Tema_6.pdf

Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 1
Tema 6. Transformaciones lineales. Segunda Parte.
Como ya se estipuló en la primera parte del tema de transformaciones lineales, estas
representan funciones entre espacios vectoriales. En cuanto a su carácter de funciones,
van a existir distintos tipos de transformaciones lineales, lo cual da lugar a la
correspondiente clasificación. Como el lector seguramente anticipa, los tipos de
transformaciones lineales coinciden con los tipos de funciones que existen en general.
Esto es lo que veremos a continuación.
Clasificación de transformaciones lineales
Dados V y W E.V. sobre mismo cuerpo K y T: V W una T.L. vamos a poder
clasificar a T en uno de los siguientes tipos (o en ninguno de ellos):
1) T inyectiva: decimos que T es una T.L. inyectiva si dados v1, v2  V / v1 ≠ v2 se
cumple que T(v1) ≠ T(v2). O alternativamente, si T(v1) = T(v2) entonces v1 = v2.
Así que la inyectividad de la T.L. implicará que dos vectores distintos en el dominio (V)
tendrán imágenes distintas en el codominio (W). Gráficamente:
V W
T
v1 w1
v2 T w2
v3 w3 w4
. T . .
. . . w5
T
Nota: w4 y w5 no tienen pre-imagen
La siguiente proposición aporta algunas propiedades interesantes de este tipo de T.L.
Proposición: Si T: V W es una T.L. inyectiva se cumple que:
a) Dado A  V / A es L.I.  T(A)  Im(T) es L.I.
b) N(T) = {}
c) dimV = dim(Im(T))
No demostraremos formalmente la proposición pero sí vale la pena discutir algunos
aspectos de la misma.
La primer propiedad no es otra cosa que la recíproca de una propiedad que se vio la
clase anterior que se cumplía para todas las T.L. y que establecía que las pre-imágenes
de un conjunto L.I. en el espacio de llegada eran también L.I en el espacio de salida.
Para las T.L. inyectivas en particular, también se va a cumplir que el conjunto imagen
de un conjunto L.I. en el espacio de salida, también será L.I. en el espacio de llegada.

El segundo resultado es bastante simple de explicar recordando que para cualquier T.L.
siempre se cumplirá que la imagen del vector nulo del espacio de salida será el vector
nulo en el espacio de llegada. Puesto que tenemos una T.L. inyectiva, no pueden existir
dos vectores del espacio de salida con la misma imagen en el espacio de llegada. Por lo
tanto, no podrá existir otro vector del espacio V cuya imagen sea el vector nulo en el
espacio W. De ahí que el núcleo de T contendrá solamente al vector nulo de V.
El tercer resultado se deriva directamente del segundo. Efectivamente, la dimensión del
vector nulo es cero por lo tanto la dimensión del núcleo será nula y entonces por el
teorema de las dimensiones sabemos que la dimensión del espacio V va a ser igual a la
dimensión de la imagen de T.
2) T sobreyectiva: decimos que T es una T.L. sobreyectiva si  w  W  v  V / T(v) =
w.
En palabras, una T.L. sobreyectiva implica que al aplicar la transformación a todo el
espacio vectorial V se va a obtener como imagen todo el espacio vectorial W. No van a
quedar vectores “libres” (sin pre-imágenes) en W. Gráficamente:
V W
T
v1 w1
v2 T w2
v3 w3
v4 T .
. . .
T
Nota: w3 tiene dos pre-imágenes (v3 y v4)
Proposición: Si T: V W es una T.L. sobreyectiva se cumple que:
a) Dado A  V / A V  T(A)  Im(T) W
g g
b) Im(T) = W
c) dimV = dimN(T) + dimW
La primer propiedad surge directamente de recordar la proposición que se vio en el tema
anterior que indicaba que el conjunto imagen de un conjunto generador en el espacio de
salida, era a su vez generador de toda la imagen de la T.L. Como en este caso la imagen
de T coincide con W como se indica en el resultado de la parte b), entonces resulta que
el conjunto imagen de un conjunto generador de V generará todo el espacio de llegada

W. El último resultado (c) es consecuencia directa de la equivalencia entre el espacio W
y la imagen de T.
3) T biyectiva: decimos que T es una T.L. biyectiva si T es inyectiva y sobreyectiva a la
vez.
Por lo tanto, cuando T es biyectiva todo vector del espacio V tendrá una imagen distinta
en el espacio W y todo vector de W será imagen de algún vector de V. Gráficamente:
V W
T
v1 w1
v2 T w2
v3 w3
. T . .
. .
T
Proposición: Si T: V W es una T.L. biyectiva se cumple que:
a) Dado A  V / A V  T(A)  Im(T) W
b b
b) dimV = dimW
c) T es invertible, es decir,  la transformación lineal inversa T-1
: W V
La primera propiedad surge directamente de considerar las propiedades respectivas
vistas para las T.L. inyectivas y sobreyectivas. En efecto, como T es biyectiva, entonces
T es inyectiva y todo conjunto imagen de un conjunto que es L.I. en el espacio V, será
L.I. en el espacio W. Además, como T es sobreyectiva, el conjunto imagen de un
conjunto que es generador del espacio V, será a su vez generador del espacio W. Al
combinar ambas nociones se llega a que el conjunto imagen de una base del espacio de
salida V, será a su vez base del espacio de llegada W.
El segundo resultado surge directamente de aplicar el teorema de las dimensiones,
sabiendo que al ser T inyectiva el núcleo de T tendrá dimensión nula y que al ser T
sobreyectiva, la imagen de T coincidirá con el espacio W.
Quizás el resultado más interesante es el tercero, que establece que para este tipo de
T.L. siempre existirá la transformación inversa (T-1
). Entendemos por transformación
inversa no solamente aquella transformación que a partir del espacio W es capaz de
generar el espacio V, sino que además, esto lo debe de lograr manteniendo la

correspondencia entre los vectores de los espacios involucrados. Es decir, si aplicando T
al vector v de V se obtiene el vector w de W, entonces al aplicar T-1
al vector w de W se
deberá obtener el vector v de V. Es evidente entonces que la transformación inversa T-1
también deberá ser biyectiva. Veamos una proposición que asegura que T-1
es realmente
una T.L.
Proposición: Sea V y W E.V. sobre mismo cuerpo K y T: V W una T.L. biyectiva.
Se cumple que T-1
: W V es una T.L.
Demostración:
Observar primero que:
(T-1
T)(v) = T-1
T(v) = v  v  V
(TT-1
)(w) = T T-1
(w) = w  w  W
Sean w1, w2  W y   K
 T T-1
(w1) = w1, T T-1
(w2) = w2
 w1 + w2 =  T T-1
(w1) +  T T-1
(w2)
Como T es T.L. podemos escribir:
w1 + w2 = T(T-1
(w1)) + T(T-1
(w2)) = T(T-1
(w1) + T-1
(w2))
Aplicando T-1
a ambos miembros de la igualdad:
T-1
(w1 + w2) = T-1
T(T-1
(w1) + T-1
(w2)) = I(T-1
(w1) + T-1
(w2)) =
= 
w1) + 
w2)
Luego T-1
es T.L.
Isomorfismos entre espacios vectoriales
Definición: Dados V y W E.V. sobre mismo cuerpo K, decimos que:
1) T: V W es un isomorfismo  T es biyectiva
2) V y W son espacios isomórficos  existe un isomorfismo que los conecta
Observación: Si T: V W es un isomorfismo T-1
: W V es un isomorfismo
Por lo tanto, el término isomorfismo es equivalente al término transformación lineal
biyectiva. Y además, toda vez que se pueda definir una transformación lineal biyectiva
entre dos espacios vectoriales, diremos que dichos espacios vectoriales son isomorfos.

Proposición: Sean V y W E.V. sobre mismo cuerpo K
V es isomorfo con W  dimV = dimW
No se demostrará la proposición pero debe hacerse énfasis en su importancia. Lo que se
establece es que dos espacios vectoriales serán isomorfos solamente cuando tengan la
misma dimensión. Cuando esto no ocurra, nunca podrá definirse entre ellos un
isomorfismo, es decir, una transformación lineal biyectiva. Por ejemplo, si tenemos:
a) T: R2
R3
b) T: R3
R2
En el caso a) el espacio de salida (R2
) de la transformación lineal T tiene menor
dimensión que el espacio de llegada (R3
), por lo que será imposible que al aplicar T a R2
se puedan obtener todos los vectores de R3
. Entonces T nunca podrá ser sobreyectiva y
por lo tanto tampoco biyectiva.
Mientras tanto, en el caso b) el espacio de salida (R3
) de la transformación lineal T tiene
mayor dimensión que el espacio de llegada (R2
), por lo que si bien es posible definir T
de manera que pueda generarse todo el espacio de llegada (T sobreyectiva) será
imposible que los vectores del espacio de salida R3
tengan todos imágenes distintas. Lo
que ocurrirá es que la dimensión extra de R3
en comparación a R2
se “perderá” en la
generación del núcleo de T. Entonces, T nunca podrá ser inyectiva y por lo tanto
tampoco biyectiva.
Corolario: Sea V E.V. sobre cuerpo K / dim V = n
 V es isomorfo con Kn
Notar lo interesante que resulta el corolario de la última proposición. Como sabemos
que la dimensión del espacio Kn
será n, entonces cualquier E.V. (del tipo que sea) cuya
dimensión sea también n, será isomorfo con Kn
, es decir, siempre se podrá encontrar
una transformación lineal biyectiva (isomorfismo) que conecte ambos espacios.
En la práctica, esto significa que a partir de un espacio vectorial V de dimensión n, se
podrá generar todo el espacio Kn
, y viceversa, a partir de Kn
podremos obtener cualquier
espacio V dado, con la condición que su dimensión sea también n. Aquí hay que hacer
la salvedad que se está restringiendo la discusión a E.V. de dimensión finita, como ya lo
adelantamos hace algunas clases. Cuando tratamos con E.V. de dimensión infinita, la
cosa no es tan simple dado que como el lector ya sabe, existen distintos tipos de
infinitos.
En teoría, apoyándonos en estas consideraciones, y recordando que las transformaciones
lineales preservan las estructuras de los E.V., es posible transformar cualquier espacio
vectorial (sobre cuerpo K) en el espacio vectorial Kn
de la dimensión que corresponda y
trabajar sobre este último, lo cual, gracias a la forma simple de sus vectores (n-tuplas)
será más fácil. La correspondencia entre los vectores de ambos espacios vectoriales
estará dada siempre por las transformaciones lineales biyectivas (de ida y vuelta) que se
hayan definido.

Para terminar con el apartado de isomorfismos, veremos un ejemplo de T.L. biyectiva
que en realidad ya se introdujo en clases anteriores, y que no es otro que las
coordenadas de un vector en una base del espacio de trabajo. Específicamente, las
coordenadas serán siempre un isomorfismo entre un espacio vectorial V (sobre cuerpo
K) cualquiera y el espacio vectorial Kn
, con n igual a la dimensión de V.
Las coordenadas como transformación lineal
Definición: Dado V E.V. sobre K, B = {v1, v2, ……, vn}  V / B V y
b
v  V / v = 

n
i
i
iv
1
 definimos la transformación coordenadas de v en la base B como
coordB: V Kn
/ coordBv = (1, 2, ….., n)
Proposición: Sea V y Kn
E.V. sobre K, B = {v1, v2, ……, vn}  V / B V
b
y coordB: V Kn
Se cumple que coordB es un isomorfismo entre V y Kn
Demostración:
Se debe demostrar que coordB es una transformación lineal y además que es biyectiva.
Separaremos entonces la demostración en dos partes.
a) coordB es lineal. Aplicando la definición de T.L. hay que demostrar dos propiedades:
1) Sean u, v  V / u = 

n
i
i
iv
1
 , v = 

n
i
i
iv
1

 coordBu =
















n



.
.
2
1
, coordBv =
















n



.
.
2
1
Considerar la suma u + v = 

n
i
i
iv
1
 + 

n
i
i
iv
1
 . Desarrollando y agrupando términos:
u + v = (1 + 1)v1 + (2 + 2)v2 + ……. + (n + n)vn
 coordB(u + v) =



















n
n 





.
.
2
2
1
1
=
















n



.
.
2
1
+
















n



.
.
2
1
= coordBu + coordBv

2) Sea  K y u  V de acuerdo a lo definido más arriba.
Considerar el producto u. Sustituyendo:
u = (1v1 + 2v2 + ……. + nvn) = 1v1 + 2v2 + ……. + nvn
 coordBu =
















n



.
.
2
1
= 
















n



.
.
2
1
= coordBu
De 1 y 2  coordB es lineal
b) coordB es biyectiva
Para demostrar que una T.L. es biyectiva, debe demostrarse que es tanto inyectiva como
sobreyectiva. En este caso particular, sin embargo, se tiene que la dimensión de los
espacios involucrados es la misma (dimV = dimKn
). Si aplicamos el teorema de las
dimensiones tenemos que:
dimV = dimN(coordB) + dimIm(coordB)
Supongamos que N(coordB) = , o equivalentemente que dimN(coordB) = 0. Entonces la
igualdad anterior queda:
dimV = dimIm(coordB)
Como dimV = dimKn
 dimKn
= dimIm(coordB)  Kn
= Im(coordB)
Llegamos entonces a que si coordB es inyectiva, será también sobreyectiva. Como se
verá luego al resolver ejercicios de práctico, esta propiedad se cumple para cualquier
transformación lineal que se defina entre espacios vectoriales de la misma dimensión: la
transformación lineal será o bien biyectiva, o no será ni inyectiva ni sobreyectiva. En
este caso particular, al cumplirse una de las condiciones, se cumplirá automáticamente
la otra.
Así que para coordB alcanza con que demostremos que es inyectiva (por ejemplo).
Analicemos que ocurre con el núcleo de coordB. Si v  N(coordB) entonces:
coordBv = K
n
= (0,0, …… , 0)  v = 0v1 + 0v2 + …. + 0vn = v
 N(coordB) = v  coordB es inyectiva  coordB es biyectiva
Cuál sería la transformación inversa de coordB? Si razonamos, a partir de un cierto
vector, coordB rinde sus coordenadas por lo cual la transformación inversa, coordB
-1
debe obtener el vector a partir de sus coordenadas.

Así:
coordB
-1
: Kn
V / coordB
-1
(1, 2, …., n) = 

n
i
i
iv
1
 , vi  B
Veamos un ejemplo de aplicación.
Ejemplo:
Dado el conjunto B = {(1,1), (2,1)} R2
. Hallar v sabiendo que coordBv = (3,5)
b
Para resolver el problema, basta con plantear y calcular la C.L. de elementos de B,
donde los coeficientes son las coordenadas del vector v. El resultado será el vector v:
v = 3(1,1) + 5(2,1) = (13,8)
La siguiente cuestión que abordaremos será la relación que puede establecerse entre una
matriz y cualquier tipo de T.L. (incluyendo las que involucran matrices como se vio
antes). De forma similar a lo que ya se trató para el caso de S.E.L., las matrices proveen
una forma adecuada para la representación de T.L. Este es otro de los elementos que
confiere a las matrices importancia central como estructuras del álgebra lineal.
Matriz asociada a una transformación lineal
Considerar V, W E.V. sobre el mismo cuerpo K, T: V W una T.L. y los conjuntos
A = {v1, v2, ……, vn} / A V y B = {w1, w2, ……., wm} / B W
b b
Por definición se cumple que T(vi)  Im(T)  i = 1:n así que podemos escribir estos
vectores como C.L. de elementos de B:
T(v1) = a11w1 + a21w2 + …….. + am1wm
T(v2) = a12w1 + a22w2 + …….. + am2wm
. . . .
. . . .
. . . .
T(vn) = a1nw1 + a2nw2 + …….. + amnwm
Las correspondientes coordenadas en la base B resultan ser:
coordBT(v1) =
















1
21
11
.
.
m
a
a
a
, coordBT(v2) =
















2
22
12
.
.
m
a
a
a
, ……., coordBT(vn) =
















mn
n
n
a
a
a
.
.
2
1

Ahora tenemos todos los elementos para dar la siguiente definición.
Definición: Llamamos matriz asociada a T en las bases A y B (o equivalentemente,
representación matricial de T en las bases A y B) a la matriz cuya i-ésima columna se
compone de las coordenadas del vector T(vi) en la base B.
Notación: B((T))A ó M(T,A,B)
Podemos representar la matriz asociada como:
B((T))A = [coordBT(v1), coordBT(v2), …….., coordBT(vn)]
O bien directamente en su forma matricial:
B((T))A =
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
En resumen, para obtener la matriz asociada a una T.L., siempre se debe considerar una
base A del espacio de salida V y una base B del espacio de llegada W. El único caso en
donde se puede utilizar una sola base es cuando la T.L. se establece entre un espacio y sí
mismo.
Para construir la matriz asociada, primero deben obtenerse las imágenes de los
elementos de la base A (espacio de salida) y luego las coordenadas de dichas imágenes
en la base B (espacio de llegada). Finalmente, la matriz se arma “colgando” las
coordenadas anteriormente obtenidas como columnas, respetando el orden de los
vectores establecido por la base A.
Observación: Si dimV = n y dimW = m  B((T))A  Mmxn
Veamos un ejercicio típico.
Ejemplo:
Dados T: R3
R2
/ T(x,y,z) = (x - y, y – z), A = {(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)} R3
b
y B = {(1,0), (1,1)} R2
b
Hallar B((T))A
Veamos el procedimiento más arriba descrito, paso a paso.
1) Cálculo de imágenes de elementos de A
Se aplica T a los vectores de A:

a) T(1,1,0) = (1 – 1, 1 – 0) = (0,1)
b) T(0,1,1) = (0 – 1, 1 – 1) = (-1,0)
c) T(1,0,1) = (1 – 0, 0 – 1) = (1,-1)
2) Cálculo de coordenadas de la imagen de la base A en la base B
Se plantean las C.L. de elementos de B que rinden los vectores imágenes de A:
a) coordBT(1,1,0)
1(1,0) + 1(1,1) = (0,1)
1 + 1 = 0  
1 = 1
 coordBT(1,1,0) = (-1,1)
b) coordBT(0,1,1)
2(1,0) + 2(1,1) = (-1,0)
2 + 2 = -1  
2 = 0
 coordBT(0,1,1) = (-1,0)
c) coordBT(1,0,1)
3(1,0) + 3(1,1) = (1,-1)
3 + 3 = 1  
3 = -1
 coordBT(1,0,1) = (2,-1)
3) Construcción de la matriz B((T))A
Se cuelgan las coordenadas encontradas en el paso anterior como columnas de la matriz:
B((T))A = 










1
0
1
2
1
1
Entonces, siempre podremos definir una matriz asociada a una T.L. considerando una
base del espacio de salida y otra base del espacio de llegada de la transformación. En
este sentido, existirán infinitas matrices asociadas a una T.L. dado que existirán infinitas
bases en los espacios vectoriales involucrados.

Alternativamente, dada una matriz y dos bases de dos espacios vectoriales, se podrá
definir siempre una T.L. En el siguiente ejemplo, vemos como procederíamos en este
caso.
Ejemplo:
Sea T: R2
R2
una T.L.
Dados A = {(1,0), (0,1)} R2
, B = {(1,-1), (1,1)} R2
b b
y B((T))A = 







 1
1
3
2
Hallar T
En esta situación, al conocer la matriz asociada a la T.L. podemos directamente obtener
las coordenadas de las imágenes de A en la base B, que como vimos recién, eran las
columnas de la matriz asociada. Tenemos entonces que:
coordBT(1,0) = (2,-1) , coordBT(0,1) = (3,1)
Como conocemos la base B, aplicando la transformación coordB
-1
(inversa de coordB)
obtenemos los vectores imágenes de A:
T(1,0) = 2(1,-1) + (-1)(1,1) = (1,-3)
T(0,1) = 3(1,-1) + (1)(1,1) = (4,-2)
Recordar aquí que la transformación coordB
-1
obtiene el vector a partir de la base B y
sus coordenadas en esa base.
Para obtener T, debemos determinar la expresión de la misma, definida para cualquier
vector (x,y) del espacio de salida R2
. Dado que A es base de R2
podemos escribir:
(x,y)  R2
= (1,0) + (0,1)
En ese caso, al trabajar con la base canónica de R2
, la solución del S.E.L. que queda
definido es obvia y tenemos que  = x y  = y. Por lo tanto la C.L. anterior queda:
(x,y) = x(1,0) + y(0,1)
Aplicando ahora T a ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que estamos
buscando una T.L. llegamos a:
T(x,y) = T(x(1,0) + y(0,1)) = xT(1,0) + yT(0,1)
T(1,0) y T(0,1) son conocidos así que sustituyendo y operando obtenemos T:
T(x,y) = x(1,-3) + y(4,-2) = (x + 4y, -3x -2y)
Veamos a continuación algunas propiedades de las matrices asociadas.

Propiedades de matriz asociada
1) Dados V, W E.V. sobre mismo cuerpo K, S:V W, T:V W dos T.L., 
 K, A = {v1, v2, ……, vn} / A V y B = {w1, w2, ……., wm} / B W
b b
se cumple que:
a) B((S + T))A = B((S))A + B((T))A
b) B((S))A = B((S))A
La propiedad asegura que la matriz asociada a la suma de dos T.L. se puede obtener
como la suma de las matrices asociadas a las transformaciones involucradas y que la
matriz asociada al producto de un escalar por una T.L. se puede obtener como el
producto del escalar por la matriz asociada a la transformación involucrada.
Recordamos aquí lo que vimos en clases anteriores: tanto la suma de transformaciones
lineales como el producto de un escalar por una transformación lineal constituyen a su
vez transformaciones lineales.
2) Dados U, V, W E.V. sobre mismo cuerpo K, S:U V, T:V W dos T.L.,
A = {u1, u2, ……, us} / A U , B = {v1, v2, ……., vt} / B V
b b
y C = {w1, w2, ……, wu} / C W
b
se cumple que:
C((TS))A = C((T))BB((S))A
La propiedad nos indica que la matriz asociada a una composición de transformaciones
lineales puede obtenerse como el producto de las matrices asociadas a las
transformaciones involucradas. Como ya vimos, la composición de transformaciones
lineales constituye una transformación lineal.
3) Dados V, W E.V. sobre mismo cuerpo K, T:V W una T.L biyectiva (isomorfismo),
b
A = {v1, v2, ……, vn} / A V y B = {w1, w2, ……., wm} / B W
b b
Se cumple que:
A((T-1
))B = B((T))A
-1
La propiedad nos dice que la matriz asociada a la transformación lineal inversa equivale
a la inversa de la matriz asociada a la transformación original. Ya se probó que la
transformación inversa de una transformación lineal, también es lineal.
La matriz como transformación lineal
Retomaremos ahora la noción que introdujimos en el tema anterior (la primera parte del
tratamiento de T.L.) en cuanto a que algunas de las transformaciones lineales que
involucraban vectores de tipo n-tuplas podíamos considerarlas como el resultado de

aplicar una serie de transformaciones elementales a un vector, lo que en la práctica
equivalía a pre-multiplicar el vector por una determinada matriz (producto de matrices
elementales). Uno de los ejemplos que habíamos visto era el siguiente:
Sea T: R3
R3
/ T(x,y,z) = (-y,x,z)
Al aplicar dos transformaciones elementales sucesivamente, llegábamos a que T podía
expresarse mediante el siguiente producto matricial:









 
1
0
0
0
0
1
0
1
0










z
y
x
=










z
x
y
Ahora podemos preguntarnos que puede estar representando la matriz que actúa como la
transformación T. No hace falta demasiada imaginación para pensar que dicha matriz
será una matriz asociada a la transformación lineal T. Y en cuáles bases? La respuesta
es en las bases canónicas de los espacios de referencia. Esto es lo que vamos a verificar
ahora construyendo la matriz asociada a T en la bases canónicas de los espacios
involucrados. Puesto que en este caso tenemos solamente un espacio vectorial
involucrado (R3
), tendremos la misma base canónica de entrada y de salida.
La base canónica de R3
es: BC = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
T(1,0.0) = (0,1,0)  coordB(0,1,0) = (0,1,0)
T(0,1,0) = (-1,0,0)  coordB(-1,0,0) = (-1,0,0)
T(0,0,1) = (0,0,1)  coordB(0,0,1) = (0,0,1)
Por lo cual, la matriz asociada a T en la base BC es:
BC((T))BC =









 
1
0
0
0
0
1
0
1
0
Ahora que se tiene claro este punto, se presentará la definición de transformación
matricial.
Definición: Dada A  Mnxm (K) se define la transformación matricial TA:Km
Kn
/ TA(x1,x2,…..,xm) = A
















m
x
x
x
.
.
2
1
 (x1,x2,…..,xm)  Km

Por lo tanto, siempre que tengamos una matriz A, existirá implícita una transformación
matricial entre vectores del tipo n-tuplas y m-tuplas, con n y m las dimensiones de A.
Como recién se vio, si denominamos Em y En a las bases canónicas de los espacios Km
y
Kn
involucrados siempre se cumplirá que:
A = En((TA))Em
Es decir, que la matriz A será igual a la matriz asociada a la transformación definida por
A, en las bases canónicas de los espacios que correspondan.
Evidentemente que todo este razonamiento no podrá aplicarse a vectores de otra
naturaleza que no sean las n-tuplas, pero veremos ahora que se podrá hacer algo
parecido. En efecto, como estábamos trabajando con las bases canónicas de los espacios
Km
y Kn
, sabemos que las coordenadas de cualquier vector en esas bases serán idénticas
al propio vector.
Teniendo esto en cuenta y volviendo al ejemplo anterior, podemos escribir la igualdad:









 
1
0
0
0
0
1
0
1
0










z
y
x
=










z
x
y
como:
E((TA))E coordEv = coordETA(v)
Esto constituye un resultado fundamental en la teoría de transformaciones lineales y nos
dice que si se pre-multiplican las coordenadas de un vector del espacio de salida, por la
matriz asociada a la transformación considerada, se obtienen las coordenadas de la
imagen del vector en el espacio de llegada.
Este resultado que se deriva bastante directamente cuando se trabaja con matrices
asociadas a bases canónicas, puede generalizarse a cualquier matriz asociada en
cualquier base de los E.V. considerados. Esto es lo que se verá a continuación.
Teorema de las coordenadas
Hipótesis:
Sean V,W E.V. sobre mismo cuerpo K, T:V W una T.L., A = {v1,v2, …. , vn}/
A V y B ={w1,w2, …. , wm} / B W
b b
Tesis:
B((T))A coordAv = coordBT(v)
Demostración:

Sea v  V / coordAv =
















n
x
x
x
.
.
2
1
y B((T))A =
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
Por definición de matriz asociada sabemos que:
T(v1) = a11w1 + a21w2 + …….. + am1wm
T(v2) = a12w1 + a22w2 + …….. + am2wm
. . . .
. . . .
. . . .
T(vn) = a1nw1 + a2nw2 + …….. + amnwm
Como A V puede escribirse v  V como:
b
v = 

n
i
i
iv
x
1
, vi  A  i = 1:n
 T(v) = T( 

n
i
i
iv
x
1
)= x1T(v1) + x2T(v2) + …… + xnT(vn)
Sustituyendo ahora los vectores transformados por las expresiones calculadas antes:
T(v) = x1(a11w1 + a21w2 + …….. + am1wm) + x2(a12w1 + a22w2 + …….. + am2wm) + …….
+ xn(a1nw1 + a2nw2 + …….. + amnwm)
Reagrupando términos en función de los vectores wi podemos escribir:
T(v) = (x1a11 + x2a12 + …….. + xna1n)w1 + (x1a21 + x2a22 + …….. + xna2n)w2 + ………. +
(x1am1 + x2am2 + …….. + xnamn)wm
Aplicando la función coordenadas a T(v) tenemos que:
coordBT(v) =
















mn
n
m2
2
m1
1
2n
n
22
2
21
1
1n
n
12
2
11
1
a
x
+
..
…
…
+
a
x
+
a
x
.
.
a
x
+
..
…
…
+
a
x
+
a
x
a
x
+
..
…
…
+
a
x
+
a
x
=
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
















n
x
x
x
.
.
2
1
 coordBT(v) = B((T))AcoordAv

Este teorema resulta de gran trascendencia dado que aporta una forma alternativa de
trabajar con T.L. Ahora vamos a poder trabajar de dos maneras distintas y equivalentes:
a) directamente con la transformación lineal y los vectores
b) con la matriz asociada a la transformación lineal en dos bases dadas y las
coordenadas de los vectores en esas bases
Si lo planteamos de manera esquemática:
T
v T(v)
B((T))A
coordAv coordBT(v)
Núcleo e imagen de una matriz
Definición: Dado A  Mmxn (K) se define:
1) El núcleo de A como el núcleo de la transformación TA: Kn
Km
N(A) = N(TA) = {x  Kn
/ TA(x) = K
m
}
Esto es equivalente a decir que N(A) es el conjunto de vectores de Kn
que es solución
del sistema:
AX = 

La imagen de A como la imagen de la transformación TA: Kn
Km
Im(A) = Im(TA) = {y  Km
/  x  Kn
con TA(x) = y}
Esto es equivalente a decir que la Im(A) es el conjunto de vectores de Km
que hace
compatible el sistema:
AX = Y
Observación: dado que tanto el núcleo como la imagen de una matriz se definen en
referencia al núcleo e imagen de una transformación lineal, ambos serán S.E.V. de los
E.V. de referencia.
Veamos ahora una proposición interesante.
Proposición: Dado A  Mmxn (K)
 las columnas de A generan la imagen de A

No demostraremos la proposición pero analizaremos ahora lo que supone y su
importancia. Recordando la definición de conjunto generador, lo que afirma la
proposición es que si consideramos a las columnas de una matriz como vectores de un
espacio Km
determinado, todas las C.L. de esos vectores van a formar la imagen de la
matriz. Esto nos conduce al siguiente corolario.
Corolario: El rango de una matriz A  Mmxn (K) es igual a la dimensión de su imagen
Notación: rango(A) = dimIm(A)
Así que tenemos aquí una tercera forma de definir rango de una matriz. Pensemos ahora
un poco para ver si es razonable lo que se afirma en el corolario. Si el lector recuerda,
en clases anteriores se había definido el rango de una matriz como el máximo número
de filas o columnas L.I. de la matriz. Dado que la proposición anterior asegura que las
columnas de A generan a Im(A) entonces por definición sabemos que dimIm(A) será
igual a la cardinalidad de una base que esté contenida en el conjunto de columnas de A.
Y la base contenida en las columnas de A no será otra cosa que el conjunto L.I de
mayor cardinalidad, lo que a su vez coincide con la cantidad máxima de columnas L.I.,
es decir, el rango de A. La equivalencia entre ambas definiciones queda así clara.
Vamos ahora a generalizar los conceptos de núcleo e imagen de una matriz A para el
caso donde A es la matriz asociada a una transformación lineal (distinta a la
transformación matricial) en dos bases cualesquiera.
Relación entre núcleo e imagen de una transformación lineal y su matriz asociada
Proposición: Sean V, W E.V. sobre mismo cuerpo K, T:V W una T.L., A = {v1,
v2, ……, vn} / A U , B = {w1, w2, ……., wm} / B V
b b
Se cumple que:
1) Si v  N(T)  coordAv  N(B((T))A)
2) Si x  N(B((T))A)  coord-1
Ax  N(T)
3) Si w  Im(T)  coordBw  Im(B((T))A)
4) Si y  Im(B((T))A)  coord-1
By  Im(T)
Así que la relación que existe entre el núcleo y la imagen de una T.L. y el núcleo e
imagen de cualquiera de sus matrices asociadas está mediada por las transformaciones
coord: V Kn
y coord-1
: Kn
V.
Por qué en el caso de tener la transformación matricial TA la relación era más simple y
teníamos que el núcleo e imagen de TA era igual al núcleo e imagen de la matriz
utilizada en la TA? Por la sencilla razón que en esa situación, la matriz que definía la
transformación lineal TA coincidía con la matriz asociada a TA en las bases canónicas de
los espacios involucrados y sabemos que en las base canónicas, vectores y coordenadas

coinciden. Pero estrictamente, la relación también estará mediada por las
transformaciones coord y coord-1
.
Recordando lo visto anteriormente en este tema, coordA y coord-1
A representan
isomorfismos entre espacios vectoriales, al igual que coordB y coord-1
B, por lo cual se
puede afirmar que N(T) es isomorfo con N(B((T))A) y que Im(T) es isomorfo con
Im(B((T))A).
Esquemáticamente se puede dibujar:
coordA coordB
N(T) N(B((T))A) Im(T) Im(B((T))A)
coord-1
A coord-1
B
Vamos a demostrar ahora la proposición.
Demostración:
1) Si v  N(T)  T(v) = w  coordBT(v) = coordBw = K
m
Por el teorema de las coordenadas se sabe que:
coordBT(v) = B((T))AcoordAv
 K
m
= B((T))AcoordAv  coordAv  N(B((T))A)
2) Si x = (x1,x2,…..,xn) N(B((T))A)  B((T))A
















n
x
x
x
.
.
2
1
= K
m
Re-escribiendo la matriz asociada en la última igualdad:
(coordBT(v1), coordBT(v2), ……., coordBT(vn))
















n
x
x
x
.
.
2
1
= K
m
Operando tenemos que:

coordBT(v1)x1 + coordBT(v2)x2 + …… + coordBT(vn)xn = K
m
Dado que coordB es T.L. podemos escribir la igualdad anterior como:
coordB(T(v1)x1 + T(v2)x2 + …… + T(vn)xn) = K
m
Como coordB es inyectiva y re-arreglando los productos:
 T(v1)x1 + T(v2)x2 + …… + T(vn)xn = x1T(v1) + x2T(v2) + …… + xnT(vn) = w
T es T.L.  x1T(v1) + x2T(v2) + …… + xnT(vn) = T(x1v1 + x2v2 + …… + xnvn) = w
 x1v1 + x2v2 + …… + xnvn  N(T) con x1v1 + x2v2 + …… + xnvn = coord-1
Ax
3) Si w  Im(T)   v  V / T(v) = w  coordBT(v) = coordBw
Por el teorema de las coordenadas sabemos que:
coordBT(v) = B((T))AcoordAv
 coordBw = B((T))AcoordAv  coordBw  Im(B((T))A)
4) Si y = (y1,y2,…..,ym) Im(B((T))A)   x = (x1,x2,…..,xn)  Rn
/
B((T))A
















n
x
x
x
.
.
2
1
=
















m
y
y
y
.
.
2
1
Re-escribiendo la matriz asociada en la última igualdad:
[coordBT(v1), coordBT(v2), …….., coordBT(vn)]
















n
x
x
x
.
.
2
1
=
















m
y
y
y
.
.
2
1
Operando tenemos que:
coordBT(v1)x1 + coordBT(v2)x2 + …… + coordBT(vn)xn = y
Dado que coordB es T.L. podemos escribir la igualdad anterior como:
coordB(T(v1)x1 + T(v2)x2 + …… + T(vn)xn) = coordB(x1T(v1) + x2T(v2) + …… + xn
T(vn)) = y
 x1T(v1) + x2T(v2) + …… + xn T(vn) = coord-1
By

T es T.L.  T(x1v1 + x2v2 + …… + xnvn) = coord-1
By
x1v1 + x2v2 + …… + xnvn  V  coord-1
By  Im(T)
A partir de la proposición recién demostrada, se derivan otras propiedades adicionales
que tienen que ver con la relación entre núcleo e imagen de la matriz asociada y la
transformación lineal, a saber:
5) dimIm(T) = rango(B((T))A)
6) dimN(T) = dimV – rango(B((T))A)
7) Si {e1,e2,…..,en} N(T)  {coordAe1,coordAe2,….,coordAen} N(B((T))A)
b b
8) Si {x1,x2,…..,xn} N(B((T))A)  {coord-1
Ax1,coord-1
Ax2,…,coord-1
Axn} N(T)
b b
9) Si {h1,h2,…..,hm} Im(T)  {coordBh1,coordBh2,….,coordBhm} Im(B((T))A)
b b
10) Si {y1,y2,…..,ym} Im(B((T))A) {coord-1
By1,coord-1
By2,…,coord-1
Bym} Im(T)
b b
Notar que las dos primeras propiedades surgen directamente de la relación que existe
entre el rango de una matriz y su imagen, y recordando el isomorfismo existente entre
núcleo e imagen de una transformación y las correspondientes estructuras de cualquiera
de sus matrices asociadas. Asimismo, las propiedades 7-10 se derivan directamente de
considerar que tanto coord como coord-1
son isomorfismos y en consecuencia la imagen
de un conjunto base en el espacio de salida será base en el espacio de llegada.
Para finalizar con esta sección veamos un par de ejemplos de aplicación.
Ejemplo: Dado T:R2
R2
/ A((T))A = 







4
2
2
1
con A = {(1,0), (1,1)} R2
b
Hallar N(T)
Puesto que no conocemos la expresión de T pero sí una de sus matrices asociadas,
hallamos primero el núcleo de dicha matriz. Aplicando la definición:
Si (x,y)  N(A((T))A)  A((T))A








y
x
= 







0
0
Sustituyendo:









4
2
2
1








y
x
=








0
0
Haciendo cuentas llegamos al siguiente S.E.L.:
x + 2y = 0
2x + 4y = 0
Claramente se trata de un sistema compatible indeterminado con solución x = -2y.
Por lo tanto: N(A((T))A) = {(x,y)  R2
/ x = -2y}
Aplicando las propiedades vistas recién, sabemos que:
Si (x,y)  N(A((T))A)  coord-1
A(x,y)  N(T)
Entonces para hallar los vectores de N(T) se aplica la transformación inversa de
coordenadas al vector (x,y)  N(A((T))A), es decir, se plantea la C.L. de elementos de A,
cuyos coeficientes son las componentes del vector (x,y) determinadas más arriba, y se
opera:
(a,b)  N(T) = (1,0) + (1,1) = -2y(1,0) + y(1,1) = (-y,y)
Por lo tanto: N(T) = {(x,y)  R2
/ x = -y}
Ejemplo: Dado T:R2
R2
/ T(x,y) = (x + y, 2x + 2y)
y A = {(1,0), (1,1)} R2
b
Hallar N(A((T))A)
Puesto que no conocemos la matriz asociada A((T))A pero sí conocemos T, hallamos
primero N(T). Aplicando la definición:
T(x,y) = (x + y, 2x + 2y) = (0,0)
Haciendo cuentas llegamos al siguiente S.E.L.:
x + y = 0
2x + 2y = 0
Claramente se trata de un sistema compatible indeterminado con solución x = -y.
Por lo tanto: N(T) = {(x,y)  R2
/ x = -y}
Aplicando las propiedades vistas recién, sabemos que:
Si (x,y)  N(T)  coordA(x,y)  N(A((T))A)

Entonces para hallar los vectores de N(A((T))A) se aplica la transformación coordenadas
al vector (x,y)  N(T), es decir, se plantea la C.L. de elementos de A igualada al vector
(x,y) cuyas componentes son las obtenidas más arriba y se determinan los coeficientes
de la C.L.:
(y,-y)  N(T) = (1,0) + (1,1)
Tenemos el S.E.L.:
 +  = y   = 2y
 = -y
Por lo tanto: N(A((T))A) = {(x,y)  R2
/ x = -2y}
Para finalizar el tema de transformaciones lineales, trataremos la cuestión de cambio de
base e introduciremos la noción de operador como preámbulo al siguiente tema del
curso.
Cambio de base
Dado un vector de un E.V. determinado y una base del mismo espacio, sabemos
calcular las coordenadas del vector en la base y además sabemos que dichas
coordenadas son únicas. También sabemos que si cambiamos la base, las coordenadas
del mismo vector también cambiarán. La pregunta que surge es si existe alguna relación
entre las coordenadas de un vector conforme variamos la base de referencia. O en otras
palabras, si a partir de las coordenadas de un vector en una base podemos obtener las
coordenadas del mismo vector pero en otra base.
La respuesta es afirmativa e implica la introducción de la denominada matriz cambio de
base, que definiremos a continuación.
Definición: Dado V E.V. sobre K, B V, B’ V e I: V V la
b b
transformación identidad (I(v) = v v  V), llamamos matriz cambio de base entre las
bases B y B’ a la matriz B’((I))B.
Así que la matriz cambio de base no es otra cosa que la matriz asociada a la
transformación identidad en las bases involucradas.
A partir de esta definición, es posible derivar la relación que existe entre las
coordenadas de un vector en dos bases distintas.
En efecto, por el teorema de las coordenadas tenemos que:
coordB’T(v) = B’((T))BcoordBv
Como en este caso T = I la igualdad queda:
coordB’v = B’((I))BcoordBv

Vemos entonces que si tenemos las coordenadas del vector v en la base B para obtener
las coordenadas de v en la base B’ basta con pre-multiplicar las coordenadas de v en la
base B por la matriz cambio de base de B a B’.
Propiedades:
1) B((I))B =
















1
.
.
0
0
.
1
.
.
.
.
.
1
.
.
0
.
.
1
0
0
.
.
0
1
nxn
2) B’((I))B es invertible y (B’((I))B)-1
= B((I))B’
Una utilidad interesante de la matriz cambio de base es que provee una forma para
obtener una matriz asociada a una T.L. en dos bases dadas, a partir de otra matriz
asociada a la misma T.L. pero en otras dos bases distintas. Esto es lo que establece la
siguiente proposición.
Proposición: Sean V, W E.V. sobre K, A y A’ dos bases de V, B y B’ dos bases de W y
T:V W una T.L.
Se cumple que: B’((T))A’ = B’((Iw))B B((T))A A((Iv))A’
Con Iv: V V e Iw: W W las transformaciones identidad de V y W,
respectivamente.
Demostración:
Iv e Iw son las transformaciones identidad por lo que se cumple que:
Iw T  Iv = T
 B’((Iw T Iv))A’ = B’((T))A’
Recordando las propiedades de matriz asociada podemos escribir:
B’((Iw T Iv))A’ = B’((Iw))B B((TIv))A’ = B’((Iw))B B((T))A A((Iv))A’
 B’((T))A’ = B’((Iw))B B((T))A A((Iv))A’
Operadores y matrices semejantes
Definición: Dado V E.V. sobre K llamamos operador lineal a toda transformación lineal
T:V V.

Sencillamente entonces un operador lineal es una T.L. que conecta un E.V. consigo
mismo. Como veremos en clases posteriores los operadores lineales poseerán
características fundamentales que ameritan su tratamiento por separado del resto de las
transformaciones lineales.
Definición: Dadas A y B  Mnxn (K) decimos que A y B son matrices semejantes si
existe una matriz invertible P  Mnxn / B = P-1
AP (A = PBP-1
).
La relación que existe entre las matrices semejantes y los operadores lineales queda
establecida claramente en la siguiente proposición:
Proposición: Sean A y B  Mnxn (K).
A y B son matrices semejantes  A y B son matrices asociadas a un operador lineal T.
Esta proposición dice que todas las matrices asociadas a un operador lineal son
semejantes. Esta es otra propiedad muy importante en el contexto de los operadores
lineales y la razón quedará clara en clases posteriores.
Proposición: Sean A y B  Mnxn (K) dos matrices semejantes.
Se cumple que:
a) rango(A) = rango(B)
b) tr(A) = tr(B)
c) det(A) = det(B)
Observación: El recíproco no se cumple.
Así que pueden existir dos matrices A y B cuyos rangos, trazas y determinantes sean
iguales y a pesar de eso, no sean semejantes, es decir que no es posible encontrar una
matriz P que cumpla con B = P-1
AP (A = PBP-1
).
Las matrices semejantes poseen también otros elementos en común que poseerán
diversas e importantes aplicaciones prácticas. Dichos elementos serán el objeto del
próximo tema a tratar.

Tema_6.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (19)

Similar a Tema_6.pdf

Similar a Tema_6.pdf (20)

Último

Último (20)

Tema_6.pdf