Este documento presenta las identidades trigonométricas para un mismo arco. Explica las identidades fundamentales, incluyendo las identidades pitagóricas, por cociente y recíprocas. También muestra cómo deducir fórmulas a partir del teorema de Pitágoras y resuelve ejercicios aplicando las identidades.

1. Curso: Trigonometría Cód.: Trig 05
Tema:
Identidades Trigonométricas
para un mismo Arco
- Identidades Fundamentales
- Deducción de Fórmulas
- Ejercicios aplicativos

2.  Identidades Fundamentales:
Identidades Pitagóricas:
Se denominan de esa manera por que son producto de la aplicación del
Teorema de Pitágoras con las razones trigonométricas
C
Sen 2α + Cos 2α = 1
A
α Tg α + 1 = Sec α
2 2
B
A2 + B 2 = C 2 Ctg α + 1 = Csc α
2 2
(Teorema de Pitágoras)

3.  Identidades Fundamentales:
Identidades Recíprocas:
Se denominan de esa manera por que son obtenidas al efectuar el producto
entre dos razones recíprocas. Ejm: “Seno y Cosecante”
Senα .Cscα = 1
C
A Cosα .Secα = 1
α
B Tgα .Ctgα = 1
C.O A C. A B C.O A
No olvides que: Senα = = ; Cosα = = ; Tgα = =
Hip C Hip C C. A B

4.  Identidades Fundamentales:
Identidades por Cociente:
Denominadas así por que cada una de ellas representa la división o cociente
entre otras dos razones trigonométricas.
Senα
Tgα =
C Cosα
A
α Cosα
Ctgα =
B Senα
OK… pero… ¿de donde salen esas fórmulas?

5.  Deducción de Fórmulas
Veamos este ejemplo:
Hipótesis : Sen 2α + Cos 2α = 1
Como ésta es una “Identidad Pitagórica”, usaremos el “Teorema de Pitágoras” para su
demostración … listos?
Del triángulo trigonométrico sabemos que:
A B
Senα = y Cosα = … entonces:
C C C
2 2
A  A B
Sen α =   y Cos 2α =  
2
α C  C
B A2 + B 2
Sen α + Cos α =
2 2
A2 + B = C 2
2
C2
(Teorema de Pitágoras)
C2
Por lo tanto: Sen α + Cos α = 2 = 1
2 2
C

6.  Deducción de Fórmulas
Una deducción más para que quede clara la idea ok?
Senα
Hipótesis : Tgα =
Cosα
Como ésta es una “Identidad por Cociente“, vamos a dividir las razones Seno y Coseno
para la deducción.
Del triángulo trigonométrico sabemos que:
A B
Senα = y Cosα =
C C C
A A
Senα C A A
α Dividiendo : = / = Pero : = Tgα
Cosα B B B
B
C/
Senα
Por lo tanto: Tgα =
Cosα

7.  Ejercicios aplicativos
Ahora veamos cómo se resuelven algunos ejercicios:
1. Simplifica: E = Cosx.Ctgx − Cscx 1 − Sen 2 x ( )
Solución: Por lo general, es conveniente convertir todo a Senos y Cosenos. Entonces
Cosx 1
i ) Ctgx = ...Id . por cociente ii ) Cscx = ... Id . Recíproca
Senx Senx
iii )1 − Sen 2 x = Cos 2 x... Id . Pitagórica
Cosx 1
Reemplazando las identidades tenemos: E = Cosx. − .Cos 2 x
Senx Senx
Cos 2 x Cos 2 x Cos 2 x − Cos 2 x
Multiplicando y agrupando: E = − =
Senx Senx Senx
0
Y llegamos a la respuesta: E= =0
Senx

8.  Ejercicios aplicativos
1. Simplifica: M = 1 + 2 Senα .Cosα − Senα
Solución: Recordemos que una de las identidades Pitagóricas es
( Sen α + Cos α ) = 1 Reemplazando tenemos:
2 2
M = ( Sen α + Cos α ) + 2 Senα .Cosα − Senα
2 2
¿Esto no es un producto notable?... Sí:
M= ( Senα + Cosα ) 2 − Senα
M = Senα + Cosα − Senα
Y llegamos a la respuesta: M = Cosα

9.  Resumen de Fórmulas
Identidades Fundamentales
Pitagóricas : Por Cociente : Recíprocas :
Sen x + Cos x = 1
2 2 Senx Senx.Cscx = 1
Tgx =
Cosx Cosx.Secx = 1
Tg 2 x + 1 = Sec 2 x
Cosx
Ctg 2 x + 1 = Ctg 2 x Ctgx = Tgx.Ctgx = 1
Senx
Ahora a seguir practicando …