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ajuste poligonal cerrada
Ingeniería Civil
Universidad Tecnológica del Peru (UTP) - Lima
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TOPOGRAFÍA EN
OBRAS VIALES
SESION 1
DOCENTE: ING. TACO CEVALLOS JHON
EMAIL: ING.JTACO@TOPOGEODRONE.PE

TEMAS:
• REDES DE APOYO PLANIMÉTRICO:
• MÉTODO DE LA POLIGONAL:
• POLIGONAL DE CIRCUITO CERRADO

Instructor: Ing. Jhon A. Taco Cevallos
3
REDES DE APOYO PLANIMÉTRICO
Cuando se proyecta realizar un
levantamiento topográfico planimétricos, es
imprescindible ceñirse a una metodología
apropiada, es así que antes de tomar
medidas sobre la estructura materia de
trabajo, es preciso ubicar puntos
estratégicos en el terreno los cuales servirán
de apoyo primario en el levantamiento
final; la o las figuras geométricas que se
forman al generar los mencionados puntos
toman el nombre de Redes de Apoyo.
El cerco perimétrico que se muestra,
puede ser levantado completamente
desde un punto “O”; esto significa que la
red de apoyo está construida en base a
un solo punto de partida llamado “O”.

4
Los puntos que conforman una red de
apoyo toman el nombre de puntos de
control.
En rigor, las redes de apoyo son figuras
geométricas enlazadas entre sí, distribuidas
en una superficie de terreno, su objetivo es
servirnos de apoyo para realizar un
levantamiento topográfico.
La estructura pueden ser levantadas
gracias a los puntos que
constituyen el triángulo mostrado,
la red de apoyo es un triángulo.

5
En una terrenos con gran longitud
como es el caso de una carretera, los
puntos de apoyo obedecen
aproximadamente la geometría lineal
de la vía. En este caso la red de apoyo
está constituida por un conjunto de
líneas quebradas.

6
Para poder Determinar la posición de
un punto tal como “A”, es necesario
apoyarse en sistema de coordenadas
Teniendo presente la imagen mostrada
anteriormente, es posible determinas las
coordenadas de los vértices de una figura
geométrica (Puntos de control)
A A
B C
D
E
X
Y
X
Y

7
Con ayuda de los puntos de
control, podemos calcular
coordenadas de puntos
estratégicos de diversa
estructuras sean naturales y/o
artificiales que conforman la
zona a levantar.
A
C
D
E
X
Y
B

8
A. Método de Radiación
B. Método de Intersección de Visuales
C. Método de la Poligonal
C.1. Poligonal Cerrada
• Poligonal Cerrada de circuito cerrado
• Poligonal cerrada completamente
ligada en sus dos extremos
C.2. Poligonal Abierta
Métodos básicos que permiten
determinar una Red de Apoyo

❖ Se caracteriza por estar constituida por un conjunto de líneas consecutivas; el trabajo
de campo se reduce en medir ángulos acimutales y longitudinales de los lados
formados.
❖ Existen dos tipos: cerrada y abierta.
❖ El punto de partida coincide con el punto de llegada; este tipo de poligonal permite
verificar la precisión del trabajo, Dado que es posible la Comprobación y posterior
corrección de los ángulos y longitudes medido.
❖ En la actualidad es el método con mejor aceptación por parte de los Ingenieros y
topógrafos en Perú.
1. Poligonal Cerrada de Circuito Cerrado
C.1. Método de la Poligonal
9

La ubicación de los puntos de control es
consecuencia del plan de trabajo como del
reconocimiento de terreno. La poligonal no
necesariamente debe rodear todas las
estructuras a levantar
Paso 1
❖ Ubicar y monumentar los puntos de
Control (Vértices de poligonal).
A
B
C
D
E
Poligonal Cerrada de Circuito Cerrado – Procedimiento de Campo
10

No deben existir obstáculos que impidan
la total visibilidad entre los puntos
adyacentes.
❖ Los puntos deben ser visibles
entre sí.
A
B
C
D
E
Paso 2
11

❖ Es necesario conocer las coordenadas
cartesianas de uno de los vértices de la
poligonal; generalmente a dicho punto se
le designa como inicio de la poligonal. El
sistema de Referencia lo elegiría el
ingeniero.
A
B
C
D
E
En caso no se conociese las coordenadas
de ningún vértice, el ingeniero podrá
asumir provisionalmente coordenadas
relativas a uno de los puntos de control.
-En nuestro caso las Coordenadas de
A = (285367.163 , 8652492.463)
sacadas con GPS Navegador
Paso 3
12

❖ Dar nombre a los vértices de la poligonal,
según el criterio del ingeniero. Asimismo,
determinar el azimut ( magnético,
Geográfico o de cuadrícula) de uno de los
lados. Es importante medir el azimut tanto
Directo como inverso
A
B
D
E
Es recomendable determinar el azimut del
lado adyacente al punto inicial; no
obstante ello no es prescindible, dado que
en realidad puede tomarse el azimut de
cualquier lado
AZ AB = 137°3’46” sacadas con Brújula y
Teodolito.
C
<AZ AB= 137°3’46”
Paso 4
13

❖ Con ayuda del teodolito, medir los ángulos interiores (<Azimutales) de los vértices de
la poligonal para dicho efecto es casi común el uso del método de ángulos a la derecha
Cuando el recorrido del circuito
es antihorario los ángulo
medidos serán internos
Cuando el recorrido del
circuito es horario los ángulo
medidos serán Externos
Paso 5
14

❖ Por último, se mide los lados de la poligonal
con la mejor precisión posible. Si bien es
cierto estamos presentando los métodos
empleando teodolito (para alinear lado a
medir) y cinta métrica (medir el lado), hay
que advertir, que hoy en día casi todas las
longitudes se miden con MED ( MEDICION
ELECTRÓNICA DE DISTANCIA)
A
B
D
E
C
Es propicio recordar que cada ángulo deberá
medirse varias veces, según la precisión buscada.
En cada vértice el número de veces medido con
antojo en posición directa debe ser igual al
número de veces en posición inversa
Lado
DH
(m)
AB 108.805
BC 96.753
CD 106.709
DE 31.858
EA 85.912
Paso 6
15

Paso 0.0
Estación Lado <Hr Prom Az DH (m) ESTE NORTE
A 146°1’55” 285367.163 8652492.463
AB 137°3’46” 108.805
B 36°26’12”
BC 96.753
C 155°38’15”
CD 106.709
D 74°1’52”
DE 31.858
E 127°51’53”
EA 85.912
A
❖ Ordenamos nuestras datas obtenidas en campo para con ello realizar los cálculo correspondientes
y evitar errores posteriormente en los cálculos por mal anotación de datos
Poligonal Cerrada de Circuito Cerrado – Procedimiento de Gabinete
Todos estos
datos fueron
extraídos de
manera correcta
de campo
16

❖ ANÁLISIS DE CIERRE ANGULAR Se denomina así a la diferencia entre la Suma teórica y su
similar procedente de la medición.
Teóricamente podemos saber cuanto
debe obtener la Suma de ángulos
internos o exteriores de ser el caso.
Σ < 𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 180° 𝑛 − 2
Σ < 𝑠 𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 180° 𝑛 + 2
Donde :
n = Número de Vértices que tiene mi poligonal
Diremos :
Σ < 𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 180° 5 − 2
Σ < 𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 540°0′
0"
Calculamos:
Eca (Error de Cierre Angular):
Eca= Σ <Interiores Campo – Σ<Interiores Teóricos
Eca= 540°0’7” – 540°0’0”
Eca= 0°0’7”
Estación <Hr Prom
A 146°1’55”
B 36°26’12”
C 155°38’15”
D 74°1’52”
E 127°51’53”
𝜮 540°0’7”
Paso 1.0
17

❖ ANÁLISIS DE CIERRE ANGULAR Se denomina así a la diferencia entre la Suma teórica y
su similar procedente de la medición.
Donde :
n = Número de Vértices que tiene
mi poligonal
P= Precisión del Equipo Usado
Topcon DT 209 (9”)
Demostramos y comprobamos :
Eca <Eca T
0°0′
7" < 0°0′20.13"
Calculamos:
Eca T(Error de Cierre Angular máximo Tolerable):
Eca T =
+
−
𝑃 ∗ 𝑛
Eca T =
+
−
9 ∗ 5
Eca T =
+
−
20.13"
Con esto
indicamos que la
medición
angular es
aceptable.
Paso 1.1
18

A
A’
❖ Si el error de cierre angular, supera el máximo
permitido, es necesario regresar al campo y medir
nuevamente los ángulos dado que es casi seguro que
se han cometido una o varios equivocaciones.
❖ Sin embargo, es posible que la equivocación mayor se
encuentre concentrada en un solo ángulo, por tal razón
se recomienda dibujar a escala las longitudes y
direcciones de los lados de la poligonal. Si el error de
cierre angular, es menor que el máximo permitido, se
procede a compensar dicho valor entre todas
La perpendicular bisectriz
de la línea AA’ indica el
ángulo equivocado, el cual
deberá ser sometido a una
nueva medición.
❖ Generalmente la totalidad de los ángulos de una poligonal se miden
con la misma precisión, es por tal motivo que casi se acostumbra a
repartir el error en cantidades iguales para cada ángulo. No obstante
el método de mínimos cuadrados es el mejor ajuste angular.
Nota
B
D
E
C
19

Calculamos:
Ca (Corrección Angular):
Ca=
−𝐸𝑐𝑎
𝑛
Ca=
−0°0′7"
5
Ca= - 0°0’ 1.4”
Estación <Hr Prom Ca
<Hr
Corregido
A 146°1’55” -1.4” 146°1’53.60”
B 36°26’12” -1.4” 36°26’10.60”
C 155°38’15” -1.4” 155°38’13.60”
D 74°1’52” -1.4” 74°1’50.60”
E 127°51’53” -1.4” 127°51’51.60”
Σ 540°0’0”
Una vez corregido cada ángulo
horizontal y comprobado
podemos proceder a realizar los
siguientes cálculos que siguen
Paso 1.2
20

❖ CÁLCULO DE AZIMUT DE LOS LADOS DE LA POLIGONAL Con ayuda de los
ángulos compensados, se procede a ejecutar la regla práctica para este efecto.
Teóricamente tenemos dos reglas según sea el caso .
A. POLIGONAL ANTI HORARIA
Az BC = Az AB + <Hr Corr. B -180°
B. POLIGONAL HORARIA
Az BC = Az AB - <Hr Corr. B +180°
Formulas directas
extraídas de traslado
de azimut (Ya
demostrado en
anteriores clases)
21
Paso 2.0

❖ Tener en consideración que si bien la
polígona es anti horaria ( es decir sus puntos
de control giran en ese sentido) , esto no
quiere decir que los ángulos tomados son del
mismo sentido , sino que son de sentido
Horario o como se ve en anteriores sesiones
ÁNGULO HACIA LA DERECHA (lo que
nos dice que es de sentido horario).
❖ Generalmente se recomienda que siempre las
poligonales sean de sentido Anti Horario por
facilidad de cálculo.
Nota
22

❖ CÁLCULO DE AZIMUT DE LOS LADOS DE LA POLIGONAL Con ayuda de los
ángulos compensados, se procede a ejecutar la regla práctica para este efecto.
Realizamos los cálculos tenemos dos reglas según sea el caso .
B. POLIGONAL HORARIA
Az BC = Az AB - <Hr Corr. B +180°
Formulas directas
extraídas de
traslado de azimut
(Ya demostrado
en anteriores
clases)
23
Paso 2.1

Cálculos de Azimut BC
ZAB= 137° 03’ 46” (dato)
ZBC= ZAB + <) B - 180°
ZBC= 137° 03’ 46” + 36°26’10.60”-180°
ZBC= -6°30’3.4” + 360° (Sumamos una vuelta)
ZBC= 353°29’56.6”
Cálculos de Azimut CD
ZCD= ZBC + <) C - 180°
ZCD= 353°29’56.6” + 155° 38’ 13.6” - 180°
ZCD= 329°08’10.2”
Estación
<Hr
Corregido
A 146°1’53.60”
B 36°26’10.60”
C 155°38’13.60”
D 74°1’50.60”
E 127°51’51.60”
Cálculos de Azimut DE
ZDE= ZCD + <) D - 180°
ZDE= 329°08’10.2” + 74° 01’ 50.6” - 180°
ZDE= 223°10’0.8”
24
Paso 2.1

Cálculos de Azimut EA
ZEA= ZDE + <) E - 180°
ZEA= 223°10’0.8” + 127° 51’ 51.6” - 180°
ZEA= 171°01’52.4”
Cálculos de Azimut CD
ZAB= ZEA + <) A - 180°
ZAB= 171°01’52.4” + 146° 01’ 53.6” - 180°
ZAB= 137°03’46”
Estación
<Hr
Corregido
A 146°1’53.60”
B 36°26’10.60”
C 155°38’13.60”
D 74°1’50.60”
E 127°51’51.60”
COMPROBACIÓN
Con esto decimos que
nuestra comprobación de
cierre de azimut es
correcta y podemos seguir
con los cálculos siguientes 25
Paso 2.1

Estación Lado <Hr Prom Az
DH
(m)
ESTE NORTE
A 146°1’53.60” 285367.163 8652492.463
AB 137°3’46” 108.805
B 36°26’10.60”
BC 353°29’56.6” 96.753
C 155°38’13.60”
CD 329°08’10.2” 106.709
D 74°1’50.60”
DE 223°10’0.8” 31.858
E 127°51’51.60”
EA 171°01’52.4” 85.912
A
❖Ordenamos nuestras datas obtenidas en gabinete hasta el momento
26
Paso 2.2
Todos estos
datos fueron
extraídos de
manera correcta
de campo

❖ CÁLCULO DE COORDENADAS PARCIALES Se procede a descomponer cada lado de la
poligonal, tanto en el eje X (este) como en el eje Y (norte)
PROYECCIONES
PE=Px = Dh*Sen (Az)
PN=Py= Dh*Cos(Az)
<AZ AB= 137°3’46”
Nuestro Caso
PE=Px
PN=Py
Es necesario
mencionar que se
debe de obedecer
el orden del
recorrido del
circuito ABCDE
27
Paso 3.0
Este
Norte
Q
P

PN AB =108.805*Cos (137°3’46”) = -79.656m
PE=Px = Dh*Sen (Az) PN=Py= Dh*Cos(Az)
Lado Az
DH
(m)
AB 137°3’46” 108.805
BC 353°29’56.6” 96.753
CD 329°08’10.2” 106.709
DE 223°10’0.8” 31.858
EA 171°01’52.4” 85.912
PE AB =108.805*Sen (137°3’46”) = 74.118 m
PE BC =96.753*Sen (353°29’56.6”) = -10.954m
PE CD =106.709*Sen (329°08’10.2”) = -54.742m
PE DE =31.858*Sen (223°10’0.8”) = -21.795m
PE EA =85.912*Sen (171°01’52.4”) = 13.393m
PN BC =96.753*Cos (353°29’56.6”) = 96.131m
PN CD =106.709*Cos (329°08’10.2”) = 91.598m
PN DE =31.858*Cos (223°10’0.8”) = -23.236m
PN EA =85.912*Cos (171°01’52.4”) = -84.862m
28
Paso 3.0
Proyecciones
Este
Proyecciones
Norte

DH
(m)
PROYECCIONES
PE PN
A 146°1’55”
AB 137°3’46” 108.805 74.118 -79.656
B 36°26’12”
BC 353°29’56.6” 96.753 -10.954 96.131
C 155°38’15”
CD 329°08’10.2” 106.709 -54.742 91.598
D 74°1’52”
DE 223°10’0.8” 31.858 -21.795 -23.236
E 127°51’53”
EA 171°01’52.4” 85.912 13.393 -84.862
A Σ
PE = Dh*Sen (Az)
PN= Dh*Cos(Az)
29
Paso 3.1

❖ CÁLCULO DE ERROR DE CIERRE LINEAL (ECL) Se Observa el siguiente gráfico no será
difícil entender que teóricamente tanto “A” como “A’ ” deben coincidir en el primer punto;
sin embargo en la práctica esto no sucede dado que AA’ casi siempre es diferente de cero y su
valor viene hacer el llamado error de cierre Lineal.
A
B
C
D
E
A’
Si se ha cometido una
equivocación en la
medición de distancias
de los lados esto
generará el error Lineal.
Ex
Ey
Ex
Ey
EX= ƩΔx (sumatoria
de Proyecciones en X)
EY= ƩΔy (Sumatoria
de Proyecciones en Y)
ECL = 𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦2
30
Paso 4.0

ECL = 𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦2
DH
(m)
PROYECCIONES
PE PN
A 146°1’55”
AB 137°3’46” 108.805 74.118 -79.656
B 36°26’12”
BC 353°29’56.6” 96.753 -10.954 96.131
C 155°38’15”
CD 329°08’10.2” 106.709 -54.742 91.598
D 74°1’52”
DE 223°10’0.8” 31.858 -21.795 -23.236
E 127°51’53”
EA 171°01’52.4” 85.912 13.393 -84.862
A Σ 0.020 -0.025
ECL = 0.0202 + −0.0252= 0.032𝑚
31
Paso 4.0

❖ CÁLCULO DE ERROR RELATIVO Conocido el error de cierre Lineal; es inmediato el
cálculo del error relativo y su comparación con la siguiente clasificación .
ER =
1
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
ECL
ER =
1
430.037
0.032
=
1
13438.656
Lado
DH
(m)
AB 108.805
BC 96.753
CD 106.709
DE 31.858
EA 85.912
Ʃ 430.037
ER ≅
1
13500.00
1
13500.00
<
1
10 000.00
Con esto se acepta el
Trabajo de campo ya
que nuestra
PRECISIÓN es Menor
a la solicitada
Tolerancias para trabajos de levantamientos o
replanteos topográficos
El uso de la estación total es casi genérico, por tanto
las instituciones no aceptan en la actualidad redes de
apoyo con error relativo mayor de 1/5000 y es
prácticamente común la siguiente clasificación :
1/5000 : Levantamientos en zonas Rurales.
1/10000 o menor : En Zonas Urbanas
32
Paso 5.0

❖ Tolerancias para trabajos de levantamientos o replanteos
topográficos
El uso de la estación total es casi genérico, por tanto las instituciones no
aceptan en la actualidad redes de apoyo con error relativo mayor de
1/5000 y es prácticamente común la siguiente clasificación :
1/5000 : Levantamientos en zonas Rurales.
1/10000 o menor : En Zonas Urbanas
❖ Queda claro entonces que la aceptación de la poligonal estará supeditada al tipo de
precisión buscada; de obtener un error relativo mayor que el permitido, será necesario
rehacer el trabajo de campo en cuanto a las medidas lineales se refiere ( antes se
recomienda detectar el posible error para no repetir totalmente el proceso en campo).
33
Nota

❖ COMPENSACIÓN DE ERROR LINEAL (CCL) Cuando el error Relativo es aceptado se procede
a la compensación del error Lineal “ECL”; para ello se calcula Cx y Cy que viene a ser las
compensaciones respectivas.
Es común para dicho efecto emplear el método de Bowdicth; el cual se presenta a continuación;
sin embargo, el método de mejo ajuste es el de mínimos cuadrados.
𝐶𝑥 = −
𝐸𝑥
𝑃
𝑥 𝐿 𝐶𝑦 = −
𝐸𝑦
𝑃
𝑥 𝐿
Donde :
L = Longitud de un lado de la poligonal
P = Perímetro
Cx= Error de cierre lineal en eje X
Cy= Error de cierre lineal en eje Y
Las compensaciones obtenidas se suman a las coordenadas parciales respectivas; obteniendo así
nuevos valores: ƩΔx y Ʃ Δy
Obviamente las direcciones de los lados sufrirán cambios aunque leves.
34
Paso 6.0

𝐶𝑥 = −
𝐸𝑥
𝑃
𝑥 𝐿 𝐶𝑦 = −
𝐸𝑦
𝑃
𝑥 𝐿
Lado
DH
(m)
PROYECCIONES
PE PN
AB 108.805 74.118 -79.656
BC 96.753 -10.954 96.131
CD 106.709 -54.742 91.598
DE 31.858 -21.795 -23.236
EA 85.912 13.393 -84.862
Ʃ 430.037 0.020 -0.025
𝐶1 =
−(0.020)
430.037
x108.805 = -0.005
𝐶2 =
−(0.020)
430.037
x96.753 = -0.005
C3 =
−(0.020)
430.037
x106.709 = -0.005
𝐶4 =
−(0.020)
430.037
x31.858 = -0.001
𝐶5 =
−(0.020)
430.037
x85.912 = -0.004
𝐶1 =
−(−0.025)
430.037
x108.805 = +0.006
𝐶2 =
−(−0.025)
430.037
x96.753 = +0.006
C3 =
−(−0.025)
430.037
x106.709= +0.006
𝐶4 =
−(−0.025)
430.037
x31.858 = +0.002
𝐶5 =
−(−0.025)
430.037
x85.912 = +0.005
35
Paso 6.0

❖ Procedimiento para obtener las proyecciones corregidas
PROYECCIONES
CORREGIDAS:
PE + CE = C.PE
PN + CN = C.PN
CPE AB= 74.118 - 0.005 = 74.113
CPE BC = −10.954 - 0.005 = -10.959
CPE CD = −54.742 - 0.005 = -54.747
CPE DE = −21.795 - 0.001 = -21.796
CPE EA= 13.393 - 0.004 = 13.389
Lado
DH
(m)
PROYECCIONES
PE PN
AB 108.805 74.118 -79.656
BC 96.753 -10.954 96.131
CD 106.709 -54.742 91.598
DE 31.858 -21.795 -23.236
EA 85.912 13.393 -84.862
Ʃ 430.037 0.020 -0.025
CPE AB= −79.656 + 0.006 = -79.650
CPE BC = 96.131 + 0.006 = 96.137
CPE CD = 91.598 + 0.006 = 91.604
CPE DE = −23.236 + 0.002 = -23.234
CPE EA= −84.862 + 0.005 = -84.857
36
Paso 6.1

❖ Ordenamos nuestras datas obtenidas en gabinete hasta el momento
DH
(m)
PROYECCIONES CORRECCION
PROYECCIONES
CORREGIDAS
PE PN CE CN C.PE C.PN
A 146°1’55”
AB 137°3’46” 108.805 74.118 -79.656 -0.005 0.006 74.113 -79.650
B 36°26’12”
BC 353°29’56.6” 96.753 -10.954 96.131 -0.005 0.006 -10.959 96.137
C 155°38’15”
CD 329°08’10.2” 106.709 -54.742 91.598 -0.005 0.006 -54.747 91.604
D 74°1’52”
DE 223°10’0.8” 31.858 -21.795 -23.236 -0.001 0.002 -21.796 -23.234
E 127°51’53”
EA 171°01’52.4” 85.912 13.393 -84.862 -0.004 0.005 13.389 -84.857
A Σ 430.037 0.020 -0.025 -0.020 +0.025 0.000 0.000
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
PROYECCIONES
CORREGIDAS:
PE + CE = C.PE
PN + CN = C.PN
37
Paso 6.2

❖ CALCULO DE COORDENADAS ABSOLUTAS Conocido las coordenadas absolutas del punto “A”, las
coordenadas de cualquier punto de la poligonal (ESTE Y NORTE) se determina con una suma algebraica.
DH
(m)
PROYECCIONES
CORREGIDAS
COORDENADAS ABSOLUTAS
PE PN CE CN C.PE C.PN ESTE NORTE
A 146°1’55” 285367.163 8652492.463
AB 137°3’46” 108.805 74.118 -79.656 -0.005 0.006 74.113 -79.650
B 36°26’12” 285441.276 8652412.813
BC 353°29’56.6” 96.753 -10.954 96.131 -0.005 0.006 -10.959 96.137
C 155°38’15” 285430.317 8652508.950
CD 329°08’10.2” 106.709 -54.742 91.598 -0.005 0.006 -54.747 91.604
D 74°1’52” 285375.570 8652600.554
DE 223°10’0.8” 31.858 -21.795 -23.236 -0.001 0.002 -21.796 -23.234
E 127°51’53” 285353.774 8652577.320
EA 171°01’52.4” 85.912 13.393 -84.862 -0.004 0.005 13.389 -84.857
A Σ 430.037 0.020 -0.025 -0.020 +0.025 0.000 0.000 285367.163 8652492.463
Toda la
Suma se
realiza en
Zig Zag
38
Paso 7.0

DH
(m)
PROYECCIONES
CORREGIDAS
COORDENADAS ABSOLUTAS
PE PN CE CN C.PE C.PN ESTE NORTE
A 146°1’55” 285367.163 8652492.463
AB 137°3’46” 108.805 74.118 -79.656 -0.005 0.006 74.113 -79.650
B 36°26’12” 285441.276 8652412.813
BC 353°29’56.6” 96.753 -10.954 96.131 -0.005 0.006 -10.959 96.137
C 155°38’15” 285430.317 8652508.950
CD 329°08’10.2” 106.709 -54.742 91.598 -0.005 0.006 -54.747 91.604
D 74°1’52” 285375.570 8652600.554
DE 223°10’0.8” 31.858 -21.795 -23.236 -0.001 0.002 -21.796 -23.234
E 127°51’53” 285353.774 8652577.320
EA 171°01’52.4” 85.912 13.393 -84.862 -0.004 0.005 13.389 -84.857
A Σ 430.037 0.020 -0.025 -0.020 +0.025 0.000 0.000 285367.163 8652492.463
Paso 7.0
39

❖ CALCULO DE ÁREA EN POLIGONAL CERRADA Conociendo las coordenadas de cada uno de
los vértices de la poligonal se puede calcular por método de matrices el área total
ESTE NORTE
285367.163 8652492.463
2469778489219.10 285441.276 8652412.813 2469114497550.66
2469660932029.45 285430.317 8652508.950 2469783195289.42
2469214673536.35 285375.570 8652600.554 2469714519002.60
2469052222998.39 285353.774 8652577.320 2469234184664.07
2469161442446.54 285367.163 8652492.463 2469021378823.60
12346867760229.80 12346867775330.40
A B
Área=
𝟏
𝟐
𝒙 |𝑨 − 𝑩|
Área=
𝟏
𝟐
𝒙 12346867760229.80 − 12346867775330.40 = 7550.256m²
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+ +
Tener en
cuenta que se
multiplica en
zig-zag luego
se suman todos
los resultados
40
Paso 8.0

Cuadro de datos Sacados de Campo
❖ Determine las coordenadas de los puntos B,C,D y E, Sabiendo que el teodolito con el cual
se trabajó tiene una precisión de 5”
Condición - El Error Relativo no deberá ser mayor de 1/10 000 – POLIGONAL - AH
Estación Lado
<Hr Prom
Exterior
DH
(m)
A 192°11’04”
AB 98.353
B 274°59’07”
BC 306.450
C 268°24’50”
CD 76.223
D 253°01’30”
DE 293.180
E 271°23’36”
EA 74.866
A 41
ESTE (m) Norte (m)
A 276952.651 8670505.707
P 276955.857 8670423.375
87°49’30”
B A
P
C D
E
Poligonal Cerrada de Circuito Cerrado – Ejercicio

42
ORIENTACIÓN Y DIRECCIONES CON BRÚJULA
87°49’30”
B A
P
C D
E
Rb AP= tg⁻¹ (
ΔE
ΔN
)
Rb AP= tg⁻¹ (
E𝑷−E𝑨
N𝑷−N𝑨
)
Rb AP= tg⁻¹ (
𝟐𝟕𝟔𝟗𝟓𝟓.𝟖𝟓𝟕 −𝟐𝟕𝟔𝟗𝟓𝟐.𝟔𝟓𝟏
𝟖𝟔𝟕𝟎𝟒𝟐𝟑.𝟑𝟕𝟓−𝟖𝟔𝟕𝟎𝟓𝟎𝟓.𝟕𝟎𝟕
)
Rb AP= tg⁻¹ (
+𝟑.𝟐𝟎𝟔
−𝟖𝟐.𝟑𝟑𝟐
)
❖ Sabemos que:
❖ Reemplazamos
ESTE (m) Norte (m)
A 276952.651 8670505.707
P 276955.857 8670423.375
DATOS:
❖ SOLUCIÓN

43
Medida de Direcciones
Relación de Rumbo con Coordenadas - Ejemplo
❖Solución:
87°49’30”
B A
P
C D
E
ESTE (m) Norte (m)
A 276952.651 8670505.707
P 276955.857 8670423.375
DATOS:
Rb AP= S 2°13’47.88” E
Az AP=177°46’12.12”
Rb AP= tg⁻¹ (
+ 𝟑.𝟐𝟎𝟔
− 𝟖𝟐.𝟑𝟑𝟐
)
Diremos que nos encontramos en el 2do Cuadrante :
Operamos sin el signo (solo nos sirve para saber el
cuadrante)
AZ AP = 180° - Rb AP
Tenemos:

87°49’30”
B A
P
E
N
Az AP=177°46’12.12”
44
Az AP=177°46’12.12”
Queremos Az AB
Az AB= Az AP + 87°49’30”
Az AB= 177°46’12.12” + 87°49’30”
Az AB= 265°35’42.12”
Tenemos:
❖ SOLUCIÓN

Nota
El problema en adelante se resuelve
como anteriormente lo realizamos Estación Lado
<Hr Prom
Exterior
DH
(m)
A 192°11’04”
AB 98.353
B 274°59’07”
BC 306.450
C 268°24’50”
CD 76.223
D 253°01’30”
DE 293.180
E 271°23’36”
EA 74.866
45
Az AB= 265°35’42.12”
❖ Determine las coordenadas de los puntos B,C,D y E, Sabiendo que el teodolito con el cual
se trabajó tiene una precisión de 5”
Condición - El Error Relativo no deberá ser mayor de 1/10 000 – POLIGONAL - AH

Tec. Topógrafo
❖ Taco Cevallos
Jhon Alexander
Contacto
❖ 936-115-588
Correo
❖ 70268971@sencico.edu.pe
GRACIAS!

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