Este documento presenta temas de matemática relacionados con la semejanza de figuras geométricas y el volumen de sólidos. Explica los teoremas fundamentales de semejanza y cómo se aplican las razones de semejanza a las escalas. También define conceptos como sólido geométrico y volumen, y describe fórmulas para calcular el volumen de paralelepípedos, conos, esferas y otros sólidos. Finalmente, incluye ejemplos de preguntas de exámenes sobre estos temas.

1. TEMAS SELECTOS DE EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
18. Aplicaciones de la semejanza en
escalas. Volumen de sólidos geométricos
Mg. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
a20146949@pucp.pe
I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”
LA LIBERTAD

2. Temario desarrollado
P
R
I
M
A
R
I
A
S
E
C
U
N
D
A
R
I
A

3. Aplicaciones de la semejanza en
escalas

4. Semejanza de figuras geométricas
(Lages, 1991, p. 33)

5. Caso particular: semejanza de
triángulos (Kiselev, 2006, p. 138)
• En dos triángulos, “se llaman lados
homólogos a aquellos lados que se
encuentran opuestos a los ángulos
congruentes”.
• “Dos triángulos son llamados semejantes,
si: (1) los ángulos de uno son
respectivamente congruentes con los
ángulos del otro, y (2) los lados de uno son
proporcionales a los lados homólogos del
otro”.

6. Teoremas fundamentales de
semejanza (Moise & Downs, 1986)
𝑆𝑖 𝐴′ ≅ 𝐴, 𝐵′ ≅ 𝐵, 𝐶′ ≅ 𝐶
𝑦
𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
= 𝑟 entonces:
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨′
𝑩′
𝑪′
De esto se desprende:
(1)Teorema AAA (corolario AA)
(2)Teorema LAL
(3)Teorema LLL

7. Aplicaciones de la razón de
semejanza r: escalas

8. Volumen de sólidos geométricos

9. Sólido geométrico (Downing, 2009,
p. 319)
“Un sólido es una figura geométrica
tridimensional que encierra completamente un
volumen de espacio. Ejemplos: prisma, esfera,
cilindro, cono, pirámide y poliedro.”

10. Volumen (Moise & Downs, 1986, p.
549; Lages, 1991, p. 67)
La idea intuitiva de volumen de un sólido está
indicada por el número de veces que este contiene a
un cubo unitario (donde a = b = h = 1).

11. Principio de Cavalieri (Lages, 1991,
p. 70-71)
Sean A y B dos sólidos. Supóngase que ellos
están incluidos entre dos planos paralelos. Si
cualquier plano paralelo a ellos interseca a A y
B y da secciones transversales con áreas
iguales, entonces el volumen de A es igual al
volumen de B.

12. Volumen del parelelepípedo (Lages, 1991,
pp. 72-74)
• Un paralelepípedo (sólido P en la figura) es un
sólido formado por seis paralelogramos: sus
caras.
• Su volumen está dado por el producto de la
base por la altura. Esta expresión también
permite determinar el volumen del cilindro y del
prisma.

13. Volumen del cono (Lages, 1991, pp.
75-76) – 1
• Un cono K, que tiene como base una
figura plana F y como vértice un punto P
fuera del plano F, es la reunión de los
segmentos de recta que unen dicho punto
P con todos los puntos de F.
Un cono cuya base es
un polígono se
denomina pirámide.
Las caras laterales
son triángulos.

14. Volumen del cono (Lages, 1991,
p. 77) – 2
• El volumen de la pirámide es la tercera parte del producto de la altura
por el área de la base (como resultado de la descomposición de un
prisma en tres pirámides)
• El volumen del cono de altura h, cuya base es un círculo de radio R,
es igual a
1
3
𝜋𝑅2ℎ.

15. Volumen de la esfera (Lages, 1991,
p. 78) – 1
• La esfera de centro en el punto O y radio
R es el conjunto de los puntos del espacio
cuya distancia al punto O es menor o igual
a R.
• Su volumen es igual a
4
3
𝜋𝑅3
.

16. Volumen de la esfera (Moise & Downs, 1986, pp. 562-
563) – 2
Área de la sección transversal de la esfera: 𝐴𝑠 = 𝜋𝑟2 − 𝜋𝑠2. Para
aplicar el principio de Cavalieri, buscamos otro sólido con la
misma área de sección transversal y altura 2r. Dado que esta
corresponde a un anillo como el de la derecha, el sólido buscado
es el que se encuentra dentro de un cilindro de altura 2r y fuera
de dos conos unidos por el vértice.
En aplicación del principio de Cavalieri, entonces el volumen del nuevo
sólido equivale al volumen de la esfera de radio r. Pero el volumen del
nuevo sólido se puede calcular mediante la resta del volumen del cilindro
menos los volúmenes de los dos conos. Es decir:
𝑉 = 𝜋𝑟2. 2𝑟 − 2
1
3
𝜋𝑟2. 𝑟 =
4
3
𝜋𝑟3

17. Preguntas de examen

18. Examen de ascenso 2018
En un cono rige la siguiente
relación (también en una
pirámide):
á𝑟𝑒𝑎 𝐹0
á𝑟𝑒𝑎 𝐹
=
ℎ0
ℎ
2
Si la razón entre las áreas
es de 4 a 1, la relación
entre las alturas es de 2 a
1. Luego, la región
cuadrangular debe ser
trazada a la mitad de la
altura.

19. Examen de ascenso 2018
Con toda
claridad, no se
está reparando
en el significado
del cuantificador
“cualquiera”
para las
secciones
planas.

20. Examen de ascenso 2018
Al parecer, no se
ha internalizado el
concepto de razón
de semejanza

21. Examen de ascenso 2018

22. Examen de nombramiento 2019
Se emplea el teorema de Pitágoras:
16𝑘 2 + 9𝑘 2 = 502
Se determina el valor de k y se reemplaza en 50k para
calcular el perímetro de la pantalla

23. Examen de nombramiento 2019

24. Examen de nombramiento 2019

25. Referencias
• Downing, D. (2009). Dictionary of Mathematics
Terms. Hauppage, NY: Barron’s Educational.
• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/m
ateriales_didacticos/EDAD_4eso_B_semejanza/
impresos/quincena6.pdf
• Kiselev, A. (2006). Geometry. Book I,
Planimetry. El Cerrito, CA: Sumizdat.
• Lages, E. (1991). Medida e forma em
Geometria. Rio do Janeiro, RJ: Sociedade
Brasileira de Matemática.
• Moise, E. & Downs, F. (1986). Geometría
moderna. México, D. F.: Addison-Wesley
Iberoamericana.