Este documento resume conceptos clave de análisis combinatorio y probabilidad. Explica que el análisis combinatorio estudia los arreglos y agrupaciones posibles de elementos de un conjunto. Introduce conceptos como factorial, variación, permutación, combinación y principios de multiplicación y adición. Luego, presenta problemas de probabilidad como experimentos aleatorios y cálculo de probabilidades.

1. ANÁLISIS
COMBINATORIO Y
PROBABILIDAD
Prof. JOSE ANTONIO MELGAR CAMAYO

2. ANALISIS COMBINATORIO
Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o agrupaciones
que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, formándolas y
calculando su número permitiéndonos resolver problemas de la vid real. Por
ejemplo podemos calcular cuántos números diferentes de teléfonos se
puede formar a partir de un conjunto de números.
FACTORIAL DE UN NÚMERO
La factorial de un número entero y positivo se define como el producto de
todos los enteros consecutivos que empiezan con la unidad y termina con el
numero dado.
Ejemplos:
• 6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
• 4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
En general:
𝑛 = 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … × 1
• 1 = 1! = 1
• 0 = 0! = 1
Observaciones:

3. Ejemplo 1:
Calcular:
𝐸 =
20! + 21! + 22!
20! × 222
𝐸 =
20! + 21 × 20! + 22 × 21 × 20!
20! × 222
𝐸 =
1 + 21 + 22 × 21
222
𝐸 =
1 + 21 + 22 × 21
222
𝐸 =
484
484
= 1
Ejemplo 2:
Hallar (a + b), si:
8!
𝑎! × 𝑏!
= 56
8 × 7 × 6!
𝑎! × 𝑏!
= 56
6!
𝑎! × 𝑏!
= 1
6! = a!×b!
6×5! = a!×b!
3!×5! = a!×b!
Por tanto, a + b = 3 + 5 = 8.

4. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un evento “A” se puede realizar de “m” maneras y para cada una de estas,
otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces los eventos A y
B se pueden efectuar simultáneamente o uno seguido del otro, de:
“m × n” maneras
Este principio se puede generalizar para más de 2 sucesos.
Ejemplo: “Teresita” tiene 3 blusas diferentes, 4 faldas de diferentes modelos;
de cuántas maneras diferentes se puede vestir.
Como cada falda puede ponerse con cada una de las blusas, entonces
tendríamos:
Maneras de vestirse será = 3 × 4 = 12

5. PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si un evento “A” ocurre o se puede efectuar de “m” maneras y otro evento
“B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces “A” o “B”, se puede efectuar
de:
“m + n” maneras
Ejemplo: Katy” desea viajar de Lima a Cajamarca; si dispone de 4 líneas
aéreas y 2 líneas terrestres ¿De cuantas maneras diferentes puede realizar el
viaje?
Para viajar de Lima a Cajamarca, puede hacerlo por línea aérea (4 maneras) o
por línea terrestre (2 maneras).
Maneras de viajar: 4 + 2 = 6

6. VARIACIÓN (V)
Es cada uno de los diversos ordenamientos que pueden formarse
tomando alguno o todos, de un numero dado de objetos y teniendo en
cuenta el orden en que se toman estos.
𝑉
𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
n = Número total de elementos.
r = Número de elementos tomados (Agrupación).
Ejemplo: ¿De cuantas maneras diferentes podemos obtener con los
elementos a, b, c, d, e tomados de 2 en 2?
Tener presente que, si interesa el orden de colocación de cada elemento, es
decir que: ab  ba
𝑉
𝑛
𝑟
= 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 𝑟 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

7. Entonces, las variaciones serán :
ab, ac, ad, ae
ba, bc, bd, be
ca, cb, cd, ce
da, db, dc, de
ea, eb, ec, ed
Total: 20 variaciones
Matemáticamente designaremos la
variación para “n” elementos tomados
de r en r, por:
𝑉
𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
𝑉
5
2
=
5!
5 − 2 !
=
5 × 4 × 3!
3!
= 20
O también:
𝑉
𝑛
𝑟
= 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 𝑟 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑉
5
2
= 5 × 4 2 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑉
5
2
= 20

8. PERMUTACIÓN (P)
Si se toma todos los elementos del conjunto para ordenarlos, la
variación recibe el nombre de permutación es decir si: n = r
𝑉
𝑛
𝑛
= 𝑃𝑛 = 𝑛!
Ejemplo: ¿De cuantas maneras diferentes podemos obtener con los
elementos 1; 2 y 3?
Al tomar todos los elementos para ordenarlos tenemos:
123, 132
213, 231
312, 321
Total: 6 permutaciones
P3 = 3! = 3×2×1 = 6
𝑉
𝑛
𝑛
= 𝑃𝑛 = 𝑛!

9. PERMUTACIÓN CIRCULAR (PC)
Cuando “n” elementos se disponen alrededor de un círculo, el número de
permutaciones, si se cuenta siempre en el mismo sentido a partir de un
mismo elemento, será:
𝑃
𝑛
𝑐
= (𝑛 − 1)!
Ejemplo: ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 8 personas
alrededor de una mesa redonda?
𝑃
𝑛
𝑐
= (𝑛 − 1)!
𝑃
8
𝑐
= 8 − 1 ! = 7! = 5040

10. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
Si se tiene n elementos donde hay:
r1 = Elementos de una primera clase
r2 = Elementos de una segunda clase
r3 = Elementos de una tercera clase
rk = Elementos de una k – ésima clase
El número de permutaciones diferentes
que se puede formar con ellos es:
𝑃
𝑟1, 𝑟2, … 𝑟𝑘
𝑛
=
𝑛!
𝑟1! × 𝑟2! … × 𝑟𝑘 !
Donde: r1 + r2 + … + rk ≤ n
Ejemplo: ¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con las letras de la
palabra MENEM?
En la palabra encontraremos 5 letras de las cuales se repiten las letras E y M,
es decir: n = 5; r1 = 2; r2 = 2.
𝑃
2,2
5
=
5!
2! × 2!
=
120
2 × 2
= 30

11. COMBINACIÓN (C)
Es cada uno de todos los ordenamientos que pueden formarse, tomando
todos los elementos o grupos de estos, no importando el orden en que se
tomen estos.
𝐶
𝑛
𝑟
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)! × 𝑟!
n = Número total de elementos
r = Número de elementos tomados (agrupados)
Ejemplo: Se desean saber cuántas combinaciones se puedan realizar con los
elementos a, b, c, d, e tomados de 2 en 2.
Tener en cuenta que no interesa el orden de ubicación de los elementos, es
decir que: ab = ba, entonces las combinaciones serán:
𝐶
𝑛
𝑟
=
𝑛 𝑛 − 1 …
𝑟 𝑟 − 1 …
𝑟 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

12. ab, ac, ad, ae
bc, bd, be
cd, ce
de
Total: 10 combinaciones
PROPIEDADES:
1) 𝐶
𝑛
0
= 1, 𝐶
𝑛
1
= 𝑛, 𝐶
𝑛
𝑛
= 1
2) 𝐶
𝑛
𝑟
= 𝐶
𝑛
𝑛 − 𝑟
3) 𝐶
𝑛
0
+ 𝐶
𝑛
1
+ 𝐶
𝑛
2
+ ⋯ + 𝐶
𝑛
𝑛
= 2𝑛
4) 𝐶
𝑛
1
+ 𝐶
𝑛
2
+ ⋯ + 𝐶
𝑛
𝑛
= 2𝑛 − 1
DIFERENCIA ENTRE
COMBINACIONES Y VARIACIONES
Las combinaciones se diferencian por
sus elementos; en tanto que las
variaciones por el orden de los mismos.
• Para las variaciones el orden de sus
elementos si interesa, ya que no es lo
mismo decir 23 que 32.
• Para las combinaciones el orden no
interesa.
• Dos combinaciones son diferentes
sólo si difieren por lo menos en un
elemento: abc; abd; bcd; acd.
𝐶
5
2
=
5!
(5 − 2)! × 2!
𝐶
5
2
=
5 × 4 × 3!
(3)! × 2!
= 10

13. PRACTICAMOS
1) ¿Cuántos triángulos se podrán
formar al unir 7 puntos no
colineales?
𝐶
7
3
=
7!
(7 − 3)! × 3!
𝐶
7
3
=
7 × 6 × 5 × 4!
(4)! × 3!
𝐶
𝑛
𝑟
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)! × 𝑟!
𝐶
7
3
= 35
2) Se tienen telas de 8 colores diferentes
y Micaela desea confeccionarse un traje
tricolor (Saco, blusa y falda) ¿De cuántas
maneras se puede confeccionar dicho
traje tomando en cuenta sólo los
colores pero no el modelo?
Se trata de una variación de 8
tomadas de 3 en 3.
𝑉
𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
𝑉
8
3
=
8!
8 − 3 !
=
8 × 7 × 6 × 5!
5!
= 336

14. 3) ¿De cuántas maneras diferentes
puede escogerse un comité,
compuesto de 2 hombres y 3
mujeres, de un grupo de 4 hombres y
5 mujeres?
Para elegir al comité no importa el
orden, por tanto es una combinación,
pero también utilizaremos el principio
de multiplicación.
𝐶
4
2
× 𝐶
5
3
4 × 3
2 × 1
×
5 × 4 × 3
3 × 2 × 1
60
4) Cuatro personas abordan un
automóvil en el que hay 6 asientos. Si
sólo 2 saben conducir ¿De cuántas
maneras diferentes pueden sentarse?
𝑉
5
3
× 2
5 × 4 × 3 × 2!
2!
× 2
120
Haciendo un esquema:

15. 5) Halle un número de 3 cifras que cumple 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴! + 𝐵! + 𝐶!. Dé como
respuesta el valor de (A+B+C). (UNI 2020 - I)
De acuerdo al problema se tiene:
𝐴𝐵𝐶 = 𝐴! + 𝐵! + 𝐶!
Comprobando:
145 = 1! + 4! + 5!
145 = 1 + 24 + 120
145 = 145
Tabulando valores tenemos:
A = 1
B = 4
C= 5
Hallando: A + B + C
1 + 4 + 5
10

16. 6) Una de las profesoras de un centro de educación inicial tiene a su cargo
ocho estudiantes. Ella planea distribuirlos durante la hora de Educación Física
y ubicarlos simétricamente sobre el borde de un círculo pintado sobre el
patio del centro educativo. Si dos de sus alumnos, los hermanos Gonzales,
pertenecen al grupo y deben estar siempre juntos, ¿De cuántas maneras
diferentes podrá la profesora ubicar a los ocho estudiantes sobre la
circunferencia? (UNMSM 2020 - I)
Ubicamos a los ocho estudiantes alrededor del círculo. Siendo G1 y G2 los
hermanos Gonzáles.
Total de ordenamientos es:
𝑃
7
𝑐
× 2! = 6! × 2 = 720 × 2 = 1440

17. 7) El juego Michi-1 es jugado en un arreglo 3×3 con dos discos iguales. Si los
dos discos están en forma adyacente horizontalmente, verticalmente o
diagonalmente uno de ellos puede saltar sobre el otro colocándose en el
espacio abierto opuesto al otro disco y el que ha sido pasado es retirado (ver
diagrama) 2 saltos sobre 1 y este es removido. El número de formas que se
puede poner 2 discos idénticos en el arreglo de modo que sea imposible
saltar es: (UNI 2020 - I) De los 9 casilleros, todas las parejas que se pueden
formar son:
𝐶
9
2
=
9!
(9 − 2)! × 2!
=
9 × 8 × 7!
(7!) × 2
= 36
𝐶
9
2
− 16 = 36 − 16 = 20
❶
❷ Total de formas en que dos casilleros están juntos,
sea en forma horizontal, vertical y diagonal: 16
Para que sea imposible, deben estar separadas:

18. TAREA
Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:
9) ¿De cuántas maneras diferentes puede escogerse un comité, compuesto
de 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo de 7 hombres y 6 mujeres?
8) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si
hay 5 sitios disponibles?
10) Simplificar:
83!
81! + 82!
40! + 41!
42!
11) Un total de 210 estrechadas de mano se efectuaron al final de una
fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, ¿Cuántas personas
asistieron a la fiesta?

19. PROBABILIDADES
EXPERIMENTO ALEATORIO (ε)
Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos
resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba.
Ejemplos:
ε1 : Se lanza una moneda dos veces y se observa los resultados posibles.
ε2 : Se lanza un dado y se observa el número que resulta.
ESPACIO MUESTRAL ()
Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.
Para los ejemplos antes mencionados:
1 = {(c,c); (c,s); (s,c); (s,s)}
2 = {1;2;3;4;5;6}

20. EVENTOS O SUCESOS
Un evento o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. Se denota
generalmente por letras mayúsculas del alfabeto (A; B; ....).
Del ejemplo de lanzar una moneda dos veces, sea el evento
A = En los 2 lanzamientos sale por lo menos una cara.
A = {(c,c); (c,s); (s,c)}
OPERACIONES ENTRE SUCESOS:
Se han indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como tales cumplen
todas las operaciones de los mismos.
Operación Se lee:
A  B: Ocurre A, ocurre B o ambas
Ocurre al menos uno de ellos.
A  B: Ocurre A y ocurre B;
Ocurre ambas a la vez
A – B: Ocurre solamente A;
Ocurre A pero no B
AC : No ocurre el suceso A.

21. CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS
Dados los sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente excluyentes si y
sólo si A  B = ; esto quiere decir que no ocurren juntos
(simultáneamente).
* SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Ejemplo:
En una aula de un centro preuniversitario, se tiene los siguientes sucesos:
A: Un grupo de alumnos tienen de 15 a 17 años
B: Un grupo de alumnos tienen más de 17 años pero no más de 19 años
C: Un grupo de alumnos son mayores de 19 años.
 Si se elige a un alumno, este pertenecerá a alguno de los tres grupos.

22. Aquellos que pueden presentarse simultáneamente.
Ejemplo:
Lanzar dos dados y que aparezcan un dos o un cinco.
* SUCESOS COMPATIBLES
Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la
ocurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultánea o
sucesivamente B; es decir, que la ocurrencia de uno de ellos no
depende de la ocurrencia del otro.
Ejemplo:
Se lanza un dado 2 veces
D: Sale 3 en el primer lanzamiento
E: Sale 3 en el segundo lanzamiento.
* SUCESOS INDEPENDIENTES

23. Cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro.
Ejemplo:
Se tiene dos urnas A y B, la urna A contiene 3 bolas rojas y 4 bolas negras,
en tanto que la urna B tiene 4 bolas rojas y 7 bolas negras. Si se saca de la
urna A una bola y se deposita en la urna B; al sacar una bola de la urna B,
el resultado dependerá de la bola que se sacó de la urna A.
* SUCESOS DEPENDIENTES
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD (Definición clásica)
Si A es un suceso de un espacio
muestral , entonces la probabilidad de
ocurrencia de A se denota P(A) y está
dado por la relación:

24. Ejemplo 1:
Determinar la probabilidad
de que al lanzar un dado, el
resultado sea un número
primo.
Solución
 = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,3,5}
P(A) = 3/6 = 1/2
Ejemplo 2:
¿Cuál es la probabilidad que al lanzar
dos dados, su suma sea un múltiplo de
3?
Solución
Para que sea múltiplo de 3, la suma debe
ser 3; 6; 9 o 12, siendo los casos favorables
de 2; 5; 4 y 1 respectivamente, que en total
hacen 2 + 5 + 4 + 1, igual a 12 casos
favorables, con respecto a 36 casos en total.
Por lo tanto, la probabilidad será:
P(Suma 3) = 12/36 = 1/3

25. Ejemplo 3:
De un mazo de 52 cartas, al extraer
una de ellas ¿Cuál es la probabilidad
de que sea un as?
Solución
Como en un mazo de 52 cartas hay 4
ases, entonces la probabilidad será:
n() = 52
n(Ases) = 4
P(1 As) = 4/52 = 1/13
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
1. Si A es un suceso definido en el
espacio muestral () entonces:
• 0 < P(A) < 1 ;
• 0% < P(A) < 100%
2. Al espacio muestral () le
corresponde P()= 1
• La probabilidad será 1 cuando
el suceso sea seguro.
• La probabilidad será cero
cuando el suceso sea imposible

26. TEOREMA DE LA ADICIÓN
Si A y B son sucesos no excluyentes
definidos en un espacio muestral,
entonces:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Si A y B son mutuamente
excluyentes AB = , P(AB) = 0:
P(AB) = P(A) + P(B)
TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN
Sean A y B dos sucesos incluidos en el
espacio muestral , entonces:
Si A y B son sucesos independientes
P(AB) = P(A) × P(B)
Ejemplo :
Una urna contiene 6 bolitas azules y 4
blancas. Se extraen dos bolitas
sucesivamente, con reposición.
Calcular la probabilidad que la
primera sea azul y la segunda blanca.
Solución
P(AB) = P(A) × P(B) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
6
10
×
4
10
=
6
25

27. EXTRACCIÓN SIMPLE
Para naipes, bolas y otras, cuando se
quiere extraer de una en una, la
probabilidad se determina por un
simple cociente de los casos favorables
respecto a los casos totales.
Ejemplo :
De una caja que contiene 5 bolas
rojas y 3 negras, se extrae uno de
ellos al azar. Determinar la
probabilidad que sea negra.
Solución
n () = 8
n (N) = 3  P(N) = 3/8
EXTRACCIÓN MÚLTIPLE
Cuando se extraen DOS o más
objetos, se puede hallar la
Probabilidad por dos métodos.
a) MÉTODO DE LA FRACCIÓN
Hacer el PRODUCTO de tantas
fracciones como EXTRACCIONES
se hayan realizado.
N° de Fracciones = N° de Extracciones

28. Ejemplo :
De un mazo de 52 cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de que al extraer tres al
azar, éstas sean una figura (J, Q, K)?
Solución
En un mazo de 52 cartas existen 4
cartas “J”, 4 cartas “Q” y 4 cartas “K”,
entonces tendremos 12 cartas
favorables que se van a extraer de
una en una.
La probabilidad de la primera será:
12/52
La probabilidad de la segunda
será: 11/51, ya que hay una
figura menos.
La probabilidad de la tercera
será 10/50
La probabilidad respuesta
será el producto:
12
52
×
11
51
×
10
50
11
1105

29. b) MÉTODO DE LAS COMBINACIONES
Cuando se extraen varios objetos, se
cumple que la “Probabilidad de la
Extracción Múltiple equivale a un COCIENTE
de COMBINACIONES”. Se debe aplicar una
COMBINACIÓN, tanto a los CASOS
FAVORABLES como a los CASOS TOTALES.
𝑃 𝐾 =
𝐶 𝑘
𝑟
𝐶 𝑛
𝑟
Siendo:
K = Número de casos favorables que se
extraen al azar de “r” en “r” (r > 1)
n = Número de casos totales, que se
extraen al azar de “r” en “r”.
Ejemplo :
De un mazo, se extraen 2
cartas ¿Cuál es la probabilidad
que sean espadas?
Solución
Como en un mazo de 52 cartas
hay 13 espadas, por el método
de las combinaciones, tenemos
que:
La probabilidad será:
𝐶13
2
𝐶52
2
13×12
2×1
52×51
2×1
=
13×12
52×51
=
1
17

30. PRACTICAMOS
1) En una caja hay 5 bolas rojas y
3 negras. Sin mirar se saca una
bola y no se devuelve a la caja,
luego se saca otra bola. ¿Cuál es
la probabilidad de que las dos
bolas que se sacaron sean rojas?
𝑃 𝑅𝑅 =
5
8
×
4
7
=
5
14
2) Un profesor de aula ha seleccionado
a 10 niños y 4 niñas para recitar 3
poesías para actuación central del
aniversario del colegio. ¿Cuál es la
probabilidad de que los dos primeros
sean niños y la última sea niña?
Se tiene 10 niños y 4 niñas en total, 14.
X: Probabilidad que sea niño.
Y: probabilidad que sea niña.
Sea, R: Probabilidad que sea Roja.
Vamos a multiplicar la primera y
segunda extracción:
𝑃 𝑋𝑋𝑌
=
10
14
×
9
13
×
4
12
=
15
91

31. 3) Nueve personas se sientan al
azar en una mesa redonda. ¿Cuál
es la probabilidad de que 3
personas queden contiguas?
𝑃 2 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 =
6 × 6!
9 − 1 !
=
6 × 6!
8!
=
6
8 × 7
=
3
28
Sean A, B y C las personas que van
a sentarse siempre juntas o
contiguas, entonces, las formas
que se pueden ubicar es:
3 x 2 x 1 = 6 formas.
Las 6 personas restantes se
podrán ubicar de: 6! formas
4) La empresa D & M desea contratar
2 nuevos empleados. Si existen
candidatos para los cargos 3 mujeres
y 5 hombres, y a cada candidato se le
da igual consideración, calcular la
probabilidad de que los 2 nuevos
empleados sean:
a) Mujeres
𝑃 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 =
𝐶 3
2
𝐶 8
2
=
3 × 2
2 × 1
8 × 7
2 × 1
=
3
28
b) Hombres
𝑃 𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 =
𝐶 5
2
𝐶 8
2
=
5 × 4
2 × 1
8 × 7
2 × 1
=
10
28
=
5
14

32. 5) Una clase está formada por 12 varones y 20 damas; la mitad de los
varones y la quinta parte de las damas han elegido francés como asignatura
de verano. Si de las 32 personas se escoge una persona al azar y resulta que
no eligió francés como asignatura de verano, ¿Cuál es la probabilidad de que
no sea una dama? (UNMSM 2019 - I)
Se tiene:
Número de varones: 12
Número de damas: 20
También tenemos:
Varones que eligen francés = (½)(12) = 6
Mujeres que eligen francés = (1/5)(20) = 4
Se elige una persona al azar. Sean
Evento A: la persona no es una dama.
Evento B: la persona no elige francés.
Sabemos que la probabilidad
condicional se calcula por:
Varones (12) Damas(20)
Eligen Francés 6 4
No eligen Francés 6 16
𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
6
32
𝑃 𝐵 =
22
32
𝑃 𝐴/𝐵 =
6/32
22/32
P(A/B)= 3/11

33. 6) Se elige aleatoriamente un número entero de cinco cifras. Calcule la
probabilidad que dicho número sea par y la suma de sus cifras sea 42. (UNI
2017 - I)
Sea: 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 el número de cinco cifras.
“e” es par, además: a + b + c + d + e = 42
Para que cumpla “e” no puede tomar
los valores de 0; 2 y 4, porque la
suma no llegaría a 42.
I) Si: e = 6,
entonces: a + b + c + d = 36
• 9999, 1 número.
II) Si: e = 8,
entonces: a + b + c + d = 34
• 9988, 𝐶 4
2
=
4×3
2×1
= 6
• 9997, 𝐶 4
1
=
4
1
= 4
Hallando la probabilidad
𝑃(𝑃𝑎𝑟, 𝑆 = 42) =
6 + 4 + 1
90000
𝑃(𝑃𝑎𝑟, 𝑆 = 42) =
11
9
× 10−4

34. 7) Si se lanza un dado 2 veces, hallar la probabilidad de obtener al menos un
6. (PUCP 2018 - 0)
𝑃(𝐴𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛 6) =
11
36
DADO 2
1 2 3 4 5 6
DADO
2
1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
OTRO MÉTODO
I) Sale en el 1° dado un 6, en el otro no.
1
6
×
5
6
=
5
36
II) Sale en el 2° dado un 6, en el otro no.
5
6
×
1
6
=
5
36
III) Sale 6 en ambos.
1
6
×
1
6
=
1
36
En total:
5
36
+
5
36
+
1
36
=
11
36

35. TAREA Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:
8) Un recipiente contiene esferográficos, 3 de color rojo, 2 de color negro y
uno de color azul. Se extrae simultáneamente 3 esferográficos, calcular la
probabilidad de que los 3 sean:
a) Dos rojos y un azul
b) Dos negros y un azul
c) Diferente color
9) De una caja que contiene 3 bolas rojas, 5 blancas y 4 azules se extraen
simultáneamente cinco bolas, calcular la probabilidad de que las cinco bolas
sean:
a) Dos rojas, dos blancas y una azul
b) Una roja, dos blancas y dos azules