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Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 1
Tema 7. Valores propios y vectores propios
Como el lector seguramente recuerde, la última sección del tema anterior trató sobre
operadores lineales, es decir, transformaciones lineales establecidas en un mismo
espacio de salida y de llegada. Por otra parte, cuando se trataron ejemplos de
transformaciones (operadores) lineales en espacios Rn
, que podían ser obtenidas
aplicando una sucesión de transformaciones elementales, vimos que en general lo que
el operador lineal lograba era una rotación y re-escalamiento de los vectores implicados.
La pregunta que directamente surge de esta situación es si el operador tendrá el mismo
efecto sobre todos los vectores del espacio vectorial considerado. Vamos a intentar
contestar esta cuestión analizando un ejemplo simple pero ilustrativo.
Supongamos que tenemos definido el siguiente operador lineal en el espacio R2
:
T:R2
R2
/ T(x,y) = (2x,-2y)
Apliquemos el operador lineal T a los vectores u = (1,1), v = (-1,-1) y w = (1,0).
Tenemos que:
T(1,1) = (2,-2), T(-1,-1) = (-2,2), T(1,0) = (2,0)
Veamos la representación geométrica de los vectores originales y los transformados.
y
2
T(v) 1
u
-1 w T(w) 2
-2 1 x
v
T(u)
-1
-2
Qué se puede concluir de la representación anterior? Mientras que T rota y re-escala los
vectores u y v, solamente re-escala (multiplica por un factor igual a 2) el vector w.
Aplicando este razonamiento a todos los vectores del espacio, podemos concluir que la
línea que representa al eje x no se “mueve” con T. Otro tanto ocurrirá con la línea que
representa el eje y. La diferencia, empero, es que en el caso de los vectores que
representan puntos en el eje x el operador preserva el sentido original del vector

mientras que para los vectores del eje y, el sentido de los vectores transformados es el
contrario que el de los originales. En otras palabras, para los vectores del eje x, los
transformados son múltiplos positivos de estos mientras que para los vectores del eje y,
los transformados son múltiplos negativos de los originales. Notar también que para
cualquier operador lineal el vector nulo del espacio se comportará de la misma forma
que el vector w del ejemplo (no rotará) puesto que como ya vimos antes, la imagen del
vector nulo es el propio vector nulo. En ese caso el factor de escala aplicado será 1.
En general, vectores como el vector w del ejemplo van a ser considerados de forma
especial puesto que muchas veces permitirán simplificar la operativa de un operador
lineal (como veremos en el tema siguiente) pero además tendrán múltiples aplicaciones
en los campos de la Matemática, Física y Química. A estos vectores se les denomina
vectores propios, vectores característicos o auto-vectores (del alemán eigenvectors) del
operador lineal considerado.
El otro elemento crucial del razonamiento anterior es el factor de escala que aplica el
operador lineal a sus vectores propios y que determinará tanto la magnitud como el
sentido de la imagen de cada vector propio. Por analogía, a estos factores se les
denominará valores propios, valores característicos o auto-valores (del alemán
eigenvalues) del operador lineal considerado. Siempre existirá una asociación entre los
valores propios y los vectores propios.
Ahora que conceptualmente tenemos clara la noción de vector y valor propio, veamos la
definición matemática formal.
Definición: Dado V E.V. sobre K y T: V V un operador lineal llamamos vector
propio de T, asociado al valor propio   K, a todo vector v  V / T(v) = v y v ≠ v.
Como ya se discutió antes, la definición establece que un vector propio de un operador
lineal tendrá como imagen a un vector múltiplo de sí mismo. O en otras palabras, un
vector propio y su imagen serán colineales. La exclusión del vector nulo de la definición
queda clara también de la discusión anterior. En efecto, el vector nulo va a cumplir la
definición de vector propio asociado a cualquier valor propio:
T() = 
Por propiedades algebraicas de E.V. sabemos que:
 =     K
 T() =     K
Esto desvirtúa el sentido de los vectores y valores propios y por eso el vector nulo no se
considera vector propio de ningún operador lineal.
Antes de seguir adelante, vamos a ver un par de ejemplos de aplicación.
Ejemplo 1: Considerar un sistema físico formado por dos masas unidas por un resorte:
mA mB
xA k xB

con k la constante del resorte y xA y xB las posiciones de mA y mB, respectivamente.
Aplicando conocimientos básicos de Física sabemos que se cumple la ley de Hooke:
F = -kx
Es decir, que la fuerza F es proporcional a x, el desplazamiento de la posición de
equilibrio del resorte.
Además, la segunda ley de Newton nos dice que:
F = ma
con m la masa y a la aceleración del sistema
Para cada masa vamos a poder escribir entonces:
mAaA = -k(xA – xB)
mBaB = -k(xB – xA)
Notar que los desplazamientos para ambas masas son siempre iguales y contrarios, de
ahí la forma de escribir las diferencias en las posiciones respectivas.
De acuerdo a la relación que existe entre aceleración y posición, introducimos ahora una
notación más de carácter físico para denotar derivadas: aA = ẍA y aB = ẍB
Las ecuaciones anteriores quedan:
mAẍA = -k(xA – xB)
mBẍB = -k(xB – xA)
Reagrupando términos llegamos a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden 2:
mAẍA + k(xA – xB) = 0
mBẍB + k(xB – xA) = 0
Las soluciones que aceptan este tipo de ecuaciones diferenciales son conocidas. Para
este caso las soluciones son de la forma:
x(t) = Xcost con X = amplitud y  = k/m
Asumiendo que mA ≈ mB las dos soluciones que necesitamos son:
xA(t) = x1cost xB(t) = x2cost
La idea ahora es sustituir las soluciones en el sistema de ecuaciones diferenciales
anterior. Para esto, primero calculamos las derivadas respectivas:
ẍA(t) = -2
x1cost ẍB(t) = -2
x2cost
Sustituyendo obtenemos el siguiente S.E.L. en x1 y x2:

-2
x1cost + (k/m)(x1cost - x2cost) = 0
-2
x2cost + (k/m)(x2cost – x1cost) = 0
Suponiendo condiciones iniciales, e.g. t = 0 llegamos a:
-2
x1 + k/m(x1 - x2) = 0
-2
x2 + k/m(x2 – x1) = 0
que podemos escribir como:
((k/m) -2
)x1 – (k/m)x2 = 0
((k/m) -2
)x2 – (k/m)x1 = 0
Estamos ante un sistema de ecuaciones lineales homogéneo que ya sabemos puede ser
compatible determinado o indeterminado. En este caso, nos interesa encontrar todas las
posibles soluciones por lo cual forzaremos el sistema a ser indeterminado, lo que en la
práctica logramos cuando el determinante de la matriz de sistema es nulo.
La matriz de sistema A es:
A = 













2
2
)
/
(
/
/
)
/
(
m
k
m
k
m
k
m
k
= 













)
/
(
/
/
)
/
(
m
k
m
k
m
k
m
k
En la última matriz se expresa 2
=  para facilitar la notación.
 |A| = ((k/m) – )2
– k2
/m2
= 0
Haciendo cuentas se llega a que:
( – 2k/m) = 0
Es simple ver que tenemos dos soluciones posibles:  = 0 y = 2k/m
A continuación, veamos cuales son las soluciones del S.E.L. planteado para cada valor
de hallado. Para esto sustituimos por cada valor de  en la matriz de sistema A.
= 0
A = 









m
k
m
k
m
k
m
k
/
/
/
/
Tenemos entonces las siguientes ecuaciones:
(k/m)x1 - (k/m)x2 = 0
(-k/m)x1 + (k/m)x2 = 0
Como ya sabíamos, llegamos a un S.E.L. compatible indeterminado cuya solución en
este caso es x1 = x2

 = 2k/m
A = 











m
k
m
k
m
k
m
k
/
/
/
/
Tenemos entonces las siguientes ecuaciones:
(-k/m)x1 - (k/m)x2 = 0
(-k/m)x1 - (k/m)x2 = 0
Nuevamente, llegamos a un S.E.L. compatible indeterminado cuya solución en este caso
es x1 = -x2
Los valores de  0 y 2k/m, son los denominados valores propios de la matriz A,
mientras que los correspondientes vectores del tipo u = (x1, x1) y v = (x1, -x1) son los
vectores propios de la matriz asociados a los dos valores propios, respectivamente.
Si bien en la discusión del inicio del documento se habló de valores y vectores propios
asociados a un operador, luego veremos que también existirán asociaciones con una
matriz, que de hecho, como ya vimos en clases anteriores, definen por sí mismas
transformaciones (operadores en este caso) lineales.
En el ámbito de la espectroscopía vibracional, disciplina que estudia espectros de
vibración de moléculas con el objetivo de la determinación estructural, los átomos son
visualizados como pequeñas bolitas de cierta masa unidos por pequeños resortes que
representan los enlaces entre dichos átomos. Es decir, tenemos una situación similar a la
del presente ejemplo de dos masas unidas por un resorte.
En este contexto, el sentido físico-químico de los vectores propios se relaciona nada
más ni nada menos que con los denominados modos normales de vibración de la
molécula. Los modos normales de vibración son aquellas vibraciones en las cuales los
átomos vibran todos en una fase determinada y su importancia radica en que cualquier
movimiento atómico que va a tener lugar en la molécula va a poder expresarse como
una combinación lineal de dichos modos normales de vibración. Como queda claro del
ejemplo visto, los vectores propios representan las amplitudes de los modos normales de
vibración mientras que los valores propios representan el cuadrado de las frecuencias
(2
) de estos modos de vibración.
Ejemplo 2: Considerar la llamada ecuación de Schrodinger independiente del tiempo:
H = E

En este caso H es el llamado operador Hamiltoniano que está relacionado con la energía
total del sistema (cinética más potencial),  es la función de onda del sistema del cual
representa un determinado estado estacionario (no consideramos evolución temporal) y
E es el escalar que representa la energía total del sistema en el estado asociado a .
Si se observa la ecuación, es bastante obvio que la misma responde a la definición de
vector y valor propio vista más arriba (de hecho este tipo de ecuaciones se denominan
“a valores propios”). En efecto, tenemos un operador (H) que se aplica a un vector

(función de onda ) y el resultado (la imagen de ) se puede expresar como un
múltiplo del vector , el cual representa la energía del sistema (E). Para un cierto
sistema van a existir estados “permitidos”, representados por la función  los cuales
poseerán una cierta energía total E. Si bien la resolución de esta ecuación es
extremadamente compleja para sistemas realistas, en el fondo se realizan operaciones
del tipo de las vistas en el ejemplo anterior del oscilador armónico.
Vamos a retomar ahora el tema desde el punto de vista estrictamente matemático viendo
un par de propiedades que cumplen los valores y vectores propios de un operador lineal.
Proposición: Sea V E.V. sobre cuerpo K y T: V V un operador lineal.
1) Sea v  V / T(v) = v,   K
 T(v) = (v)
2) Sean u, v  V / T(u) = u y T(v) = v
 T(uv) = (u + v)
La primera parte de la proposición expresa que si un vector es vector propio de un
operador, asociado a un determinado valor propio, cualquier múltiplo de ese vector
también será vector propio del operador, asociado al mismo valor propio. La segunda
parte es análoga pero para la suma de vectores, es decir que la suma de dos vectores
propios del operador, asociados a un mismo valor propio, será también vector propio
asociado al mismo valor propio.
Demostración:
1) T(v) = T(v) = v) = (v = ()v = (v)
2) T(u + v) = T(u) + T(v) = u + v = (u + v)
Definición: Dado T: V V un operador lineal y  valor propio de T se define el
conjunto S = {v  V / T(v) = v}
Así que Ses el conjunto de todos los vectores propios, asociados a un valor propio de
un operador lineal al que se le ha agregado el vector nulo, que si bien no se considera un
vector propio, también cumple con la definición del conjunto. Vamos a ver ahora que el
conjunto S representa una estructura importante.
Proposición: Sea T: V V un operador lineal,  valor propio de T y S = {v  V /
T(v) = v}
Se cumple que S es un S.E.V. de V y S
Notar que si Sno incluyera al vector nulo jamás podría ser un S.E.V.
La proposición nos dice no sólo que Ses S.E.V. de V sino que coincide con el núcleo
de la transformación lineal definida por T – I con I la transformación identidad. Vamos

ahora a demostrar que el conjunto S es el núcleo de T – I, lo que automáticamente
también probará que es un subespacio vectorial como ya vimos en clases anteriores.
Observar que en realidad, el carácter de subespacio del conjunto Sse deduce
directamente del resultado de las propiedades de valores y vectores propios que se
presentaron en la página anterior.
Demostración:
v  S  T(v) = v  T(v) – v =   T(v) – I(v) =   (T – I)v = 
 v  N(T – I)
A Sse le llama subespacio propio asociado al valor propio .
Una vez que conceptualizamos, definimos y vimos propiedades de los vectores y
valores propios estamos en condiciones de ver como se calculan.
Cálculo de valores y vectores propios
Proposición: Sea V E.V. sobre cuerpo K, T: V V un operador lineal, A = B((T))B
matriz asociada a T en la base B = {v1, v2, ….., vn}, v  V / coordBv = (a1,a2,…, an) y
  K
Se cumple que T(v) = v  coordBv es solución no trivial de: (A – I)














n
x
x
x
.
2
1
=














0
.
0
0
El lema establece que un vector v del espacio V es vector propio de un operador T,
asociado a un valor propio , sí y sólo sí sus coordenadas en una base B del espacio son
solución no trivial del S.E.L. homogéneo cuya matriz de sistema corresponde a la
matriz A, asociada al operador en la base de referencia, menos la matriz I.
La condición de solución no trivial se impone para excluir al vector nulo (cuyas
coordenadas son justamente el vector nulo en Kn
) como vector propio de T.
Demostración:
() v es vector propio de T v ≠ coordBv = (a1,a2,…..,an) ≠ (0,0,…….,0) (a)
v es vector propio de T asociado al valor propio   T(v) = v. Por teorema de las
coordenadas y recordando que A = B((T))B:
AcoordBv = coordBT(v) = coordBv = coordBv
Sustituyendo en la igualdad anterior y reordenando términos establecemos que:

A














n
a
a
a
.
2
1
= 














n
a
a
a
.
2
1
 A














n
a
a
a
.
2
1
- 














n
a
a
a
.
2
1
=














0
.
0
0
 A














n
a
a
a
.
2
1
- 














n
a
a
a
.
2
1
=














0
.
0
0
 (A – I)














n
a
a
a
.
2
1
=














0
.
0
0
(b)
De (a) y (b) se sigue que coordBv es solución no trivial del sistema (A – I)X = 
() coordBv = (a1,a2,…, an) es solución no trivial del S.E.L. (A – I)














n
x
x
x
.
2
1
=














0
.
0
0
 (a1,a2,…, an) ≠ (0,0,…….,0) y (A – I)














n
a
a
a
.
2
1
=














0
.
0
0
 A














n
a
a
a
.
2
1
- 














n
a
a
a
.
2
1
=














0
.
0
0
 A














n
a
a
a
.
2
1
= 














n
a
a
a
.
2
1
= 














n
a
a
a
.
2
1
Sea v = a1v1 + a2v2 + ….. + anvn  (a1,a2,…, an) = coordBv
Por el resultado anterior teníamos que:
A














n
a
a
a
.
2
1
= 














n
a
a
a
.
2
1
 AcoordBv = coordBv = coordBv = coordBT(v)
 T(v) = v (a)
Recordando que (a1,a2,…, an) ≠ (0,0,…….,0) deducimos que v ≠ b)
De (a) y (b) se sigue que v es vector propio de T asociado al valor propio .
Corolario: es valor propio de T  det(A – I) = 0

Esta ecuación a menudo se denomina “ecuación secular” y a det(A – I) se le llama
“determinante secular”. Notar que cualquiera sea la forma de la matriz A, el resultado
de restarle la matriz I será una matriz idéntica a A salvo en la diagonal principal en
donde los elementos serán los elementos originales de A a los que se les resta el valor 
Desde el punto de vista operativo, es decir, para calcular valores y vectores propios de
un operador, nos va a interesar el corolario de la proposición ya que es a partir de allí
que se plantea la solución al problema. En efecto, como se deduce de la formulación de
la proposición, para obtener los vectores propios de un operador, primero se deben
encontrar los valores propios respectivos con los cuales construir las matrices (A – I),
que a su vez permitirán plantear los correspondientes sistemas de ecuaciones lineales.
Como ya vimos en el ejemplo del oscilador armónico (dos masas unidas por un resorte)
nos va a interesar encontrar todas las posibles soluciones de esos S.E.L. y por eso es que
necesitamos que det(A – I) = 0. Luego de hallar los valores de  que satisfacen esta
ecuación, se sustituyen en las correspondientes matrices de sistemas y se resuelven
dichos sistemas. La soluciones serán las coordenadas de los vectores propios del
operador en la base de referencia. Para encontrar los vectores propiamente dichos se
debe aplicar la transformación coordB
-1
, salvo que se trate de la base canónica para la
cual ya se vio que coordenadas y vectores coinciden.
Observación: Al resolver la ecuación det(A – I) = 0 se obtiene un polinomio en  de
grado igual a la dimensión del espacio vectorial de referencia.
Como se mencionó más arriba, también se podrán definir valores y vectores propios
para matrices, de acuerdo a la siguiente definición.
Definición: Dado A  Mnxn (K), llamamos vector propio de A, asociado al valor propio
 K a todo vector no nulo x = (x1,x2,….,xn)  Kn
que cumple:
A














n
x
x
x
.
2
1
= 














n
x
x
x
.
2
1
Se aprecia entonces que dada una matriz cualquiera, se van a poder definir valores y
vectores propios con independencia de un operador lineal adicional. Y cuál es la razón
para esto? Sencillamente que, como se vio anteriormente, la propia matriz define una
transformación (en este caso operador) lineal, la denominada transformación matricial:
TA: Kn
Kn
/ TA(x) = Ax, x  Kn
Aplicando la definición, sabemos que  es valor propio de A si TA(x) = AX = X. Notar
entonces que la definición de vector propio de una matriz recién brindada está
expresando lo mismo que la proposición que vimos para el cálculo de vectores propios.
Pero en ese caso, hablábamos de coordenadas de los vectores propios mientras que para
el caso de las matrices directamente hablamos de los vectores. El lector entenderá
fácilmente la razón para esto al recordar que cuando una matriz actúa como

transformación lineal (TA), dicha matriz coincide con la matriz asociada en la base
canónica, en donde coordenadas y vectores son iguales.
Proposición: Sea A  Mnxn (K) y  K.
det(A – I) es un polinomio de grado n en  cuyo término independiente es el
determinante de A (det(A)).
Notación: det(A – I) = p()
Demostración:
Veamos de demostrar ambas afirmaciones.
Para la primera, plantearemos un razonamiento que no aplicaremos en tu totalidad pero
que demuestra de manera bastante clara lo que dice la proposición.
Sea A =
















nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
 det(A – I) = det






















nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
Planteamos det(A – I) desarrollando, por ejemplo, por la primer columna de la matriz:
det(A – I) = = (a11 – )(-1)1+1
|A11| + (a21)(-1)2+1
|A21| + …… + (an1)(-1)n+1
|An1|
Desarrollando el primer término de la sumatoria:
(a11 – )(-1)1+1
|A11| = (a11 – )(-1)1+1
det


















nn
n
n
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
22
Desarrollando det(A11) por la primer columna de la matriz, el primer término de la
expansión total quedaría:
(a11 – )(-1)1+1
(a22 – )(-1)1+1
|A22|
Si repetimos el mismo procedimiento hasta el final, vamos a llegar a que el primer
término del desarrollo final del determinante a calcular es:
(-1)1+1
(-1)1+1
……(-1)1+1
(a11 – )(a22 – )…….(ann – )
Esto está mostrando claramente que estaremos frente a un polinomio de grado n en .

La segunda afirmación resulta simple de demostrar si usamos el hecho de que el término
independiente de cualquier polinomio es el valor funcional del mismo al evaluarlo en
cero. Para el caso general podemos escribir:
p  Pn / p() = ann
+ an-1n-1
+ ….. + a11
+ a00
 p) = a00
= a0 = det(A - 0I) = detA
Definición: Dado A  Mnxn (K) y  K, valor propio de A llamamos:
1) polinomio característico de A a p()
2) ecuación característica de A a p() = 0
3) raíces características de A a todas las soluciones (del cuerpo K) de la ecuación
característica
Del punto 3) se deduce que las raíces características son los valores propios.
Proposición: Sean A y B  Mnxn (K) dos matrices semejantes.
Se cumple que pA() = pB()
Esta proposición (que no demostraremos) establece que dos matrices semejantes
poseerán el mismo polinomio característico. Se sigue directamente que dos matrices
semejantes poseerán los mismos valores propios.
Observación: el recíproco de la proposición no se cumple.
Por lo tanto, existirán matrices cuyos polinomios característicos son iguales pero a pesar
de eso no serán matrices semejantes. En clases siguientes veremos ejemplos.
Qué ocurre con los vectores propios? Si tenemos en cuenta que las matrices semejantes
son siempre matrices asociadas a un mismo operador lineal y que cuando trabajamos
con matrices estamos trabajando con las coordenadas de los vectores en una base y no
con los propios vectores, al cambiar la base (cambiar la matriz) cambiarán las
coordenadas y por lo tanto cambiarán los vectores propios. Así que estos últimos no se
conservan cuando consideramos matrices semejantes como sí ocurre con los valores
propios. Los que sí serán únicos son los vectores propios del operador lineal.
Definición: Se llama espectro de un operador lineal o de una matriz al conjunto de sus
valores propios.
Definición: Dado V E.V. sobre K y T: V V un operador lineal, llamamos
polinomio característico de T al polinomio característico de cualquiera de sus matrices
asociadas.
De forma análoga definimos ecuación característica y raíces características.

En esta definición vuelve a quedar evidente la equivalencia entre la transformación
(operador) lineal y la matriz asociada.
Para un operador lineal se tienen infinitas matrices asociadas posibles (tantas como
bases del espacio existan) por lo que podría pensarse en principio que no existiría un
único polinomio característico. Pero como sabemos que todas las matrices asociadas a
un operador lineal son semejantes y que las matrices semejantes poseen el mismo
polinomio característico entonces el polinomio característico de un operador lineal está
bien definido, es decir, es único.
Vamos a ver ahora algunos ejemplos de cálculo de valores y vectores propios.
Ejemplo 1: Dado V = R3
y TA: R3
R3
un operador matricial con A =









 
1
0
0
0
2
3
0
1
2
Hallar valores y vectores propios de TA
En este caso, tenemos un operador matricial TA el cual está definido por la matriz A.
Por lo tanto, la matriz A es la matriz asociada al operador TA en la base canónica del
espacio R3
. Así que los vectores propios del operador serán los mismos que los vectores
propios de la matriz A. Y como siempre, los valores propios del operador serán los
valores propios de cualquiera de sus matrices asociadas, en particular los de A.
En consecuencia, el ejercicio hubiera sido equivalente si pidiera calcular los valores y
vectores propios de la matriz A sin necesidad de hacer referencia a TA.
Para resolver el problema debemos hallar primero los valores propios del operador. Para
esto planteamos la ecuación secular:
p() = det(A – I) = 0
Recordar que estamos interesados en encontrar todas las soluciones que verifiquen el
sistema homogéneo de matriz A – I.
Calculamos la matriz A – I:
A – I =









 
1
0
0
0
2
3
0
1
2
-













0
0
0
0
0
0
=

















1
0
0
0
2
3
0
1
2
Sustituyendo en la ecuación secular y aplicando la regla de Sarrus obtenemos:
det(A – I) = det

















1
0
0
0
2
3
0
1
2
= (2 – )2
(1 – ) – ((1 – )(3)(-1)) = 0
Haciendo cuentas llegamos a la ecuación característica:

p() = (4 – 4 + 2
)(1 – ) + 3 – 3 = 4 – 4 - 4 + 42
+ 2
– 3
+ 3 – 3 =
= -3
+ 52
– 11 + 7 = 0
Si bien estamos frente a un polinomio de grado 3 en  es fácil de ver que el mismo
posee raíz evidente 1 por lo cual la ecuación es de muy simple solución.
Aplicando la regla de Ruffini (dividir el polinomio entre x – 1 en este caso):
-1 5 -11 7
1 -1 4 -7
-1 4 -7 0
Reducimos el problema a resolver la ecuación –2
+ - 7 = 0
Ahora no tenemos un polinomio con raíces evidentes pero el problema puede resolverse
fácilmente aplicando la conocida fórmula para hallar raíces de polinomios de segundo
grado. Operando para este caso:
 =
2
28
16
4




=
2
12
4




=
2
3
2
4




=
2
3
2
4


 i
= 3
2 i

Por definición, los valores propios deben de pertenecer al cuerpo escalar de trabajo que
en este caso es R. Esto descarta dos de los tres valores de  hallados. Por lo tanto existe
solamente un valor propio para el operador ( = 1).
Una vez que obtuvimos los valores propios podemos determinar los vectores propios.
Como ya vimos, lo que se hace es resolver el sistema homogéneo de matriz (A – I)
para todos los valores hallados de .
Para la matriz A - I es:









 
0
0
0
0
1
3
0
1
1
A partir de esto planteamos la matriz ampliada del sistema (A – I)X = 











 
0
0
0
0
0
0
1
3
0
0
1
1
Evidentemente que ya de partida estamos frente a un sistema compatible indeterminado
(como en realidad lo forzamos al imponer que el determinante de la matriz de sistema
fuera nulo). De la segunda ecuación deducimos que 3x = -y mientras que de la primera
deducimos que x = y. Combinando ambas igualdades llegamos a que la indeterminación
está definida por la igualdad x = y = 0. La componente z de los vectores solución del
sistema (vectores propios) no tiene restricciones.

Ya tenemos los vectores propios del operador asociados al valor propio  = 1 así que
solamente resta expresarlos en la forma de subespacio propio:
S1 = {(x,y,z)  R3
/ x = y = 0}
Ejemplo 2: Dado V = K2
y TA: K2
K2
un operador matricial con A = 









1
4
2
3
Hallar valores y vectores propios de TA
Procedemos de forma enteramente análoga al ejemplo anterior.
Calculamos primero la matriz A – I:
A – I = 













1
4
2
3
Sustituyendo en la ecuación secular y calculando el determinante obtenemos:
det(A – I) = det 













1
4
2
3
= (3 – )(-1 – ) – ((-2)(4)) = 0
Haciendo cuentas llegamos a la ecuación característica:
p() = -3 - 3 +  + 2
+ 8 = 2
– 2 + 5 = 0
Aplicando la fórmula para hallar raíces de polinomios de segundo grado:
 =
2
20
4
2 

=
2
16
2 

=
2
4
2
2 

=
2
4
2
2 i

= i
2
1
Obtenemos entonces dos raíces características complejas. En este punto debemos
discriminar en cuanto a la naturaleza del cuerpo K. En caso de K = R decimos que no
existen valores propios (y por ende tampoco vectores propios) para el operador
considerado. En cambio, si K = C, tenemos dos valores propios para los cuales debemos
calcular los vectores propios correspondientes.
Situándonos en este último caso, tenemos que resolver el sistema homogéneo de matriz
(A – I) para todos los valores hallados de .
Para ila matriz A - I es: 











i
i
2
2
4
2
2
2












0
2
2
4
0
2
2
2
i
i
= 2 











0
1
2
0
1
1
i
i

Escalerizando la segunda matriz (por simplicidad) tenemos el siguiente desarrollo:












0
1
2
0
1
1
i
i
F2 + (-2/(1- i))F1 












0
1
)
1
/(
2
0
0
1
1
i
i
i
= 






 

0
0
0
0
1
1 i
Llegamos a un sistema compatible indeterminado de solución: y = (1 – i)x
Expresamos los vectores propios asociados a  = 1 + 2i en la forma de subespacio
propio:
S1+2i = {(x,y)  C2
/ y = (1 – i)x}
Para ila matriz A - I es: 











i
i
2
2
4
2
2
2












0
2
2
4
0
2
2
2
i
i
= 2 











0
1
2
0
1
1
i
i
Escalerizando la segunda matriz (por simplicidad) tenemos el siguiente desarrollo:












0
1
2
0
1
1
i
i
F2 + (-2/(1+ i))F1 












0
1
)
1
/(
2
0
0
1
1
i
i
i
= 






 

0
0
0
0
1
1 i
Llegamos a un sistema compatible indeterminado de solución: y = (1 + i)x
Expresamos los vectores propios asociados a  = 1 - 2i en la forma de subespacio
propio:
S1-2i = {(x,y)  C2
/ y = (1 + i)x}
Observando los valores y vectores propios obtenidos se aprecia que en ambos casos
obtenemos complejos conjugados. No lo veremos en detalle pero esta es una propiedad
que siempre se va a cumplir con los valores y vectores propios: si dos valores propios
son complejos conjugados entonces los vectores propios respectivos también lo serán.
Para terminar con el tema se repasarán un par de propiedades importantes de los
polinomios característicos.
Propiedades de polinomios característicos
1) Dado A  M2x2 (K) y p() el polinomio característico de A se cumple que:
p() = 2
– tr(A) + detA
Demostración:

Sea A = 







22
21
12
11
a
a
a
a
 M2x2 (K)
De acuerdo a la definición ya vista de polinomio característico:
p() = det(A – I) = det 











22
21
12
11
a
a
a
a
= (a11 – )(a22 – ) – a12a21
Haciendo cuentas:
(a11 – )(a22 – ) –a12a21 = a11a22 – a11 – a22 + 2
- a12a21 =
= 2
– (a11 + a22) + a11a22 - a12a21 = 2
– tr(A) + detA
No se demostrará pero este resultado puede generalizarse para cualquier matriz A 
Mnxn (K). En el caso general el polinomio característico se escribe como:
p() = (-1)n
n
+ (-1)n-1
tr(A)n-1
+ ……. + detA0
Como se aprecia, el primero, segundo y último término del polinomio conservan la
misma forma que para el caso A  M2x2 a menos del signo.
2) Teorema de Cayley-Hamilton:
Hipótesis:
Sea A  Mnxn (K) y p() el polinomio característico de A
Tesis:
p(A) = 0
El teorema de Cayley-Hamilton expresa la interesante propiedad de que la propia matriz
A es solución de su ecuación característica.
Demostración:
Realizaremos aquí la demostración para el caso A  M2x2.
Sea A = 







22
21
12
11
a
a
a
a
 M2x2 (K)
Por la propiedad anterior sabemos que: p() = 2
– tr(A) + detA0
Sustituyendo por A en la ecuación anterior (recordar que A0
= AA-1
= I) tenemos que:
p(A) = 







22
21
12
11
a
a
a
a








22
21
12
11
a
a
a
a
- (a11 + a22) 







22
21
12
11
a
a
a
a
+ (a11a22 – a12a21) 







1
0
0
1

Operando:
p(A)= 











22
22
12
21
21
22
11
21
22
12
12
11
21
12
11
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
- 











22
22
22
11
21
22
21
11
12
22
12
11
11
22
11
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ 









21
12
22
11
21
12
22
11
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
=
= 







0
0
0
0
El teorema de Cayley-Hamilton tiene algunas aplicaciones importantes. Entre ellas, se
encuentra la posibilidad de calcular matrices inversas, como lo muestra el siguiente
ejemplo.
Ejemplo: Dado A =












0
2
2
2
2
0
1
2
1
hallar A-1
Para resolver el problema utilizando el teorema de Cayley-Hamilton calculamos
primero el polinomio característico de A:
p() = det(A – I) =


















2
2
2
2
0
1
2
1
= (1 – )(-2 – )(-) – 8 – ((1)(-2 – )(-2) +
(2)(2)(1 – )) = 2 + 2
- 22
– 3
– 8 – (4 + 2 + 4 - 4) = -3
– 2
+ 4 – 16 = 0
Aplicando Cayley-Hamilton y despejando:
p(A) = -A3
– A2
+ 4A – 16I =  I = (-A3
– A2
+ 4A)/16
Pre-multiplicando ambos miembros de la última igualdad por A-1
llegamos a:
A-1
I = A-1
((-A3
– A2
+ 4A)/16) = (A-1
(-A3
) + A-1
(–A2
) + A-1
(4A))/16
 A-1
= (-A2
- A + 4I)/16
Se deja al lector la tarea de sustituir en la última ecuación por el valor de A y verificar
que el resultado que se obtiene es efectivamente A-1
.
En la clase práctica se verá otra aplicación interesante que posee el teorema de Cayley-
Hamilton relacionada con el cálculo de potencias de matrices.

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