Este documento presenta un resumen de un taller sobre determinantes de matrices. Incluye ejercicios para calcular determinantes usando diferentes métodos como expansión por filas o columnas, operaciones en las filas y columnas, y transformación a forma escalonada. También cubre propiedades de determinantes como que en general no se cumple que el determinante de la suma de matrices es igual a la suma de sus determinantes individuales.

1. Universidad del Valle - sede Buga
4to Taller de Algebra Lineal (Determinantes)
Prof. Bladimir Lenis Gil
1. Dada la matriz 3 x 3  
1 −2 3
A = 0 1 2
1 4 −1
a) Calcule det (A) por expansi´n a lo largo de la tercera columna.
o
b) Compruebe el resultado anterior haciendo expansi´n a lo largo de la segunda fila.
o
2. Exprese
 
0 x−1 1
det x 1 1
0 x+1 2
Como un polinomio de x
3. Si
 
1 2 −1
A = 3 2 1
0 1 4
Evalue det(A − λI), donde λ es un escalar e I es la matriz identidad de 3x3
4. Determine que en general, no se cumple que det(A + B) = detA+ detB
5. Para cada una de la proposiciones siguientes relativas a matrices cuadradas, dar una demos-
traci´n o poner un contra ejemplo.
o
2
a) det (A + B)2 = det(A + B)
b) det (A + B)2 = det(A2 + 2AB + B 2 )
c) det (A + B)2 = det(A2 + B 2 )
6. Para las siguientes matrices, calcule det A transformando A a la forma escalonada
a) b) c)
 
1 −1 0 2 4
  2 0 1 −1 2  
1 −2 3 
−1
 2 4 6
A = 1 1 0 1
A = 0 1 2 
0 0 1

−1 2 A = 3 6 9
1 4 −1 1 0 0 2 6 1 2 3
7. Si
 
1 3 2
A = 2 4 4
3 0 1
1

2. a) Encuentre A−1
b) Encuentre det A y det A−1
8. Use operaciones en las filas para demostrar que
1 1 1
a b c = (b − a)(c − a)(c − b)
a2 b2 c2
9. Si
 
a b c
det d e f = 7
g h i
Encuentre
a) b) c)
     
a b c d e f g h i
det  −d −e −f  det  a b c det a b c
a+g b+h c+i 3g 3h 3i d e f
10. Demostrar que si A es una matriz de n × n indempotente (A2 = A y A = 0), entonces det
A = 0 o det A = 1
11. Demostrar que la ecuaci´n de la recta que pasa por los puntos P = (a, b) y Q = (c, d) est´ dada
o a
por
 
1 1 1
det x a c = 0
y b d
12. Para las siguientes matrices
a) b)  
  1 0 2 −3
3 2 −1 2 −1 4 0 
A= 
A = 0 4 −3 3 2 1 −3
1 −2 2 0 −1 3 −2
Encuentre
a) ˜
La matriz de cofactores A
b) adj(A)
c) A(adj(A))
d) det](A)
e) A−1 si existe.
13. Para las siguientes matrices, determine si A−1 existe, por medio del c´lculo de det A. Si A−1
a
existe encu´ntrela por medio de la adj A
e
2

3. a) b)  
1 0 0 0
0 2 2 0
A= 
1 1 0 0 3 0
A=
2 1 0 0 0 4
14. Si
a b
A=
c d
demuestre que adj (adjA) = A
ˆ
15. A¿Para qu´ valores de α la matriz?
e
 
−α α−1 α+1
 1 2 3 
2−α α+3 α+7
no tiene inversa
Referencias
[1] Tom M. Apostol. Calculus. Volumen I. Editorial Revert´, 1972.
e
[2] Francis G. Florey. Fundamentos de Algebra Lineal y Aplicaciones. Editorial Prentice Hall
Internacional, 1979.
´
[3] Stanley I. Grossman. Algebra lineal. Quinta edici´n. Editorial McGraw-Hill, 1996.
o
3