Este documento presenta un proyecto sobre la aplicación del cálculo a la teoría de las epidemias en la carrera de bioquímica y farmacia. Describe la teoría de las epidemias y los modelos matemáticos para explicar la propagación de enfermedades. El proyecto analizará la epidemia de la influenza AH1N1 usando esta teoría para predecir el número de casos.

1. PROYECTO DE CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS I “D”
Enciclopedia Encarta: Martin Rotker/Phototake NYC
DOCENTE:
ING. RICHARD RIVERA
CARRERA:
BIOQUÍMICA Y FARMACIA
CICLO:
2° CICLO “A”
INTEGRANTES:
CANGO CANGO ANDREA CAROLINA
CHALÁN CABRERA LUCIA ALEXANDRA
PERÍODO:
MARZO/AGOSTO 2010

2. INTRODUCCIÓN:
A lo largo de los tiempos nos hemos preocupado por las epidemias y sus efectos
perniciosos sobre nuestra salud y la amenaza de morir por contagiarse de una
enfermedad.2
Dentro de las Matemáticas existe la denominada Teoría de las Epidemias que se
encarga de construir modelos matemáticos de las enfermedades.2
La teoría epidémica ha necesitado formularse una enfermedad teórica, o sea una
especie de síntesis o esqueleto en que concurra todo lo substancial y común a las
enfermedades transmisibles.1
Esta enfermedad teórica tiene las siguientes características:
1. La infección se propaga por contacto directo entre individuos infectados y
susceptibles.
2. Todo susceptible que ha estado en contacto con el enfermo desarrolla la
enfermedad en un período que no podrá exceder la unidad de tiempo usada en la
descripción de la epidemia.
3. Este nuevo enfermó será a su vez infectante para otro susceptible durante el
período siguiente.
4. Después de ocurrida la enfermedad, el individuo pasa a la condición de inmune en el
período que sigue.
5. No se considera en esta descripción la posibilidad de portadores.
6. Cada individuo tiene una probabilidad fija de estar en contacto con el o los
enfermos, y esta probabilidad se mantiene constante durante todo el curso de la
epidemia. 1

3. OBJETIVOS:
Demostrar la aplicación del cálculo en nuestra carrera por ejemplo en el estudio de
la distribución de cierta epidemia en determinada población con ayuda de la
TEORÍA DE LAS EPIDEMIAS.
Investigar en qué forma se extiende una epidemia dentro de una población, así como
su desarrollo y propagación en la misma.
MARCO TEÓRICO:
I PARTE: descripción del tema mediante el cálculo
El modelaje matemático de epidemias consiste en el uso del lenguaje y herramientas
matemáticas para explicar y predecir el comportamiento de agentes infecciosos y
potencialmente dañinos a poblaciones humanas o animales.
Suponiendo que en un determinado instante t ≥0 la población está compuesta por cuatro
clases de individuos: I (individuos infecciosos), S (no inmunizados, susceptibles todavía
no expuestos a contagio), E (no inmunizados y expuestos a contagio), R (inmunizados de
por vida o muertos).
La epidemia se propaga en la forma Siendo S(t), E(t), I(t), R(t) las
densidades de estas clases en el instante t; como es natural se cumple:
S(t) + E(t) + I(t) + R(t) . Suponemos que E(0) = R(0) = 0
La marcha de la epidemia se sujeta a las siguientes reglas:
1. Un individuo que en el instante t se vuelve infeccioso, pasa en el instante
a la clase R. Aquí es .
2. Un individuo de la clase E no se vuelve infecciosos hasta haber acumulado una
determinada cantidad de la infección. Suponiendo que en un intervalo de tiempo
de duración h, un individuo recibe la dosis siendo p un factor fijo.

4. La dosis de infección por unidad de tiempo es por lo tanto proporcional a la
densidad de los transmisores. Sea m 0 la dosis necesaria para pasar de la clase
E a la clase I. Un individuo que empieza a estar al infección en el instante t1 se
vuelve infeccioso en el instante t en que queda cumplida la
condición
3. La proporción de individuos quedan expuestos por primera vez a la infección
durante el intervalo de tiempo es proporcional a las densidades I y S o
sea: .Esta hipótesis es plausible ya que la probabilidad de que dos
individuos que se encuentran casualmente sea uno infeccioso y el otro
susceptible, es precisamente 2 . Con esto se obtiene:
4. En el instante inicial (t = 0) existe una parte I (0) de individuos que son
infecciosos. Estos tienen por supuesto un historial previo. Para o sea
I0 (t) la proporción de individuos que ya eran infecciosos en el instante t.
podemos suponer que I0 (t)es un función continua, monótona, no decreciente en
y que I0 , I0 .
Prolongamos esta función para valores positivos de t poniendo
Para t la proporción de individuos todavía infecciosos de la clase
inicial. Si la condición no llega a cumplirse para ningúnt, la
infección no se extiende: supongamos en lo que sigue que existen valores de t
que la satisfacen y sea entre todos ellos t0 el más pequeño.
Consideremos en primer lugar el intervalo . Ningún individuo de S se ha
vuelto infeccioso, pero sí se han convertido en inmunes algunos individuos de I.
Por lo tanto es I (t)= , R (t)= , 0
Se determina S(t) a partir de la ecuación:
La solución es:
Luego es E(t) = S(0) – S(t)

5. Definimos , entonces es
Sea ahora t ≥ . Puesto que los individuos solamente pueden pasar de S a E,
tiene que ser S monótona decreciente. Por ser kS = S (0) y k>1, para cada t
tiene que haber un ơ = ơ (t) mínimo con S (ơ) = k S (t).
Para este ơ se cumple
Sea ahora t . En este intervalo solamente individuos de la clase
se hacen inmunes. La población infecciosa está formada por la parte y
además aquellos individuos que, entre 0 y (t) han pasado de la clase S a la clase
E. Por lo tanto se cumple
Combinado con obtenemos la ecuación diferencial de Ricatti
.
La condición inicial correspondiente se obtiene de . La ecuación de
Ricatti se convierte, mediante la sustitución S=1/u, en la ecuación lineal
. La solución de la misma tiene la representación
explícita
,
Se puede deducir que aquí que es u(t) 0 y que u es monótona creciente. Existe
por lo tanto S(t), la cual es en efecto monótona decreciente.
Para Un individuo que en el instante t pertenezca a la clase
I tiene que estar expuesto a contagio antes del instante (t). Por otra parte, que
se hallaban en E antes de instante (t- ), en el instante t han pasado a ser
inmunes. Los individuos infecciosos en el instante t son precisamente aquellos
que entre (t- ) y (t) han pasado de la clase S a la clase E. por lo tanto es
.
Llevando la ecuación anterior a la ecuación diferencial , se obtiene
,

6. Esta es una ecuación diferencial no lineal en diferencias. La condición inicial
correspondiente en el intervalo viene dada por la solución de la
ecuación diferencial con los valores iniciales
,
La solución S existe para todos los . Si la solución es ya conocida en el
intervalo , v = 0, 1, 2…, entonces viene dada por la solución
, es una ecuación diferencial de
Ricatti en el intervalo cuya solución puede de nuevo
obtenerse por medio de una ecuación lineal.
Del teorema de existencia y unicidad se sigue que S(t) es siempre no negativa. Si
para un cierto es para t . También aquí resulta fácil ver que es
efectivamente monótona decreciente.
figura1 figura 2
En las figuras 1 y 2 se representa el comportamiento de las funciones I y S en un caso
típico, a saber para m=1/10, p = 1, =1 y distintos r, donde
,
Es digno de notar el hecho de que la función S tiende hacia un límite distinto de 0.

7. II PARTE: APLICACIÓN Y MOTIVO
Para el segundo bimestre nosotras vamos a aplicar esta teoría en el estudio de la
influenza AH1N1, hemos escogido este tema porque es algo reciente y actual y gracias
a la ayuda de esta teoría podemos sacar matemáticamente el número de casos que
produce esta epidemia, probando como a través del cálculo se puede predecir el
trayecto de propagación de esta epidemia en la población mundial.
A través de esta teoría podemos corroborar el número de personas que fueron
infectadas con esta influenza, así como las personas inmunes a esta, las personas no
inmunizadas expuestas a contacto y no expuestas, obteniendo resultados parecidos a
los obtenidos por la OMS, la cual utilizo la matemática para ver por ejemplo la cantidad
de vacunas necesarias para bajar el índice de personas infectadas, buscando una
solución.
BIBLIOGRAFÍA:
- Introducción:
1. http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/lb/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/a
rmijor/cap1/7cap1.html
2. http://es.wikipedia.org/wiki/Modelaje_matem%C3%A1tico_de_epidemias. Por Eric
M. Staib. (Publicado el 22 de octubre de 2009). Traducido del inglés. El artículo
original se encuentra aquí: http://mises.org/story/3792.
- Marco Teórico:
Fórmulas y gráficos (descripción del cálculo presente en el proyecto):
1. KP Hadeler. Matemáticas para biólogos. Teoría de las Epidemias. Sección 60. Págs.
191-194. Editorial Reverteré. España 1982.