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Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 1
Tema 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales
El primer tema que vamos a tratar en el curso de Álgebra Lineal son los Sistemas de
Ecuaciones Lineales (S.E.L.), tema que seguramente la mayoría de los estudiantes han
visto en menor o mayor grado en la Secundaria. Este tema tiene no solamente
importancia en sí mismo, dadas las cuantiosas aplicaciones que posee, sino también en
el contexto general del curso puesto que estará presente explícita como implícitamente
en varios de los temas que se tratarán a lo largo del mismo.
La idea en este curso es refrescar los conocimientos que ya se poseen sobre S.E.L. a la
vez de aportar elementos nuevos.
Vamos a introducir el tema tratando un ejemplo sencillo y familiar de carácter químico
que muestra claramente la aplicación práctica de los S.E.L.
Supongamos que tenemos una muestra química que contiene cloruro de potasio (KCl) y
cloruro de sodio (NaCl) con una masa de 2,06 g. También sabemos que el número de
moles totales de cloro es 0,03 y que el peso molecular del NaCl es 58 g/mol y el del
KCl es 74 g/mol. Lo que se desea conocer es la cantidad de moles de KCl y NaCl
presentes en la muestra.
El problema evidentemente que se resuelve con un planteo matemático. Efectivamente,
en primer término sabemos el total de masa que tenemos de ambos compuestos:
mKCl + mNaCl = 2,06 (1)
Recordando nociones básicas de estequiometria química sabemos que la ecuación (1)
puede expresarse como:
PMKCl x no
moles KCl + PMNaCl x no
moles NaCl = 2,06 (2)
Además:
no
moles KCl + no
Si ahora sustituimos por los valores numéricos de PM en la ecuación (2), tenemos que:
74 x no
moles KCl + 58 x no
no
moles KCl + no
Vemos entonces que llegamos a dos ecuaciones con dos incógnitas, o más propiamente,
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En este caso, las incógnitas son el
número de moles de KCl y de NaCl.
Supongamos que sabemos encontrar la solución al problema, es decir, resolver el
sistema. De esa manera llegaremos a la siguiente solución:
no
moles NaCl = 0,01
no
moles KCl = 0,02
Notar que trabajar con el nombre real de las incógnitas (no
de moles de NaCl y KCl) es
bastante incómodo en este caso. Podríamos haber llamado a cada incógnita de manera
más sencilla, por ejemplo x e y, respectivamente. Ahora bien, supongamos que en vez
de tener dos incógnitas, tuviéramos más. Por ejemplo, si la muestra contuviera además

CaCl2, KBr, NaBr, etc. En ese caso necesitaríamos de más letras para representarlas: x,
y, z, a, b, ….
Por lo tanto, es claro que vamos a necesitar una nomenclatura más estándar y
sistemática para poder trabajar con S.E.L. de manera más general.
Veamos ahora la definición matemática de S.E.L., lo cual nos proveerá con la notación
adecuada para trabajar.
Definición: Se llama sistema de ecuaciones lineal, de m ecuaciones con n incógnitas, a
un problema del tipo:
a11x1 + a12x2 + …….. + a1jxj + ……. + a1nxn = b1
S = a21x1 + a22x2 + …….. + a2jxj + ……. + a2nxn = b2
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
ai1x1 + ai2x2 + …….. + aijxj + ……. + ainxn = bi
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
am1x1 + am2x2 + ……. + amjxj + …… + amnxn = bm
con aij, bi  K, K = R ó C, i = 1: m, j = 1: n
aij: coeficiente de incógnita j-ésima en ecuación i-ésima
xj: incógnita j-ésima
bi: término independiente i-ésimo
Vamos a decir que un conjunto ordenado de elementos, s = (1, 2, ……, n) es
solución del sistema S si cuando hacemos xj = j j = 1:n se verifican todas las
ecuaciones. En otras palabras, todas las ecuaciones se satisfacen cuando sustituimos las
incógnitas por los respectivos elementos del conjunto solución. Como veremos más
adelante, podrá existir más de una solución. Al conjunto de todas las soluciones del
sistema S se lo denota como Sol(S).
Definición: Dos S.E.L. son equivalentes si admiten el mismo conjunto solución (Sol(S)).
Existe una relación entre el número de soluciones que admite un S.E.L. y el tipo de
S.E.L. del que se trate. En otras palabras, es posible clasificar a los sistemas de
ecuaciones lineales en función de sus conjuntos solución. Veremos esto a continuación.
Antes, daremos la siguiente definición operativa.
Definición: Llamamos cardinalidad o cardinal de un conjunto A al número de elementos
de A.
Notación: card(A)

Clasificación de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Dependiendo de la cardinalidad del conjunto solución, podemos clasificar un S.E.L. en
uno de los siguientes tipos:
1) Sistema Compatible Determinado: card(Sol(S)) = 1
2) Sistema Compatible Indeterminado: card(Sol(S)) > 1
3) Sistema Incompatible: card(Sol(S)) = 0
Luego veremos que si card(Sol(S)) > 1 entonces card(Sol(S)) = +∞
Veamos a continuación un ejemplo sencillo de cada uno de los tipos posibles de S.E.L.,
aprovechando para ver la interpretación geométrica de las ecuaciones y de las
soluciones.
Ejemplo 1: x + y = 1 (a)
2x + y = 2 (b)
y
2
1
x
1
(a)
(b)
Sol(S) = (1,0) (x = 1, y = 0)
y
2x + 2y = 2 (b)
1
1 x
Sol(S) = {(x,y) / x + y = 1} (a) = (b)

x + y = 5 (b)
y
5
(b)
1 (a)
x
1 5
Sol(S) = 
Como se puede apreciar, las ecuaciones de los sistemas representan rectas en el plano
x,y y las soluciones, son el conjunto de puntos que pertenecen a todas las rectas a la vez.
Así es que en el primer ejemplo, esta condición la cumple un solo punto del plano y por
ende existe una sola solución. Mientras que en el segundo ejemplo, dado que ambas
ecuaciones son la misma, tenemos una sola recta y por lo tanto infinitas soluciones
(todos los puntos de la recta). Finalmente, en el tercer ejemplo no existe solución dado
que no existen puntos en común entre las dos rectas que representan a las ecuaciones del
sistema. Si se tratara de S.E.L. más complejos, con más incógnitas, la interpretación
sería análoga solamente que entonces no se trataría de rectas en el plano sino en el
espacio tridimensional o estructuras de más dimensiones.
Seguramente el lector conoce y ha aplicado más de un método de resolución de S.E.L.,
como ser, por ejemplo, los métodos de sustitución o igualación. No será en estos
métodos en los que hagamos más hincapié en este curso, como veremos más adelante.
Algo que también es conocido es que dependiendo del sistema, el camino para llegar a
la solución es más o menos complicado. Veamos nuevamente algunos ejemplos.
Ejemplo 4: x = 1
y = 2
z = 3
En este caso, la solución es trivial, Sol(S) = (1,2,3). El propio sistema explicita la
solución. Notar que el sistema anterior se podría haber escrito de forma equivalente así:
x + 0y + 0z = 1
0x + y + 0z = 2
0x + 0y + z = 3

Ejemplo 5: x + y + z = 3
y – 2z = -1
-5z = -5
En este ejemplo, el sistema está escalerizado y se resuelve fácilmente realizando
sustitución “hacia atrás”.
Sol(S) = (1,1,1)
Ejemplo 6: x + y + z = 3
x + 2y – z = 2
2x + y – z = 2
Este sistema es completo y ya no es tan simple de resolver (lo haremos más adelante).
Cuando nos enfrentamos a la resolución de un S.E.L., podríamos recordar la definición
antes vista de sistemas equivalentes y entonces intentar transformar el sistema original a
resolver en un sistema que fuera equivalente pero de más simple resolución. Entonces,
al resolver el sistema más simple, la solución será la misma que para el sistema original
puesto que justamente son equivalentes. La pregunta que surge entonces es si es posible
transformar un sistema en otro equivalente. Para contestarla, introduciremos primero la
siguiente definición.
Definición: Llamamos transformación elemental (T.E.) a cualquiera de las siguientes
operaciones efectuadas sobre un S.E.L.:
1) Intercambiar dos ecuaciones de lugar
Ejemplo: S = x + y = 1 ST = 2x + 3y = 2
2x + 3y = 2 e1T = e2, e2T = e1 x + y = 1
2) Multiplicar una ecuación por un escalar  ( ≠ 0)
Ejemplo: S = x + y = 1 ST = 5x + 5y = 5
2x + 3y = 2 (e1T = e1 x 5) 2x + 3y = 2
3) Sumar a una ecuación un múltiplo de otra
Ejemplo: S = x + y = 1 ST = x + y = 1
2x + 3y = 2 (e2T = e2 + 2e1) 4x + 5y = 4
Es justamente a través de transformaciones elementales que vamos a poder obtener
sistemas equivalentes. Vamos a ver ahora la proposición que asegura esta afirmación.
Proposición: Si a un S.E.L. se le aplica una transformación elemental, se obtiene un
sistema equivalente.

Demostración:
Vamos a demostrar la proposición para uno de los tipos de transformaciones
elementales, en particular, el tipo 3 que en realidad es el más complejo.
Los restantes casos se prueban de forma análoga.
a11x1 + a12x2 + …….. + a1nxn = b1
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Sea S = ai1x1 + ai2x2 + ……… + ainxn = bi
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
ak1x1 + ak2x2 + …….. + aknxn = bk
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + ……. + amnxn = bm
Sea la transformación elemental eit = ei + ek.
O sea, que la nueva fila i se obtendrá de sumarle un múltiplo de la fila k a la fila i
original.
Tenemos entonces el sistema transformado:
a11x1 + a12x2 + …….. + a1nxn = b1
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
ST = ai1x1 + ai2x2 +…+ ainxn + (ak1x1 + ak2x2 +…+ aknxn) = bi + bk
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
ak1x1 + ak2x2 + …….. + aknxn = bk
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + ……. + amnxn = bm
Se debe de demostrar que Sol(S) = Sol(ST). La igualdad de conjuntos implica que los
mismos deben incluirse mutuamente.
Demostraremos primero que Sol(S)  Sol(ST).
Sea A = (1, 2, ….,n)  Sol(S). Por definición, A verifica todas las ecuaciones de S.
Y también lo hará con las ecuaciones de ST, salvo quizás la que cambia, es decir, la
ecuación i-ésima.
Como A verifica la ecuación i-ésima y k-ésima de S tenemos que:
ai11 + ai22 + …….. + ainn = bi (6)
ak11 + ak22 + …….. + aknn = bk (7)
Pre-multiplicando por  la ecuación (7) y sumando la ecuación resultante a la ecuación
(6) tenemos que:

ai11 + ai22 + … + ainn + (ak11 + ak22 +…+ aknn) = bi + bk (8)
Por lo tanto A cumple con la i-ésima ecuación de ST. Luego, A  Sol(ST).
Dado que trabajamos con una solución genérica de S, esto se aplicará a todas las
soluciones y por lo tanto puede afirmarse que toda solución de S será también solución
de ST, o que Sol(S)  Sol(ST).
Ahora debe demostrarse que Sol(ST)  Sol(S).
Sea AT = (1T, 2T, ….,nT)  Sol(ST). Por definición, AT verifica todas las ecuaciones
de ST. Y también lo hará con las ecuaciones de S, salvo quizás la que cambia, es decir,
la ecuación i-ésima.
De la i-ésima ecuación de ST tenemos que:
ai11T + ai22T + … + ainnT + (ak11T + ak22T +…+ aknnT) = bi + bk (9)
y de la k-ésima ecuación de ST:
ak11T + ak22T +…+ aknnT = bk (10)
Multiplicando la ecuación (10) por  tenemos que:
(ak11T + ak22T +…+ aknnT) = bk (11)
De las ecuaciones (9) y (11) se deduce que:
ai11T + ai22T + … + ainnT = bi (12)
Por lo tanto, AT cumple con la i-ésima ecuación de S. Luego A  Sol(S).
Dado que trabajamos con una solución genérica de ST, esto se aplicará a todas las
soluciones y por lo tanto puede afirmarse que toda solución de ST será también solución
de S, o que Sol(ST)  Sol(S).
La proposición queda así demostrada.
Ahora que estamos seguros de que podemos introducir transformaciones elementales en
un sistema de ecuaciones lineales y obtener un sistema equivalente, vamos a ver un
método de resolución de S.E.L. basado en esta premisa. Para aplicar el método, si bien
no es imprescindible, nos va a resultar más cómodo trabajar con una notación más
sencilla y compacta de un S.E.L.
Notar que en realidad, para resolver un S.E.L., no interesa demasiado el nombre que le
asignemos a las incógnitas xj del sistema. Los que resultan realmente relevantes son los
coeficientes aij que afectan a dichas incógnitas, así como los términos independientes bi.
Evidentemente que nos va a interesar tanto el valor de los coeficientes como a que
variable afectan en cada una de las ecuaciones.
Es así que, a partir de esta consideración, puede derivarse una de las estructuras
fundamentales del álgebra: la matriz.

Definición: Llamamos matriz A de m filas y n columnas, de entradas aij, a un
ordenamiento rectangular de números del tipo:
A =
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
Notaciones: a) A = ((aij)) i = 1:m, j = 1:n
b) A = ((aij))  Mmxn
c) A  Mmxn
Salvo que se exprese lo contrario, el primer índice (i) denota la fila y el segundo índice
(j) denota la columna.
Observando la definición de matriz, resulta bastante directo que podemos usar una
matriz para fácilmente representar un S.E.L. donde la matriz contendrá los coeficientes
del sistema (aij). Ver la definición de S.E.L. al inicio de la clase.
En particular, se pueden distinguir dos tipos de representaciones matriciales de un
S.E.L.:
1) Matriz de Sistema
A =
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
2) Matriz Ampliada de Sistema
A|b =
















m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
Como se aprecia, la diferencia entre la matriz de sistema y la matriz ampliada de
sistema es que esta última incluye los términos independientes del S.E.L. Resulta así
evidente que resulta más simple de manipular un S.E.L. en su forma matricial que en su
forma original. Con esto en mente, pasaremos ahora sí a tratar en profundidad un
método de resolución de S.E.L. basado en la aplicación de transformaciones
elementales.

Método de escalerización (Gauss-Jordan)
En lo que sigue, se expondrá en detalle el método de escalerización, o de Gauss-Jordan,
que hace uso de transformaciones elementales para resolver S.E.L.
Utilizaremos el siguiente ejemplo operativo (ejemplo 6 visto más arriba):
x + y + z = 3
S = x + 2y – z = 2
2x + y -z = 2
Las representaciones matriciales (con las cuales vamos a trabajar) son:
A =












1
1
2
1
2
1
1
1
1
A|b =












2
1
1
2
2
1
2
1
3
1
1
1
Vamos entonces a ver el procedimiento a seguir, que va introduciendo sucesivas T.E.
para obtener un sistema de ecuaciones equivalente al original y más simple de resolver.
1er
Paso: Utilizando la primera entrada de la primera fila como pivot, anulamos las
primeras entradas de las filas restantes:












2
1
1
2
2
1
2
1
3
1
1
1
F2T = F2 +(-1)F1













2
1
1
2
1
2
1
0
3
1
1
1
F3T = F3 +(-2)F1















4
3
1
0
1
2
1
0
3
1
1
1
2do
Paso: Utilizando la segunda entrada de la segunda fila como pivot, anulamos la
entrada correspondiente de la tercera fila:















4
3
1
0
1
2
1
0
3
1
1
1
F3T’ = F3T + F2T














5
5
0
0
1
2
1
0
3
1
1
1
Forma escalerizada
Llegamos así a una matriz (o forma) escalerizada, situación en la cual resolver el S.E.L.
es bastante simple, utilizando el método de sustitución “hacia atrás” ya mencionado. Si
se observa la última matriz, se notará que el sistema equivalente obtenido es el mismo
que en el ejemplo 5 citado más al inicio. Llamamos matriz escalerizada a la matriz
obtenida en el último paso, por el simple hecho de que pueden definírsele escalones.
Definición: Llamamos escalón de una matriz o forma escalerizada a cada fila no nula de
la matriz.
Para el ejemplo que estamos estudiando:















5
5
0
0
1
2
1
0
3
1
1
1
Ahora bien, nada nos impide continuar introduciendo transformaciones elementales y
seguir aplicando el método de escalerización.
3er
Paso. Utilizando la tercer entrada de la tercera fila de la matriz como pivot, anulamos
las entradas correspondientes de la segunda y primera fila:














5
5
0
0
1
2
1
0
3
1
1
1
F1T = F1 +(1/5)F3T’














5
5
0
0
1
2
1
0
2
0
1
1














5
5
0
0
1
2
1
0
2
0
1
1
F2T’ = F2T +(-2/5)F3T’











 5
5
0
0
1
0
1
0
2
0
1
1
4to
Paso: Utilizando la segunda entrada de la segunda fila como pivot, anulamos la
entrada correspondiente en la primera fila:











 5
5
0
0
1
0
1
0
2
0
1
1
F1T’ = F1T + (-1)F2T’











 5
5
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Notar que ahora tenemos prácticamente la solución explícita del S.E.L., dado que
podemos prácticamente leerlas del sistema. Resta solamente un último paso.
5to
Paso: Dividimos por un escalar apropiado la tercera fila:











 5
5
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
F3T’’ = (-1/5)F3T’










1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Escalerizada reducida
Como dijimos antes, la solución se “lee” directamente de la matriz y en este caso es:
Sol(S) = (1,1,1) ó x = y = z = 1
Características de las matrices escalerizadas:
1) Todas las filas, salvo la primera, comienzan con una entrada nula
2) Cada fila posee al inicio, al menos, una entrada nula más que la anterior
Características de las matrices escalerizadas reducidas:
A las dos características de las matrices escalerizadas, se agregan dos más:

1) La primera entrada no nula de una fila es un 1
2) La columna que corresponde a la primera entrada no nula de una fila, tiene el
resto de las entradas nulas
Mientras que para una misma matriz o S.E.L. existe más de una forma escalerizada, la
forma escalerizada reducida es única. Además, todas las formas escalerizadas de una
matriz poseen la misma cantidad de escalones.
Mirando el paso final del ejemplo de aplicación del método de escalerización, se puede
apreciar que la forma escalerizada reducida de la matriz de sistema es particular. Se
trata, ni más ni menos, de la matriz identidad.
Definición: Llamamos matriz identidad de orden n a la matriz de n filas y n columnas
que posee todas sus entradas nulas, salvo en la diagonal principal en donde las entradas
son todas iguales a 1.
In =
















1
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
1
0
0
.
.
0
1
Notación: In = ((aij)) / aij = 1 si i = j, aij = 0 si i ≠ j
nxn
También se suele representar a la matriz identidad como:
In = ((ij)) Función “delta de Kroeneger”
Esta peculiaridad de las formas escalerizadas reducidas, de coincidir con la matriz
identidad del orden respectivo, no ocurre en todos los casos y va a depender de ciertas
condiciones de la matriz de sistema como veremos en clases siguientes.
La aplicación del método de escalerización hasta obtener una forma escalerizada de la
matriz ampliada de sistema o hasta obtener la forma escalerizada reducida, depende de
quién lo aplica. Lo que hay que evaluar en cada caso es si resulta más sencillo aplicar la
sustitución “hacia atrás” sobre una forma escalerizada, o seguir el procedimiento hasta
obtener la forma escalerizada reducida que explícitamente da la solución del sistema.
Vamos a ver ahora un teorema central en el contexto de los S.E.L. y que relaciona el
número de escalones de una forma escalerizada de una matriz de sistema con el tipo de
S.E.L. del que se trate.
Teorema de Rouché-Frobenius
Hipótesis:
Sea S un S.E.L. de m ecuaciones y n incógnitas con matriz de sistema A y matriz
ampliada de sistema A|b.
Sea p el número de escalones de una forma escalerizada de A.

Sea p’ el número de escalones de una forma escalerizada de A|b.
Tesis:
1) S es compatible  p = p’
2) Si S es compatible 
a. S es determinado  p = n
b. S es indeterminado  p < n
No veremos aquí la demostración de este teorema dado que es bastante extensa y no
aporta demasiado. Vale más la pena analizar qué es lo que nos dice el teorema para
poder entender las implicancias a efectos prácticos.
Recordando el ejemplo sobre el que aplicamos el método de escalerización, llegábamos
a la siguiente forma escalerizada:














5
5
0
0
1
2
1
0
3
1
1
1
En este caso, tenemos que: n = 3, p = 3 y p’ = 3, es decir que p = p’ = n. Por lo tanto el
teorema de Rouché-Frobenius indica que el sistema es compatible determinado, como
ya sabíamos luego de haberlo resuelto.
Qué habría sucedido si hubiéramos llegado en cambio a esta otra forma escalerizada?:












0
0
0
0
1
2
1
0
3
1
1
1
Ahora tenemos que n = 3, p = 2, p’ = 2, es decir que p = p’ y p < n. Por lo tanto,
Rouché-Frobenius nos dice que el sistema es compatible indeterminado y tenemos más
de una solución. Notar que la indeterminación se refleja en la pérdida de escalones de la
forma escalerizada (en este caso uno) o de forma equivalente, en la aparición de filas
nulas. Cada una de las indeterminaciones se traduce en un escalón menos o una fila nula
adicional.
La fila de ceros en el ejemplo, está indicando que las tres ecuaciones originales del
sistema, no dan información distinta, sino que hay dos que son equivalentes. Vamos a
volver sobre esta noción en clases posteriores.
Por último, que pasaría si hubiéramos llegado a la siguiente forma escalerizada?:












2
0
0
0
1
2
1
0
3
1
1
1

Tendríamos que n = 3, p = 2 y p’ = 3, o sea que p < p’. Por lo tanto, Rouché-Frobenius
nos indica que el sistema es incompatible. Esto resulta bastante claro analizando lo que
representa la tercera fila de la matriz:
0x + 0y + 0z = 2 => 0 = 2. Absurdo.
Esto ocurrirá siempre que el número de escalones de una forma escalerizada de la
matriz de sistema sea menor que el número de escalones de una forma escalerizada de la
matriz ampliada de sistema.
Vamos a terminar el tema de S.E.L. introduciendo un tipo especial de sistemas que se
denominan sistemas lineales homogéneos.
Definición: Llamamos sistema de ecuaciones lineales homogéneo, de m ecuaciones y n
incógnitas, al sistema que posee todos los términos independientes nulos:
a11x1 + a12x2 + …….. + a1jxj + ……. + a1nxn = 0
SH = a21x1 + a22x2 + …….. + a2jxj + ……. + a2nxn = 0
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
ai1x1 + ai2x2 + …….. + aijxj + ……. + ainxn = 0
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
am1x1 + am2x2 + ……. + amjxj + …… + amnxn = 0
Qué tienen de particular este tipo de sistemas? La característica fundamental es que son
siempre compatibles. La razón de esto es muy simple y se debe a que estos sistemas
siempre aceptan la solución trivial, s = (0, 0, 0, ….., 0), dado que justamente todos los
términos independientes son nulos.
Por lo tanto, si el sistema solamente admite la solución trivial, el mismo será compatible
determinado, de lo contrario, si existen más soluciones, el sistema será compatible
indeterminado.
Para practicar el método de escalerización recién visto, se deja al lector la resolución del
siguiente S.E.L. homogéneo:
x + y – z = 0
x + y – 2z = 0
2x + 2y +3z = 0
Solución: Sol(S) = {(x,y,z) / x = -y, z = 0}

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