltar que el solo hecho de conocer las formulas no garantiza un análisis correcto, así que
no confíe demasiado en ellas. En vez de ello, acepte el reto de resolver soluciones con base a su
propio análisis sin importar si exactamente se proporciona en este texto guía. Con frecuencia
existen varias vías para resolver un problema dado.
1 REGLA DE LA SUMA
Definición
Nota: También es conocido como principio de adición.
Nótese que cuando decimos que una ocurrencia particular, como una primera tarea, puede
realizarse m formas, se supone que estas m formas son distintas, a menos que se indique lo
contrario. Esto será así a lo largo del texto guía.
Ejemplo 1
La biblioteca de la universidad tiene 40 libros de texto de sociología y 50 de antropología.
¿Cuantas opciones hay si un estudiante puede escoger un libro de antropología o de sociología?
Solución
Si una primera tarea puede realizarse de m formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse
de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces, para llevar a cabo
cualquiera de ella pueden utilizarse cualquiera de m+n formas.
2. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
Por regla de la suma, un estudiante puede elegir entre 40 + 50=90 libros de texto para aprender de
alguno de estos dos temas.
Ejemplo 2
Un ingeniero de sistemas cuenta con 5 libros de nivel introductorio de Jquery, C#, Python y Ruby
¿De cuantas maneras él instructor recomendar cualquiera de estos libros?
Solución
5 libros de jquery + 5 libros de c# + 5 libros de python + 5 libros de Ruby
5+5+5+5=20
R. 20
2 REGLA DEL PRODUCTO
Definición
Nota: Esta regla también se conoce como el principio de elección.
Ejemplo 1
Una persona puede viajar de una ciudad “A” a otra ciudad “B” de 5 formas y de “B” a “C” de 6
formas. ¿De cuántas formas puede ir de “A” a “C”?
Solución
ACLARACIÓN
La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ninguna
pareja de tareas pueda ocurrir en forma simultánea.
Véase el ejemplo 2.
Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, y si existe m resultados
posibles de la primera etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles
para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de
formas.
3. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
Esta persona puede ir de “A” a “B” de 5 formas. Una vez estando en “B” puede escoger el camino
a “C” de 6 maneras diferentes entonces: .
Ilustración gráfica del ejemplo1.
Ejemplo 2
Contexto
En la memoria principal de un computador, la información se almacena en celdas de memoria.
Para identificar las celdas de memoria principal del computador, cada celda tiene asignado un
nombre único conocido como su dirección de memoria.
Si tenemos una infraestructura de 8 bits por cada lista ordenada de memoria “conocida como
byte”. ¿De cuantas maneras podemos asignar direcciones a cada celda de memoria?.
Solución
Memoria
Ejemplo 3
Del ejemplo si tenemos 16 bits por bloque de memoria consecutivos. ¿De cuantas maneras
podemos asignar direcciones a cada celda de memoria?
4. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
3 PERMUTACIONES
Antes de entrar en contexto sobre las permutaciones es importante recordar el concepto de
factorial de un número.
Factorial de un Número
Sea n un número entero positivo, el factorial de n se denota por “n!” y se define como el producto
de todos los enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive, es decir:
( ) ( )
Así,
Si,
De este último, si n=1, tenemos . Y .
Para seguir con el análisis de las aplicaciones de la regla del producto, contaremos ahora
disposiciones lineales de objetos, también conocidas como permutaciones, cuando los objetos son
distintos. Desarrollaremos algunos métodos sistemáticos para el estudio de las disposiciones
lineales, partiendo de un ejemplo bastante común.
Nota: disposición = Colocación de una o más cosas según un orden o en una posición adecuada y
conveniente.
Ejemplo 1
En un grupo de 10 estudiantes, se escogerá a cinco y se les sentará en fila para una foto, ¿Cuántas
disposiciones lineales son posibles?
Análisis
La palabra clave aquí es disposición, que indica la importancia del orden. Si A,B,C…,I,J denotan a
los 10 estudiantes entonces, BECFI, CEFIB y ABCGF son tres disposiciones diferentes, nótese que
las dos primeras están formadas por los mismos cinco estudiantes, quiere decir que sí importa el
orden.
Solución
Para responder la pregunta, analizamos las posiciones y el número posible de estudiantes que
podemos elegir para ocupar cada posición. La Ocupación de una posición es una etapa de nuestro
procedimiento.
5. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
Grupo de estudiantes.
A B C D E
F G H I J
X
10
primera
posición
X
9
segunda
posición
X
8
tercera
posición
X
7
cuarta
posición
6
quita
posición
O
=3024
Cualquiera de los 10 estudiantes puede ocupar la primera posición de la fila. Puesto que aquí no
son posibles las repeticiones, sólo podemos elegir a uno de los demás estudiantes para que ocupe
la segunda posición. Continuando de esta manera, sólo tenemos seis estudiantes de donde elegir
para que ocupe la quinta posición. Esto produce un total de 30240 disposiciones posibles de cinco
estudiantes.
Definición
Dada una colección de n objetos distintos, cualquier disposición (lineal) de estos objetos se denomina
permutación de la colección.
6. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
Si partimos de las letras a,b,c veremos que hay seis formas de disponerlas, o permutarlas: abc,
acb, bca, cab, bac, cba. Si sólo estamos interesados en colocar dos letras a la vez habrá seis
permutaciones de tamaño dos para la colección, ab,ba,ac,ca,bc,cb.
Denotaremos este número con ( )
. Para , ( )
de modo que ( )
donde . Si entonces Ya que .
Conocer cuántas disposiciones lineales existen es algo tan fácil como se puede ver en este
ejemplo.
Ejemplo 2
Se va a colorear un mapa de cuatro países, con colores diferentes para cada país. Si hay
disponibles 6 colores diferentes ¿De cuántas maneras puede colorear el mapa?
Solución:
Se necesita permutaciones de cuatro de uno conjunto de 6 elementos.
Es decir,
( )
Maneras.
Ejemplo 3
Calcular la cantidad de disposiciones (lineales) de las cuatro letras de la palabra BALL.
Nótese que la letra L se repite dos veces.
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )
En general, si existen n objetos distintos, que se denotan con y es un entero, con.
, entonces, por regla del producto, el número de permutaciones de tamaño r para los n
objetos es.
Primera
posició
n
Segunda
posición
Tercera
posición
r-ésima
posició
n
7. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
Si distinguimos la letra L, de esta manera . Y si en este caso particular tenemos la
permutación.
Podemos decir que ambos son lo mismo. Ya que =
De esta manera: sería el número de permutaciones. Pero para obtener el número de
disposiciones. Vemos que la mitad de las letras se está repitiendo => 2!=2
4!/2=12.
El número total de disposiciones (lineales) es de 12.
Ejemplo 4
Si tenemos la palabra “SISTEMAS” y queremos conocer cuantas palabras en disposición se
pueden formar con la condición que comiencen en una vocal.
Solución
Tenemos tres vocales I,E,A respectivamente. Cada palabra debe cumplir esta condición.
Obviando las vocales tenemos las otras letras disponibles para cada caso entonces se permutarían
las restantes de esta forma
I
E
A
S,S,T,E,M,A,S
S,I,S,T,M,A,S
S,I,S,T,E,M,S
7!=5040
7!=5040
7!=5040
Como en el ejemplo anterior la letra S se repite tres veces
La permutación respetara la situación de las letras como , pero si hablamos de
disposición y tomamos en cuenta que S es la misma para todos, entonces la cantidad de
repeticiones de S es 3!=6. Quitamos los casos que respectan a S de esta manera.
840. Por cada Letra.
Aplicamos el caso de suma para las tres vocales 840+840+840=2520.
Respuesta
Formamos 2520 palabras que cumplan la condición.
8. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
4 COMBINATORIA
En muchos casos estaremos interesados en el número de formas de seleccionar r objetos de n. sin
importar el orden. Estas selecciones se llaman Combinaciones.
Nota: se lee como combinaciones de n en r. Observe que con =1
Importante:
Un buen consejo cuando se trata de un problema de conteo, debemos preguntarnos acerca de la
importancia del orden en el problema. Cuando el orden es necesario, pensamos en términos de
permutaciones y disposiciones y en la regla del producto. Cuando el orden no sea necesario, las
combinaciones podrían tener un papel importante en la solución del problema.
Ejemplo 1
Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuantas maneras se puede hacer esto?
Solución:
Se extraen 2 cartas sin importar el orden, entonces, el número de formas de seleccionar estas dos
cartas es.
( )
Ejemplo 2
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.
a) ¿De cuántas maneras puede él estudiante escoger las 8 preguntas?
b) Si las tres primeras son obligatorias, ¿de cuántas maneras pueda escoger las preguntas?
c) Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
( )
En general, si partimos de n objetos distintos, cada selección, o combinación, de r de estos objetos,
sin hacer referencia al orden, corresponde a r! permutaciones de tamaño r de los n objetos. Así, el
número de combinaciones de tamaño r de una colección de tamaño n, que se denota C(n,r) o
9. APUNTES DE ANÁLISIS DISCRETO ING. DITMAR DAVID CASTRO ANGULO Tema 1. Combinatoria y Conteo
Ejemplo 3
¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una chica pueden formarse de cinco chicos y ocho
chicas, si cierto chico rehúsa trabajar con dos chicas?
COMBINATORIA CON REPETICIÓN
Las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer
una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan
repetirse.
(( ))
( )
( )
De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un multiconjunto cuyos
elementos pertenezcan a un conjunto dado. Se denota por