El documento presenta la conversión de coordenadas polares a rectangulares para diferentes funciones de r. En particular, se muestra que para r = sen(θ) la ecuación resultante describe una circunferencia centrada en (0, 1/2) con radio 1/2, mientras que para r = 3sec(θ) la ecuación es una recta vertical en x = 3. También se calcula el área compartida entre las curvas r = 2sen(θ) y r = 2cos(θ), obteniendo un valor de 4. Finalmente, se analiza el movimiento de una partícula

1. 2. Conversión a coordenadas rectangulares:
a. r  sinθ )
R./
y
si y  rsinθ , r  r  sinθ ), dado que r  x  y , se tiene que
2 2 2
x 2  y 2  y o mejor escrito x 2  y 2  y  0
Desarrollando,
x2  y2  y  1
4
 1
4
0
x 2  y 2  y  1
4
 1
4
x 2  y  1
2
2  1
4
1 1
Es una circunferencia con centro en ( 0, 2 ) y radio 2
b. r  θ
R./
c. r  3 secθ
R./
r  3 secθ y x  r cosθ entonces:
r  3 1
cosθ

r  3 1
x 
r
r  3 x 
r
x3
Es la recta x = 3
6. Obtener el área compartida de las curvas r  2 sinθ y r  2 cosθ
R./
Se deben conocer los puntos de intersección, para ello, igualamos las ecuaciones y
resolvemos
2 si n  2 cosθ
θ
si n  cosθ
θ

2. pi 5pi
θ 4
,θ  4
Observando la gráfica, solo se tiene un punto de intersección para evaluar y dado
pi
que hay simetría en 4 , tenemos:
pi pi
4 4
2  2 cosθ 2dθ   2 sinθ 2dθ
Área = 0 0 )
pi pi
4 4
2  4 cos 2θdθ   4 sin2θdθ
= 0 0
pi pi
4 4
24  cos 2θdθ   sin2θdθ
= 0 0
pi pi
4 4
8  cos 2θdθ   sin2θdθ
= 0 0
pi
4
8  cos 2θdθ  sin2θdθ
= 0
pi
4
8  cos 2θdθ  sin2θdθ
= 0
como cos 2θdθ  sin2θ  cos2θ , se obtiene
pi
4
8  cos2θ. dθ
= 0
pi
1
= 8 2
sin2θ 04

3. pi pi
= 4 sin2 4
  4 sin20  4 sin 2
 4
8. Verificar la ortogonalidad de los vectores P(4, -1, 1) y Q(2, 4, 4)
R./
Se verifica la ortogonalidad de vectores en R 3 si al realizar el producto interno
(producto punto) entre los vectores su resultado es cero,
P  4i  j  k , Q  2i  4j  4k
P. Q  8i 2  4j 2  4k 2
844  8
Por tanto los vectores P y Q no son ortogonales.
9. Describir el movimiento de la partícula que se mueve según los parámetros
x  secθ
pi pi
y  tanθ Entre  2
 t  2
R./
Obsérvese que tan2θ  1  sec 2θ , así sec2θ  tan θ  1 , por lo que se
2
satisface:
x2  y2  1
Mostrando una hipérbole que corta al eje x en el punto (1,0); la partícula se mueve,
por tanto, a lo largo de la hipérbole x  y  1 y dado que secθ  0 en el
2 2
pi pi
intervalo  2 , 2  , la partícula se moverá a lo largo de la curva en los cuadrantes
I y IV
Se puede verificar las afirmaciones mediante una tabla de datos:
t xt yt
pi
 2
NE NE

pi
3
2  3

pi
4
1 1
pi
 6
2
 1
3 3

4. 0 0 1
pi
con - 2
 t  0
t xt yt
pi
2
NE NE
pi
3
2 3
pi
4
1 1
pi 2 1
6 3 3
0 0 1
pi
con 0  t  2
Estas gráficas muestran un recorrido de la partícula de carácter ascendente por la
curva de la hipérbole antes mencionada.