El documento presenta los objetivos y contenido de un libro sobre topografía 11. Los objetivos generales son brindar conocimientos teóricos y prácticos sobre topografía que sirvan de guía para estudiantes y profesionales. El contenido consta de 7 capítulos que cubren temas como altimetría, altplanimetría, movimiento de tierras, nivelación para riego y aplicaciones topográficas a obras de construcción y urbanas.

1. alguno que re~na los requisitos antes menciQnados.
no existe textoya quesemestrales que se impa~ten a~tualment~,
para los cursosque sea útilse refiere yáreaque a estalo
:2
topografía encon lasecuencia lógica de los temas ~elacionados
que proporcione unala asignatura' TOPOSRAFIA 11,de .t ext o de
De aqui surge la netesidad 'primo~dial de elaborai el libro
programa artalitico de ~eterminada asignatura.
constituyen elquetemaslbSprincip~les decaracterísticas
lasreúnaprofesional)profesor o(estudiante,us ua r .io
inquietudes delademás de'saciar laselaboración de textos que,
que es necesidad lasumadeespecificas por' loasignaturas
y laspersonaldel pr~n~ipalmen~~ endoc eri t e,estudiantado
p.,.,ra necesidades dellasatendersuficiente,bibliográfico
actualmente carece de'materialuniversidadNlH~stra
relacionado con el material didáctico existente.
labor, lo cual está intimamenteejercicio de suen elcampo
resolución de los problemas que se puedan encontrar una vez en ~l
cuenten, para laestá en dependencia del a~6yo logístico con que
de'Arquitect¿'ra,
,
·t~ntcid~ ti~il ~ Agrícola asi tomo.Ingenier~'ía,
lós estudiantes de.form~ci6n ~cadémica' debuenaLa
lNTRODUCCI0N
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nuestros r~cursos disponibles.
de acuerdo a111a TOPOGRAF I·A1evant_amientos tOP'"Jg1" áficos de
losparausualesgabinete másy trabajo· deanotaciones
trabajo de campo,los procedimientos delProporcionar
TOPOGRAFIA 11 (ALTIPLANIMETRIA).
la tdcnica metodológica para resolver los problemas prácticos én
Brindar al estudiante, docente y prQfesional interesados,
pa~a el dominio de TO POGRAFIA 11.
que se necesitanlos conocimientos teóricosProporcionar
J.
OBJETIVOS ESPECIFICaS:
Ingenieria Civil, Agricola y Arquitectura en esta materia.
Brindar un te:/~to que sirva de guía para .La asignatura de
TOPOGRAFIA ~ ~_I que solvente el problema -de carencia. de
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bibliografía de estudiantes, docentes · y profesionales. de
• '.. ~~ .,., :~; 1,
~ OB~ETIVO GENERAL:
__':.._ ...~~,-.' .OBJEtIVOS
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,

3. ~.
Se estudiarán todos l os elementos a tomar en cuent ~ en el
dise~o verti~al de una carretera u obra longitudinal, curvas
verticales, elementos y criterios a tomar ~n cuenta en el .dise~o
de rasantes. Sé anali~arán los métodos para el cálculo de
movimiento de tierras en obras longitudin ales y superficiales.
Además el cálculo de material utilizable de un banco de préstamo.
Movimiento de tierra s en terrazas de construcción y en zanjas
para tuberías. Por Oltimo la instala ción de estacas de taiud~
-,
CAPITULO 111 : MOVIMIENTO DE TIERRAS
-f
Se estudiarán los métodos para representar el relieve,
combinando la Planimetría y Altimetría, haciendo énfasis 'en el
método más adecuado. Qué son las 'curvas de nivel, características
los métodos para det erminarlas en el terr eno y los métodos de
cómo plasmarlas en un plano topográfico. Finalmente su aplicación ,
en el, campo topográfico.
CAPITULO II : ALTIPLANIMETRIA .
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v.En este capítulo se estudiarán l os mdtodos y equipos
necesarios para determinar l~ elev ación de un punto ya sea
directa o indirectamente en el campo. La nivelac ión como medio
principal para este fin. La s precisiones y equivocaciones que
conlleva el utilizar uno u otro método. La clasificación que
según la exp eriencia se da a la nivelación · y la aplicación de
ésta.
-1,..
CAPITULO 1 : ALTIMETRIA
El conteflido de esté trabaJo es el 'desárrol1o'd~i programa
analítico de la matéri~ TOPOGRAFIA 11 vigente actualmente en la
Facultad de Tecnología d e la Construcción de la Universidad
Nacional de Ingeniería y está d~str~buido en siet e capít~los los
que se detallan a continuación.
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CONTENIDO

4. instrumentos para laemétodos,Se estudiarán los
localización de sondeos.
CAPITULO VII: LEVANTAMIENTOS HIDROGRAFICOS
En este capítulo se estudia la aplicación de las normas de
corrsst ruccLó rt a obras urbanas tal' como: la Lot af Lc ací.ó rrpara
urt)'anizaciones.
CAPITULO VI : TOPOGRAFIA APLICADA A OBRAS URBANAS
Se dará a conocer qué datos neceSita recaudar el top~grafo
en el campo para" que sirvan de base para el di seño de una
'construcción, qué elementos debe presentar un plano de conjunto
para ser utiliz~do por el arquitecto o el ingeniero jefe de
proyecto. Además de el es tablecimiento de puntos de control de
levantamientos, Niveleteado y los Métodos de Replanteo •
CAPITULO V : TOPOGRAFIA APLICADA A LA CONSTRUCCION
En este capítulo se estudiarán los tipos y métodos de
nivelación más adecuados para la instalaci.~.n de, sistemas de
riego, así como los m~todos de cálculo de movimiento de tieYr'asy
las ,'mar,casde las estacas.
CAPITULO IV : NIVELACION DE TIE'RRAs PARA RIEGO
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5. Métodos para representar el relieve •• ~•••••••••• ~O
Importancia del relieve ••••••••••••••••••••••••• 51
Concepto de curva de nivel••••••.••••••••••••••• 51
Características de las curvas de nivel •••••••••• S2
Concepto de equidistancia •••••••••••••••••• ~••••56
2.3.1.-
2.4.-
2.1.-
2.2.-
2.3.-
CAPITULO 11: ALTIPLANIMETRIA.
'E . " 4':>Jerc.l.cl.os •••• ••..• ,.•••..• ~•••••••••••••••••. "'••. <o..J
transversales .•.•.•••.•••••.•.•..••••••••••••••• 40.
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Nivelación ..;•...•.•••.••.•••••••••• :••••••••••••• 1
Definiciones· .....•.••• ··.···~ .•·· 1
Cu r vat ur a y Ref r acci 6fl. •• • • • • • ..••• • ..• ..•••..• • • .~••• 4
Instrumentos para la nivelación directa •••~••••••5
Métodos para la nivelación 8
Nivelación Direc~a o G eométrica ••••• ~~••••••••• ~.B
Nivelación Indirecta o Trigonométrica ••••••••••. l0
Nivelaci6n Barométrica · 12
Clasificación de la Nivelaci6n Geométrica ••••••• 14
Nivelación Simple ~A •••••••• 14
Nivelaci.~.nCompuesta ~•.•'.•••••••••••. 15
·Comprobación de las nivelaciones.~.~ •••.••• ~•••• 17
Por Doble Punto de Cambio ~ ••••• 18
Por Doble Puesta .del.·Instrumento.•.......•••••.. 19
Por Nivelación en Ida y Vuelta ;••21
Errores en la Nivelación (Tolerancia) ..••••••••• 22
Falta de paralelismo entre la tangente a la
burbuja y el eje de colimación 22
Nivelación Reciproca .••.•..••.•••••.•••.•••••••• 23
Error de Curvatura y Refracción •.••••••••••••••• 25
Error Kilométrico ~.~ _•••. ~5
Error de Horizontalidad •.••••....••.•.••••••••••• 26
Error de Punteria .•.•.....••.....•..•••••..•••. ~26
Error por Nivelada .••••.•••......•.•••••••••.•.• 26
Error debido al sol y al viento 28
Asentamiento del nivel y la mira ••••••.•••• ~.•..29
Error debido a la inclinación de la mira.~ ••••.•
Ajustes ge la Niv elación ••••.•••••.••••.•••.•.••• 31
Apli~aciones de la Nivelación .•...•••_•.•••••~ •••36
Perfiles Longitudinales .••.•.•.... ~ •.•.•••••••.. 36
Se ceiones Transversales ••••••••••••••••••••••••• 38
Dibujo e Interpretación de perfiles y secciones
1.6.4.-
1.6.5.-
1.6.6.-
1.7. -
1.8.-
1.8.1.-
1.8.2.-
1.6.3.-
1.b~3.1.-
'1.6.3.2.-
'1.6.3.3..-
1.6.2.-
1.6.1.1.-
1.3.2.-
1.3'.3.-
1.4.-
1.4.1.-
1.4.2.-
,1.5. "
1.5.1.-
1.5.2.-
1.5.3.-
1.6.-
1.6.1.-
1..3.1.-
1.3. -
1.1.-
1.1.1.-
1..1.2. -
1.2.-
CAPITULO I : ALTINETRIA.
CONTENIDO
-:
INDICE DEL CONTENIDO DE MATERIAS.

6. Aplicaciones •••••• ~ ;. '~ 1 28
Barreo de Prés·tamo~ ••••••••••••••••••••• ' •• a.a •••• 128
.Terrazas de Construcción •••~._••••~•••~~ •••••••131-
Movimiento'de tierra en zanjas par~o tubérias •.•lj5
Estacas de talud.~.·" • •• _••. ~••••.• •• ·_ 137
Ejerci.cios •• ••. ·•••.•.• ~..... "_•••••••••••••.•• ~•• 141
obras super1iciales ••••.•••••••••• ~••.•••••.••• 117
Métodos deO cálculo de elevaciones de rasante •••lI8
EI.ementos tiediseño de rásantes ••.••0 °98
Recomendaciones para el trazado de rasante ...•.•9';',
Criterios para el trazado de rasante •.~•.••.•0 •• 100
Métodos de cálculo de movimiento de tierr~s en
obras longitudinales .•_••••••.•••.•• _ 102
Método de Areas Medias. Casos posibles .•••••.••l10
Méto~o del Prismoide ••~•••••.•••••••• 0 • •••••• ~.115
Métodos de cáliulo de movimienio de tieYras en. .
Rasantes.~ •••••••• _••••••~•••.••••••• ~•.•••••:.;.97
Definiciones y conceptos básicos ..•.•..•••••..•• H3
Curvas Verticales •.•.•__..•••..•• _•.•_.•.•_~••~.84
3"06.3'.-
3.7.-
3.6.2.-
3.501.-
30~.-
3·.6.1.~·
3.5.-
3 04. 1°. -'
3.4.2.-
3.1.-
3.2.-
3.,3.-
3.3 ..1.-
3.3;.1.1.-
3.3.1.2.-
3.4.-
CAPITULO 111: MOVIMIENTO DE TIERRA.
Aplicaciones de olas curvas de nivel. ••••.•••.•.•69
Determinaci6n de pertiles ..•.~~i •••• •• ~ • •••••••• 69
Determinación de cuencas topográt~cas •....•.••..72
MCivimiento de T~eYYa. ,•••••••• _.' ••• ~• • '_. o_ _' 73
Trazado de 1íneas, con'pendiente unif.or:-me••0 75
Ejeycicios ••••.• ......-..••••• a.& • • _._ ••••••••••••••••• 76
,
Rel~ción entre la equidistancia. escala del pl~na.
pe~diente del terren6 V se~a~a~~óh ent~e curvas
de ni·vel ·.•••.•••••.•.•••• ·•••••• 57
_ Determinación de las curvas de nivél .•••••••••••59
Métodos directos~ ••• ~._~•• · · 59
Métod65 indÍ:yec.~o.s.·.:.."~'.,,;/,,).;;.;:..~,~¡;:.• :.~~<~-.,,;;.~.;.¡ii··~·..;.• ;;~.~••.62·~:..:r -:
Hitodo del' pe:rfii longitudin~l y. secci6'nes'
transversales ••••••••••••••• ~· 62
~étodo dé la cuadric~la ••.~ ~ ,:•.••64
M~todo de elevaciones a·isladas••••• ; ~ 65
M~todos. de levantamientos de campo ••••••••••••••65
Interp'ó:laci~.nde curvas de nivel .••••...,•.•.•'.6.66
M~todo Analitico6 ••_.•_ ~66
Mé tod o d e Es t i mac i ~I n. • • • • ..• • • • ..• • .. • • • • • • • • •o ••••• 67
M~todos 6ráticos ..•••.•••.•••.•.•••••••••.••••••.67
Escal imetro y Escuadra "•.•••~••••..•67
Patrones Transparentes 0••••• _. :. 68
Banda Elástica .•••.•...•••.•.•..••.•.••..•.••••. 69
2.6.3.1.-
2.6.3.2.-
2.6.3.3.-
2.7. -
.2.7.1.-
2.-'.2.-
2.7.3.-
2.7.4.-
2.6.3.-
2.5.2.3.-
2.5.2.3.1.-
2.6.-
2.6.1.-
2.6.2.-
2.5.2.2.-
2.5. -
265.1.-
2.5.2.-:
2.5(2: 1..·.;.
2.4.1.-
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7. --<,
Zori.í, f i cación _••••• _ "_• _ _••••• 1 86
Vialidad •••••••• _. ~••••••••. _••• _ "_•••• _•• _••••• •• 187
Lotificación ••..•~•••••••••••••••••....••••••••• 188·. ~ . -
R¿planteo ••......•.•..•••.•.. ~•••~•••••••••••••. 190
Diseno•••••••••••••••••••••• '•••••••••••• a.a •••••• 184
Levantamiento Planim~trico •••.••..•..•.••••••... 183
Levantamie~to de Detal1es •••••.•••••• ~••.••••.•• 183
Levantamiento Altim~trico ••••••• ~•.••••• _•••~•••184
. ' ..,l
Etapas del Trabajo de Urbanizac~6n ..•••.. ~.•~•••179
Etapa Preliminar •.•.•••••••••.•• ~••••••••.••.••• 179
Anteprctyecto • ••••••••.•••••••••••••••. _•••• ~.••••••• 18 0
Proyecto Definitivo •••••.•••••••.•~ ••..•.•••..•• 181
Levantamiento .•••••••.•••••••.•••.•••••••••• ·~•••182
General i,dades ~ _. _. l'Z9
TOPOGRAFIA APLICADA A OBRAS URBANAS...
Niveletas para editic.ios.••..••• ·~ 16 5
N~ve'¡etas para tuberías ·167.
Métodos de repla~teo de edificios •..•••..•••..•. 170
Método de Líneas Base 170
Método de Angulo y Distancia '171
Método de Coordenadas Rectanguiares •••.••.•••••• 175
Control vertical en edificios de varios pisos •••176
Niveletas ••••••.•••..••.•••••.••• ~ •••• ~ 164
: Diseño - ~ 161
RepIa n teo ' 16i
Control Horizontal 161
Cbntrol Vertical ;. · 163
Levantamiento •..~: _ ~•••~159
I
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TOPOGRAFIA APLICADA A LA CONSTRUCCION.
'-....<.
Introducc~6n······················.· ..····~ •••••143
'~i~~taciones en la n~vel~ci6n~ ~•••••.••.~~.~.·~~143~
Tu po-s:de:nivelac.ión._.:•.•••.':•.~.'~ ;. ~~'.;.•••••·•.1'44
Area~ de nivelación separada.·••••••••••••..•••• 145
Diseño de la nivelación y cálculo del
mOVimiento de t~erra •...•• ~•..••• _••••••••• ~•••14j
Nivelación en terrazas •••.•••.. · ; ~~ 156
Marcas...~e las esta·cas '157
6.2.3.-
6.3.-
6.3.1.:'"
6.3.2.-
6.3.3.-
-6.4. -
6.5.-
6.6.-
6.7.-
6.8.;'"
6.2.2.-
6.1. -
6.2. -
6.2.1.-
CAPITULO VI
5.1. -
5.2. -
5.3.-
5.3.1.-
5.3.·2;-
5.3.3. -
. ··5~:3.~.1. -
5.3.3.2.-
5.3.4.-
5.3.'4.1. -
5.3.4.2.-
5.3.4.3.-
5.3.5. -
CAPITULO V :
4.1.-
4.2..-
·4.3·.:...·
4.4. .;:
4.5.-
CAPITULO IV : NIVELACION DE.TIERRAS PARA RIEGO ..

8. '.,_..-
._)
.J'
Generalidades •••.••.•.•••._..••••••••.•._ 191
Instrumentos de sondeo••••.•••.••.•.•• ~•••••••••193
RealizaciÓn de un sondeo ••~•••••••• ~••••••••••••200
~é todos del ocal'ízac~ó n ~~:.:~~~?tg~~;.~~~!i.);.~~~~.*;,.~.{~~<~.$-'!;;.~~~}.'
Interse-c ción de alinea·ciones •••••••••• ~ ..¡~~~.'._.~.202';>'
Di~tancias a lo l argo ~e un cable graduado••••••202~
Alineación y ángulo medidos desde la costa••-••,••203'
Dos ángulos leidos desde la costa..•._ '.203
Teodolito y estadia ·••••••204
Dos án~hlos leidos desde'el bote •.••••••••:•••~.205
Alineación y ángulo l eidos desde el bot~ ••••••••206
Alineación e intervalos de tiempo.••..•••••••••~206
7.1 ..~
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7.3 •.....
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--- 7.4.2.--
v 7.4.3. -
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7.4.5. -<:»
7.4.6. -
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CAPITULO VII: LEVANTAMIENTOS HIDROGRAFICOS.
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I
ALTIME II IIA
--
Capitulo 1
· ..:::. -

10. .Superficie de·Referencia: Es cualquier superfici~ de nivel
a 'la cua) se referencian las elevaci~nes de los puntos.
Generalmente se adopta el Nivel M edio del Mar (N.M.M.), la s
elevaciones referidas al Nivel M edio del Mar se denomin an'
altitudes.
linea Horizontal: E s toda linea contenida en el pl ano
hori~ontal y es perpendicular.a la l~nea.verti~al~
-1-
Pla'no.Horizontal:. El plano horizontal que pasa por un plin to
es el·plano que es normal a l a dirección de la fuerza de la
gravedad en ese punto y. por lo tanto, tangente a la superficie de
nivel que pasa por dicho punto.
linea de Nivel: es una l inea contenida en una superficie de
nivel y que es, por tanto, curva.
Superficie ~e nivel: 'es aquella superficie la cuaI es.
normal en cada uno de sus puntos a la dirección de la fuer za de
gravedad, o sea, a la dirección que adopta la plomada al
descansar libremente. La superficie libre de una masa de agua
tranquila ~aterial~za una de tales superficies.
Una superficie. de nivel no es un plano y no tiene además.una
forma regular a ca usa de las desviaciones de la vertical, pero
desde un .punto .de vista e strictamente topográfico, las
superficies de nivel pueden s er cohsideradas esféricas y po r lo
tanto equidistantes y paralelas.
linea vertical: recta qu e va hasta el c~ntro de la tie rra
desde cualquier punto dado, e indica la dire~ción de l a gravedad.
Una! linea de plomada es ~n ejemplo.
Se definen a continuaci6n los conceptos básicos que se
~mplean en la nivelación y se ilustran en la Fig 1.1.-
1.1.1.- DEFINICIONES FUNDAMENTALES:
lograr estos finesque se utilizan par~Los instr'umentos
son: nivel y estadia.
Nivelación: Es el prbcedimi~nto mediante el cual se d eter-
mina elevaciones o niveles relativos ~e puntos por encima o p or
debajo de uri plano horizontal (plan? de. referencia) o b~en,
d~:!~r,~~c):~s.9.e..~1~va,~iÓ..,.? ge~nive.les.. ....... s:.• ".' -,:,'", e•••• ,<.' ~ ;
E~to es una operac·i~.·nfundamental.·"p~~'~ el i~.geni~;:~t'~nto
para poder confeccionar el proyecto, como para lograr replantear
el mismo en el terreno.
1~1.- NIVELACION
,.
..CAP. ·1L
L

11. "
._<
V
-2~
I
'...;{.
-;
'-..<Cota Fija: Son aqUéllas establecidas por ins ·tituciones
especializadaE) (INETER) estand9 referidas ' al·NMI'1. Se .est·ablecen
mediante nivelaciones de al ta pyecisil.n,. ejecutadas con un
instrumental y una técnica ttue' gar"anti.c;en un al to grado de
conf'iabilidad en ' los valores obtenidos para ' las' 'el~vaciones de
dichas cotas. 'Se sitúan en lugares donde pueda garantizarse que
no habrá asentamiento y donde' además pueda garantiza .rse la
permanencia de la ccita, dura~te un periodo considera~le da a~o~.
Se sitúan frecuentemente en estrihos de puentes y alean-t~rillas,.
aceras, monumentos de hormigón etc. (Ver fig. 1.2)
Banco de nivelo maestro (B_H): Es un puqto fijo de
referencia u objeto~ de carácter ~ás o menos permanente, cuya
elevaci6n y lc.calizaci~.n se conoce 'Ü' se supone. :. Algúnos ejemplos
de bancos de nivel S0n discos de metal fijados en concreto, rocas
grandes, partes no movibles de hidrantes contra incend10s y
b.:.rdes de aeer as.
,'-....1
',.:«
Elevaci..6n o cota altimétrica: di 'stancia vertical ' medida
desde. un plano el nivel de ·r·efer:éncia hasta un pun.to o plano dado,
Ej. Si la elevacil.n del punto A es 200.20 m se di ce que la cota
de A e~ de 200.20 m. respecto de algún plano de referencia.
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~ 1) .Ó»
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Fig. 1. 1.-
·ES··'una"'; lfn~a' imagInCr ;lil q:Úe va tasi"
la inter~ec¿ión de l~s hilos de l~
prin~ipal del objétivo .estando el
Línea de Coli~ci6n:
ceritro del ocular, p~~a por
retic~la y llega al punt6
aparato cory~gido.
I
--(
arios.
Nivel H~dio del -Har: (N.M.M.) Altura media de la superficie
dél mar seoún todas las etaoas de la marea en un periodo de 19.- -
CAP. 1

12. -3-
Diferencia de elevacion o desnivel enty~ 'dos puntos: Es la
distancia vertical que hay ent re ias dos superficies de nivel en
la que están ubicados los dós puntos. (Ver Fig_ 1.J)
-: .
I
V
Fig. 1.3. ~
Cota Temporal~ Son establecidas p or ~nstituciones no
espec~alizadas.'Su objetivo es dividiY tramos la~gDs en se~ciones
más cortas y son situadas mediante pivelaciones corrientes, con
el inStrumental y la t~cnica consecuentes a la precisi~In
requerida. Consisten en est~cas de madera firm~mente enterradas d
clavos en raices y troncos de los árboles (Ver 1i9. 1.3). El
tie~po de permánencia es muy limitado, alrededor de varios dias o
semanas.
Cota est .able: Se establecen por instituciones ,no
especializadas y genf-'ralmentesirven para un trabaja determinadO'
en· una eierta zona. Pueden es tal" referidas el no al NMM;. son
situadas (Tlediantenivelaciones de ,menor.pre(:isión .que las
empleadas para las cotas fijas (in strumen~al y t~cnica menos
especializada), POY lo que el gyado de con1i~bilidad es menor..
Son ubicad~s en )hgaYe~ semejantes ~ los empleados para )as cotas
fijas.
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13. ,
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L ínea . de. n iv e I
hori. zonta1 "
Línea
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considerar Loss
1a rÉfracci~ln
Generalmente
-4-:-
2R
c =
Ya q~e e es muy pequefio comparado con
razonable de la curvaturá terrestre es:
o
Fig~ 1.4.-
--
R2 + AE2 = (R + C)2 = R2,+ 2Rc + c2
--AE2 = e (2R + c)
AEt
e =
2R + 'c
-En la Fig. 1.4 se mue stra 'tina:linea horizontal que es
tangente en A a una linea de n ivel cercana a la superficie
terrestre. L a distancia vertical exiitente entr~ la line a
horizontal' Y la linea de niv el es una medida de la curvatura
terrestre y varia en f6rma ap roximada con el cuadrado de la
di~tancia medida a partir del punto de tangencia. En la fig. 1.4
considérese que DA = R es el ra~io promedio de la tierr a.
También considérese que c = ED es la corrección por curvatura
terr~stre. Entonces,
En.los trabajos de nivelación, es necesario
efectos de: 1) la curvatura terrestre y 2)·
atmosférica, las cuales afectan la linea de visual.
estos dos efectos se consideran juntós.
1..1.2.- CURVATURA y REFRAéciON-
Angulo Vertical: Es el ángulo· entre dos líneas que se
cortan en un plano vert~Eal. En topografía es com~n suponer que
un~.d~ e~tas lineas es una linea horizontal •
.'
CAP.• 1
·
.......)

14. -5-
Cualquier ins~rumento que se utilice com~nmente para la
ejecución de' nivelación dir~cta -tiene com o caracteristi~as
esenciales una línea de Jisu~l o. eje de col~mació~ y un tubo de
nivel de burbuja que permite hacer que l~ linea de vi sual ,sea
horizontal. .
INSTRUMENTOS PARA LA NIVELACION DIRECTA.1.2. -
Vez son importantes 1as 'COl" ree ci'ones
con excepción de las qperaciones de
En consecuencia rara
por curvatura y refracción
nivelaciÓn pyecisa. '
En la mayor parte de las operaciones ordinarias con nivel 'de
buYbuja, la ~ínea de visual en rara ocasión se encuentra arriba
de 6 pie o, aproximadamente 2 m del terreno, en donde l as
váriaciones de temperatura ocasionan incertidumbres sustanciales
en el indice refractivo del aite. P or fo~t~na, casi todas l~s
líneas de visual son relativamente toytas en las operaciones de
nivelaci6n (de alrededor de 100 pie o 30 m) y se balancean las
¡vistas atrás (LE) y las vistas adelante (LF).
(m) -,
_.) ,
(c&r) = 0.0675 KZ
..._-_.-._._ ..... .)(c~"(y) = 0.574 M2 (pie)
Debido al fenómeno de réfracción atmosférica, los rayos de
luz se refractan o sea, se doblan ligeramente hacia 'abajo. Este
doblamineto de los rayos haci~ el 'centro ,de la Tierra tiende a,
disminuir el efe~to d~ l a curvatura terrestre en un 14%
aproximadamente. En la Fig. 1~4, AB r epresenta la línea de visual
refractada y la distancia BD rep resenta el e~ecto combinado de la
curvátura y la r efracción. COr) s'~der,ese c&r'= BD calc'uLacío a
partir,de las ecuaciones sigui~~t~s:
tangencia en
una distancia
7.9 cm.
en donde K es la distancia desde el pun'tQ'de
kilÓmetros. Así, la ~orrecciion po~ curvatura para
1 mi es de 0.67 pie y para una distancia de 1 km es
c = 0.0785 K2 (m)
Considerando. un radio de la Tierra de 3,959 mip o 6,371 km,
la correccjón por curvatura es:
CAP..1•••••••••••••••• ,<
•.:
•••••••,.•.';
••••••.".'•.'••••••••••
c = 0.667 M2 (pie)
'en donde 11-_;ei~!;i"la,;'d.ist-an.Éi'á'oesde "eH puntO' ,t,(Cié' t~'Aó~l:ili'a ~(;~{f~':i:'i'¿ri,::',"';i,"
det'obs~rvcfdór.) en-millas. ,En el sisteúna~étr i~Q l'a'~c~r,r'ecci~.n
por curvatura es:

15. "...1
...J
-6-
,_./
s~Torni 110 de ajuste
6. ;-o r n i 1 I o de f ¡'j e e i ón '
7.Hilo ho r Lzon t a l
1. rube' visor
: .. ,Nivel
3.Hirilla
4.~urbuja
7
-4
.:..
..,.J
1)7 .
6
Niv~les de mano: Es un instrumento que se s ostiene con un a
sola mano y Que se usa en ,t~abajo de poca precisión y para fines
de verif icaci ~,n.
o
2
~,<,'Fi9_ 1_ 6
:/ ~
f' J
".
.:
..J
y
y
y
"
......
'-(
#
.,./
~'..
Fig. 1.5.- Niveles automáticos
t.. _./
'.,
Los n~veles automáticos o autonivelantes lo~ cuales existen
'd'e- difeY~e.ntés.·ma'Y"casy .mod~lós. .Tales· .co~~ ··K:"':, É~.,1st,ss', Wi id.
etc; cad ~ ~n~ ~~n sus Yespec~ivos datos técnic6s. (Di$t~n~ia de
visado máxima y ~inima, precisión, error medio para 1 km de dobl e
nivelacion, diámetro d el camp o'.vi~ual a 1 .km constant e de
mul~iplicaciOn, peso del instrumento, p eso del est~che, ~tc.)
Estos inst.rumentos son de li gero y fácil manejo y su
operaGió~ es rápida y precisa. En esto~ inst~umentos no exist e
error acc'idental en' el centrado de l a burbuja y son utilizados en
la mayoYia.de las operaciones de ing eniería tales como obras de
construcción horizonta~es y verticales.
Los ~ás comunes son:
CAP~ 1"

16. -7-
"_-
En la mira directa" come.su nombre lo indica' la numeracion
aumenta progresivamente, estando dichos números' colocados en
forma tal que puedan leerse correctamente cuarrdo la mira se
coloca en po~ición vertic~l. la s miras invertidas va~ numeradas
desd,eun extremo, con los nüme roa invertidos p,ara que se vean en
posición no.rmal al obs'ervarse a trav~s.del anteojo' invertido.' El
utilizar miras diiectas o 'invertidas ~epende del t ipo de
ins'tYumentoque tengamos ya Que los niveles .pueden ser de imagen
directa o invertida. Para garanti zar la verticalidad de la~ira,
están provistas de un niv el esf~rico que es accionad~ por el
portamira (estad~lero) en forma manual.
,_-
,_.I
Estadal O mira para nivelar: Es un a regla graduada de
sección rectangular las cuales se fabrican de madera, metal o de
fibra de vidrio, por medio de ,las cuales ~e miden las diferencias
de 'elevac~ón. El estadal se coloca vertical, por lo que su
,lectura, indicada.' por el hilo, horizontal de l a retícula del
~ivel, es la me~ida de la distancia vertical ~ntre el punto sobre
el cual se coloca el estadal y la linea de colimación. Existen
estadales de varios sistemas y graduaciones. l as longitudes
comunes sO,nde' t,res.,y cua t ro metros. los estadales l!Iáscomunes
son: miras directas e indirectas. Generalmente son 'de colores
vivos como blanco, rojo y negro para que resalten y puedan leerse
con precisión a grandes distancias.
..."
,
----------6
3.. V.rn'."
2 4.Ctrculo ""rUcal 'i rdcluo40
-I-~-4 5. TubO vlcor
6.Torllillo "., 'oou lor
I
'_'"
_.,
•l. Tornillo l. {ljoclorl dol •• r ol e r
2."1",,1
PARTES PRINCIPALES
,
Clisimetro: E $te instrumento sirve tanto p ara nivelación
directa como para medir los ángulos de las pendientes. Este
instrumento tiene dos gr~duaciones, una en grados y, ótya en
taludes o pendientes. Cu ando se utiliza como nivel, el índice
del vernier se pone eh cer6 y luego se usa' c6mo un nivel de mano.
C~~ndo ,se ut,i'¡iz~t;o~,g"clis.ímétro; se ve el objeto fÚ~~;;!~fidogi'rar'
el:t ubo del ni~el al'ye'dedorden eje del arco veytical.":/hasta que
el hilo trahsverSaY bisecta·la burbuja al verla por el ocula~.
Entonces se lee el ángulo del talud o el 7. de la pendiente.en el
arco vertical. '(Fig~ 1.7) .
Fig. 1.7.- Clisimet~~ tipo Abney.
,'-'
CAP. 1

17. '.0-::
,~
,
-_,/
-':
... .
._¿
....._,
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1-
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'-.(.
.._./
'-(
<;»
...
-8-
para laserrores de curvatura terrestre y refracciÓn
NA y NB.
h'a, h'b
distancias
Hb = hb - h'bHa -= ha - h'-a
Sea Ha la di~erencia deO~ltura eDtre A y E; Hb la ~ue hay
en~r~ E y B, Y las distancias verticales leidas en A y B; ha,hb
respectivamente, se tiene:'
Consiste en medir directam ente las distancias v~rticales~y'
eS el método'más p~eciso y más empleado para la dete~minaci6n de
elevaciones. Se realiza con el objetiv o de establecey..puntos de
control meQiante el corrimiet;1t ode una cota, entendiéndose como
tal. las operaciones éncaminadas a obtener la ~ota de un punto
partiendo de otro de cbta conocida.
, En la Fig. 1.'3 el purrt o A es de cota c onocida y se quier e
.hallar la cota del puntb E.· Se estaciona el nivel en cualquier
punto intermedio. (N)· y se mide n las.distancias verticales AC y BD
por lect~ras sobre miras colo cadas en A y B manteniendo siempre
horizontal la visual del' nivel.
.'01. 3_·1. - NIVELACION DIHECTA DIFERE NCiAL O G EOMETRICA.
2.-
3.._
_ .... +
Nivelación directa~ ~iferencial o Geom~trica_
Nivelación indirecta o trigonométrica.
Nivelación barométrica.
1.-
o desniveles pueden medirseLas diferencias de elevaciones
utilizando los m~tüdüs siguientes:
METonos PAR( LA NÍVELACION.1.3. -
...
.', .:
,'.
Fig. 1.8.- Miras directa ~ inv er-tida.
CAP .. 1

18. <:»::
-'3-
= HA + HAS
= 0.75 - 0.30
ASi la altura del punto B será:
= 0.75 - 1.05
-= - O~30 m
L~ difereocia de nivel entl'eA y B será
S«perficie de R ~ferenc¡a
1 . 05
HÁs
Dibujamos el esquema que muestl'a los puntos.
Solución:
.._/
Dados la a ltura del punto A sobl'e la superficie de
referencia igual a 0 .75 m, la lectul'ade espalda en A igual a
0.75 m y la le,ctura de frente en B de 1.05 rn, Cal c(tlese'la
diferencia de nivel entre A y S, sabiendo~ además Que las
distancias entre A~ y NB son iguales .
.._) Ejemp 1o:
'._J
Fig. 1.9.- Nive.ación Diferericial Directa .
En la nivelaci.~,ndil':"ectase ol'ocede uSl..talmen-tede modo que
l'esultendespreci~~i~s los eriOres de curvatura y refracción.
H = ha - hby
l..i deti~ri~-í~ual ' longitud a
-Ó: ••
. '" .~':':~'r. ,.:::':.~':'~.~~:...¡'....;:.. r::::, .' ~":f" .~, f) ..¿', ',,; ~ '~....~,~l:.;:j.'....~:. :.;,:,"';fi. ,; ..~~~.::::.;~:
, Si:.La v'isu~l de espal,da(NAY
t l'ente eNB);
h'a ;.,h'b
-._J'
l.adif~l'encia de elevacíl.n H entre A y B es:
H = Ha - Hb = ha - h'a (hb - h'b)
= ha - h'a hb + h'b
, _', '
'. ',',','
•• CAP. 1

19. '-:10-
Fig. L 10. - Nivelaci6,n Tv í oorvorné t rí ca,
I
,~
En la to pografia oYd~naria la nivelación trigonométrica
pr?porciona un medio rápido pata la determinación de elevacidnes
de purrtos en, terrenos montañosos o ,acci,dentados. En l e.s
levantamientos de r ecorto ciiTtiento~ los ángülos verti ca.lespueden
medirse con el cl~simetro, y pueden obtenerse las distancia~ a
pasos. En levantamientos m~s precisos los ángulos se miden ion
el teodolito y las distancias con ,la mira.
AE: altura de i~strumento en A
Be: lectura de m.í ra'en B
, en donde :
= AE + DF +'DE tan 'a - Be
La difeyencia de elevación entye ¡. y Bes:
e n el o!'''Idt~ 1 a eo¡-- ye e e .ió.n po r- 1.a eI_I}'" vat u¡-" a te)""y e s 1: (' e y re 'f ¡-"a e e i ~.n
(c&r) puede calcularse utilizando la ecuación YEsoEctiva.
ED
DF := (c&'r)DC ::; En tan C( ,
En la n~vel~ción t~iQonóm~tiica se '~equ~ere la observación
del, ángUlo" vértic~l y'cÍ'E~-' la" ¿fistiulcia'horizontal' 'o inc)inada
existente entre dbs puntos. 'A partir d~ estos ,datós'pueden
calcularse la diferencia d e elevaci6h. En la Fig. 1.10" A
representa un punto de el evacion cQnocida y B un punto tuya
'elevacil.nse desea obtener. Dentro de los 11mi tes de la práctica
or dLnerLa, puede considerarse el ~triánºulo ECD como ,un triángulo
rectángulo Y la distancia ED = EF. Si se conoce la distancia
horizontal ED entonces:
1.3.2.- NIVELACION TRiGONOMETRICA.
CAP. 1

20. j
-11-
:'
'1O'.H
H + hc :::i + V
V = DH *' tan ,.;x'
V ::: DI * sen ()(..' .
OH = i + V - h c
,
i,
v
1.11
i =,altura del instrumento
hc= lectura de hilo central en la mira
a = ángulo vertical en elevación
~ :::Desnivel entre A y'B
A Elevaci6n del punto A respefto a
una superficie de referencia.
DH ='Distancia horizontal entre A y B
DI = Distancia Inclinada eritreA y B
V = Distanci~ vertical entre el eje de colimación'horizontal
y el punto donde se hace lectura d~ hilo central.
Sean:De 1a Fi g., 1. 11
Cuando el ángulo vertical está en elevación.
~
v
~
I
Cota
'--"
"-
~
~
.._..
~ Fig.
I..._....
~
v
'--"
~
.../
.._..
'--'
<:»
.../
<:»
.../
~
<:»
..../
',-,, __ o
a)
~ CASOS POSIBLES DE NIVELACION TRIGONOMETRICA:
._.,
Cota B " ::: 21.'335 +,56.6'33 = 78.628 m
;:: 1.558 +, O_007 + 332.7'31 Sen '3°46' 29 " - 1.372
= 56.693 ro
, DF = 0.0675 (0. 332791)2= 0 .007 ffi.'-" <:c .... :>
Solución:
._.,'
Refiri~ndose á la Fig. 1.10 l a distantia inclinada medida
sobre la penaiente S1 de$d~ E- hast~ C-es de 332.791 m., con un
ánoulo vertical pro~edio de 9°46'29", tomado desdé una aLtura d el
in~-trument'qde E-, d_e 1.558 m. en A ,hast'a"una,,1e,c,tuia·,da..miY:':a,dS""
1. :372 ,in:~:,:··~rr'B'."I">~,',::-91 _~fa''~i~:'~'¿Ü]"6'f{de,;'A es :d~ "2t~:935<,r,;... ' ~obré 'eH, '
Nivel ~¿dio -del Mar, cafcule la diferencia d~ nivel de'A a B,y ja
elevación de B.
Ejemplo:
--,
CAP. 1

21. '--<
--<.
-J..
"
'-<
,
,_)
,.J,
-12-
,Las observaciones bar~lmetricas ·se 'tlacen en una eS,tación
t~ja, mientras se ,hacen otr~s observaciones co n un seQu ndo
barómetro que se va l levando de urro:a ot ro punto del ter ·;eno.
Esto posibilita, cor~egir los ~esultados, de los errores que dan
lugar ,las condiciones atmosfé~icas, lo Que no puede descubrirse
ni compen~arse si se em~lea un solo barómetro. /
mont,ar.osos.
La nivelación barÓmetrica se utiliza principalmente en los
levantamientos exploratorios o <te recorrocí.m.íento en los Qu e haya
diferencia de elevación de grán '~agnitud c omo' en terrenos
Debido a que la' presión atmosférica varia inversamente
proporcional a la elevación, puede emplearse el barómetro pa~a
medir diferencia~ de elev~ci6n. Si la pre~ión atmo~férica
perma~ecie~a siempre constant~ a determinada aitura, el ,método
ba róme t rLco seria uno de los de mayor precisión;' pero la presión
puede variar considerablemente en el transcurso de un día,y hasta
de una hora.
1.3~3.- NIVELACION BAROMETRICA.
(-) Depresi~tO
(+) E).evaci~.n
ecuación genera'¡ para el c áleuLo de desnivel
nivelacióri trigonométrica será:
~ + i = V + hc
H = V + hc - i
De donde la
entre dos puntos por
H = V' ± (i - hc)
DH
H
., VI
e o 1 ima ¿ i'ón
-- - --Fig. 1.12
Sean <X =. ángulo vertical en "depres.j.,óny ,,1:95. ,:dem4s,t4!,r:mino,s,.
,igua1 Ciüe:'sé:,:aef.T~i'e:Yon'~erf'l'á'";sé'(z e,r,jo. "'a~t~t:'i.o~:tenem,os,:dé' la
'b) ,El ángulo' ver-tical está en d epresión
CAP.' 1

22. -13-"
<=
- o_ 05:30 ....16 ):{7·~-,J
-4 .. 04'33 17 316
-"':' 454 lB 354-'
-2 416 19 3'32
-1 :::78 20 42'3
O 33'3, 21 467
+1 SOO 22 504
::;:~ 261 --,~
54.2'&:"J
..... _-..-..-. 24 c:"~.-
.,J L.L..: ..J ,? :::J
4 183 --.~ +O_ 0616"'::'J
""" 144 26 " 652~..'
E, 105 .-:.-;
6'30~, -
7· 166 28 726
8 1?7 29 763_1
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osa 30 79'3
10 +Ó_ 004'3 31 8.....c;-
c»:»
11
~ 'J--:' 871.0.088 -.o..;..
1<:-
012~ ':'o?
-307..::.. . oJ..J
13 164' 34 943
14 202 35 .~, 980
15 240 3 6 .1017
Tabla 1.1
Coeficiente de temperatura para la nivelación Barométrica
Cuando la temp~ratuYa'media en los puntos es distinta de
iooc y la humedad es la normal s~ aplica una correcci~n (positiva
o negativa) cuy~ magnitud se haya multiplicando el desniv~l no
corregida dado en la fórmula por el coeficiente q ue le
~orresponda en la tab la siguiente:
760 = Presión barómetrLca'al Nivel Medio del Mar.
h_.hb = lecturas'barómetricas en m~_ de Hg en l~s puntos
A y B respectivamente.
= diferencia de nivel entre A.y B en mts.
' ...... .'.
'" . ,
. .(,,~.
v: .
.'.":.: ,t f
Donde:
L~ diferen~ia de nivel ~ntre dos ~untos A y B despreciando
efectos de humedad y perturbacioriesatmosf~ricas está dada por:'
= 19,13~ (I09(760/h~)-loº(760/hb)
CAP. 1
...__
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J.
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23. '"<
·IV
I
...........
es'
,-<
f· -.
-14-
Esto~ dat6s generalmente ~e.t~bulan_
t~lescopio cuando el instrumento está nivelado
de una ·.supeyf i cie de refe ...-encia.
colimaci-:.p del
medido a pa ...-tir
(·Al)es la ei.evaci.~,n.de la línea de·. .Al tuya del ins~Yumento:
efectuada en la miya sobrE
se desea determinar •
Intermedia: "(LI) es una lectura de hilo central
los puntos de detalle cuya elevación'
Lectura
Lectur~ de espalda: (LE) es una lectlJi'-ade hi Lo centyal
efectuada en la mira sobre uri punto de elevac{ón conoci da, como
un BM ~ partir del cual se van a ni~elar los pun~os.restantes.
Para s u dominio debem.:.)~conocer los si9'Ji.enl:esté¡-'minos:
instruíTlento se situa y nivela en el punto más conveni~nte,
deci't'~·el QI_tP. ofrezca mejc.ies condiciones de visibil'idad.
se 6ueden conocey las
se desean nivelar.
i ns t 'r'UíTlEnt.;:.
terYeno 'que
Es desde una sola posi ción del
cotas de tod os los puntos ~ el
En esta clase de nivelación el
cuallaaquella e n
1.4.1.- NIVELACION SIMPLE:
La Nivelación Geo métrica se clasifica en Nivelación Sim ple.y
Ni~el~ciOn Compuesta.
·1.4.~ CLASIFICACION DE LA NIVELACION GEOMETRICA_
= 441.35 + 12.31 = 453.66 m.
441.35 * 0_0279 = 12.jl m
Segón la t abla anterior, l a corrección para la temD~ratura
de 16·jC (t'Jediade 11 y 21':¡C) e s ·0.027'3 y terÍd¡--emos:
= 441.'·35m
109 -]§9---_)
719_2
l'll = 19, 1 35. ('log Z.§º
.A6 <~L~ c~rr_> 682
Las leet ....ras ... ba r omé..tr ieas hechas en l os.:..puntos:: A. y.B son
Yesp~ctivamen(e 682 -. mm X 719.:2'. mm;. y Las temperatUYc3S -i 1oc y
210C. 'Hállese el desnivel ent re ambos purt t o-s,
Ejemplo:
CAP. 1

24. -15-
Esta cl~se de ni~elacLón es emoleada cuando el terr~no es
b~stante ~uebiado o cuando lD~ puntos cuya elevac~6n se pretende
hallar están" lo suficientemente distante~ ta~ óu~ con una sola
puesta d:el..instr"umento no p~dem,:!)s'nivelar~ 'así, éste se va,
trasladando '~diversos puntqs desde "cada uno de ~os cuales se
real,izan' ni:elaciones simple~ -ql.,e se ,van li.gando entre si! por
los llamados puntos de ligá o pu ntos de cambio_
1.4.2.- NIVELACION COMPUESTA.
- EST LE Al LI COTA(m) OBSEHVACION
ar-l o, 75 so, ~5 .so N.:•._j':'n d'econc,-eto
p 1.05 49. 70
O~den lógico de los datos e~ la constrt!cción de 'la tabla i.2
:: 4,"::1.70, m
= ,50.75 - 1.05
- LI::AlElev
Al ::50.75 m
De la Fig. 1. 13 tenemos:
LE =:; 0.75 m
LF = 1.05 m
Al = Elev. BM + LE
= 50 m + 0.75 m
Sup~rfici~ de Referencia
5a. 75m.
,,' ¡.' ::::.:'.:'... ~..
Fig. L 13 ,
CAP.,' 1"
... ", .
J
,--,'
<:»
"-<'

25. j
;.
,.
-16.-
"
v-'.
Tabla 1.3
v,
Marca sobre calle
BN':"'r ' 1 2.165 '32. 165 90.000
PC:-! 2.05 92.115 2.-. l() '90.065
PC-2 1.,6,5' 93.465 0:.30 9,1.815
.0
BM-2 O~,?7 ·92.4'3~,.
OBSERVACIONCOTA (m)lFAlLEEST.
De '1a Fig'. 1. 14. pode 'mas tabúl ar:
"p e:-'1
2.05
LF
LE .
LF 2 _ 1LE .2.. 165
Fig. 1. 14.
'--.'
I
'.-:'
Una Lectura de: Fr~nte <LF) es la lectura rle hilo central
efectuada en la ~ira sobre un punto c~y~o elevación se desea
conocer o bien un punto de cambio.
oSe define como Punto de Cambio 'o de Liga (pe o PL), al
p~nto donde se ejecutan las lect~ras de.frente,y. de espald~ para
calcular la ..fl~e~a:,.al,tura de- in.strurn~f.l~q.'Y. a. ,la; yez'.e,l enlace
en'tre dos n:ivelacic.ine~ .'si"m'pres',~."0' El pú'nto d'e )cambió, se debe
escoger de mod-o que 'se'a estable y de facil i'(:1entificación
pudiendo ser un BM de carácter transitorio o bien cualquier punto
de, referencia ubicado: dentro del terreno.
CAP. 1

26. -17-
En lés n~velac~o~~s, a~i como en c~ alqul~r otra clase de
tra~ajo topo~ráfico es n~cesario Qu e 16s resultado~ tengan una
debida co~probación, co n el obje to'~e pod~ r' detectar cua l~uier
equifocac,ión cometida y, de poder' control ar l os errores propios
del proceso' n-atúral' del t rabajo~ ,.~
El pr o csadLmí.eerrto señalado anteriormente, O:LE - tLF = Cf -
ei) sólo n os elimi ,na la pcOs ibilidad d e eqlJivl=,caci.~.n en .lo'?
cálculos aritm~ticos o en l a anotación en la libreta, pe ro no n os
indica que el tr ab'ajo h'_aya sido reali 2;adc; e n f or matcc r re c ta,
1~5."- C OMPROBACIONDE LAS N 'IVELACIONES.'
han sido b iencálculos numéricoslosqueComprobamos
realizados.
2 ...495 =,2.4'35
Cota:final - Cota 'inicial = 92.495 - 90 = 2.4'35 m.
v.
'--'
"
,
l:LE tLF = Cota final - Celta inicial~
1:LE, = 2.165 + 2.05 + i.65 == 5.865 m
l:LF = 2.•10 + 0.30 + 0.'37 = 3.370 m
t'LE
,
1:tF 5.865 3.370 2.4'35 .m- = - =_.J'
De la tabla de r egistro d e campe. podem os hacer las
sigui~ntes comprobaciones numdricas:
---.l.'
!
NOTA: OBSERVESE QUE CADA V EZ QUE SE CAMBIA DE ' POSICIONo
'EL INSTRUMENTO, LA 'ALTURA 'DEL IN STRUMENTO VARIA.
-:»'¡
Cot a = A 1 - LF
.,
'--"
= Cota + LEAlJr
son:
Las fór mulas ,a uti lizar p ará el ' cálculó de las elevaciones·
Nivelando el i hstrumentb en la ~rim era p osición tom am¿s una
LE = 2.165 _m en el eM-l (Elev. =; 90 m) y una LF = 2.10 m en el
PC-l Levantamos el instrumento y, fa, nivelamo~ .é.n· l,ª- ,segunda- '
'posi,ciÓri" 'tomamb's: unA" t.E;;"~'¡'*Y9'y"<ril;~"~.R;~;!e~t"P~'~'l"':y"'J~K:'t~,',;;,'0.30' en '
el PC---2 y as; '?I_lces.ivament_~ ,hasta 'terminar en el BM-2 con una LF.
El pr 9c~dimiento a seguir es el sigu iente:
CAP. 1
·...

27. '-p
,
1.".
.J
.,..
V
'v
I
'"'"
.-
"--.
..
I
',~
•
.~'--"
'';-
I
~-
....--
'";-
_.-'
.,,)
'-./
'__.
'-.,)
!
<:»:
._-
,.,_...,
1
~J
'-..J
'-,
~;.
'!'
.....J
,
.,.·1
'<../
'0
V.
•
.....)
0:!
V'-"
.._..r
I..,_,;.
,_-'
,_,/
'-J'
'-J
,_)
'...../
-18-
PC-l I
PC-2J
.'
FiQ. 1.15
2
Cota BN-2 =
Cota BM-21 +~Cota BM-22
Si Cota BM-21 - BM-22 < tolerancia establecida entonces:
hallados es
de las cotas
Si :la d~screpancia e~tre les dos nivelés
permisible, la ~ota del BM-2 será el prome~io
cal cttl~daspor cada uno de los dos caminos. '
De esta forma, la cota del BM-2 ~~ede ser calculada
siguiendo.dos caminos diferentes: (BM-l)(PC-l)(PC-2)(BM-2) y a
trav~s .de (B~-1)(PC-17)(PC-2')(BM-2).
Con el instrumento situado en la primera po sición se toma
una mira ~e espalda sobre el punto de cota conocida BM-l' y miras
de frent~ en los puntos de cambie PC-l y PC-17,. En la se~unda
posición ,del instrumento se toman miras de espalda sobre los
p~ntos PC-l y pe-l' y miras d~ ~rente a,lo.s'~untos PC~2 y PC-2' y
por Qltimo en la tercera positión del instrumento se toman miras
de f;?spaldasobre' los puntos PC-2 y PC-2' y se' termina la
nive1.aciÓn tomando una lectura de frente en 'el'BM-2, que es el
purrt o- cuva elevación querem,os ~onCtcer.
se emplean dos puntos de c ambió por
(fi9 1.15). El procedimiento de campe
En este procedimierito
~ada puesta del ~nstrumento
a seguir es el siguiente:
1.5.1.7 Por Dobl~ Punto de Cambio.
'-':- -, ",
o', •
,,'Por doble punte de cambio. ", '
Po.r,' d:obl,~ pljes't~,del' ','insti'I.:lmen't'o.'
Pó7 nivelaci~.n de ,ida y vltelta,.
Los principales tipos de comprobación 'son:
CAP. 1

28. r:
, :'.,
rÓ;
v
, <:»
-15-
. Se llevan dos Yeºi~tros, per6 el proteso es ~ás lento y
tral:tajosoya que es 'necesario en cada nivelada realizar d os
nivelaciones del instrumento.
. Con .el instumento. en la p osí cLó n 1 -tom'amosuna lectura de
,espalda en el BM-l y una lectu~a ~e trente. en el PC-I. Con el
instrumento en la, possí cLé n 1r observamos de nuevo una mira de
esp~lda sobre el BM-l y otra~de trente ~n.el PC~l~ El proceso se
continQa de esta.fotma hasta llegar al BM-2 "que es el punto cuya
elevación·queremo~ determinar •
Este'procedimiento es similar al ant~rior ·con la s~l~edad de
que es necesario realizar dos puestas de instru~ento pára c ada
punto de cambio(tig. 1:.16). El procedimiento a s egu.ir es el
I si9uiente:
I
<;»
1.5.2.- Por ,Doble Puesta del Instrum ento.u
v
98.59 + '38.596
Cota BM-2 = = 98.593 ro
La elevación del BM-2 será entonces:
,
tLE - tLF = Ct - Ci .
4.786 - 6.19 = 98.596 - 100
- 1.404 = 1.404·~ O.K
tLE tLF = Cf - Ci
3.09 -'4.50 = 98.59 100
- 1.41 = - 1.41 » O.K
'Camino ,2Camino 1
J Comprobac~ón:·
Tabla 1.4
6.194.7864.50
1~M-2
PC-2' 1.938 100.576 2.35 98~6 38
1.98 98 ·.59bBM-21.98 98.5'39
'"
PC-lr ,1.'973100./388 1.,86 99,.015
BM-l 0.875 100.875 lob
CotaLFAlLE 'Est.
Camino 2.···,· • • .' "c -, ;-.;....:•• -
CaminQ 1
.. . .:-.-:
Est. CE, Al LF Cota
BM-l 0.875 100.875 100·
PC~1 1.483 100.988 1:.37 99.505
PC-2 0.732 100~.570 1.15 9'3.B38
1.15) aplicando el(fig.Determine la elev~ción del aM-2
método ,de Doble Punto de Cambio.
Ejemplo:
'J.. .
':".

29. 'v
-2{)-
'-jo
,._j
;::60.86 m. _-:---'-:'_~-'vo~ .
-'~',",
f-. .,_'
Cota BM-2 =
60..87 + ,60.85
BM-2 será e~ton~es:~,la elevación del
ELE - &LF = C1 - Ci'
9.4() - 7 .0-5 = 60..85 - ..58.5()
2.35 = 2.35 » O.K
_)
......
..J
-.-: '
G
....¡
Camino 2
"
Est. LE AI LF Cota
BM-l 1.86 60.36 58..50
PC-l 3.84 61.08 3.12 57.24
PC-2 3.70 62.33 2.45 58 .63
BM-2 1.48 60.85
9.40 7~O5 ,
-,
r
Camif10 .-".L.
=2.37
IlE ELF ~ C 1 - Ci
8.05 - 5.68 =' 60. 87 - "58~~
Camine:.1,,
Est. LE Al LF Cota
, _---_"-
=r: ....-,-~
BM-l (-í.. 44) 5'3.94 ,'585() ¡
~......... _-~_,' -~~". ( . :__,/
,-PC-l 3.1-8 60.42 2.70 57.2.4
PC-2 3.43 62.07 1.78 58.64
BN-2 1.20 60..87
1: a.os' 5.68
Tabla 1.5
Cotñ~probacioÓ,n:,
Camino 1
'Determinar la elévación del BM-2 apli cando el mdtodo de la
Doble Pu~sta del Instru ~ento_
De la "(igüra anterior 'tenemos el siguiente registro:
"<,_<. I
.~..~'. .."
._J
#' .. ~.
L~
CAP. 1 _j
"
,C)
Ejemplo:
1.1'6Fig.
, -

30. I
'--'
Tabla. -1.6- Registyo de Ída y Vuel tao O
Est. LE Al LF LI Cota(m)
BM-1 0.625 ,-, 100.625 1 00.000
A 0.504 100.121
B 1.520 99.105
'PC-l Ó.602 9'3.-689 1.538'" 99",087
PC-2 0.773 98.82'3 1-.633 t .--' 98.056-
C 2.095 96.734
D 1.i53 97.676
PC-3 2.918' 101.070 0. 677 98.152 ,.
·E 0.268 100.802
,
- BM-l 1.070 ,~~ 10Q.000
I 4.918 4-.918
-21-
..........
"
BM,"l
¡:ig. 1. 17
P(-lA,
Comprobar qu e las ,elevaciones de lqs puntos que s e
muestran en 1 ~ figura 1.17 son c orrectas por e l Método de Ida y
Vuelta.
Ejemplo:
Si la l'ínea.es muy l arga, l a misma debe dividirse en -
~écciones no mayores de 2 Km. de -lohgitud, Yealizándose la
rHvelaci{.n en -ida y -vuel ta entre l os extremos de cada una de sus
secciones.
Cuando no e xist:en p untos de cota f i_ja di,soonibles, es el
mejor m étodo para com probar ~l tr abajo , si endo éste mayormente
empleado en' las nivelaciones de, alta. precisi.ón. Para obtener
mejores re su 1t'ad.os la n~v.ela,4:~,ón,;,,:~,~t> V.,~eai:Ja.:.:;:,debe',; >hac'~T~e e~
s~ritl.d(j opuesto a l a de .ida', ." 'siéndo además ph::derible h acerlo en
~iferente~ horas d~l d ía o en distintos-días.
i
'-'"
L.5.3. -. Nivelació,n de Ida y Vu elta.
CAP. 1
.'

31. -22-
,j
a ,a = ángulos formados ent~e el plano horizonial y las
A, IEI visuales.
,-a "- de'
,e e
Q( = A
r IX = le
A d B
d
A IEI
F.ig. 1.18
.J.
1.6.l. - Falt-ade paralel iSlIloentre la t~ngente a la burbuja'y el
eje de coiimación, se elemina 'colocarido el ~nstrumento
equidist·ante de cada una de las m í ras, Vey Fig. 1. 18.
cometen en el pyoceso deLos eyyoyes más comunes que se
nivelaciÓn son:
",_)
Son los que com ete, el opeyador
Miya inclinada, lectura equivocada de
Errores Perso nales:
involuntariamente. E j.:
la m.iya,payalaje, etc.
',,_)Eyyores Natuyales: Son los debidos a efect~s natuyales que
i inci~en en la s lectuyas. Ej.: V ayiación de la t empeyatuya,
c~rv.tuya y refyacciónj etc.
,-(
l.
'-.,/,'
Erroyes Instrumentales: son aquellos debidos a despeYfectos
que pueden teney l os instyumentos. E j: descoyyección de
instyu~entos, longitud de mira eyrónea, etc.
.jtipos de eyyoyes:tyesLas nivelaciones están sujetas a
instyumentales, natuyales y peysonales.
,
íl_6;.- ERRORES EN LA NIVELACION. TOLERANCIA •
....¡
J.:
ConclusiÓn: Todas las elevaci~n~s han sido bien calcul~das.
ELE = EtF 4. 918 ='4~918» O.K ,
··,ef': ~:'·Ci:,··: 100;'m.":::; i.Ó'O'm~'>O.-K'
,..__..
Compyobación:
CAP. 1 ,J
''--../

32. ...../ '
-23-
el
De la.Fig_ e = C2:t ..
e e :::: e
A e
EA :::: Es :::: E
. Ho r i Z on tal
Ho r i Z on tal
'--o
Fi g. 1_1'3
Et método consiste en estacionar el nivel en lo~ puntos (1)
y (2) Fig_ 1.19 de forma tal Que la s ~istancias de (1) a A y B.
~ sean Ye~pectivamente iguales a las de (2) a B y A
"'--"
Se utiliza este método cuando debido a la configuraci6n del
terreno es imposible situar el nivel equidistante de la s miras.
"1
---.{
•~ 1_6_1_1~- Nivelaci6n Reciproca_
"y así eliminamos el error_
AA-O
1::::1
eAA
= ey por lo tanto eddpero como
Para eÍ' caso most r ado' en la Fig_ 1_18. el desnivel entre A y
B ser-á:
Ó,Z :::: ( 1 e ) ( 1 e ) == 1 e 1 + e
A-E A A B B A A :e J3
.. ".~ ': . 'l ••
',' ._
A
= errores en las lecturas de las m~rasee
d" d ::::distancias desde ~l instrumento a cada u na de las
miras_A
.. CAP. í

33. •
-24-
o
-
'-(:'
-. -_ -
---. __ .__ .
____ t------.. _,-.------- _+_ ::::::--
-::
1.64 ffi.
caleu1e
- -..-.,.....- L • .L':'
tomado las
m y, con el
y B2 = 2.46
la cota ~el
hemos(1)
Bl
Con un nivel situado en la posic~ón
siguientes lecturas de mirá Al= 1.43 m y
mismo nivel situado en la posición (2), A 2 =
·m. Si conocembs la cota de A = 43.37 m.
punto B.
Ejemplo:
.¿
<: .... -8:»
=
A2....1
)1) + (}1
< ....·-9·>.
De donde despejando:
,
'--<.'
10'1A1
)1) + (].l:: (12 boZ
'"--,,Sumando los dos desnivelE~ h~llarlostenemos:
·Bz..A2
=1 .-E-l +e(1 - e)E)(}=~z
' :
.desde la posición (2) entre los. Si talculamos el desnivel,
ountos A y B
81A1
....._.e""~ r :- 1E)e '1'(1=C!A-8 >~z
posición (1) entre losdesde laSi calculamos 'el d~snivel
puntos A Y B obtendriamos:
~.
CAP. 1
. '--'

34. .'
-25-
•
P~ra fijar la tblerancia en el cierre de una nivelación~ es
nece~ario calcUlar el error k~lom~trico admisible ~n funciÓn del
instrumento de trabajo y de la dist~ncia o longitud .de nivelada
con que se opera.
Donde:
Eo = Er rotO de c í e r r e per-misible en mrn,
Ek = Error k i Lom é t r Lc o en mm.
K = Lo no i t,ud de la nive 1aei.~.rr en k i lé.metros.
El error de cierre permisible de una nivelación se e xprésa
en f unc í ó n eJel err-or kiICriTIét.-icoe~i~presada::.en milímetr.:.s, y del
número de kilÓmetros recorridos según la expresión:
1.6.3.- Erro~ KilométYico_
Además se elimina este error., igualando las distancias de la
posición del nivel a cada una de las miras.
K = distancia en kilómetros desde la estación hasta el punto
'übser-v acío,
''''~r..= o_c)675
lo
SIJ
anterior (1.1.2) por
la fórmula p ara
Este error fue exnlic~do en Eoigrafe
Que nos 1im,i.tamc.s a dar úni camen!;e
determinaci6n:
1.6.2.- Error de Curvatura y ·Refracción.
= 4:::::.37 - 0.81
-- 42. ~)Gm.
<A-a>
La cot a de B = Cota d e A + ~Z
<A-JElI";>
0.81 m=.6Z
" '..",', v.
2<A~e>
=LlZ
2.46)(1.43 - 2.23) + (1.64',--"
,
Aplicando la fÓrmula d~ nivelación reciproca tenemos:
CAP. i

35. '--:' 1
I
'-/J
.. -1
'-<
'-1
-'-...(
.~
I
.x,
L"
-26-
206265
* 1e~ =
. ..e ....
Este error en segundos _sexagesimales se, traduce en un
determinado error en'~m al leer la mira a una dist~ncia (1)
.:
,Es la acumu lación de los errore s
horizont;alidad y .punter·ía y viene dado po rs
accidentales' de
Error por Nivelada.
I
/1.6.3.3.-
ji
-.
50~ (1 + 4A/I00 )
ep s
A
donde:
....-..
ep = error,de puntería.
.-'.'-- '-... -.,>- <,
A '- aumento de las lentes.
Se traduce en una mala e valuaéión de' los milímetros en la
est~dia y obedece tanto para niveles d~...'p~~no.como de 1inea a la
siguiente exprésión~
1.6.3.2. - Error de Puntería •.
s" = sensibilidad del ri ivelen segundos sexagesimale~.
eh - error de horizontalidad en segundos sexagesimales.~
donde:
20
s~ nivel de linea.
1
Se expresa en función de la s ensibilidad del instrumehto.
1
eh = s" nivel 'de plano
3
Este es ~l que se com ete al calar la burbuja, o sea al
apreciar que la !?uybuja esfá equicH-'st'ant,ede las'.dos divisiones.
correspondientes (nivel de pl ano) o al suponer' coincidentes ,las
dos mitades de la misma (nivel de linea).
1.6.3.1.- Error de Horizontalidad.
CAP. -1

36. ,
-27-
-:»
Este es el'~rror cometido en .cada nivelada pero como en 1 K m'
hay 1000/1 niveladas, el error kilométrlco'será:
206265206265
* 60 m. ::0.0015 m. ::1.5 mm.l ::
5.4"e ..n
Traducido a mm. al leer sobre la mira a SOm del nivel:
+ 5.4"+ 4 "".,t .,• ...J~ -
~l error por n ivelad~ es entonces:
El error de punteria será:
50 ( 1 + 4A/l,OO ) 50 (1 + (4
* 20)/100)
ep s = = 4 <=u• ...J
A, 20
2020
==
__ . "":)t,
-, ....* E?O"s"
11
fórmula para el ~rrorYa que el i~strumento es de linea la
de horizontalidad es:
'-<',
..,/
=: Solución,:
un nivel de
la longitud
Determinar el error kilométrico si empleamos
linea de sensibilidad l' y anteojo de 20 Anstrpng si
de la nivelada a utilizar es de 60 ffi.
Ejemplo:
'-"
';
~ , donde 1000/1 es el número de nivelada s que hay e8 un kilÓmetro.
, '.',..,'
". >-. ~1000 ,.
e", ::: e.", " ,
- < ,:.,", ,- ",1 '
y asi el error kilom~trico será:
El valor da en mm. si 1 e~tá en mm.
CA¡=>•. 1

37. ,......~..
.'---
.J
..,4
",-"
'-..-'
" __/
....',~
''-J
,_,r'
yI
, --
!
'"
, __,
-28-
tar-de,las
en l-asProcure trabajar
últimas hür as de 1a
primeras horas dé la ma~ana y en
para evitar las dilataciones
originadas por los rayos solares. En nivelaciones de precisión
se empl~~n sombrillas para el nivei.'
ef~cto se deben,
1.6.4.- Errores debido al Sol y al Viento.
l1Z' * 10093
= 17.2 m.1
'1 "_¡ "
7 s i *
206265
11ti,. '
206265
1," 1 000
'.
e .......
De donde para encontrar 1 sustituimos en el el<
206265206265
= 11
11"e'·¡..,
-.
Y en unidades métricas:
El error por nivelada:
e·· .... ~ 1<e....) 2 + (ep)zJ:: '102 + 4.521 = 11'"
20·A
e~ ~ = = 4.5"
50" (1 + 4A/IOO) 50 (1 + (4 '* 20)/100 )
El error de punteria será~
1
e.... ~ 1/3 s" = * 30 = 1'0..
3
t
n, .:
Ya Que el nivel es de plano:
, ,
sens,ibi 1id ad, de,'30'".v
la loo9i ftid' ' máx1ma de
, ' lftilizanóá, un ''n.ivel, de pJ,~-no dé,
~riteojó'de~O Arist~onº ~e'q~ier~ calcular
nivelada para un error kilométrico de 7mm.
Solución:
Ejemplo: '
CAP. 1
, . ,~.:.::'

38. '-29-
...._.-/
,se emplean niveles."Para evitar tener que bal.incear la mira
esféricos o se le adicionan plomadas •
10 tanto, la"menor lectura en la mira al bal.an cearla
punto de apoyea,r'corresponde a l,aposici.~.n vertical de
Fig. 1.20
J
.:»
._/
..._....
'-'
v
V
-/
<;»
....J
Por~
sobre el
.../ ~sta•
En la fi9. 1.20 si G" - 8" entonces l' = 1" Y se cumple que
l' > 1 ;- 1" ,) l.
1.6"6.'- Errores debido a la,i.~~linación de la.",ira.
se emplean sapos ode la mira
terreno~
Para evitar el asentamiento
pines que deberán enterrarse en el
...,_/
del
y es
nivel debe elegirse
recomendable enterrar
el asentamiento
lugar de colocación
Para evitar
cuidádosamente el
bien el tripode .
,los asenta~ientos de la mira producen lecturas ~e espalda
mayores que la verdadera y como 6Z = LE - LF , la cota aume~ta.
lect_'-rras de mi ra de
= l~ - lF F la cota
los asentami~ntos del nivel produ~en
frente menores q~e las verdad~ras y como 6Z
aumenta.
"
Evite hacer lecturas de mira si sopla viento ~u~rteF sóbre
todo si son 1~,C~,~t.r.~sg~~,~~~~:''(:".~u~. '~r"-.~~~~s ,,,,~,~, ~r r:,or .. es. ~C1¡y.~r-;i>
1.'.§::t·~"'A~~ri·iá~i~~~ó'dé" níy'~l' V ~e' iníiá_
reducida si se trabajaLa longitud ,de nivelada deberá ser
con sol fuerte por la reVerbe~ación.
,.,
CAPa '1

39. _ _.Io
,_<
o '-.0
o
~(
-30,-
e = O.004 'fiZl (m. )
tf-
~oo
Nivelación de .Alta Precisión: Se I,ltilizapara determinar.. '-
puntos opermanentes oo de ocota bien exacOta que formen ouna red0)j0~~t,'-.....J
apoyo, con v isuales de lonqi~ud máxima de 90 'm. y el nivel. ~ - '-./.
resguardado del sol. L as lecturas de espalda y de frente deben
de hacérseoinm~diatamente unaotrasootra sosteniendo la ~ira bien .~
vertical. las di stancias de espalda y de ofrente deben ser
iguales; o °EI máxim~ error tolerable e~:
._0<
.
I
'--..
o"-_
,....
'.jo
'0
i?,
°
I,
e = 0.01 'fj(l (m. )"I
Nivelación de Precisión: Es la. requerida para planos de
población o para establecer pu ntos de refer:encia principales'o,eno
levantamientos de ¿ierta extensión, con visuale s haita de 90 m.
las dista~cias de espalda y de fre~te ~eben ser apr oximadamente
iguale$. Los puntos de cambio d eben ser estables.o'.E1 máximo
oerror tolerable es:
e = 0.02 f¡(l (m. )
Nivelación Ordinaria: Es La' requerida en ceonstn.lcción°de
carreteras, vias férreas u ótra~ construc~iones civiles, ocon
visuales de hasta_01g0 ffi. Las distancias de espalda y de frente o
deben ser aproximadamente iguales cuando se sigu en itinerarios
largos cuesta ayr iba o cuesta abajo . o El máximo error tolerable
es:
K ~odistancia en kil6metros.
donde:
e = 0.08 'f¡(l (m. )
Se lleva a cabo en reconocimientos o
de has ta 3Óü m , qe 1ori gitiud.oNo hay
iguales las distancias de espald a y
tolerable en metros está dado por:
Nivela~ión Aprox~~ada:
~nteproyectos, con visuales
Que preocuparse de que sean
de frente. El erro~ máximo
ol.~ to.lér~r)~°i,a:~Do lo~ ~r~O~ajQ~ d~ nÍ:v~lación estáo en: función
b.1sitaín;'éilofeoen?1 'oofijJbo,odeoo"'~Y:ciÜ:)ajóo¿:¡: 'reaii2aYse~oo00o:Poodemosodecir °Qu~o
la nive~aci6n tiene cuatro categorJas dep~ndtendó d~ l~ p~eci~i6n
Que se desee ~n cada levantamiento, ~iendo ésta~:
/
TOLERANCIA.
.t
s
°CAP.o 1

40. .
-31-
Para.realizar el ajuste, ~l error de c~erre debe ser menor o
igual al error permisible •
= .6ZCBMI-PC1) + .6Z(PCI-PC2) + .ó.Z(PC2-~M2)
= Co~a fin~l - Cota ini~ial
I 6Z obs
'AZ 't ijo
ee = 1: 6z obs - . 6z fijo
El err-or dé'cieyye' está dado por:. JII
3
PC-2
BM-I
BM-2PC-l1.21
I
I
1
,
- .'----:(i)
_--....ca.2 '
Fi.g.
La niv~lación de enlace es,aquella en l~ Que partiendó de un
punto de cota fija se llega.a otro también de cota fija'. El
objeto de ésta es dejar'una serie de puntos de cota conocida a lo
largo dé un itinerario determinado. Cfig. 1.21)-
Ajuste por 6Z.Nivelación de' Enlace.
- Por di ferencia de nivel Qbservada. ( .6.Z)
- Por cotas calculadas .
El ajuste de las nivelaciones tiene Dar objeto distribuir el
error de cierre obten id? y hallar el valor de las cotas de los
puntos que intervienen en la n í veLa cLó n, El ajuste se realizará
de acuerdo al m~todo empleado' en la nivelación pero siempre, la
distribución del error de cierre será pr6por~~onal a l as
distancias'de nivelada o sea, una ··distrib.J..lci¿.filineal del error
de cierre.
Existen dos tipos de ajuste:
1.7.- AJUSTES DE LA ~IVELACION.
Com~arando el' error de 0.02 ffi. co~ los rangos tolerables,
clasificamos la nivelación como Ordinaria.
o.OS'
0.02
0.01
m:..,~Ni.vei.i"ciÓn:Apro}Úmada
ffi. Nivelación Ordinaria
m. Nivelación de Precisión. .
0.004 ffi. Nivelación de Alta Precisión
~n ~l pr6blem a de nivela~ión mediante doble ~uesta del
instrumentó, tuvimos un error de 0.02 m. y si la longitud de
n~Yelada fue ~~ 1 Km. los errores máximos tolerables 50n:-
Ejemplo:
" ,
CAP. 1
~
v
~
'-i
-r
'--(
•..._¿
<:»
<:»
<»
V
",../
....._¡
.._,
v
"'-
...../
<:»
...1
'-" .
....._.,
'--'
'--"
<:»
<:»
'--"
'-../
'-'"
'-"
",../
.._,
<:»
'-../
V
'-../
....._., .

41. -32-
.~ ___.
E ~Z obs :: -1.611 + 1.224 + 1.143 - 1.330 + 0.920 = 0.346 m.
e;., :: 1:6Z· obs - 6Z fijo :: O.34~ - 0.352 :: - 0.006 ffi.
84.565 .:..84.213 = 0.352 m.'~l fijo
Cálculo del error de éierre:
'-.¿"}
84•.565 000.921BM'-2
o~ ~
83.6~4-1.32"3PC4
84.'3731.144PC3
Vi
83.8291.226
': ....
PCl
"
82.603-1.6~OBMI-PCl 0.60 -1.611
PCI-PC2 1.00 1.224
PC~-PC3 0.90 1.143
PC3-PC4 00.70 -1.330
PC4-BM2 0.90
..,
~ 0.920:
~...-:-.
pe2
84.213BM!
Cota(m)6Z corr~ZobsLon.(Km)LadoEst.
Tabla 1.7
,-'
Se quie"re ajustar una nivelaciÓn de enlace sabiendo que
la cota del BMl es de 84.213 m. y la cota dél 8M2 es á4.565 m.
'además ~e quiere obtener un error kilométrico de 15 mm.
. ,...{"Ejemplo:
L
"CJ.. :: +
I
-..::
. -'v
Por lo tanto la corrección será:
L : longitud total del ·ito.l.nerario.
-:
ec: error de cierre obtenido en la nivelación.
1....: distancia·de nivela~a correspondiente al ~Z .....
donde:
e....: error correspondi~nt~ al cst:«,
_-:'L
1J..e,., :: +
Si llama~os e~ a l e~ro~ correspondiente a una distancia de
nivelada l~, l os errores distribuidos proporcionalm~nte a las'
distancia~_de nivelada~ serán:.
;.-...-::
o.
CAP....l·
·,

42. -33-
=
-.J
'J.
V
-J
--J
-,
'~l/
....J/
,._/
'-.__/
_,__)
V
,--J
I.,,_J'
En esté tipo -de ajuste se considera que los errores han
ocurrido en-forma uniforme y progres~va , es decir, proporcional~
mente a la lo ngitud de la l inea desde el origen hast~ el p~nto
~on~iderado, por lo tanto:
,.
<:»
Aju?te por Cotas.Nivelación en Circuito Cerrado.
_// Como compro.b.ací.ó ra la -sumatoria de los 6Z .corregidos debe
ser igual al 6z fijo y l~ cota del 8M2· calculada debe ser igual. a
la cot~ f~ja del dato; lo ~ual podemos verificar en ía tabla de
registro ~.7~
las cor~ecci6nesobservados
dé la tabla 1.7) se hallanlos D.Z corregidos '( columna 5:
sumando ~lgebraicamente a los bz
correspondientes.
Nótese q~e la sumat oria de. las correcciones es de igu~l
m~ºnitud pero de ~iºn6 -contrario al error de cierre.
0.006
C2 =
'* 1 .:: 0.002 m
4.1
0.006
C4 =
* 0.7 =: 0.001 m
4. 1
Cálculo de las , co r r-e c c Lorre-s e
0.006
C1 - * 0.6. = 0.001 m
4 • .1
0.006
C3 = * 0.9 = 0.001 m
4.1.
~ 0.006
,
C~ = '* O"!9 = 0.001 ro
4.1
J:C.i. .:: 0.006 m
Entonces podemOs aju~tar
", .'
ec con,C6m:payaci.~ndel
o 0 I
0.Ó06 < 0.03
::: Q .. (J3 m.30 mm.
Ep e ea., 'fiZl
Ep < 15 '(4:1l =
"._.Cálculo del eryor permisible:...~.¡~.
CAP. 1

43. . -,34-
'-_.. ,~=::..
........
BM-I
~.
Fig. 1.22
En el circuito cerrado de 1 i9. 1.22 se desea determinar la
cot a de .Toss puntos B,e, D, y F con un error kilométrico de 20 mm.
En el.registro se h~n colocado los dat os de campo y'yesultados
del gabinete.
........Ejemplo:,
-.-
ec = Error de cierfe obteni~o en la nivelación.
= Longitud total del itiner ariO.L
,l.s..= Distancia acumulada de sde eí origen.
C.s..= Correcci6n de un punto situado a una distancia li del
origen.
donde:
ec::
C.to = + '-,- 11.
L
pero. de signoigual magnitudson dey como las correcciones
contrario al error:
e..,_ ~ +. ~ l.s..'-"
L'
Despejando:
CAP. J
.,

44. -35-
/
4.30
* 3.20 - - 0.008 ffi.
0.011
. Ca =
0.004 m.
0.005 m •
0.011
* 1..38 =
4.30
0.011
.* 1.9.0 =
4;.30
0.01'1 '--."
C1 := - * 0~6é~ - 0.002ffi.
4.30
Cálcul~ d e las correcciones~
Debe notarse en el . registre qu e la cota .í ri.íc LaI del punto
BN-l tiene ~os valóres distintos y su difer encia debe coincidi~
con e l error de cierre.
Comoec; = 0.011 < 0 •.04.1 podemos ajustar la nivel ación.
El :error .de c ierre permisible:
Ep ~ ·ek 'lk.$ 20 14.30 :: 41 mm. = 0.041 m
I .6Zobs .:= ~ . 422 +. 1. 111 - 1.421· + o. 434 ~ 1..535 = 0.011 m.
El error d e cierre 'será:
Tabla 1.8
F-BMlBMI
D-F
C-D·D
e
B
" .:.' ',:.., "~',
. ... . ..
0.68· 1.422
.1.38 l. 111
1.90 ~1.421
3.20 0 .434
4.30 ·-1.53.5
BM1
6Zobs
(m.)
long •. A<;u~
(Km.)
lado.Est. Cota Cota Corr.
(m..) (m..)
tO.471 .·10,..471
11~B93 11.891
1:1.004 13.000
11..583 11.578
12.017 12..009
10.482 10.471
CAP•. 1
• o,",
.'
'~.
1---
.<:» .
,_j
''-1
....-.
;
.,--,
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45. '...¿ I
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_.I
.../
.....J
v.
" -'
,)
...._".
'-..,
1'- -- ~---
-36-'
Jo
El perfil longitudinal no nos ofre ce información del relieve
del terreno a'ambos lados del eje fundamental, pero en obras que
cubren una estrecha faja de t erreno, se pu ede asumir qu e el
terreno colindante a ambos ~ados del eje tiene el mism o niv~l,
como el cascidel tendido de una tuberia.
En l as etapas preliminares ',de una o bra, es muchás veces
nece~ario determinar diversos perf-iles longitudinales a lo 'largo
de diferentes ejes para poder h~c~r las comparac iones necesarias
y decidir cuál es el proyecto más económico.
Un perfil longitudinal es aqu~l que se determina·.a10 largo
de la 1inea fundamental de una obra; t al es el caso del eje de
,una carretera, ferrocarril, ¿anal, etc. El p~rfil longitudin~l
nos brinda la oportunidad de conocer la c~nfiguración del terreno
en toda su longitud,y en él se ba.a el inge niero pará hacer los
estudios necesarios para fijar la ~asante de la' obra.objeto ,de
construcción.
1.8.1.- Perfil Longitudinal.
cota.
Establecer pu~~os de control mediante el corrimiento de unaf)
e) E laborar mapas y
general del terreno.
la configuraciónque muestrenplanos
de regiones.
car,acteristica.sde escurrimiento y drenaje'lasInvestigard)
c) Calcula~ volúmenes de terraceiias.
construcci6n de a cuerdo con elevacionesb) Sit uar bbras de
plan~a~as.
férreas y canales que han
en, for~a óptima a l a
a) En el proyecto de carrete~asp vías
de tener pendientes que se adapten
topografi,a.existente.
Las aplicacion'esmás comunes de la nivelación son:
1~8.- APLICACIONES DE,LA NIVELACION.
,sumamos algebraicamente a
Después de efectuar este
e igual al,valor del dako.
Pa~a hall~r las cotas'corregidas
las cota~ observ~das las correcciones.
cálculo la cota del BMI debe se~ ~nica
• ''.-. f'
* 4.30,~ - 0.'011 ~.C:s :: -
0.011
CAP. 1, '

46. -37-
'Ordinariamente en el levantam ient6 de un perfil las estacas
se c~locan cada 20, 10 Ó 5 mts. los puntos colo~ad6s cada 20 m.
exactamente desde el princiQio de la linea ~e les llama
estaciones completas, a "t6dos los demás puntos, se les llama:
~stcfcion~s incompletas. Asi una estaca co locada a 1600 m•.del
pto. ~riºen se numera " 1 + 600 u, y una a 1625 m, ~ 1 + 625.00".
El pe.rfil debe tomarse con 'todas las precauciones del'caso;
para evitar errores en los levantamient.::.sposteriores, deberá
levantarse sobre l~ poligonal abierta y debe tratarse de reflejar,
en'él todas las depresiones del terreno indep~ndientemente de,que
parezcan,o no importantes.
Podemos .-'considerar qué el pe ,rfil n.::;.debe de ir
necesariamente cada 26 mts., mas bien donde las condicicin~s'
topográficas lo amer iten como bordes, pie, centros de Quebradas,
etc., además la precisión en PC y BM's debe se~ al milimetro yen'
las e?taciones al cm.
Situado en ese mismO punto, se mueve la mira de estación en
estación a lo laigo del eje fundamental tomando L.I. para
diferenciarlas de la~ lecturas que se to~an en los puntos de
cambio o b an~os de h ivel. Las l.l. se restan a la altura dé
instrumento 9btenidndose l~s elevaciones del terrerio en las
estaciones. Cuando el estadal, se ,mueve hasta un punto ~osterior
en el cual n o pueden observarse más lectura~ se selecciona un
punto de cambío y se toma una L.F. para establecer su ·elevaciÓn.
Se instala el nivel en una posición adel~ntada y se toma una L.E
sobre el pe que se acab a 'de establecer para el cálculo de la
nueva alturá de ~nstrum ento. Entonces se continóa con las
lecturas en las estaciones com6 se hizo anteriormente.
Se ubi~a y se nivela el nivel en un punto a decuadO que'nos
permita obsérvar el m ayor número de est aciones des~e el mismo
sitio. Se coloca la mira en e~ B~ y se hace una L~E. y se obtiene
la altura de instrumento sumári~olaa la cota del BN.
El .perfil se inicia en un punto cuya elevaci:~.nes conocida o
puesta arbitrariamente, este punto debe ser un BN o Banco de
Nive~ que esté ubicado fuera del derechO de ~ia.
Antes de iniciar l a nivelación de un perfil d ebe~os tener la
corrida de BM'e, y~ que esta operación se abre ton la.lectura de
un eN y s·e.cierra con i,~' :~c.~,'1'!:,~.,'~e:'J:?,~5;P<Jlt!i._>,::"/.R.,,.q~,;~~:~:~q,;
s0t:l: ..u~:a(jo~" :tdiJt?:, :püntOs, ~,E7::".'.1,.I1:?-.'~,1O, .~e ill.,yelatió'n,'Y .~omo correrol:
veYt'i'cal~'
Levantamiento de.lper.fil'longitudinal :
CAP. 1 ,
".
,.~'-...1
V
,../
'-'
'.._,
-...-:
<;»
'--"
'-'
'--'
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...._,
<:>
''-..1
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.._.,
.._.,
,J .
,J
v
v
v
V
v
,J
..../
~
I.._;
'-/'
V
"..J:
...J: ,
L
.
l~'

47. -38-
.,vLos mach.eteros deben limpiar a. ~mbos l ~dos..de las
estaciones, estas, trochas deben ser p erpendiculares a la .
poligonal, en el caso de los tramos rectos o tangentes, en lás
curvas pueden sey radiales. Las'secciones transversales deben ser
amplia~ pues mi~ntras ~ás c~mpleta s ea l a configur~ci~n
topográfica, más certeza tendrá el dise~ado~ par a elaborar el
dise~o final en cuanto a la longitud y espaciamiento de las
secciones transversales; el factor'más importante es el criterio
El seguimiento'.para llevar a efe,ctoeste levantamiento es el.
sigt.li-ente:
El levantamiento de secciones tr~nsversales es la operación
mediante la cual c onocemos la configu raéión d el terr eno
apoyándonc.sen el perfil longitudinal levantad o sobre l a linea
central o eje fundamental de la obra de constructión.
v
"v1.8.2.- Secciones Transversales.
, ..._,I
• "_._."I0
Estac. L.E. A."I L.F L. 1 Cota
BM-3 3.327 6'37.325 6'33.'3'38
0+900 3.40 693.93
0+920 3.24 694.09
0+940 .2.72 694.61
0.960 1.86 695~42
'0+980 0.76 696.57
PC-l 3.909 701.071 0 .163 697.162~
1+000 2. 00 699.07
.~
1+020 1.38 _.699.69
PC-2 3 .786 704.81 0.047 701.024
,
Tabla 1.9 Registro del levantamiento de un pe rfil.
t-..<',
.Los .r-egistr"os.par~,<la'. hi:.,,~lación.., d~' los perfiles p",e~eó.
'reaiizayse'coma: 'se' '¡¡"lastra.'en':·l.:i('··.' t~~úna:.t.'.~',". .l.:os·...d.ato~·€1e..punto$·,.
de . cambio. son los' mismos" que los de la·s·..· niv~la~é'i·one:s.
diferenciales. Las elevaciones de los :puntos del te'rrenose
obtien~n restando las L_l. co rr~spo~dientes ,de la altura del
instrumen~o aMterio~ que se regi~tran aproximand6_al cm~
,
~e~i~tro para la n ivelaciÓn de un perfil~
CAP. 1
f-'.
.;__¿

48. -39-
las di~ecciones de las lineas se pueden obtener con la cint a,
.el te()do~ito o el pentaprisma, La-s distancias se pueden obtene r
con la cinta o ' con la estadia y las el~v aciones pueden
determina.yse·con el nivel de 'anteoJo dependiendo de la precisió n
requerida•.Las secciones transversales sirven para determinar los
volúmenes de 'tierra en los caminos, terrocarriles, canales,.'etc.
-0.90'· -1.30 +0.10 0.00 -(J. 40 -0.40
10.00 7.00 3.30 5+-320 1.50. 5.ÚO· 10.0Ú
Cerco Orilla o-illa Cuneta
Camino Camino
-0.90 -0.60 +0.10 0.00 -0.60 -0.30
10.00· 6.00 2.80 5+'300 2.20 5.00 10.00
Cerco Or ilia Orilla Curre ta
Camino Camino
Tabla .1. 10 ~
..._./
Cl.lneta.Camino
0.80 5.00 10.00
Orilla Cuneta Cerco
Camino
4 •.40 5+-940
Orilla
9. OO. ,8.00
Cer eo Fo ndo
-0.50
15
-0.10
15.005.:.0Q 9..20
Cune..ta
-0.50 -0.30l..
5+9.~0 S.. 00 11.00
Fondo Cerco
Cuneta
0.00 -0.50+0.10-0.60 -0.70
11'~00 6."00 1".0
Cuneta
,
-0.80 -0.70 +0.30
12..'40 . 10.60 5;.40
Cerc"O Fondo Orilla
·Cuneta Cami:no
5+980·
-0.·20-0.40-0.500.0+0 ..30-0.60
De r e c.h a ,.,
"
Céntro1z quí, er'1a.
la tabla 1.10;.lbs regi~tros pueden hacerse como se mue~tr~ en
Reg~stro ~ara n~velación de seccidnes tra~sversales.
dei ingen~e~o ·quien debe s~V si~~~re el guia de todas las
actividades., la 'for-made observar y arrot ar la configuración
topográfica es la misma como si s ~ estuviera tomando '-lnperfil
lonQitudinal. Debe tenerse cuidado.en la toma de la s secciones
tYa~sversales pues· :éstas d~l:>enconten~.r ..todas las :d~p:resiones.
!~~tg~:~.~~.C:.~~~~}X:·;7~~~es';...:.::pl~~··fbii~d/;d¡e··:~~~6yJS>.0..?uaí:qJi~r··~ty.ó.
CAP. 1
· :.

49. ,-(
. '
...J
¡
"-!
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,-_.
.~..__. _.l__-·'i
-40:-rI
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1o ('J ~ <D en (J ~
i
co (5 ~ :¡ ~CD Q) en CD (1) '(11 en en'. ,_; ... ~ ..... ..J- .... .......-!- ..J- -1- ..... o o o o
.o o o o o 1----~ o o o ± ...... + .....
",.r '0_./ .. t
698
Ese ALA H :1/2000
v: '/200
Fig.·1.23 Dibujo de un perfil longitudinal.
El.perfil dibujado puede ser Utilizado por el d iseñador para
establecer la subrasante de.carreteras y. caminos, las pendientes
de la linea de colectores de drenaje, canales, etc.
Finalmente el p erfil se entinta.
Generalmente se dibuja un diagrama de alineamiento cerca de
la parte superior del ~ollo o de l a hoj~. El diagrama de
alineamiento no es una planta del mismo. Algunas veces'en algunos
perfiles se inclUYe?en la misma hoja, .el .pla.noo 'plantade.la
misma. A estos planos se les conoce como planos planta-perfil.
Los registros del perfil contienen las el evac~ones de las
estaciones y de los puntos intermedios, pa..ra señalar cruces con
los objetos importantes como -las corrientes de agua~ ~aminos,
ferrocarriles, etc.
El cadenamiento o numer~ción de las estacas ~vanza de
izquierda a derecha~ La linea que represeAta el terr~no se dibuja
a mano ~lzada. No d ebe redondearse exageradamente ~l perfil en
.105 bordes y en las depresiones.
Una vez'fijadas las escalas del perfil se procede a graficar.
o pl.:;,tearlos registros de las nivelaciones •.
Dibujo de Per"files Longitudinales ..
:Co.o.~bjetO-,·de··que;::·-el·:d~:s~;radoY' tengá un.·.;p~y·p':..·ut~l.,·~l,.·j)t~T;.f,j..l·"
se ·dibu.jaen papel m ilimetrac;JÓ;'a es~ala "ttoy~izbiltaly v'ertlcal'
especi"ficada para ~l trab ajo. La e scaia" ~ertical se d¡~~ja
siempre más grande que la horizontal, ~ener almente ,en una
relaci6n de 10:1 'con 'elobjetivo'de apreciar bien l as dif~rencias'. - .
de niv~l, asi por ejemplo si la escala horizontal ·es 1:500, lá
escala vertical será 1:50.
., <
CAP. 1 ~
<.,
L!
G•• 0":

50. -41-
Fíg_,1.24.- Secc. Transversales de registro (Tabla 1.10)
ESCALA: 1/200
._"
".../
..._¡,
..__.,'
v
J
-...J
..._¡-
-1--.
- r--.:-i_.......+-_-I- +.
5+ ,900
5+ 92.0
5-1-940
"O
. ,/"
' ____
J_-+--~í
x.>
5+ 960
5+ 980
"
La ~ección t~ahsversal de la p~i~era estación de la ruta
generalmente ,se coloca 'rn el ángulo izquierdo superior, y las
secciones transversales sucesivas se coLcrca ri unas debajo de las
otras. Debajo de cada sección trasversal se colo~a el n6mero de
la estación (ver tig. 1.24)~ AIgu~os ingenierbs colocah la
'primera sección transversal en _el ángulo izquierdo inter ior d,ela
hoja, maYcando la eleva~i6n del terreno en cada estación.
'-';'
El d~bujo de las secciones tran~v~rsales es muy parecido al
de perfiles lóngit~dinales con una d~fe~encia ,e~encial: que las
se'cC'iQn~s,.,t~,:,u~~~ve:,,~~~~:l,,7,~s: ~:::~L~o~a,~..",~,r.",~.~~:a.~f:h~~t,t,t~~~.-:':},,: ~?to,es fg~,e.,
tahtd:"'l.;f ~s'cal'a hori'zontal como la ,vert.1calsón' 19l..lal.es,es decir:
~ue par~ las ~ecciones transvefsales se a co~tumti~a utilizar l~
es¿~la 1:100. Finalmente:se entinta la linea que repre~enta el
terreno.
CAP.
' .+
.
Dibujo de Se~~iones Transversales.
:_~r·i.....
"'-'"

51. o
Ó
o·(1)
o
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-42-
o O
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.. "_".
___ ~"'--:I--_-+-_"""""_ V'
210
211
2·Ie
213
"
0.010 Comprobación
I
'-J
y,
"').
0.010
- 210.2106.8316.841 .
210.2203.006BM-l
211.6501.576 213.226 1.875.PC-2
Estac. LE Al LF LI Cota(m.)
BH-l 3.365 213~575 210. 21(~)
1 + 000 1.045 212.530
1 + 020 1.580 .211.995
1 + 040 1.880 211.695
1 + 0'60' 2.030 2 11.545
..
213~52S 1.95ü 211.625 .PC-l 1.900
1 + 08Ó 1.·390 212.135
1 + 100 1.500 212.025
-Constrúyase un p!=Yfil cO·f11.os.datos -.-de.l. -r;.~g,i?tY,q:q~e?~,e._
m·Úestt-a. Utilice" uri'~ escala ho r Lzorrt.al :d'e t.':j:ooá -y,.-: una· eS'c.c:iíci·'
vertical 1: 100·.
CAP. 1
-t
Ejemplo :

52. -43-
= 5.0.3 m.
=.. 5.03 + 1.55· 1•55
Azos - V + i - he ielevac.)
= 4.99 m
Cota A = Cota O - ~ZOA
6Z0A ::: V - i + hc (depres)
::: 4.99 - 1.•55 + 1.65
::: 5.09 m.
,-,~.,
J..1,
.__A,:.~,..
~~~:
~"0í
'-"~I~',
../ ,:.
.}
<:» e •.
Ve = DHoe t·anea
= 43.62 tan ·06°35'
= 5.03 m
.--
Cota B .- Cota O +:6Zcn~
= 54.34 tan 5°15'.
= 43.62 m.= 54.34 ffi.
= 100(0.442) cos2(06°35')= lOO(O.548)cos2 (5°15')
:::Ks CClS2 OCa= Ks cos2 oc......,/DHo .....
._..
<:«
;
. .. 0... ..... . ... ~o.. ::.........~....~' ..,;:.. ~ ! '.. o •..'~ .;.: -, :.: .' .
-: __:.; a •• o."
1.1.- Determi~ar la elevac~ón de 165 ptas. A y B que ~e muestran
en la figura a paytir de l os datos de campo que se presentan•
EJERCICIOS RESUELTOS :
CAP. I
_.., "~,.

53. _ J
-44- ,
= 156.ú3 tan 6°45'
= 18.47 m ..
OA= Cota O·+ ÓzCqta A
VA = 5.03 m.
tan 6 ~45'- tan 6030'0= 43.62'. tan 6035_'Voo A
3..52- 2.83DHoA =' 43.62 ffi.
'J
tan <X20tan ()(:t,
DHoA :: 100 (0.442), cos2 6 °35'
83015' = 6 °45'
83030' = 6030'
<X1 90
QC2 = '90
'90·-83~25'= 06035'
= .0.442 m.
eA =
s,
Elevación en B•.
. .~
Elevación en A.
Solución ::
, "
3.52 m.
2..83 'm.
()(.....A _ 83°2Sl'
()(B1 (33015'
'OCS2 '83030'
i= 1.55 'm.
Elev. = 100 m.
'- I-:»:Est. BEst. A
h~ :: 1.323 ffi.
he :: 1.55 ffi.
hs = 1.771' m.
Est. O
Datos:
" I
0;--"
--_.;-
_-_--~-------_-----.¡--_?- ---_--
1.2~- Determinar la elevación de los punto~ A y B qu~ se muestran
oen la gráfica a' partir de' los datos p oresentados y además
encuentre la pendiente entre A y O
r
s~ la lectura de uno de los hilos no se puede e -fectuar se puede
c~ltular po~ he = oh~ + hi
2
NOTA:
00 Cota 0/ ==tOÓ' -o 5.09' - 94.91m
y así :Por lo tanto la cota de A
será:
CAP. 1

54. -.......'" .
-45-
PC-4
1
'1
,1
I
I
I
. . ------ - 1Í
'@E ---- ---~~~, . ",' '". _" ,
..,,'" " .
-- ,,
0'--- br//
,
•,
~'-i~
..../!:
@.o,,,
3
BM=.'OO·m.
para conocer las
se muestran en' el.
una nivelación cQmpuesta
cantidad d~ puntos los que
1.4.- Se realizó
ele~aciones de una
itinerario.
<:».
i
Pto. L.E. A. 1. L. 1. Cota Al = Cota BN + LE
BN 1. 15 101.15 100 Al = 100 + 1..15
A 1.50 9'3.65
B 1..49 '39.75 = ·101.15 m.
C 1.48 99..67
D 1.60 9'3.55 Cota - Al - II
1.3.- Determinar las alturas de los
las 'lecturas r.ealizadas en l-amira.
(Nivelació~·Simple).
:: 1 8" 64 7.
-,..{
i_
~:
~.
'it
L::!.Z cn:;.. = 18.47 + 1.55 3.52
= 16..50 m.
Cota B = 100 + 16.50 (El.ev..)
= 116.50 m.
ptos. A' By e y o sabiendo,
Asuma un BH de cóta lÓO 'm.
100== ~3. '*
43.62
-
L::!.ZOD = V1 + i - he 1 (Elev.)ro AO = 41-ºA-_'!t.... 100
DHoA
Pendiente AO
Cota A '=: 100 + 8.13 = 'loá~:'13m.~
::: 5.03 + 1.55 + 1·.55 .
Va que se empleó a~
para calcular VS1, para
determinar el de snivel
s~,.usaxá.·hc1 .,c,o.Íl.. é,J,.ob- ."
.j~~tlf(:d'~~~:¡:t1úee·~·I~€~.co·~'. ":
~r~iación dire~ta e~ ~l
cálculo.
= 8.13· m ..
f:).ZOA = .) + i + he (Nivelación i .nVersa)
CAP. 1

55. -46-
, '-)20
.. ' ..._~
50" (1 + 4A/IOO)
74.,659
v,
-e-, I
El erro~ d e,punter~a:
73.965
_,20
60" :;;:;<
73.615
"--<,
es :
Para un niv ~l de lin ea e l
error de horizont_li d~d73.815
COTAEst. L.E. ' 'A. l. L.F.
BM-1 '1.281 75.096
PC-l 1_,70'3'75.324 1.481
PC-2 1.923 .75.802 1.445
PC-3 2. ()35 76.000 1..837
BI'1-~ 1.341
SoluciÓn:
1.5.- Se ha real~z ado una nigelaci4n c ompuesta p or Ida y Vuelta
para determinar la cota de un BM - 2 • paya esta n ivelación se ha
utilizado ,un nivel d e l'{nea con sensibil idad de l' anteo'jo d e_20
A y distancia de niv elada 50 m.' Ajuste si es n ~cesay.io la cota
calculada. sabiendo qu e la longitud tot al de la nivelación fue 15
.km,
- 1.223 = - 1.223 O.K
5.181 - 6.404, = 98.777 - 100
Cota ini.cial1: LE - l:LF = cota f inal
" I
-..
Cota¡ = Al, - (lI -1 LF)
Al = Ca t a BN Ó PC + LE'
"'.-4
"-', .
PTO. L.E. A'.l. L. F. L.l •. COTA
i:l0i~634'
,"
.:-.:
1'.634
,- '
"''''9°, 'eH
,PC-l 1.340 iOÓ.448 2.526 99. 108
A 2.76 97.668
B 0.69 99.758
PC-2 1.162 100.779 0.831 99.617
e 2.70 98.07'3
D 1.67 99. 109-
PC-3- 1.045 lOl.10l 0.723 100.056
E 1.36 99.741
F 2.17 98.931
G Ü.45 100.651
PC-4 2.324 98 .777
CAP. 1

56. -47-
Cot'aBM-2 = 73.815 + 0.834 = 74.649 m.
2
= 0.834 m.,.ó.Zprom-
0.844 + 0.823
Ya que'el error de cierre es menor Que el permisible,
entonces podemos ajustar la cota. En est e caso promediaremos los
desniveles en ida y vuelta y fp sumamos a la cota del 8H-l.
'Y el error permisible
E;p < 0.0058 115' = 0.022 in
=, 0.0058 m.'
'es :
e.., = 0.0013
El, error kilométrico
= 0.0013 ffi.
e....= ,.* 50
,206265
5.4
En metros:
= 5.4"
~(3) 2 + (4.5):'=
El error por nivelada
'. "
.20
- '4.5'"",.......
= 50' <1 + <4 *20)/100)
= 0.844 - 0.823
= - 0.021 m.
ee = 'lJ.Z II::>A - j)¡.Z Vt..JEL T A
El error de cierre será:
= - 0.823 m.
= CF - el= 'l:LE - l:LFca BH
VUELTA
D~ la ta~la de registro calculamos
los desniveles IDA
ÓZ BN 1-2 = 'ELE - ELF = CF - el
= 0.844 m.
-
'~
,
VUELTA:
BM-2 1 .283 75.942 74.659
PC-l 2.821, 77.325 1.438 '74.504
PC-2 f.791 76.405 2.711 74.614
PC-3 1.423 75.831 1 .997 74.408
BM-l 1.995 73.836

57. ..,~
'-./
...~,,'
!
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I
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l'
".',
'...-
. ,
, . ..._,¿.
-48-
B
o
DATOS:
Est.•A Est. O Est. B "
hs = 3.284 ffi. i. = 1.50· ffi. hs = 2.300 ffi.
hc == 2.826 ffi. AZoe= 156 °25' hc = 1.664 ffi.
hi = 2.367 m. Azo ....= 247°25' hi =: 1.028 ffi.
<Xv = 82 °16' (x" = 97°42'
2.- lós puntos A y B son dos púntos donde se instalarán dos
puentes peatonales· que se u nIrán .~n un andén • Determine la
pendiente entre A V B, la distancia A~, el de snivel entre A y.B.
Si el andén es de 3 m. de· ancho y tendrá un espesor de 10 cm .,
cuántos metros cúbicos de . mortero se emplearán e n su
construcción si éste sigue la pendiente entre los puntos A y B.
B
;.
H
A
= 1.2(J m.
:= 1.6'54 m.
51 = 0.15 m,
s::z ::: O. 15 m.
i :::1. 565 m.
<X1 = 107°00'
<X::z = 75 °00'
DATOS :
1•.- Con ·los d~tos d~..· ~c¡l: .. 1ig..·mos.t:xadacalcule la·altUYá del:··muro~·
EJERCICIOS PROPUESTOS:
CAP. 1
•• , ¡., (,,'

58. -4'3-
Est.• Lado l,;)ngitud ~Zobs. 6.Zcorr. Cota. (m.)
BM-4~ -:o:.~
G BM42 - G O ..90~ 1~320 ~ 86. 75 _.;.;t
H S - H t.50 l•.o50
1 H - 1 0 ..60 -1.41 3
J 1 J 0..85 -1.775
BM-12 J - BM42 1.36 0.840
v
BM-42.
5.- En.el circuito cerrado de lá figura se desea determinar la
cota de los puntos G,H,1 y J co~ un error kilométricp' de 20cm ••
Ajus·te la nivelació'n por'desniveles ..
Simboló9io:(LE.Lñ _(3,386,O.884 )(z..356.3.263)
,BM-2BM-l
1.470'2.357
(2.782,0281 )l 0,683,1.584)
4.- Para la nivelación mostrada, e~abore la tabla de r~gistro y
clasifiquela si la longitud de nivelada fue 490 m. y la cota del
BM-1 = 15. 08 m. 2rf:,(c.. n: J." ./!,<'~-_':_: (J
,_)
01 = 268'°12'
0(2 = 268 °01'
hC1 :: 2.5 m.
h(;':;2' = l. 22 m.
o = 80 °10'
SITUACION DE LA BOMBA (C)
i :::1,_55 m.
Cota D = 75.81 m.
BASE,DEL .TANQUE,
, , -, ..
"
hs = 2.35 m.
hc :: 1..64 ffi.
hL = 0.93 ffi.
a = 97°43'
PARTE SUPERIOR (A)
3.- Calcule el d esriivel entre 1~ parte Superior de un tanqti~ds
al~acenamiento y el, lugar'donde se instalará la bomba_
DATOS:
,'
...." ,',

59. e
<:»
V
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.
CapitUI() II
IMETRIA··
.....;
:-", .

60. l
,
1
,
, __ ;<y, "~todo de Curvas de Nivel,: Indican en forma directa y
'K cuantitativa las elevaciones de cualq uier punto en e l terreno.~,
;'Es el método que más se utiliza y es de nece sar:-ioconocim~ftn~o'
~ :~
!i-
~~ -50-
-3~ .
J.
"-i: .
'X
10-,80
X
X 10.60
10.78
10.78
X 10.90
»«
>< 9.40
IO~30
9.50 X X. ~
Fig•.2. 1''-.,/
Método de COtas: Consiste en situar ai lado de cada pu nto,
la cóta o elevación del mism o. Por este sistema se puede conOCer
la elevación de gran cantidad de puntos d~l terreno p ero no nos
ofrece una información de conjunto acerca de la variación'del
relieve, lo que dificulta imaginar l a configuración (Ver fig•
.2.1). Ademá~ aglomera sobre el dibuj6 gran cantidad de nómeros,
lo que pYoduce confusión.
'--" .
So~brea~o y colores de las regiones de distinta elevaci6n
éstas nos dan la impresión de ver la configuración -del terreno
pero no nos brind an información acerca de la elevación d e los
puntos.
El relieve puede representarse por los siguientes métodos:
2.- Suministr~r ia información necesaria para conocer la altura
o elevación de cual qu.íer punto 'que aparezca en el pLano,
figura del terr~no en form a _ adecuada al que
es decir; construir un moqelo ..del terreno fácil
1.- Mostrar la
Jtiliza el plano,
de interpretar.
....'-:..~
Cuando se quiera obtener en un plano el relieve del terreno
es necesario utilizar algún artificio que p erml.ta conseguir'el
objetivo pro~L!~~'~o.;",' ,
": ,~;;;,.::~l :~~'i~'~.é~~;.':q.u~.,~e,
cúinpI'i y" '10sÍ,guien~e:,
'_-/
2.1.- METODOS PARA REPRESENTAR EL RELIEVE.'--( .
,,_/
:
tAPa 11
·...

61. '-"'J
-51-
~.
, /
._",
·Las.curv~s de nivel que aparecen dibujadas . so~te el plano
son semejantes en su forma a las d el terreno pera se dibujan a :la
escala del plan¿. Una idea del mát odo se obtiene a partir de l a
1ig. 2.2· que representa la elevación d e una isla.
, .~.
localización de varios puntos de igual~
une esos puntos se denomina c~rva de
las curvas de. nivel del. terreno se
nivel en el plano.
-Si se dibuja la
el~vaci6n, la línea que
nivel. Por consiguiente,
iepres~ntan con curvas d~
Una cuyva de nivel es un a linea imaginaria de elevación
cc.nstanteen la superficie del terreno, con re specto a un a
superficie de referenci~. Se le p ued~ considerar ~omo a la tr aza
que se forma por la intersección: de una superficie de niv~l con
la superficie del terreno; p or ejemplo, la linea costera de una
masa quieta de agua.
2.3.- CONCEPTO DE CURVA DE NIVEL.
..(
También es muy óti 1 a los g e610gos, economis·.tas,agrónomos
y a t oda persona interesada _en el estudio de los recur sos
nat~rales de un país. Generalmente l os mapas topográficos están a
cargo d~·oyganismos oficiales,· en Nicaragua el Instituto Nacion~l
de Estudios Terrritoriales (INETER).
Para e l ingeniero agrícola, muchos de los proble~as que
debe resolver-en la práctica tale s como cultivos en contornos,
sistemas de. riego, d.renajes, tien en íntima relació.n con el
conocimiento que posee del relieve del t erreno.
.,__¡El· ingeniero civil necesita conocey el relieve del terreno
para ubicar el lugar adecuado para p royectar sus construcciones.
Por ejemplo; en la cbn~trucci6n d e una carretera, mediante el
conocimientci del relieve.del tereno se pued~ proyectar la mi sma
de forma tal que la ca~tidad de excavación y terraplén n~cesarios
para llegar a una rasante determinada sea el min~mo.
Conocey el relieve del teyyen o es de vital importancia no
sólo pa~a ejecutar cualquier obi a de IngenieYia Civil, sino
tambi~n en muchas otras yama~ de l a ciencia.
.,./
2.2.- IMPORTANCIA DEL RELIEVE.
para el ~ngeniero civil en cualqui er~ de sus espec~alidades ya
que tod~s ..los. p~anos topogyá.ticos es:tán él~?oraqss siguie~.do
éstos· pr1h~.ip~0s_.·y·.e·s:::preci·s¿ünente··sobre e~.lqg·_,.d_,~l:l~~·.·n~s.basamOs
'par-a proy·ec.taylos ~mplaZéimientGos ·de nües·tias·construcciones.
Tiene la desventaja·de qt_feel plano se hace un poco difícil d e
leer para el trazadoy protan~ en la materia.
CAP. 1.1

62. J.
.'j'
J_
i
-52-
de nivel tienen· la·misma
de referencia •. Ej: A y B
Todos los p·unt"06 de una curva
elevación con respecto a .una superficie
tieneri la misma elevación 293~OOm.
J. .
"Fig. 2.3
las características pueden ilustrarse haciendo referencia a
·la fig ..2.~.
.2.3.•.1. - Car.acteri.sti.ca,s de _1"'5 .Cur.vas..da Nivel.
o
ELEvACIOIi
230
.'
Fig. 2 ..2 f>lano represen:tando l.as curvas de nivel •
~.
Para m~yor ~9nven~entia al leer las ~levac~ones de un plano
topográfico, cada Quinta curva dé nivel se dibuja con mayor
intensidad con el lápiz o ~on una· linea más Qruesa. A est~ linea
se le denom,ina curva índice. Si el intervalo -entr.e curvas es i m.
¡"a~ ··~·urvas·de· nivel que sean múl t~plos: de 5 m. s-e!,"ándi~ujad?s
con .l.ínea:~ gyu.es,as'-.·· :'::. _.. ..;-:...
CAP..11
....-.....

63. .~.
-53-'
las curvass 'de nivel nunca se dividen o rami -fi can. T.il
situación se presen ta efl el" caso de farallones, ' donde da la
·impresión de que s e bifurcan a ambo s lados· d~l f.arallón, no
siendo así.ya que se trata de distinta s curvas de nivel separadas
ver~icalmente unas d~ otras ·(Ve~ 1i9. 2.5).
'--<.
o
10
20·
30
40
50
.. _-~.
. "-(
"'~.'
Como las curvas de nivel representan diferentes elevaciones
del terreno, no 'pueden unirse o cruzarse entre. si en EH plano
excepto en los raros casos que se tengan superficies verticales
como en el ca so de un risco colgante, cuevas b los estribos de un
puen~e (Ver fig. 2.4).
Fig~ 2.4 Risco Colgante.
Una cuyva se cierra dentro de los límites del plano,
indicando una elevación o una depresión.· En las elevacio~es; l~s
curvas de nivel aum entan su valor haci a el .centro, en las
de~resionés ·las curyas de nivel disminuyen su valor ha cia el
centro.' Se ponen hachures dentro del contornb más b~jo apuritando
hacia la parte más baja de la depresión cerrada para' hacer más
fácil la interpretación del '~lano (Ver 1ig. 2.3 curva de nivel
.291.00 m).
Todas las curvas de. nivel se cierran sobre si mismas dent~o
o fuera ·de.los 1imite.sdel pLarro, Si ·la curva no se cierr-adentro
de los limiteS:·.'d.el., piano; .. 11egai~. h~sta-el ..bQydé de.l: mismo·.·to~o
··.:~h:'-icis··~''lí'i'vas'C· y "D"p, e·j. '. . ,.:'. . - '
'-i
CAP. 11 ,-j
_.. ..
r

64. -54-
medida que 1a
y tienden a
fig. 2.3 K,
curvas de nive l tienden. a unirse a
es .más fuerte (Ver fig. 2.3 E,G,H,!).
a medida ~ue la pendiente es más suav e (Ver
;;:
~.
'-'~I'':;· . Las
.,__'pendiente
"-.../separarse
l H) .a;,;:;.' •......_.,Ii-'Y'
~
.....___J~
..../J!~:
,--,m.
En una pendiente uniforme, .las ~urva~.de nivel se encuentran -~".
espaciadas a igualés distancias (Ver fig. 2~6)
.........¡".
,.
-..J~:",""
/ ·60
7 '59
7 - .40
/ 30
./ 20
-: 10
7 O
..
o 10 20 30 40 ~o 60 70
._.' Fig. 2 .6
las curvas de niy~lEn una superficie plana ~o ho~izontal,
son lineas rectas y paralelas (Ver 1ig. 2.6)
70
;.
'', .'_ ':_.' ",.: • ,'11 •• : .~ ~.,..~..
....,"_'" .
Fig., 2.5."-:}
' .. CAP'. 11 '

65. _'
'-..¿
".il
.:11--1
BANQUETA DE CONCRETO
PAv... e,MTO
ASFAL TI·CO
'c ,<
<b)
Fig. 2.7 (a)
.. _...-.1
En.la 'fig. 2.7 (b) las curvas de n1v'el cruzan un camino
pavimentado con guarniciones. La m ayor parte 'de las guarnicion~s
tienen ~.15 m de'áltura por lo que las curvas de ni~el cruzan l~s
guarniciones a 'ángulos rectos y corren p or la cara de la
guarnición. hasta que alcanz~ la elevación de la ~urva en la
cuneta. Por lo tanto, si la p endiente del camino es de 5 I, l a
distancia desde el punto donde.la curva cruza la parte super~o~
de la g~arnición al punto donde se encu~ntra la elevación de la
curva es 0.15/0.005 = 3.00 m
<, ,/
~,En la fig,. 2.7 (a) se muestya cómo cruzan las curvas de
nivel el camino en bal c ó n; 'con,co rte en la, parte super lor y
t~rrapl~ri: en ~l iri·-rior; en la parte s~perior ,hay una zanj.
indicada por la forma en V de fas curvas de nivel que apuntan
pendiente arriba. Las curvas cruzan,el pa~imento con tinaforma
suave ,(el pavimento es de. pendient'e suave relativamente) que está
ligeramen'te convexa pendiente abajo, ya que· la mayor parte de los
caminos que están pavimentados son liget"amente más altos en el
centro que en los hombros.
En la fig. 2.7 se muestran otras caracteristicas especiales
de las curvas de nivel.
entre dos curvas'deUna sola curva de n~v~l no puede estar
nivel de elevación mayor o menor que ésta.
Las depr.esiones si'tliadas entre elevaciónes se denominan
si Ilas o pasos, ta 1 como en N, O, J Y P (Ver 1i9. 2.3).
", .;
L~s curv~s de nivel se cruz~n cóncavas con relación 'a la
dirección de las pendientes de las divisorias (Ver ~ig. 2~3 O,P).
Esto ocurre cuando l~s curvas de menor 'cota envuelven a l as de
mayor cofa.
Las curvassse cruzart convexas con relación a la direcctón' de
l~~.pendientes de ,las ~a~uadas (Ver 1ig. 2~3 J ~N). Esto ocurre
cuando ,las curvas d'e máy.oi7'~·~otá:.~'e'n,vu~l..vena' las d~,menor cotcL .
CAP. 11

66. -56- .
, Rasgos: s Existen condic~ones en el, campo en dOMe Ips rasgos
característicos r~quieren el uso de una'equi~i~tan~ia que d~ o~ra
manera sería inadecuado. Si la forma del terreno muestra una
variación' muy grande en una 'área pequeña, se requiere entonces
..._, ~;
l,
,'.
.._..~ ,
,-",'
la prec~sión'deseada'en las elévacibnes que se leen en el
,plano. Por consiQuiE:~nte 'mientras más refinada sea la esca'ia
(mient'yas más peq~~ño sea el in"tervalo), deber ía ser m~s refinada
la medición de las'elevaciones de los puntos seleccionados.
'-" ,
intervalo adecuado para un plano
cua~ro consideracione~ principales
de un
en las
La selección
~opográfico se basa
siguientes:
Conviene hacer la observación de que en manera ~lguna debe
confundirse la equidistancia de las curvas de nivel, que como
~emos visto es un concepto en sentido vertical, con la,~ep~raci6n
que mantienen dichas curvas en el plano, generalmente variable ya
que esta óJtima se mide horizontalmente.
<:»
ni ve 1 son ex cesi vas,'
En la práctica ,se
var ios facto,res, de
y que exista una
Es evidente que si las curvas' de
resulta imposible distinguirlas entre sí.
establece la equidistancia en' función de
forma que sean fá~ilmente identificadas
justificación aceptable para su el~cción.
S~ le da ~l nombre de equidistancia a l~ separación vertical
constante entre dos curvas d12'nivel consecutivas, y mientras me~or
sea ~sta más' se acercará nuestra r~pr~s~htaci6n a la
conf iguraci,ón real del terreno'. las curvass 1e nivel se trazan de
forma tal, que sean múltiplos de la equidis'Cancia empleada y es
n6rmal numerarlas de 5 m. en 5 m.
2.4.- CONCEPTO DE EQUIDISTANCIA.
Collado: Tierra que S12 levanta como cerro o depresión suave.
p,?r donde se pueda pasar iáci lmente de' un lado a otro de, una.
sierra. Se ~onoce como punto de sil·la ya que e~ un sentido es el
punto máximo y,en otro el punto mínimo (Ver fig. 2~3 N,O,P,J).
linéa que demaica una el~vacidn en el
.para·div~dir o separar ~l curso de las
Divisor'ia: Es' la
terreno y a la vez sirve
~guas (Ver f19. 2.3). <-
Vaguada:.Es la linea que ~émarca una depresión ~O el terreno
y es el caritifloP9r donde van 1as agu'as'dé '"".c,().~,ri~'1~;~~,:,l?~~-~r:~:l,.
las <c.urv.~s"son,:, c;'Qrivex·ás ..,:n~ci.a::,lCi:' cóy'rfie'rr-te.(Ve,r-': 1íg:- ~~3).~- :. .-
,'o' "1 ,,: t:"': i",,,,, --:..' : ',' ': '
E~ conveniente saber ot~as c~racteri~ticas del terreno que
pod~mos determinar a trav~s de las curvas de' nivel:
CAP. 11
·';, ~:..

67. ,... ...
:, .
-57-
1 s
E· = :;
H' S
Si llamamos s a la separación entre curvas de nivel en el --e
plano,. l.~escala estará dada por: ' "'l
s
p =
e
la pendiente entre dos curvas de nivel s er,á:
Pendiente del terreno.
Equidistancia.
Separaci6n entre curvas de nivel en.el . terreno.
Denominador de la escala del plano.
p =
-e =
S =
11 =
...../
Sean:
',~
,e
B
Fig. 2.8
2.4. t. - Relación entre la equidistancia,. escala del ,plano,.¡. '
pend~e~te del terreno Y'separación entre curvas de nivel~
Costo: El costo crece a ~edida que disminuye el intervalo .
entre curvas de nivel.
.'_....
una, equidistancia' más peque~a entre las curvas para mostrar lá
mayor complejidad de l~~ confi9ura~ión. En cambio, si ~l terreno
est~.,C:.9.~J~,~~~~5~"",:P',9~·.i?!:"ma~;",r:~g~;1.ar;es<;,_g'~an~eSi..'p~~de' ~,!I~zalíS~ ~n
inteY'';aro-''''~' {na)í'ór.,; ,'E.i·: ca,sos de':'leV,áht.anfien.tos·parCl 'construcci6n
puede empleáYSe un, intervalQ más pequeño e'ntre c_urvas d~ nivel.
Legibilidad del plano: Un p lano que de' otra forma seria
excelente, ptied~ perder su utilidad si ~u aparie~ci~ se presenta
desfigurada por una masa de curva s de nivel, que oscurecen los
rasgos esenciale.s. En general no deben dibujarse efl el plano más
de 20 ,0'30 curvas de nivel por' pulgada (8 a 12 cm.) aunque la
legibilidad del plano depende en gran, medida de la calidad y
precisióri con,que se dibujan las lineas.
I
'-'~
CAP. 11 <:»
~-..-

68. -58-
-:.:..
e =.5 m. '
e =-0.002 * 10000 * 0.25
e = s M P
;::
.
v~..,
I
i:'---'<:;.
~.
'1'~.
ti
}
'"
.
~
"..j'
'.....f Solución:
Se quiere confec cionar un plano topo.gráfico a escala 1:10000
de una zona donde ' las pendientes' promedio son en t~rmi.r1,OS
generales ~nteriores al 25 % Si se quiere Rue la separación
entre curvas de nivel sea de 0.002' ffi., 'calcule la equLd í st ancLa
que,debe emplearse.
Ejempló:
la separación minima entre curvas en ,el plano, es de 2 mm.,
de ser menor, al dibujarse quedarian superpuestas como una sola
linea.
s = Separ~ción entre ctirvasde niVel' en el ,plano en ffi.
CAP.. 11:
-,
M = Denómi~ador de fa escala del plano.
P = Pendiente en mime
e = Equidistancia en ffi.
donde:
e - s M P
Despejando el Valor de e:
s M
Ver fig. 2.8p =
.... .; '~':..
Por lo tanto;' ~ust±t~yendo el valor ~~ S en p'
':.1":,;..",: 1, /:, 8••~"" ,.~ '.:,,~ ::~~;.:~' ' . ~,.~:~~ •
s ;:;s M
de donde:
"
',-<,
.......¿
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.._.,
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