Teselaciones en el plano

1. TESELACIÓN EN EL PLANO
Se llama mosaico o teselación a todo recubrimiento
del plano mediante piezas llamadas teselas.

2. CONDICIONES
Los mosaicos no pueden superponerse.
Los mosaicos no pueden dejar huecos sin recubrir.
El número de mosaicos diferentes es ilimitado.
Los mosaicos pueden ser más o menos variados,
pero todos ellos tienen un motivo mínimo que se
repite. Ese motivo mínimo se llama tesela.
Si una figura, formada por uno o más polígonos, es
un motivo mínimo para construir un mosaico,
decimos que tesela el plano. (Los ángulos que
concurren en un vértice tienen que sumar 360º para
que no queden huecos.)

3. Las teselaciones han sido utilizadas en todo el
mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir
suelos y paredes, e igualmente como motivos
decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc...
El artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898-
1972) se divirtió teselando el plano con figuras de
distintas formas, que recuerdan pájaros, peces,
animales....

4. TIPOS DE TESELACIONES
Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado
especialmente por las teselaciones poligonales. Como suele ocurrir
en matemáticas, empezaremos estudiando los casos más sencillos,
y a partir de ahí la imaginación de cada uno.
-Mosaicos regulares: cuando se utiliza únicamente un polígono
regular. Solo es posible construir tres tipos de mosaicos utilizando
como tesela un único polígono regular.
-Mosaicos semiregulares: son aquellos mosaicos que están
formados por la combinación de dos o más polígonos regulares.

5. MOSAICOS REGULARES

6. MOSAICOS SEMIREGULARES

7. LA ALHAMBRA DE GRANADA
La religión islámica prohíbe la representación de figuras de la
naturaleza. Por tal motivo, sus manifestaciones artísticas buscan
la belleza en los diseños geométricos, especialmente en los
mosaicos. El arte de llenar el plano por repetición de figuras
alcanzó su máxima expresión en la España musulmana, durante el
siglo XIII, bajo el reinado de la Dinastía Nazarí. En La Alhambra de
Granada se encuentran los mejores mosaicos.
Las cuatro baldosas que más se repiten en los mosaicos de La
Alhambra se llaman "el hueso", "el pez volador", "el avión" y "la
pajarita". Las tres primeras se obtienen a partir del cuadrado y la
última a partir del triángulo, mediante el principio de "variar la
forma pero mantener la superficie". Pero hay muchos otros
diseños.

8. “EL AVIÓN”
La transformación de un polígono regular en otra figura
de igual superficie produjo formas desconocidas hasta
entonces en la historia del Arte.

9. “EL HUESO”

10. “EL PAJARITO”

11. Otros mosaicos tienen su origen en el solapamiento de polígonos.
Combinando cuadrado y rotación se crea una estructura que reina en la
Alhambra sobre todas: “El sello de Salomón”.

12. OTRAS TESELACIONES

13. ENSEÑANZA DE TESELACIONES EN EL PLANO
-Se les dará una pequeña introducción o reseña.
-Trabajaran con uno o dos compañeros armando
conjeturas y luego sacaremos conclusiones en la puesta
en común.
-Institucionalización: Se llaman mosaicos regulares a los
formados por triángulos equiláteros, cuadrados o
hexágonos regulares.
Es curioso el hecho de que ningún otro polígono regular
tenga la propiedad de teselar. En cambio, cualquier
triángulo, cuadrilátero o hexágono, por muy irregulares
que sean, poseen esa propiedad.
Que sucede con los polígonos que no cumplen esta
propiedad.

14. En esta oportunidad vas a aplicar la suma geométrica de
ángulos consecutivos a la construcción de mosaicos.
Los antiguos romanos llamaban tesela a cada una de las piezas
de un mosaico. Por eso, los mosaicos también se llaman
teselaciones y por la misma razón, teselar el plano es recubrirlo
con mosaicos. La única condición es que las piezas no se
superpongan y que no queden huecos.
ACTIVIDAD 1:
a)Trabaja con tus compañeros con un conjunto de polígonos
iguales (triángulos de cualquier forma, cuadrados, rectángulos,
rombos, trapecios, pentágonos regulares, hexágonos regulares).
Traten de cubrir una hoja de papel, sin dejar espacios, como si
fueran albañiles cubriendo un piso con mosaicos.

15. Esta actividad, repetida cada vez con una colección
diferente de figuras iguales, les dará oportunidad para
conversar acerca de la posibilidad de teselar o no una
superficie según los ángulos del polígono empleado y
también sobre la búsqueda de posiciones determinadas
para lograrlo.
b) Responde en tu carpeta: En una teselación,
1. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos consecutivos que
tienen el vértice común?
2. ¿Cuáles de los polígonos regulares permiten recubrir el
plano con un mosaico?
3. ¿Qué sucede con los ángulos de los pentágonos
regulares?

16. ENSEÑANZA DE TESELACIONES EN UN
ENTORNO INFORMÁTICO
Como teselar el plano construyendo un mosaico a
partir de un cuadrado, lograr “El hueso” de la
alhambra. Luego a partir de giros

18. OTRAS ACTIVIDADES CON GEOGEBRA
La misma actividad que realizaron los alumnos en
formato papel la pueden realizar con GeoGebra, será
mas ágil y al tener varias herramientas, entre otras
de giro, copiar, pegar, etc; serán más ricas las
conjeturas que podremos utilizar para
institucionalizar.
También podrán trabajar con polígonos regulares de
nueve, diez, once y doce lados ya que en formato
papel son difíciles de dibujar.