Este documento presenta una introducción a la teoría general de superficies. Define superficies de manera intuitiva, analítica y geométrica. Clasifica las superficies según su elemento generador en regladas, cuyo generador es una línea recta, y curvas, cuyo generador es una línea curva. También clasifica las superficies radiadas según su directriz y vértice. Finalmente, describe los tipos de directrices que pueden tener las superficies curvas.

1. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Julián Conesa Pastor

2. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
 Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio
Julián Conesa Pastor

3. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
 Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio
 Analítica: Explícitamente o Implícitamente
Z = F (x,y) F(x,y,z) = 0
Julián Conesa Pastor

4. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
 Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio
 Analítica: Explícitamente o Implícitamente
Z = F (x,y) F(x,y,z) = 0
 Geométrica: Lugar geométrico engendrado cuando se desplaza
una línea recta o curva siguiendo una determinada
ley de movimiento
Julián Conesa Pastor

5. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
 Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio
 Analítica: Explícitamente o Implícitamente
Z = F (x,y) F(x,y,z) = 0
 Geométrica: Lugar geométrico engendrado cuando se desplaza
una línea recta o curva siguiendo una determinada
ley de movimiento
Plano geométrico
Julián Conesa Pastor

6. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
 Intuitiva: Lámina de espesor despreciable en el espacio
 Analítica: Explícitamente o Implícitamente
Z = F (x,y) F(x,y,z) = 0
 Geométrica: Lugar geométrico engendrado cuando se desplaza
una línea recta o curva siguiendo una determinada
ley de movimiento
Plano geométrico
generatriz
directriz
directriz
Julián Conesa Pastor

7. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
Julián Conesa Pastor

8. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
1. Pueda desarrollarse
2. Dos generatrices infinitamente próximas entre sí, se cortan en un punto
3. Cualquier plano tangente en un punto “P” de una superficie, será plano
tangente también en cualquier punto de la generatriz que pase por el punto
“P”
Julián Conesa Pastor

9. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas: limitadas por caras planas
 Radiadas: generadas obligando a que su
generatriz esté continuamente
apoyada sobre la directriz y a
pasar por un punto fijo llamado
vértice
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
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10. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
Julián Conesa Pastor

11. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
La directriz es un polígono
La directriz es una cónica de segundo orden
La directriz es una cónica de orden superior a dos
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12. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
Julián Conesa Pastor

13. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
Julián Conesa Pastor

14. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
Julián Conesa Pastor

15. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
Julián Conesa Pastor

16. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
 Tres directrices rectas
 Una directriz recta y dos directrices cónicas
 Una directriz cónica y dos directrices rectas
 Directriz helicoidal y cono o plano director
Julián Conesa Pastor

17. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
 Tres directrices rectas
 Una directriz recta y dos directrices cónicas
 Una directriz cónica y dos directrices rectas
 Directriz helicoidal y cono o plano director
 Cuádricas elípticas
 Revolución
Julián Conesa Pastor

18. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
 Tres directrices rectas
 Una directriz recta y dos directrices cónicas
 Una directriz cónica y dos directrices rectas
 Directriz helicoidal y cono o plano director
 Cuádricas elípticas: deformación de una elipse apoyando sus vértices en dos cónicas
en planos perpendiculares que se cortan según una recta que es
trayectoria del centro de la elipse generatriz
 Revolución
Julián Conesa Pastor

19. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
 Tres directrices rectas
 Una directriz recta y dos directrices cónicas
 Una directriz cónica y dos directrices rectas
 Directriz helicoidal y cono o plano director
 Cuádricas elípticas
 Revolución
 Elipsoide elíptico
 Paraboloide elíptico
 Hiperboloide elíptico
Julián Conesa Pastor

20. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
 Tres directrices rectas
 Una directriz recta y dos directrices cónicas
 Una directriz cónica y dos directrices rectas
 Directriz helicoidal y cono o plano director
 Cuádricas elípticas
 Revolución
 Elipsoide elíptico
 Paraboloide elíptico
 Hiperboloide elíptico
Julián Conesa Pastor

21. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
 Tres directrices rectas
 Una directriz recta y dos directrices cónicas
 Una directriz cónica y dos directrices rectas
 Directriz helicoidal y cono o plano director
 Cuádricas elípticas
 Revolución
 Elipsoide elíptico
 Paraboloide elíptico
 Hiperboloide elíptico
Julián Conesa Pastor

22. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
 Tres directrices rectas
 Una directriz recta y dos directrices cónicas
 Una directriz cónica y dos directrices rectas
 Directriz helicoidal y cono o plano director
 Cuádricas elípticas
 Revolución
 Elipsoide elíptico
 Paraboloide elíptico
 Hiperboloide elíptico
Julián Conesa Pastor

23. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
En función de su elemento generador
 Regladas: su elemento generador es una línea recta
 Desarrollables
 Alabeadas
 Poliédricas
 Radiadas
 Regulares
 Irregulares
 Directriz poligonal
 Directriz cónica
 Directriz orden superior
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Vértice propio
 Vértice impropio
 Curvas: su elemento generador es una línea curva
 Tres directrices rectas
 Una directriz recta y dos directrices cónicas
 Una directriz cónica y dos directrices rectas
 Directriz helicoidal y cono o plano director
 Cuádricas elípticas
 Revolución: superficie obtenida al hacer girar alrededor de una línea recta
denominada eje de revolución, una generatriz cualquiera
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24. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
Recta tangente a una superficie
Se denomina recta tangente a una superficie en
un punto “P” de ella, a la recta tangente en el
punto P, a cualquier línea recta o curva que
pase por el punto “P”
Plano tangente a una superficie
Se denomina plano tangente a una superficie en
un punto “P” de ella, al lugar geométrico
engendrado por las infinitas rectas tangentes la
superficie en el punto “P”
Recta normal a una superficie
Se denomina recta normal a una superficie en
un punto “P” de ella, a la recta que pasando por
el punto “P” es perpendicular al plano tangente
a la superficie en dicho punto
Julián Conesa Pastor

25. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
Propiedades de las relaciones de tangencias
1. Todo plano secante a una superficie
que contenga a una recta tangente
en un punto P, corta a la superficie
según una línea tangente a dicha
recta en el punto P
2. Todo plano secante que pase por un
punto P de la superficie, corta a
esta y al plano tangente a la
superficie en el punto P, según una
curva y su tangente
respectivamente
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26. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
Puntos singulares de una superficie
Se definen como puntos singulares, aquellos puntos de una superficie en los que el
lugar geométrico engendrado por las infinitas tangentes trazadas en el punto, no
forma un plano
Tipos de singularidades
Punto doble cónico Punto doble planar
Punto doble uniplanar
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27. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
Cono y cilindro circunscrito a una superficie
Se definen como tal, los lugares geométricos engendrados por las infinitas tangentes
trazadas a una superficie desde un punto cualquiera
V
Cono circunscrito (Vértice propio) Cilindro circunscrito (Vértice impropio)
Contorno aparente
Se define como el lugar geométricos engendrado por los infinitos puntos de contacto
entre la superficie y el cono o cilindro circunscrito
Contorno
aparente
Contorno
aparente
Julián Conesa Pastor

28. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
Base de los sistemas de proyección
rA
B
C D
V
A’
B’
C’
D’
m
n
s
m’
n’
s’
sm
sn
ss
p
rB
rD
rC
A
Concepto de proyección-sección
A
B
C
A’
B’
C’
V
m
n
s
m’
s’
n’
p
rA
rB
rC
Proyección central
A
B
C
A’
B’
C’
m’
n’
s’
m
n
s
p
rA
rB
rC
V
Proyección paralelaortogonal
A
B
C
A’
B’
C’
m’
n’
s’
m
n
s
p
rA
rB
rC
V
Proyección paralela oblicua
Julián Conesa Pastor

29. Teoría general de superficies Superficies técnicas Incidencia y tangencia en superficies técnicas Intersección de superficies
Definición
Clasificación de
las superficies
Recta tangente,
plano tangente y
normal a una
superficie
Puntos singulares
de una superficie
Cono y cilindro
circunscrito a
una superficie.
Contorno aparente
Representación
de superficies en
el sistema diédrico
Base de los sistemas de proyección
Visible en
proyecciones
horizontal
y vertical
Visible en
proyección
horizontal y
no visible en
proyección
horizontal
No visible en
proyecciones
vertical y
horizontal
Visible en
proyección
vertical y no
visible en
proyección
horizontal
Julián Conesa Pastor