book of DIFERENTIAL ECUATIONS specilally diferential equations sistems is very usefull in engineering, in mathmatics or in electronic or other subjets

1. Soluci´on de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM
17 de junio de 2008
´Indice
26.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
26.2. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
26.3. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
26.4. Motivaci´on a la formalizaci´on del m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
26.5. Formalizaci´on del m´etodo de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
26.1. Introducci´on
En esta lectura veremos una aplicaci´on del ´algebra lineal a la soluci´on de sistemas de ecuaciones dife-
renciales. Los conceptos involucrados son valores y vectores propios de una matriz, as´ı como el concepto de
diagonalizaci´on de una matriz. La lectura est´a organizada de la siguiente manera. Primeramente, se ver´an dos
ejemplos de la aplicaci´on del m´etodo. En estos ejemplos se muestra c´omo utilizar una calculadora avanzada de
las que obtienen valores y vectores propios de una matriz. Seguidamente, viene una secci´on donde se motiva
el m´etodo de soluci´on. Finalmente, la lectura termina con una secci´on donde se formaliza el m´etodo.
26.2. Ejemplo 1
Veamos un primer ejemplo que ilustra el m´etodo de soluci´on. En este todos los valores propios son diferentes
y as´ı la matriz que resulta es diagonalizable.
Ejemplo 26.1
Determine la soluci´on al sistema
x′ = 2x + 3y
y′ = 2x + y
Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: x(0) = 3 y y(0) = −2.
Soluci´on:(y m´etodo de soluci´on)
1. El sistema se escribe en forma matricial:
x′
y′ =
2 3
2 1
x
y
2. Se determinan los valores propios de la matriz de coeficientes. El polinomio caracter´ıstico es:
pA(λ) = λ2
− 3λ − 4
Los valores propios son entonces:
λ1 = −1, λ2 = 4
3. Se determinan los vectores propios correspondientes son:
v1 =
−1
1
, v2 =
3/2
1

2. Figura 1: Ejemplo 1: Matriz del sistema y sus valores y vectores propios.
El m´etodo que describiremos aplica cuando todos los valores caracter´ısticos son reales y cuando la totalidad
de los vectores propios determinados es n: v1, v2, . . . , vn, siendo la matriz de coeficientes n × n. En este caso
la soluci´on general se escribe:
x =
n
i=1
Civi eλit
4. Se forma la soluci´on general al sistema:
x(t)
y(t)
= C1
−1
1
e−1t
+ C2
3/2
1
e4t
5. Se determina la soluci´on particular: determinaci´on de C1 y C2 usando x(0) = 3 y y(0) = −2:
3
−2
= C1
−1
1
e−1×0
+ C2
3/2
1
e4×0
Para determinar las constantes resolvemos el sistema cuya matriz aumentada es:
−1 3/2 3
1 1 −2
→
1 0 −12/5
0 1 2/5
x
y
= −
12
5
−1
1
e−t
+
2
5
3/2
1
e4t
O bien:
x
y
=
12/5
−12/5
e−t
+
3/5
2/5
e4t
Hag´amos los c´alculos con una calculadora TI Voyage. En la figura 1: se define la matriz del sistema
A; se determinan los valores propios; se obtienen los vectores propios correspondientes; y se introducen las
condiciones iniciales. Cabe observar que debe respetarse el orden de aparici´on de cada valor propio y de cada
vector propio:
Para el valor propio 4, el vector < 0.832, 0.554 > genera el espacio invariante.
Para el valor propio 1, el vector < −0.707, 0.707 > genera el espacio invariante.
As´ı la soluci´on general quedar´ıa:
x
y
= C1
0.832
0.554
e4 t
+ C2
−0.707
0.707
e−t
La constantes C1 y C2 de la soluci´on particular pueden ser determinadas resolviendo el sistema: VC = Ci
donde V es la matriz formada por los vectores propios y Ci es el vector de condiciones iniciales. Para obtener
2

3. Figura 2: Ejemplo 1: c´alculos para las condiciones iniciales.
Figura 3: Ejemplo 1: c´alculos para x(t = 1.2) y y(t = 1.2).
ciVi hacemos el truco del producto V · diag(c1, c2). Estos c´alculos se ilustran en la figura 2. Por tanto, la
soluci´on particular es:
x
y
=
0.6
0.4
e4 t
+
2.4
−2.4
e−t
Suponga que se desea determinar x(1.2) y y(1.2). En este caso, las operaciones pueden hacerse en forma sencilla
utilizando la matriz V · diag(c1, c2) y el vector con los datos, como se ilustra en la figura 3.
26.3. Ejemplo 2
Ahora veamos un ejemplo donde la matriz tiene valores propios diferentes pero la matriz es diagonalizable
debido a que la dimensi´on algebraica coincide con la dimensi´on geom´etrica.
Ejemplo 26.2
Determine la soluci´on al sistema
x′ = x − 2y + 2z
y′ = −2x + y − 2z
z′ = 2x − 2y + z
Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: x(0) = 3, y(0) = −2 y z(0) = 1.
Soluci´on:
1. El sistema se escribe en forma matricial:


x′
y′
z′

 =


1 −2 2
−2 1 −2
2 −2 1




x
y
z


2. Se determinan los valores propios de la matriz de coeficientes. El polinomio caracter´ıstico es:
pA(λ) = −(λ3
− 3λ2
− 9λ − 5) = −(λ + 1)2
(λ − 5)
Los valores propios son entonces:
λ1 = −1, λ2 = −1, λ3 = 5
3

4. 3. Se determinan los vectores propios correspondientes a λ1 = −1:
v1 =


1
1
0

 , v2 =


0
1
1


y a λ3 = 5:
v3 =


1
−1
1


4. La soluci´on general al sistema es entonces:


x(t)
y(t)
z(t)

 = C1


1
1
0

e−1t
+ C2


0
1
1

e−1t
+ C3


1
−1
1

e5t
5. Determinaci´on de la soluci´on particular usando las condiciones iniciales x(0) = 3, y(0) = −2 y z(0) = 1:


3
−2
1

 = C1


1
1
0

 e−1×0
+ C2


0
1
1

 e−1×0
+ C3


1
−1
1

 e5×0
Para determinar las constantes resolvemos el sistema cuya matriz aumentada es:


1 0 1 3
1 1 −1 −2
0 1 1 1

 →


1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 2


Por tanto, la soluci´on particular es:


x
y
z

 =


1
1
0

 e−t
−


0
1
1

 e−t
+ 2


1
−1
1

 e5t
O simplemente, 

x
y
z

 =


1
0
−1

 e−t
+


2
−2
2

 e5t
La figura 4 ilustra los valores y vectores propios propios de la matriz de coeficientes. La figura 5 muestra los
valores de las constantes C1, C2 y C3 relativas a las condiciones iniciales. La figura 6 muestra los vectores que
acompa˜nan a las exponenciales en las conidiciones iniciales y la figura 7 muestra los valores de x(1.5) y de
y(1.5).
De los c´alculos de la figura 6 se deduce que la soluci´on particular es:


x
y
z

 =


2
−2
2

 e5 t +


1.004
0.502
−0.502

 e−t +


−0.004
−0.502
−0.498

 e−1t
=


2
−2
2

 e5 t +


1.0
0.0
−1.0

 e−t
Para determinar los valores de x(t = 1.5), y(t = 1.5) y z(1.5) podemos recurrir de nuevo a c´alculos cons
matrices como se ilustra en la figura 7.
4

5. Figura 4: Ejemplo 2: vectores propios para la matriz de coeficientes.
Figura 5: Ejemplo 2: c´alculo referente a las condiciones iniciales.
Figura 6: Ejemplo 2: c´alculo referente a las condiciones iniciales.
Figura 7: Ejemplo 2, Posici´on en t = 1.5.
5

6. 26.4. Motivaci´on a la formalizaci´on del m´etodo
Veamos dos ejemplos de sistemas de ecuaciones: uno f´acil de resolver y uno m´as complejo que puede
reducirse a uno f´acil. La transformaci´on est´a relacionada con el concepto de diagonalizaci´on como veremos
posteriormente. Suponga que x(t) y y(t) son dos funciones dependientes de t consideradas como funciones
inc´ognitas y supongamos que ellas satisfacen un sistema que tiene la forma:
x′(t)
y′(t)
=
a1 x(t)
a2 y(t)
el sistema estar´ıa representando a las dos ecuaciones diferenciales
x′
(t) = a1x(t) y y′
(t) = a2y(t)
Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales lineales de primer orden cuyas soluciones generales son:
x(t) = C1 ea1 t
y y(t) = C2 ea2 t
Si ahora queremos regresar a la forma de vector lo anterior, lo podr´ıamos escribir como:
x(t)
y(t)
=
C1ea1 t
C2 ea2 t
y de all´ı a:
x(t)
y(t)
= C1
1
0
ea1 t
+ C2
0
1
ea2 t
El sistema anterior es un sistema muy f´acil de resolver comparado con un sistema en apariencia m´as dif´ıcil
como:
x′(t)
y′(t)
=
5 x(t) − 6 y(t)
3 x(t) − 4 y(t)
Suponga que se nos ocurre genialmente combinar las ecuaciones en la siguiente forma:
La ecuaci´on 1 menos la ecuaci´on 2:
x′
(t) − y′
(t) = 2 x(t) − 2 y(t)
La cual podemos escribir como:
(x(t) − y(t))′
= 2 (x(t) − y(t))
Dos veces ecuaci´on 2 menos la ecuaci´on 1:
−x′
(t) + 2 y′
(t) = x(t) − 2 y(t)
La cual podemos escribir como:
(−x(t) + 2 y(t))′
= −1 (−x(t) + 2 y(t))
Si ahora hacemos el cambio de variables:
z(t) = x(t) − y(t)
w(t) = −x(t) + 2 y(t)
6

7. y esto transforma al sistema en:
z′(t)
w′(t)
=
2 z(t)
−1 w(t)
Este sistema se resuelve como el primero d´andonos como soluci´on general:
z(t)
w(t)
= C1
1
0
e2 t
+ C2
0
1
e−t
Para regresar a las variables originales el cambio de variables hecho lo describimos en forma matricial como:
z(t)
w(t)
=
1 −1
−1 2
·
x(t)
y(t)
Digamos que
A =
1 −1
−1 2
x =
x(t)
y(t)
as´ı la soluci´on queda:
Ax = C1
1
0
e2 t
+ C2
0
1
e−t
al multiplicar por A−1 la soluci´on queda
x = C1A−1 1
0
e2 t
+ C2A−1 0
1
e−t
Como
A−1
=
1 −1
−1 2
la soluci´on finalmente queda:
x = C1
1
−1
e2 t
+ C2
−1
2
e−t
Hay varios comentarios sobre estos c´alculos. El primer tipo de sistema de ecuaciones es uno muy simple debido
a que el sistema representa varias ecuaciones diferenciales en una funci´on inc´ognita y son f´aciles de resolver. Este
tipo de sistemas se llaman sistemas desacoplados: cuando cada ecuaci´on est´a en una funci´on inc´ognita y las
restantes inc´ognitas no aparecen en ella. Mientras que el segundo tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales son llamados sistemas acoplados: cuando hay al menos una ecuaci´on diferencial donde aparencen
dos o m´as funciones inc´ognitas. Este ´ultimo ejemplo muestra que cuando el sistema puede desacoplarse, puede
resolverse f´acilmente. Por otro lado, la sustituci´on que permite desacoplar las ecuaciones no es fruto de un
golpe de inspiraci´on sino resultado de un m´etodo.
26.5. Formalizaci´on del m´etodo de soluci´on
Veamos ahora la formalizaci´on de un m´etodo de soluci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Este m´etodo requiere los conceptos de valor y vector propio asociado as´ı como el concepto de diagonalizaci´on.
Supongamos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de la forma
x′
= Ax
7

8. donde
x =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





es el vector de funciones inc´ognitas y A es la matriz de transferencia del sistema. Suponga que la matriz
A es diagonalizable y que
A = PDP−1
donde D es una matriz diagonal diag(λ1, λ2, . . . , λn) y P es una matriz cuadrada cuyas columnas forman una
base de vectores propios vi asociados a los valores propios λi de A. As´ı, el sistema podr´ıa escribirse como
x′
= PDP−1
x
si multiplicamos por P−1 y asociamos obtenemos
P−1
x
′
= P−1
x′
= D P−1
x
si definimos el nuevo vector de inc´ognitas y = P−1x entonces el sistema queda:
y′
= Dy
el cual representa al sistema desacoplado:
y′
1(t) = λ1 y1(t)
y′
2(t) = λ2 y2(t)
...
y′
n(t) = λ1 yn(t)
al resolver cada una de estas ecuaciones se obtiene:
y1(t) = C1 eλ1 t
y2(t) = C2 eλ2 t
...
yn(t) = Cn eλn t
que escrita en forma vectorial queda
y = C1 e1 eλ1 t
+ C2 e2 eλ2 t
+ · · · + Cn en eλn t
donde ei representa al vector de ceros con un 1 en la coordenada i. Si multiplicamos por P:
x = Py = C1 Pe1 eλ1 t
+ C2 Pe2 eλ2 t
+ · · · + Cn Pen eλn t
recordando que Pei es la i-´esima columna de P o sea vi, la soluci´on general queda:
x =
n
i=1
Ci vieλi t
8