El documento define y explica la unidad de medida del ángulo sólido llamada estereorradián. Un estereorradián es el ángulo sólido comprendido entre una porción de una esfera de radio r y el centro de la esfera, si el área de dicha porción es r2. De manera análoga al radián para ángulos planos, el estereorradián mide ángulos sólidos en tres dimensiones. El documento también describe las propiedades geométricas y métricas del tetraedro regular como ejemplo de cuerpo

1. Definición[editar]
El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la
longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ = s/r, donde θ es
ángulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, elángulo completo, ,
que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:
Utilidad[editar]
El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los
cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de
π.
Análisis dimensional[editar]
El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de
un ángulo x expresado en radianes cumple:
Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:


donde x se expresa en radianes.
Equivalencias[editar]

2.  La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por
tanto
1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y
1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.
 La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g
La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.
Grados 0
°
30
°
45
°
60
°
90
°
120
°
135
°
150
°
180
°
210
°
225
°
240
°
270
°
300
°
315
°
330° 360
°
Radian
es
0 π/
6
π/
4
π/
3
π/
2
2π/
3
3π/
4
5π/
6
π 7π/
6
5π/
4
4π/
3
3π/
2
5π/
3
7π/
4
11π/
6
2π
Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal,
el grado centesimal y, en astronomía, la hora.
 El Radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s)
(velocidad angular). Esta tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se
pueden calcular fácilmente con la ecuación que sigue:
De rpm a π rad/s
que con la ecuación simplificada:
De π rad/s a rpm
que con la ecuación simplificada:
Conversiones entre grados y radianes[editar]

3. Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como
fracciones de π.
Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un
ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π
radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…).
Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes
figuras:
Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que 180°
equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.
 Ejemplo A
Convertir 38° a radianes:

4. Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición
de los radianes.
Despejamos x, también simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente decimal:
x = 0,6632 radianes.
 Ejemplo B
Convertir 2,4 radianes a grados.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la
posición de los grados.
Despejamos x.
Por último obtenemos el equivalente decimal:
x = 137.5099°".
estereoradian
El estereorradián es la unidad derivada del SI que mide ángulos sólidos. Es el equivalente
tridimensional del radián. Su símbolo es sr.
Índice
[ocultar]
 1 Definición
o 1.1 Explicación de la definición

5.  2 Ángulo de un casquete esférico
 3 Véase también
Definición[editar]
El estereorradián se define haciendo referencia a una esfera de radio r. Si el área de una
porción de esta esfera es r2
, un estereorradián es el ángulo sólido comprendido entre esta
porción y el centro de la esfera.
Explicación de la definición[editar]
El ángulo sólido en estereorradianes, es:
Donde es la superficie cubierta por el objeto en una esfera imaginaria de radio , cuyo
centro coincide con el vértice del ángulo.
Por tanto, un estereorradián es el ángulo que cubre una superficie a una
distancia del vértice.
Analogía con el radián
En dos dimensiones, el ángulo en radianes, está relacionado con la longitud de arco, y
es:
siendo s la longitud de arco, y r el radio del círculo.
Ángulo de un casquete esférico[editar]
El cono (1) y el casquete esférico (2) dentro de la esfera.

6. Si el área es igual a y está dada por el área de un casquete esférico (
) entonces se cumple que . Entonces el ángulo sólido
descrito por el cono que corresponde al ángulo (plano, vea la figura) es igual a:
.
Propiedades geométricas[editar]
Tetraedro no regular.
En todo tetraedro, sea o no regular, se verifica que:
 Los segmentos que unen los puntos medios de los tres pares de aristas opuestas son
concurrentes en un punto, que los divide por su mitad.
 Los segmentos que unen cada vértice con los puntos de intersección de las medianas de
su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los divide separando tres
cuartas partes del lado del vértice respectivo (Teorema de Commandino).
 Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo
punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.
 Las rectas perpendiculares a las caras por su circuncentro son concurrentes en un punto,
centro de la esfera circunscrita al tetraedro.
 Los planos bisectores de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto
equidistante de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro.
Propiedades métricas[editar]

7. Volumen[editar]
Existe una fórmula general para el cálculo del volumen de un tetraedro, sea o no regular, en
función de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de tres de sus vértices A, B y C (supuesto el
origen de coordenadas en el cuarto):
Esta fórmula también se puede escribir en términos de las coordenadas absolutas de los
cuatro vértices ; el volumen de un tetrahedro
(regular o no) viene dado por la siguiente fórmula:
Otra fórmula, que puede obtenerse de la anterior, permite calcular el volumen de un tetraedro,
regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas, y y la distancia entre
ambas , y es :
Esta fórmula es aplicable para calcular, de forma aproximada, el volumen de un terraplén, de
una carretera o una presa de materiales sueltos, por ejemplo, a partir de la longitud de su
coronación , la longitud en la base , y su altura .
Área[editar]
El Área de un tetraedro es la siguiente:
donde Ac es el área de una de sus caras.
Alturas del tetraedro[editar]
Un tetraedro (no necesariamente regular) se define en ℝ3
conociendo las coordenadas de
sus cuatro vértices, por ejemplo
. Cualquiera de sus cuatro caras se define por el triángulo formado por los tres vértices de
la misma, cada una de las caras define un plano (plano por tres puntos) base de la altura
que forma con el vértice opuesto, siendo dicho vértice opuesto el punto restante que no se
usó al definir la cara. Se puede imaginar un tetraedro pensando en que su base está

8. definida por el triángulo formado por tres vértices cualquiera del mismo a los que
llamaremos y y que existe un vértice opuesto a esa base al que llamaremos .
Para calcular la altura que forma un vértice opuesto cualquiera con su cara base solo hay
que poner los valores de dicho vértice opuesto en y después poner los
valores de los tres vértices de la cara opuesta al mismo
en y , luego aplicarlos en la fórmula siguiente:
Para conocer las cuatro alturas del tetraedro basta con ir rotando las coordenadas de sus
vértices. Esta fórmula no requiere que el tetraedro sea regular, vale para cualquier
tetraedro no degerado.
Tetraedro regular[editar]
Es un poliedro formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros, y cuatro vértices
en cada uno de los cuales concurren tres caras. Es uno de los cinco
poliedrosperfectos llamados sólidos platónicos. Además es uno de los ocho poliedros
convexos denominados deltaedros. Aplicándole la nomenclatura estándar de los sólidos
de Johnson podría ser denominado pirámide triangular.
Para la escuela pitagórica el tetraedro representaba el elemento fuego, puesto que
pensaban que las partículas (átomos) del fuego tenían esta forma.
Cálculo de dimensiones fundamentales[editar]
Exclusivamente a partir de la arista a se pueden calcular el resto de las dimensiones
fundamentales de un tetraedro regular. Así, para las esferas singulares del tetraedro:
 Radio R de la esfera circunscrita al tetraedro (la que contiene en su superficie los
cuatro vértices del mismo):
 Radio r de la esfera inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del
tetraedro):
 Radio ρ de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro:

9. En un tetraedro regular cada pareja de aristas opuestas (las que no concurren
en un mismo vértice) son ortogonales entre sí, siendo la mínima distancia
entre ellas el segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al
radio ρ de la esfera tangente a las aristas del tetraedro.
 La altura H del tetraedro (apoyado el tetraedro de manera estable sobre
un plano horizontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al
vértice opuesto):
Volumen, área y desarrollo[editar]
Animación de uno de los desarrollos del tetraedro.
Dado un tetraedro regular de arista a, podemos calcular
su volumen V mediante la siguiente fórmula:
Y el área total de sus caras A (que es 4 veces el área de una de
ellas, Ac), mediante:
Ángulos[editar]
Los ángulos planos que forman las aristas concurrentes son, como en el
resto de los sólidos platónicos, todos iguales; y con un valor de 60º
(π/3 rad), al constituir los ángulos interiores de un triángulo equilátero.
Los ángulos diedros que forman las caras son, como en el resto de los
sólidos platónicos, todos iguales, y pueden calcularse:

10. Los ángulos sólidos que forman los vértices son, como en el resto de
los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden calcularse:
Propiedades particulares[editar]
Simetría[editar]
Rotaciones en torno a un eje y reflexión respecto a un plano de un tetraedro
regular.
Un tetraedro regular tiene cuatro ejes de simetría de orden tres, las
rectas perpendiculares a cada cara por el vértice opuesto de
tetraedro; y seis planos de simetría, los formados por cada arista y el
punto medio de la arista opuesta. Esto hace que este cuerpo tenga
un orden de simetría total de 24: 2x(4x3).
Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de
simetría tetraédricos, el denominado Tdsegún la notación de Schläfli.
El tetraedro tiene también tres ejes de simetría de orden dos: las
rectas que pasan por el punto medio de una arista y por el de la arista
opuesta.

11. Conjugación[editar]
El tetraedro regular es el único sólido platónico conjugado de sí
mismo (se suele denominar autoconjugado), ya que el poliedro
conjugado de un tetradro de arista a es otro tetraedro de arista b, tal
que:
Proyecciones[editar]
Las proyecciones ortogonales de un tetraedro regular sobre un
plano pueden ser:
 Triángulos;
 En particular, si el plano de proyección es paralelo a una
cara, la proyección del tetraedro es un triángulo
equilátero, correspondiente a una cara en verdadera
magnitud.
 Cuadriláteros;
 En particular, si el plano de proyección es paralelo a dos
aristas opuestas del tetraedro, la proyección es
un cuadrado, con un lado igual a la longitud de la arista
del tetraedro dividida por la raíz cuadrada de dos.
Secciones[editar]
Sección transversal.
Las infinitas secciones que podemos tomar de un tetraedro
regular pueden resultar:
 Triángulos;

12.  En particular, cualquier sección tomada por un plano
paralelo a una de las caras del tetraedro es un triángulo
equilátero.
 Cuadriláteros;
 En particular, cualquier sección tomada por un plano
paralelo a dos aristas opuestas es un rectángulo.
 Si, además de ser paralelo a dos aristas opuestas, el
plano de corte equidista de ambas, la sección resultante
es un cuadrado de lado mitad de la arista del tetraedro.
Como existen tres pares de aristas opuestas, un
tetraedro regular se puede seccionar de esta forma por
tres planos diferentes.
Composición, descomposición y maclado [editar]
Es posible incluir un tetraedro regular en un cubo de tal forma
que cada uno de los vértices del tetraedro coincida con un vértice
del cubo, coincidiendo las aristas del tetraedro con diagonales de
las caras del cubo. El volumen del cubo necesario para incluir un
tetraedro en la forma descrita es el triple que el del tetraedro. Hay
dos posiciones posibles para incluir los tetraedros en el cubo en
esta forma;
 Las aristas de los tetraedros colocados en ambas posiciones
son perpendiculares entre sí (son las diagonales cruzadas de
las caras del cubo).
 Las tres secciones cuadradas de ambos tetraedros
coinciden.
 El sólido conjunto (o macla) de ambas es un poliedro
compuesto denominado estrella octángula de Kepler (stella
octangula).
 El sólido común de ambos es un octaedro regular de arista
mitad que la de los tetraedros.
No es posible rellenar el espacio únicamente con tetraedros
regulares (aunque, parece ser, que Aristóteles así lo creía), pero

13. sí es posible hacerlo con elementos formados por una
combinación de un octaedro regular y dos tetraedros regulares.
De las infinitas formas de truncar un tetraedro regular, hay dos
que producen resultados singulares:
 Truncando el tetraedro con planos que pasen por el punto
medio de sus aristas, obtenemos un octaedro regular.
 Truncando el tetraedro con planos que pasen por la tercera
parte de sus aristas, obtenemos un sólido arquimediano que
toma el nombre genérico de tetraedro truncado.
Un tetraedro no puede ser estelado, puesto que todas las
intersecciones entre los planos de las caras del tetraedro son
aristas del tetraedro.
Tetraedros en la naturaleza y en la
técnica[editar]
Estructura tetraédrica del metano. Los enlaces C-H están dirigidos hacia los
vértices de un tetraedro regular.
La forma tetraédrica aparece en la naturaleza en
ciertas moléculas de enlace covalente. La más común de ellas es
la molécula de metano (CH4), en la que los cuatro átomos
de hidrógeno se sitúan aproximadamente en los cuatro vértices
de un tetraedro regular del que el átomo de carbono es el centro.
Existen también estructuras cristalinas naturales de forma
tetraédrica.

14. A pesar de ser el tetraedro un poliedro de forma simple y
totalmente regular no existen muchos objetos de uso común
basados en su forma.
Como medio de almacenamiento es una forma desastrosa: no es
posible rellenar el espacio con ella, que sería la forma de no
desperdiciar volumen entre las piezas; tampoco resulta
fácilmente apilable al no tener caras paralelas; y, además, es
muy ineficaz: para contener un litro de producto son necesarios
más de 7,2 dm² de «pared», mientras que utilizando un cubo con
6 dm² es suficiente. A pesar de todos estos inconvenientes, la
empresa sueca Tetra Pak desarrolló un envase de cartón
metalizado en forma tetraédrica en la década de 1950,
únicamente porque su fabricación resultaba singularmente
sencilla: bastaba con enrollar una hoja de papel formando un
cilindro, para después aplastar sus dos extremos, pero en
direcciones perpendiculares, logrando con ello un tetraedro.
En cualquier posición que sea apoyado un tetraedro, uno de sus
vértices queda vertical hacia arriba. Por este motivo se basa en
su forma la fabricación de ciertos modelos de elementos móviles
de balizamiento de carreteras ya que, al ser indiferente la
posición en la que se apoyen, su colocación es rápida y sencilla,
y no pueden ser derribados por los vehículos.
Tetrápodos para escollera.
Es una forma sencilla con gran facilidad para trabarse y
engancharse, puesto que sus vértices son muy agudos y dirigidos
en las cuatro direcciones. Por este motivo se busca su forma en
elementos cuya principal función sea engancharse, como
las anclas de barco (en esquema, un ancla está formada por las
dos aristas opuestas de un tetraedro unidas por su
perpendicular), o trabarse entre sí, como las escolleras de
hormigón armado para defensa contra el oleaje. Existen al menos

15. tres modelos de uso frecuente basados en la forma de un
tetraedro regular:
 Los tetrápodos, formados por cuatro troncos de cono
colocados según las alturas de un tetraedro regular, entre
sus vértices y su centro.
Dolos para escollera.
 Los doloses (plural de dolos), diseñados por el ingeniero Eric
M. Merrifield, formados por tres piezas rectas, dos
materializando las aristas opuestas de un tetraedro regular y
una tercera uniéndolas por su perpendicular.
 Los akmon (yunque), desarrollados en el Laboratorio de
Hidráulica de Delf (Países Bajos), de forma similar a los
doloses, pero más robusta.
A principios del siglo XX Alexander Graham Bell, inventor del
teléfono, experimentó intensamente con cometas, con el fin de
desarrollar el vuelo tripulado con vehículos más pesados que el
aire, y llegó tras una serie de experimentos a esta forma.
Las cometas tetraédricas están compuestas de múltiples celdas
con forma de tetraedro, en el que se materializan únicamente dos
de sus caras. Llegó a construir cometas enormes, formadas por
un gran número de estas celdas.
Dado para juego de rol.

16. En 1907 construyó una de 3.393 celdas que arrastró con un
barco de vapor, siendo capaz de elevarla 50 m con un tripulante
a bordo. Intentó después otras construcciones aún más grandes,
y equipadas con motor, pero no dieron el resultado deseado. A
los motores les faltaba potencia y las construcciones resultaban
frágiles en exceso, por lo que abandonó el proyecto, dedicándose
a otras actividades.
La sonda espacial Mars Pathfinder de la NASA también tuvo
forma de tetraedro, cuyas caras se abrieron como pétalos al
amartizar, el 4 de julio de 1997, para permitir la salida del robot
Sojourner que llevaba en su interior.
Otra aplicación práctica del tetraedro es la de dar forma
al dado de cuatro caras, cuya notación escrita es «d4»1 y al que
se utiliza sobre todo en numerosos juegos de rol. Al no mostrar
este dado una cara hacia arriba, suele llevar marcado el valor de
la tirada en los vértices o en la base.