TEORÍA DINAMICA-MINERVA.pdf

FÍSICA
Dinámica I
Primera Ley de Newton
Segunda Ley de Newton

Conocer la propiedad de la materia:
inercia, su manifestación y su
medida.
Conocer las causas físicas de los
cambios en la velocidad.
Aplicar las leyes de newton a
situaciones problemáticas.
Objetivos
1 ANUAL UNC
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ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
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IAS(ctJWl>OTIJINCIIUOI

Con Cinemática, logramos conocer la
posición, la velocidad e incluso hemos
calculado la aceleración de un cuerpo; sin
embargo, no hemos analizado algunas
cuestiones fundamentales: ¿qué hace
que un objeto abandone el estado de
reposo, acelere y cambie la dirección de
su movimiento?.
Estas cuestiones lo explica la Dinámica,
mediante la 1era y 2da Ley de Newton.
El concepto que trasciende desde estas
leyes, es la Fuerza Resultante, pues la
usaremos en Impulso, en Gravitación y
demás fenómenos que involucren cambios
de velocidad.
Son muchos los problemas de la ingeniería
que requieren la aplicación de estos
principios.
…El cambio de velocidad de la pelota de béisbol,
demanda la acción de una intensa fuerza resultante…
Esto pone en evidencia una interacción violenta en virtud a
la velocidad de la pelota y la inercia del bate…
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DINÁMICA
Parte de la física que estudia acerca de
las causas que originan los cambios en
la velocidad que experimentan los
cuerpos.
Es decir:
Causa
física
Efecto
físico
Cambios
en la
velocidad
¿?
INERCIA
Para comprenderla, vamos a
examinar las siguientes situaciones
Caso I
Caso II
Cuando un cuerpo esta en reposo,
manifiesta una tendencia a mantener su
estado de reposo, lo cual también se
puede entender como una oposición a
cambiar su estado de reposo
Cuando un cuerpo ya se esta moviendo,
manifiesta una tendencia a mantener su
estado de movimiento, lo cual también se
puede entender como una oposición a
cambiar su estado de movimiento.
La inercia es una propiedad de los
cuerpos que se manifiesta como una
oposición natural y espontánea, a
cambiar su estado mecánico, ya sea de
reposo o de movimiento
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VIDEO COMPLETO: https://www.youtube.com/watch?v=49--2XdNv-8
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Se puede medir el grado de inercia que
presenta un cuerpo esto mediante la
magnitud escalar denominada masa, cuya
unidad de medida es el kilogramo.
PRIMERA LEY DE NEWTON
En consecuencia, esta ley conocida
también como la ley de Inercia, nos
establece lo siguiente:
`` todo cuerpo tiende a mantener su
estado mecánico de reposo o de
movimiento uniforme rectilíneo, hasta
que sobre el actué una fuerza externa´´
m M
A
mayor
masa
mayor tendencia
a mantener su
estado mecánico
mayor
INERCIA
Veamos como funciona esta ley:
Caso 1: centremos nuestra atención en
los bloques….
Caso 2: centremos nuestra atención en
las esfera blanca…
En general podemos asegurar que son las
fuerzas las responsables de los cambios
en el estado mecánico de los cuerpos.
Pero…. ¿Qué fuerzas?
¿todas las fuerzas?
v = 0 v = 0
v v
Se puede entender:
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SEGUNDA LEY DE NEWTON
Analicemos lo siguiente:
F F
F
𝐹
𝑔
R
➢ Al bloque en reposo le aplicamos una fuerza horizontal sobre
una superficie lisa.
El bloque acelera y sobre él hay una fuerza resultante en la
misma dirección.
➢ Ahora lancemos al bloque sobre la superficie rugosa.
𝐹
𝑔
𝑓𝑁
𝑓𝑘
El bloque desacelera y sobre él hay una fuerza resultante en
la misma dirección que la aceleración.
a
Conclusión:
v = 0
F
v
v = 0
a
Todo movimiento acelerado o desacelerado que
experimenta un cuerpo o sistema es causado por una
fuerza resultante.
A mayor 𝑭𝑹 se obtiene
mayor 𝒂
⟹ 𝒂 𝑫. 𝑷 𝑭𝑹
A mayor Masa se obtiene
menor 𝒂
⟹ 𝒂 𝑰. 𝑷 𝒎
Ԧ
𝑎 =
𝑭𝑹
𝑚
Por tanto:
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En general:
F
𝒎
Ԧ
𝐹𝑅 = 𝑚 Ԧ
𝑎
𝑎
Ԧ
𝑎 =
𝑭𝑹
𝑚
Donde:
𝑚: masa del cuerpo o sistema en kg
Ԧ
𝑎: aceleración en m/𝑠2
La Ԧ
𝐹𝑅 y la Ԧ
𝑎 presentan la misma
dirección independientemente de
la dirección del movimiento.
* Una fuerza resultante ( Ԧ
𝐹𝑅) en la
misma dirección que la velocidad
( Ԧ
𝑣)
𝐹𝑅
𝑣
𝑎
Produce aumento de la velocidad
(movimiento acelerado)
* Una fuerza resultante ( Ԧ
𝐹𝑅 )
contraria a la dirección de la
velocidad ( Ԧ
𝑣)
𝑣
𝑎
𝐹𝑅
Produce disminución de la velocidad
(movimiento desacelerado)
Por ejemplo, en un MPCL la fuerza
resultante es la fuerza de
gravedad.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝐹
𝑔
𝐹
𝑔
𝐹
𝑔
𝑎 = g
𝑎 = g
𝑎 = g
La fuerza resultante al no ser
paralela con la velocidad produce
cambios en la dirección de la
velocidad, también en su módulo o
en ambos a la vez.
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APLICACIÓN
Un bloque de 5 kg se mueve horizontalmente hacia la
izquierda sobre un piso liso. Si en el instante mostrado
actúan las fuerzas mostradas.
Entonces es posible que en ese momento el bloque este:
A) Moviéndose a la derecha desacelerando con 3 m/s2.
B) Moviéndose a la izquierda acelerando con 3 m/s2.
C) Moviéndose a la derecha acelerando con 5 m/s2.
D) Moviéndose a la izquierda desacelerando con 5 m/s2.
E) Moviéndose a la derecha acelerando con 3 m/s2.
RESOLUCIÓN
Graficamos el DCL del bloque:
𝐹
𝑔
𝑅
Observe que la fuerza resultante es hacia la derecha.
⇨ la aceleración esta dirigida hacia la derecha.
𝑎
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝐹𝑅 = 𝑚 𝑎
20 − 5 = 5 𝑎
𝑎 = 3
𝑚
𝑠2
▪ Si el bloque se mueve a la izquierda tiene que desacelerar.
▪ Si el bloque se mueve a la derecha tiene que acelerar.
∴ CLAVE: E
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APLICACIÓN
Determine el módulo de la aceleración
de los bloques y el módulo de la
reacción entre los bloques si el piso es
liso. (mA= 3 kg; mB= 2 kg).
Observación:
En forma práctica, para determinar el
módulo de la fuerza resultante, si
conocemos la dirección de la
aceleración, usaremos:
𝑭𝑹 = ෍
𝑭𝑼𝑬𝑹𝒁𝑨𝑺
𝑨 𝑭𝑨𝑽𝑶𝑹
𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝒂
− ෍
𝑭𝑼𝑬𝑹𝒁𝑨𝑺
𝑬𝑵 𝑪𝑶𝑵𝑻𝑹𝑨
𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝒂
RESOLUCIÓN
Piden el módulo de la aceleración (𝒂) y de la reacción entre los bloques (R)
12 N
7 N
A B
Si analizamos al sistema (bloque A-B), sobre éste hay fuerza resultante por
tanto acelera.
𝐹𝑅(𝑠𝑖𝑠𝑡) = 𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑎
12 − 7
𝑎 = 1𝑚/𝑠²
12 N 7 N
A B
Analizamos al bloque B:
𝐹𝑅(𝐵) = 𝑚𝐵𝑎
𝑅 − 7
𝑅 = 9𝑁
R R
𝑎
𝐹𝑔(𝑠𝑖𝑠)
𝑅𝑝𝑖𝑠𝑜
= 5 𝑎
𝑎
𝐹𝑔(𝐵)
𝑅2
= 2(1)
Separando imaginariamente a los bloques.
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APLICACIÓN
El bloque de 7,1 𝑘𝑔 es lanzado sobre la
superficie horizontal rugosa con la cual tiene
un coeficiente de rozamiento cinético de 0,6.
Determine la aceleración que presentará el
bloque. (g = 10 m/𝑠2
)
RESOLUCIÓN:
𝑣
𝑎 𝑣𝑓 = 0
𝑣0
𝑓𝑁 = 𝑚𝑔
𝒇𝒌
𝒖𝒌 = 𝟎, 𝟔
𝐹
𝑔 = 𝑚𝑔
En el problema, la fuerza con que la mano
impulsa al bloque, solo actúa mientras la
mano esta en contacto con el bloque.
El bloque continua en movimiento debido a
su inercia.
La 𝒇𝒌 actúa en contra del
movimiento, frenando al cuerpo.
Aplicando la 2da Ley de Newton:
𝐹𝑅 = 𝑚𝑎
𝑓𝑘 = 𝑚𝑎
𝑢𝑘 𝑓𝑁 = 𝑚𝑎
𝑢𝑘 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎
𝑎 = 𝑢𝑘 𝑔
Reemplazando datos:
𝑎 = 0,6(10) 𝑎 = 6 𝑚/𝑠2
APLICACIÓN
Se lanza verticalmente hacia arriba
una esfera de 2kg, determine el
módulo de la aceleración cuando
asciende y cuando desciende.
Considere que el aire le ejerce una
fuerza de módulo constante igual a
8N. (g=10m/s²)
RESOLUCIÓN:
Cuando asciende:
𝐹
𝑔=20N
𝐹𝐴=8N De la segunda ley de
Newton.
20 + 8
𝑎 = 14 m/s²
Cuando desciende:
De la segunda ley
de Newton.
𝐹
𝑔=20N
𝐹𝐴=8N
20 – 8
𝑎 = 6 m/s²
v Ԧ
𝑎
= 2 𝑎
v
= 2 𝑎
Ԧ
𝑎
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RESOLUCIÓN
APLICACION
𝑣𝑓 = 0
𝑑
𝑭𝒈 = 𝒎𝒈
𝑣0 = 6 𝑚/𝑠
Aplicando la ecuación:
𝑣𝑓
2
= 𝑣0
2
− 2𝑎𝑑
0 = 62 − 2𝑎𝑑
2𝑎𝑑 = 36
𝑑 = 18/𝑎
Reemplazando datos:
𝑎 = 0,3(10) 𝑎 = 3 𝑚/𝑠2
Reemplazando en (1):
… (1)
𝒇𝒌
𝒖𝒌 = 𝟎, 𝟑
Piden el recorrido del bloque hasta
que se detiene (𝑑).
Como las fuerzas que actúan sobre el
bloque son constantes, el bloque
presentará aceleración constante; por
tanto realizará un MRUV.
sabemos que cuando un cuerpo es lanzado
sobre una superficie horizontal rugosa,
este frenará con una aceleración de
módulo:
𝒂 = 𝒖𝒌 𝒈
𝑎 = 𝒖𝒌. 𝒈
𝒇𝑵 = 𝒎𝒈
𝑑 = 6 𝑚
𝑑 = 18/3
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APLICACIÓN RESOLUCIÓN
El bloque de 6 kg acelera a razón de 3 m/s2
debido a la fuerza constante F = 50 N. Calcule
la fuerza de rozamiento entre el piso y el
bloque.
Piden “𝑓𝐾”: módulo de la fuerza de rozamiento entre el piso y el bloque
53°
𝑎
Realizamos el DCL
𝐹
𝑔 = 60𝑁
𝑓𝐾
𝑓𝑁
30N
40N
De la segunda ley de Newton: 𝐹𝑅 = 𝑚 𝑎
𝑓𝐾
𝑓𝐾 = 12𝑁
Si el bloque acelera es porque sobre él hay una fuerza resultante.
30 − = 6 (3)
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RESOLUCIÓN
Si el bloque es soltado en el plano
inclinado liso. Determine la
aceleración que presentará.
(𝑔 = 10 𝑚/𝑠2 )
Piden determinar la aceleración del
bloque.
Realicemos el DCL del bloque:
37°
APLICACIÓN
𝒂
𝐹
𝑔 = 𝑚𝑔
𝑅
𝜃
𝜃
De la 2° ley de Newton
𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 𝑎
𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑎 = (10)(𝑠𝑒𝑛 37°)
𝑎 = 6 𝑚/𝑠2
(constante)
𝑎 = 10(0,6)
𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛(0°)
𝒂 = 𝟎 𝑚/𝑠2
El bloque realiza MRU
Casos especiales:
𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛(90°)
𝒂 = 𝒈 𝑚/𝑠2
El bloque realiza MVCL
𝒂 = 𝒈
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APLICACIÓN RESOLUCIÓN
Se pide el módulo de la aceleración de los bloques.
𝑎
𝑎
DATO: Los bloques presentan igual módulo de aceleración.
D.C.L.
𝑇
𝑅𝐴
𝐹𝑔(𝐴)
Aplicamos la 2𝑑𝑎
Ley de Newton
en el bloque de 6kg:
𝑇 = 6𝑎 …. (I)
D.C.L.
𝐹
𝑔 = 40 N
𝑇
Aplicamos la 2𝑑𝑎
Ley de Newton
en el bloque de 4kg:
− 𝑇 = 4𝑎
40 …. (II)
Reemplazando (I) en (II) obtenemos:
40
40 = 4𝑎 + 6𝑎
40 = 10𝑎
𝑎 = 4 𝑚/𝑠2
−6𝑎 = 4𝑎
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Para apagar un incendio forestal, un
helicóptero traslada un tanque de agua
como se indica, si la cuerda que
sostiene al tanque, siempre forma el
mismo ángulo con la vertical,
determine el modulo de la aceleración
del helicóptero (g = 10 m/𝑠2
)
37
RESOLUCIÓN
Nos piden el módulo de la aceleración
del helicóptero.
Es evidente que dicha maquina acelera
por efecto de las fuerzas impulsoras de
sus motores, cosa que no conocemos.
Lo que si sabemos es que la cuerda
que sostiene al tanque siempre forma
el mismo ángulo con la vertical, ello
nos lleva a pensar en que ambos se
mueven como un solo cuerpo y en
consecuencia presentaran una misma
aceleración.
Por lo tanto examinaremos al tanque
de agua y determinaremos su
aceleración
37
Haciendo el
DCL
a
mg
T
APLICACIÓN
𝑭𝑹
𝐹𝑅
𝑚g
= tan 37°
𝐹𝑅= mg tan 37°
a = 10 (
3
4
)
Reemplazando:
a = 7,5 m/𝑠2
T
mg
37°
m𝑎 = mg tan 37°
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APLICACIÓN
RESOLUCIÓN
Piden el coeficiente de rozamiento (𝜇𝑠) entre el libro y el coche
Para determinar ello vamos hacer una separación imaginaria entre el libro y el coche
𝐹
𝑔 = 10𝑚
𝑓𝑁
𝑓𝑁
𝑓𝑠 𝑚á𝑥
En este caso, al acelerar el coche, el libro
tiende a ir hacia atrás por lo que la fuerza de
rozamiento es quien e permite retroceder.
Además note que tanto el coche como el libro
presentan la misma aceleración ya que ambos
se mueven como un solo cuerpo (sistema).
Usando la segunda ley de Newton para el libro
𝐹𝑅 = 𝑚𝑎
𝑓𝑠 𝑚á𝑥 = 𝑚(2)
𝜇𝑠𝑓𝑁 = 𝑚(2)
𝜇𝑠(10𝑚) = 𝑚(2)
𝜇𝑠 = 0,2
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FÍSICA
Dinámica II
Dinámica Circunferencial

Objetivo
Aplicar la segunda ley de Newton
al estudio del movimiento
circunferencial.
Relacionar las aceleraciones
centrípeta y tangencial con las
fuerzas que lo producen.
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En la primera parte de este capítulo
hemos aplicado a segunda ley de
Newton al análisis de los movimientos
rectilíneos, sin embargo esta ley no se
restringe solo a estos movimientos, sino
que también nos permite comprender y
sobre todo aplicar los movimientos
parabólicos, elípticos y en particular al
movimiento circunferencial, desde el
movimiento de una piedra atada a una
cuerda, un auto dando vueltas
alrededor de una plaza, partes de
sistemas mecánicos(sistemas robóticos,
de transporte terrestre, marítimo y
aéreo), hasta el movimiento de
proyectiles y satélites.
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DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL
Consideremos lo siguiente:
Una pequeña esfera de masa m atada a una
cuerda cuyo extremo libre se engancha a un
soporte fijo, sobre una mesa horizontal lisa,
tal como se muestra, si le damos un golpe en
forma paralela a la mesa ¿Qué ocurre con la
esfera?
Mesa
lisa
Punto
fijo
cuerda
Haciendo el DCL de la esfera:
En la vertical, hay equilibrio, las fuerzas se
compensan.
En el plano de la mesa, existe una
fuerza que siempre apunta hacia el
centro de la trayectoria, la cual no
esta equilibrada, por lo que pasa a
ser la fuerza resultante, a esta
resultante dirigida hacia el centro de
giro se le denomina: fuerza
centrípeta ( Ԧ
𝐅𝐜𝐩), la cual origina una
aceleración también dirigida hacia el
centro a la cual se le denomina
aceleración centrípeta (𝐚𝐜𝐩)
Se tiene:
Ԧ
𝐹𝑐𝑝 = Ԧ
𝑎𝑐𝑝
O
Donde:
Ԧ
𝐹𝑐𝑝: fuerza centrípeta (N)
Ԧ
𝑎𝑐𝑝: aceleración centrípeta (m/s2)
m : masa (kg)
Luego del golpe la esfera comienza moverse, en
trayectoria circunferencial, respecto al punto
fijo, que resulta ser el centro de la trayectoria.
O
Ԧ
𝐹𝑅 = 𝑚 Ԧ
𝑎
Aplicando la segunda ley de Newton:
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Observaciones
Hagamos una vista de planta
La fuerza centrípeta es perpendicular a la
velocidad, por lo tanto esta fuerza solo origina los
cambios en la dirección de la velocidad, medidos
por la aceleración centrípeta, por lo que la esfera
realizará un MCU.
1.-
2.- Respecto de la fuerza centrípeta
Es una fuerza resultante y siempre esta dirigida hacia el centro de la
trayectoria.
Su módulo:
𝑭𝒄𝒑 = 𝚺𝑭
𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂
𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐
− 𝚺𝑭
𝒔𝒂𝒍𝒆𝒏
𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐
3.- Respecto de la aceleración centrípeta
Su módulo:
𝒂𝒄𝒑 =
𝒗𝟐
𝒓
= 𝝎𝟐
𝒓
Tener en cuenta:
𝝎 =
𝟐𝝅
𝑻
= 𝟐𝝅𝒇
Donde:
v = rapidez lineal o tangencial
𝜔 = rapidez angular
𝑟 = radio de la trayectoria
𝑇 = periodo
𝑓 = frecuencia
v
v
v
𝑭𝒄𝒑
𝑭𝒄𝒑
𝑭𝒄𝒑
𝒂𝒄𝒑
𝒂𝒄𝒑
𝒂𝒄𝒑
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RESOLUCIÓN
APLICACIÓN
Para determinar la tensión en
la cuerda, realicemos el D.C.L.
de la esfera y apliquemos la
2da Ley de Newton:
𝑇
𝐹
𝑔
𝑅
𝐹𝑐𝑝 = 𝑚 𝑎𝑐𝑝
𝑻 = 𝑚 𝑣2
𝑟
𝑻 = 0,3 82
0,4
𝑻 = 0,3(
64
0,4
)
𝑻 = 48 N
𝑣 = 𝜔𝑟
𝑣 = 2𝜋/0,1𝜋 0,4
𝑣 = 2𝜋/𝑇 𝑟
𝑣 = 8 𝑚/𝑠
Piden la rapidez tangencial de la
esfera y la tensión en la cuerda:
En el MCU, la rapidez
tangencial (𝑣 ) lo calculamos
así:
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APLICACIÓN
RESOLUCIÓN
Se pide el coeficiente de rozamiento.
Segunda ley de Newton en la recta
radial. Considerando que el cuerpo está
a punto de resbalar.
𝑓𝑆𝑚á𝑥
𝑓𝑆𝑚á𝑥
= 𝑚 𝜔2
r
𝑓𝑁
La fuerza de rozamiento permite que una
persona pueda girar sin deslizar en un disco
con 3 m de radio. ¿Qué coeficiente de
rozamiento deberá tener las superficies para
permitir que una persona gire con 1,5 rad/s
sin deslizar?
(g =10 m/s2)
r=3m
𝐹
𝑔= mg
𝑎𝑐𝑝
µ𝑠 𝑓𝑁 = 𝑚 𝜔2 r
µ𝑠 𝑚 𝑔 = 𝑚 𝜔2 r
µ𝑠 𝑔 = 𝜔2 r
µ𝑠 (10) = (1,5)2 (3)
µ𝑠 = 0,675
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𝒂
𝑭𝑹
o
R
𝜔: 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎
v
Eje tangencial
Eje radial
𝑎𝑇
𝑎𝑐𝑝
𝐹𝑇
𝐹𝑐𝑝
En el eje radial
Ԧ
𝑎𝑐𝑝 =
𝑭𝒄𝒑
𝑚
𝑎𝑐𝑝 =
𝑣2
𝑟
= 𝜔2
𝑟
En el eje tangencial
Ԧ
𝑎𝑇 =
Ԧ
𝐹𝑇
𝑚
𝑎𝑇 = 𝛼 𝑅
Además en cada instante:
𝑎 = 𝑎𝑇
2 + 𝑎𝑐𝑝
2
𝐹𝑅 = 𝐹𝑇
2
+ 𝐹𝑐𝑝
2
ejemplos
Consideramos una esfera atada a una cuerda girando en un plano vertical
A
B
C
D
𝑇1
𝑇2
𝑚𝑔
𝑇3
𝑚𝑔
𝑚𝑔
𝑇4
𝜃
𝑚𝑔 cos 𝜃
𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃
Punto A
𝐹𝑐𝑝 = 𝑇1 + 𝑚𝑔
Punto B
𝐹𝑐𝑝 = 𝑇2
Punto C
𝐹𝑐𝑝 = 𝑇3 − 𝑚𝑔
Punto D
𝐹𝑐𝑝 = 𝑇4 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚𝑔
Cuando la esfera se encuentra en el punto mas alto, la tensión es mínima.
Cuando la esfera se encuentra en el punto más bajo, la tensión es máxima.
Observaciones:
g
𝐹𝑇 = 0
𝐹𝑇 = 𝑚𝑔
𝐹𝑇 = 0
𝐹𝑇 = 𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃
En general:
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APLICACIÓN
RESOLUCIÓN
𝐹
𝑔 = 4𝑁
Se pide: T
𝑇
Datos:
𝑚 = 0,4 𝑘𝑔
𝑣 = 8 𝑚/𝑠
𝐹𝐶𝑝 = 𝑚. 𝑎𝐶𝑝
𝑟 = 4𝑚
𝑇 − 𝐹
𝑔 = 𝑚(
𝑣2
𝑟
)
Reemplazando datos:
𝑇 − 4 = 0,4 (
82
4
)
𝑇 − 4 = 6,4
𝑇 = 10,4 𝑁
DCL de la
esfera en A
(Tensión de la cuerda en el punto A)
Eje radial
De la 2da Ley de Newton, en el Eje radial:
𝑎𝐶𝑝 =
𝑣2
𝑟
𝑔
𝑎𝐶𝑝
𝐴 Eje Tangencial.
Como el movimiento es en el plano vertical,
trazamos los ejes radial y tangencial, que
pasan por el punto “A”
𝑣 = 8𝑚/𝑠
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APLICACIÓN
RESOLUCIÓN
T2
T1
F𝑔 = 10 𝑁
F𝑔 = 10 𝑁
𝑎cp(1)
𝑎cp(2)
𝑟
𝑟
T2 − F𝑔
T2 − T1
(2)
(1)
Hagamos el DCL en cada posición
F𝑐 = 𝑚𝑎𝑐
Por condición del problema, la esfera en las
posiciones (1) y (2) presentan la misma
masa, rapidez, por lo tanto:
F𝑐𝑝(2) = F𝑐𝑝(1)
𝑎𝑐(1) = 𝑎𝑐(2)
F𝑐 = 𝑚
𝑣2
𝑟
De la segunda ley de Newton para el
movimiento circunferencial:
= T1 +F𝑔
T2 − T1 = 20 𝑁
= 2F𝑔
Eje radial
Nos piden la diferencia de tensiones
entre los puntos 1 y 2
Tener en cuenta que la fuerza centrípeta es
la fuerza resultante y esta dirigida hacia el
centro de la trayectoria.
𝑇2 − 𝑇1
Es decir:
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APLICACIÓN
La bolita de 2 kg, unida a una
cuerda, describe un movimiento
circunferencial en un plano vertical.
Cuando la medida del ángulo 𝜃 es
37°, el módulo de la fuerza
resultante sobre la bolita es 15 N.
Para dicho instante, calcule su
rapidez. (g = 10m/s2)
RESOLUCIÓN
𝑣
Piden 𝑣
De la dinámica circunferencial:
𝐹𝑐𝑝 = 𝑣2
… (1)
Del gráfico de fuerzas se tiene
𝐹𝑐𝑝 = 𝑚𝑎𝑐𝑝
T
20N
37°
12N
16N
𝐹𝑅 = 15𝑁
𝐹𝑐𝑝 = 𝑚
𝑣2
𝑅
𝐹𝑐𝑝 = 2
𝑣2
2
Reemplazando en (1)
9 = 𝑣2
𝑣 = 3 m/s
De triangulo notable 𝐹𝑐𝑝 = 9𝑁
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APLICACIÓN
𝑚𝑔
𝑓𝑁
𝑎𝑐𝑝
Realizamos el DCL del niño en la parte mas
baja:
En el eje radial
𝑓𝑁 − 𝑚𝑔 = 𝑚
𝑣2
𝑟
20 =
𝑣2
0,8
16 = 𝑣2
𝑣 = 4 𝑚/𝑠
RESOLUCIÓN:
Piden la rapidez (𝑣) con que el niño pasa por la
parte más baja de su trayectoria:
𝑣
30𝑚 − 10𝑚 = 𝑚
𝑣2
0,8
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.......

APLICACIÓN
𝑜
𝜃
La esfera se mueve sobre una superficie semiesférica lisa.
Si en el punto A, la fuerza de reacción tiene un modulo de
60N. Calcule el módulo de la aceleración centrípeta.
( 𝑚 = 5𝑘𝑔 ; 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2
; 𝜃 = 37° ).
𝑨
𝑔
RESOLUCIÓN
Nos piden 𝑎𝑐𝑝:
Realizamos el D.C.L. de la esfera en el punto A:
𝑔
𝐹
𝑔 = 50𝑁
37°
40𝑁 30𝑁
Aplicando la 2da Ley
de Newton:
𝑅 − 40 = 𝑚 𝑎𝑐𝑝
60 − 40 = 5 𝑎𝑐𝑝
20 = 5 𝑎𝑐𝑝
𝑎𝑐𝑝 = 4𝑚/𝑠2
𝑅 = 60𝑁
Recta radial.
Recta tangencial
1 ANUAL UNC
4/iM�NERVA
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.......

RESOLUCIÓN
APLICACIÓN
𝑔 = 10 Τ
𝑚 𝑠2
𝑭𝒈
𝑭
37𝑜
𝑭𝑿
𝑭𝒀
= 𝑚𝑔
= 𝑚𝑔
= 𝑚𝑔 tan 37𝑜
37𝑜
En la dirección vertical : Equilibrio
→
𝑭𝑿
𝝎𝟐
𝒓
𝑚𝑔 tan 37𝑜
=
→ 10
3
4
= 25𝑟
𝑟 = 0,3𝑚
→
𝑟 = 30𝑐𝑚
𝒓
𝑶
∙
Haciendo el DCL de la esfera
𝑚 52
𝑟
Nos piden determinar el radio de la
trayectoria que realiza la esfera: 𝒓
෍ 𝐹(↑) = ෍ 𝐹(↓)
𝐹𝑌 = 𝑚𝑔
En la dirección radial :
De la segunda ley de Newton
1 ANUAL UNC
4/iM�NERVA
�
.......

APLICACIÓN
𝐹
𝑔 = 10𝑚
𝟏𝟎 𝑭
𝟓𝑭
𝟖 𝑭
𝟔 𝑭
𝟑 𝑭
𝟒 𝑭
Plano vertical (Equilibrio)
8𝐹 = 10𝑚 + 3𝐹
Plano horizontal (Dinámica)
6𝐹 + 4𝐹 = 𝑚𝑎𝑐𝑝
𝐹 = 2𝑚
→
Realizamos el D.C.L. de la esfera:
…(1)
……(2)
Reemplazando de ( 1 ) en ( 2 ):
10𝑭 = 𝑚𝑎𝑐𝑝
10 (𝟐𝒎) = 𝑚 (𝝎𝟐𝒓)
𝜔2
= 100
20 = 𝜔2
(𝟎, 𝟐)
𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠
RESOLUCIÓN:
Piden la rapidez angular de la esfera.
1 ANUAL UNC
4/iM�NERVA
�
.......

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