Este documento presenta los principios fundamentales del análisis combinatorio, incluyendo el principio de adición, el principio de multiplicación, factoriales, permutaciones simples y circulares, permutaciones con repetición, combinaciones, variaciones y variaciones con repetición. Explica cada concepto con ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular el número de posibilidades en diferentes escenarios combinatorios.

1. ANÁLISIS COMBINATORIO
DEMETRIO CCESA RAYME

2. ANÁLISIS COMBINATORIO:

3. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO:
Principio de la
adición
Si una operación o actividad
A, puede realizarse de m
maneras diferentes y otra
operación o actividad b
,´puede realizarse de n
maneras diferentes, entonces
la operación que consiste en
hacer AOB (no ambas
simultáneamente, sino la una
o la otra) podrá ocurrir de
(m+n)formas distintas, son
eventos independientes.

4. A1
Ejemplo:
Una persona puede viajar de Lima a Quito usando 3 líneas aéreas o 3líneas terrestres
¿De cuantas formas podrá realiza el viaje?
Aéreas o Terrestres
3 + 3 = 6
Respuesta:_ La persona podrá realizar el viaje de Lima a Quito de 6
Maneras distintas .
Ica
Ayacuc
ho
A2
A3
B1
B2
B3
Recordar
que el
“O”
significa
suma

5. 2) Ejemplo:
Una alumno que se encuentra en la plaza de armas de ICA quiere ir a la universidad
para ello puede utilizar tres líneas de taxi o dos líneas de micro o una línea de
colectivo ¿De cuantas formas puede realizar el alumno su viaje?
Taxi o micro o colectivo
3 + 2 + 1 = 6
Respuesta._ EL alumno puede realizar su viaje de 6
maneras distintas

6. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN :
Principio de
Multiplicación
Si una operación o actividad A,
Puede realizarse de “m”
maneras diferentes y cuando ha
sido efectuada por cualquiera de
esas maneras , se realiza otra
operación o actividad B que
puede efectuarse de “n “
maneras diferentes, entonces
ambas operaciones o
actividades podrán efectuarse
de (mxn) maneras distintas , son
eventos dependientes.

7. EJERCICIOS 1:

8. EJERCICIO 2
Una persona desea viajar de la ciudad “A” hacia la ciudad “C” pero siempre
pasando por la ciudad “B” para ello puede viajar de la ciudad “A” hacia la “B”
de 4 maneras diferentes y de la ciudad “B” a la ciudad “C” de 4 formas
diferentes ¿Cuántas maneras distintas una persona puede viajar desde la ciudad
“A” hacia la ciudad C?
AB Y BC Respuesta._ Una persona puede viajar de la ciudad “A” hacia
4 * 4 = 16 la ciudad “C” de 16 maneras distintas.
A B c
Recordar que el
“y” significa
multiplicación

9. FACTORIAL DE UN NUMERO
SOLO PODEMOS
CALCULAR EL
FACTORIAL DE
NÚMEROS
NATURALES

10. PROPIEDADES DE FACTORIAL“

11. FACTORIAL DE UN NUMERO
Ejemplos:
1)7! * 8= 1*2*3*4*5*6*7 * 8
7! *8
7!*8=1*2*3*4*5*6*7*8
8!
7!*8=8!
(N!)*(N+1)= (N+1)!
2) 6!= 1*2*3*4*5*6
6!= 5! * 6
N!=N.(N-1)!
3) (n+1) = (n+1).n!=(n+1)
n! n!
8!
10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
8! 8!
10! = 10*9*8! = 90
8! 8!
4) 8! * 3! = 8*7!*3! = 8
7! *4! 7!*4*3! 4

12. PERMUTACION
En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un
conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.
Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos tomando en cuenta el orden
de su ubicación. Cuando en el arreglo solo se incorporan parte de los elementos del conjunto se denomina
variación. Es importante destacar que el orden es una característica significativa en la permutación,
cuando variamos la disposición de los elementos decimos que permutamos dichos elementos.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una
permutación. Existe un total de 6 permutaciones para conjuntos de 3 elementos, en este caso:
"1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
PERMUTACIÓN SIMPLE:
Son permutaciones simples, de n elementos distintos, todas las agrupaciones de esos n elementos,
dispuestos linealmente, sin que ninguno falte o se repita. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo
por el orden de sus elementos.
El número de permutaciones simples que pueden realizarse con n elementos distintos ( P n ) , es:
P n = n !

13. Ejemplo:
1.Una madre tiene 3 hijos ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno,
puede llamarlos a cenar?
Respuesta: P 3 = 3 ! = 6
2. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en 2 sillas 2 damas ( D1 y D2 )?
Respuesta: 2! = 1 × 2 = 2
( D1 , D2 ) y ( D2 , D1 )

14. PERMUTACIÓN CIRCULAR:
Son permutaciones cíclicas de n elementos distintos, todas las agrupaciones de esos n elementos,
dispuestos en forma circular, sin que ninguno falte o se repita.
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en
una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el
final de muestra.
El número de permutaciones cíclicas que pueden realizarse con n elementos es:
( n – 1 ) !
Ejemplo:
1.¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse circularmente las letras A , B , C y D?
Respuesta: 3 ! = 6
2. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar alrededor de una mesa circular 4 personas
( A , B , C y D )?
Respuesta: 3! = 6

15. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN:
Son permutaciones con repetición de n elementos, no todos distintos, todas las
agrupaciones de n elementos, formadas por aquellos, dispuestos linealmente y sin que
ninguno falte.
El número de permutaciones con repetición que pueden realizarse con n elementos,
donde existen r elementos iguales entre sí ( de una misma clase ) y el resto distintos
entre sí y distintos también a los anteriores es:
Observación: Esto puede extenderse a permutaciones de n elementos, donde existen r
elementos de una clase, q elementos de otra clase, etc.

16. Ejemplo:
1.¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1 , 1 , 1 , 2 , 2 y 3?
Respuesta:
2. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras de la
palabra AMASA , sin que ninguna letra se repita ni falte?
Respuesta:

17. EJERCICIOS:
PERMUTACIÓN SIMPLE
1 ) ¿Cuántas formas diferentes pueden darse al tomar asiento en 3 sillas, linealmente
dispuestas, 3 varones ( V1 , V2 y V3 )?
2 ) ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras de la
palabra SOLA , sin que ninguna letra se repita ni falte?
PERMUTACIÓN CIRCULAR
3.Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
4.¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa
redonda?

18. PERMUTACION CON REPETICIÓN
5 . ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en fila 5 bolitas de igual tamaño, si 3 son
verdes ( V ) y 2 son rojas ( R )?
6. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro
verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

19. Combinaciones
 Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las
agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
 No entran todos los elementos.
 No importa el orden.
 No se repiten los elementos.
 También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

20. Ejemplo
1.En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos
comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.

21. Ejemplo
2.De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.

22. Combinaciones con repetición
 Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los
distintos grupos formados por n elementos de manera que:
 No entran todos los elementos.
 No importa el orden.
 Sí se repiten los elementos.

23. Ejemplo
1.En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir
cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

24. Variaciones
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a
los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
Las variaciones se denotan por

25. Ejemplo
1. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se
puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5 n = 3 m ≥ n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

26. Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los
distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si
m ≤ n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

27. EJEMPLO
1-¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4,
5?
m = 6 n = 3
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un
número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y
otros casos particulares).
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.
m = 6 n = 2

28. 2. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el
acierto de los 15 resultados?
m = 3 n = 15 m < n
Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el
número de elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

29. EJERCICIOS PROPUESTOS
COMBINACIONES
1.¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos
de tres en tres?
2. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas
diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
VARIACIONES
1. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el
acierto de los 15 resultados?
2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente,
vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles
candidatos?