En ésta presentación hablaremos brevemente sobre las definiciones sobre Espacios Vectoriales y Matrices, también se explican ejemplos y ejercicios.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Escuela de Ingeniería Eléctrica
Sede Barcelona
Espacios Vectoriales
Profesor: Ramón Aray Estudiante: Carlos Morris
Materia: Algebra Lineal C.I: 24.391.937
Sección: “EV”

2. Espacios Vectoriales
Es todo aquel conjunto no vacío que está compuesto por uno o más
vectores que cumplan con las propiedades de suma y producto escalar que de
cómo resultado otro vector. A continuación se le mostrará tres ejemplos:
1. Un conjunto C con números complejos siempre será un Espacio Vectorial,
debido a que los números complejos se tratan como vectores R2
separando los números reales de los imaginarios como por ejemplo (2+3i)
y que al sumarse con otro número real o complejo o multiplicarlo por un
escalar, el resultado siempre será un número complejo, por lo que cumple
con las propiedades del Espacio Vectorial.
2. Teniendo matrices cuadradas de orden 2 (o 3 y así sucesivamente), es
decir, que sean 2 filas por 2 columnas, al sumarse o multiplicarse el
resultado siempre será una matriz de 2x2 por lo que
cumple con las propiedades de un Espacio Vectorial.
3. Cualquier operación con vectores (R1, R2, R3, Rn) que al sumarse y/o
multiplicarse, de cómo resultado otro vector con la misma cantidad de
elementos.

3. Combinación Lineal
Se puede definir que es cuando un vector es producto de una suma y/o
multiplicación de otros dos o más vectores. A continuación expondremos tres
ejercicios como ejemplo:
1. Teniendo los vectores (-7, 1, 3), (1, 0, 1) y (6, -1, -2) determinar si existe alguna Combinación
Lineal:
Podemos notar que el segundo vector es una Combinación Lineal de los otros dos porque es
producto de su suma: (-7, 1, 3) + (6, -1, -2) = (1, 0, 1)
(-7+6, 1-1, 3-2) = (1, 0, 1) (1, 0, 1) = (1, 0, 1).
2. Teniendo los vectores U (-7, 1, 3), V (1, 0, 1) y W (-7, 2, 13) determinar si existe alguna
Combinación Lineal:
Podemos determinar que existe una Combinación Lineal para el producto W = 2U + 7V.
W = 2(-7, 1, 3) + 7(1, 0, 1) W = (-14, 2, 6) + (7, 0, 7) W = (-14+7, 2+0, 6+7)
(-7, 2, 13) = (-7, 2, 13) .
3. Teniendo los vectores A (2, 0), B (0, 3) y C (5, 1) determinar si existe alguna Combinación
Lineal entre ellos:
Podemos determinar que sí existe una Combinación Lineal, que sería: 5/2 A + 1/3 B = C
5/2 (2, 0) + 1/3 (0, 3) = (5, 1) (5, 0) + (0, 1) = (5, 1) (5+0, 0+1) = (5, 1) (5, 1) = (5, 1)

4. Dependencia Lineal
Cuando un vector es producto de una Combinación Lineal de otro y
otros, se dice que es linealmente dependiente. También se destaca que el vector
0 es una combinación lineal de los vectores del Espacio Vectorial en cuestión
con coeficientes NO nulos.
Dicho esto expondré del concepto de Dependencia Lineal y los ejercicios
de Combinación Lineal, podemos decir que dichos vectores son Linealmente
Dependientes.
1. Teniendo los vectores (-7, 1, 3), (1, 0, 1) y (6, -1, -2) podemos decir que son
Linealmente Dependientes porque existe una Combinación Lineal.
2. Teniendo los vectores U (-7, 1, 3), V (1, 0, 1) y W (-7, 2, 13) podemos decir
que son Linealmente Dependientes porque existe una Combinación
Lineal.
3. Teniendo los vectores A (2, 0), B (0, 3) y C (5, 1) podemos decir que son
Linealmente Dependientes porque existe una Combinación Lineal.

5. Independencia Lineal
Cuando en un conjunto de vectores ninguno es producto de una
combinación lineal de los otros, se dice que son linealmente Independientes o
libres. El vector 0 no es una Combinación Lineal de ninguno de los vectores del
conjunto a no ser que todos sus coeficientes sean 0. Como puede preverse es lo
contrario a la Dependencia Lineal.
Dicho esto expondré del concepto de Independencia Lineal y los ejercicios
de Combinación Lineal, podemos decir que dichos vectores son Linealmente
Dependientes pero explicaremos en qué caso serían Independientes:
1. Teniendo los vectores (-7, 1, 3), (1, 0, 1) y (6, -1, -2) podemos decir que son Linealmente
Dependientes porque existe una Combinación Lineal. Pero para un caso de ser vectores
Libres sería que no existiera el vector que complementa la Combinación Lineal, en éste caso
el vector (1, 0, 1), pero con cualquiera de los t res funcionaría.
2. Teniendo los vectores U (-7, 1, 3), V (1, 0, 1) y W (-7, 2, 13) podemos decir que son
Linealmente Dependientes porque existe una Combinación Lineal. Para ser vectores
Linealmente Independientes sería que no existiera el vector que complementa la
Combinación Lineal, en éste caso el vector (-7, 2, 13), pero con cualquiera de los t res
funcionaría.
3. Teniendo los vectores A (2, 0), B (0, 3) y C (5, 1) podemos decir que son Linealmente
Dependientes porque existe una Combinación Lineal. Para ser vectores Libres sería que no
existiera el vector que complementa la Combinación Lineal, en éste caso el vector (5, 1).

6. Base y Dimensión de un
Espacio Vectorial
Una Base es un Subespacio Vectorial llamado B que pertenece a un
Espacio Vectorial, en el que se cumplen todas sus propiedades de suma y
producto escalar de vectores arrojando resultados que continúen dentro del
Subespacio, que el vector 0 pertenezca a la base y todos sus elementos sean
linealmente independientes.
Una Dimensión es el número de vectores que forman una Base, o como le
definirían otras fuentes, es el cardinal de una Base.
Después de haber explicado ambos conceptos, se mostrará unos ejercicios
explicativos:
1.

7. Base y Dimensión de un
Espacio Vectorial
2.
3.

8. Espacio Nulo de una Matriz
Son todos aquellos vectores que al multiplicarlos por una matriz de cómo
resultado 0, cumpliendo así el teorema de que una matriz A por unos vectores x
de 0, es decir, Ax=0. Dónde toda solución de X pertenecerá al espacio nulo de A
que se llamará Nul(A) o N(A). A continuación unos ejercicios explicativos:
1.

9. Espacio Nulo de una Matriz
2.

10. Espacio Nulo de una Matriz
3. Determine si u está en Nul A.

11. Rango de una Matriz
Es el número de filas o columnas (normalmente columnas) que son
linealmente independientes de todos los demás.
Dicho de otra manera, el rango de la matriz es el orden de la mayor
submatriz cuadrada no nula, de éste modo aplicará determinantes para hallar
el rango. Como se expone como ejemplo en los siguientes ejercicios:
1. Calcular por el método de Gauss el rango de la matriz siguiente
F1 – 2 ( F2) F3 – 3 (F2) F3 + 2 (F1)
Por lo que su Rango es de 2.
2. Hallar por el método de Gauss el rango de la matriz siguiente:
• F2 = F2 − 3 (F1) Por lo que su Rango es de 3.
• F3 = F3 − 2 (F1)

12. Rango de una Matriz
3. Calcular por determinantes el rango de la matriz:


 Al dar las determinantes el valor de 0,
quiere decir que no se puede seguir
avanzando, es decir, que el Rango de la
Matriz A es de 2.

13. Conclusión
Luego de las diapositivas expuestas con una breve definición y una gran
variedad de ejercicios explicativos de los distintos temas tratados sobre
Espacios y Conjuntos Vectoriales, puede comprobarse que toda la información
mostrada es completamente real y exacta, aplicando en cada uno de los casos
como en las propiedades mencionadas.
Ésta presentación sirve como complemento y ejemplo de la Monografía
realizada sobre el mismo tema de Espacios Vectoriales y en el que se
ejemplifica que tan relacionados están estos con las matrices.

14. Bibliografía
 Campos, N. Espacios Vectoriales. Santander, España. Recuperado de:
http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales1.pdf.
 Problemas resueltos de subespacios vectoriales, base y dimensión. Estados
Unidos. Recuperado de:
https://personal.us.es/jmiguel/Informacion/Material/MI-Problemas/29.pdf.
 Base (Álgebra). Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Base_(%C3%A1lgebra).
 Dependencia e Independencia Lineal. Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal.
 Dimensión de un Espacio Vectorial. Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_de_un_espacio_vectorial.
 ESPACIO COLUMNA Y ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ.
Recuperado de:
https://algebralinealita.files.wordpress.com/2011/11/espacio_nul_col.pdf.
 Rango de una matriz. Recuperado de:
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.html.