El documento aborda conceptos fundamentales de precálculo, como la localización de puntos en el plano coordenado, la creación de gráficos y diagramas, y el cálculo de distancias y puntos medios. También se discuten gráficas de ecuaciones y círculos, así como su relación con sus interceptos y ecuaciones correspondientes. Finalmente, incluye ejercicios prácticos para consolidar el aprendizaje.

1. Tema I
El Plano Coordenado
Precálculo

2. Objetivos
• Localizar puntos en el plano coordenado.
• Crear un diagrama de puntos y una gráfica de línea de
un conjunto de datos.
• Determinar la distancia entre dos puntos en el plano.
• Encontrar el punto medio de un segmento.
• Entender la relación entre ecuaciones y sus gráficas.
• Encontrar los interceptos de una gráfica.
• Encontrar la ecuación de un círculo.
• Identificar ecuaciones cuyas gráficas son círculos.

3. Plano Cartesiano
y
4
3
CUADRANTE II CUADRANTE I
2
origen
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
CUADRANTE III CUADRANTE IV
-3
-4

4. Plano Cartesiano
Da las coordenadas de los puntos marcados en el siguiente plano cartesiano.
y
4
A
3
E 2
1
C x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 D
-2
B
-3
-4

5. Plano Cartesiano
• La siguiente tabla, del Departamento de Educación de EEUU
muestra el máximo otorgado en Beca Pell para estudiantes
universitarios en diferentes años.
Año 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
Cantidad 2300 2400 2300 2470 3000 3300 4000 4050
Utilizando esta información dibuja un diagrama de puntos y
una gráfica de línea.
y y
40 40
30 30
20 20
10 10
x x
2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14

6. La Fórmula de Distancia
La distancia entre los puntos  x1 , y1  y  x2 , y2  es
d  x1  x2    y1  y2 
2 2
y
Encuentra la
distancia entre los 1
dos puntos marcados x
en el siguiente eje -2 -1 1 2
cartesiano. -1
-2
-3
-4

7. Formula de Distancia
• En un juego de los Cubs en Wrigley Field, un
guardabosque captura la pelota cerca de la
esquina del jardín derecho y la lanza a
segunda base. La esquina del jardín derecho
está a 353 pies del home, a lo largo de la línea
del foul. Si el guardabosque está a 5 píes de la
pared del outfield y a 5 pies de la linéa del
foul, ¿cuán lejos lanzo la pelota?

8. Formula de Distancia
• Encuentra la distancia desde (a, b) y (2a, -b),
donde a y b son números reales fijos.

9. Fórmula de Punto Medio
El punto medio del segmento que une los puntos
 x1 , y1  y  x2 , y2  esta dado por:
 x1  x2 y1  y2 
 , 
 2 2 
y
Encuentra el punto medio de
los puntos dados. 4
3
2
1
x
-3 -2 -1 1 2 3

10. Fórmula de Punto Medio
• Las ganancias anuales de la compañía Dell
fueron 31.2 billones en el 2002 y 55.9 billones
en el 2006. Asumiendo que la ganancia fue
aumentando linealmente, estima la ganancia
en el 2004.

11. Gráficas
• Una gráfica es un conjunto de puntos en el plano.
• Una solución de una ecuación en variables x & y
es un par de números tal que la sustitución del
primer número por x y del segundo número por y
produce un enunciado cierto.
– Ejemplo
• 5x + 7y = 1, (3, -2), (-2, 3)
• La gráfica de una ecuación en dos variables es el
conjunto de puntos en el plano cuyas
coordenadas son solución de la ecuación.

12. Gráficas
Se muestra la gráfica de y  x2  2 x  1.
y
4
3
2
(-1,2)
1
x
-1 1 2 3
-1
(0,-1)
-2 (1.5,-1.75)

13. Gráficas
• El intercepto en x es la coordenada x del punto donde
la gráfica interseca el eje de x.
• El intercepto en y es la coordenada y del punto donde
la gráfica interseca el eje de y.
y y
y
4
6 6
2
4
4
x
2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x
2
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x
-2 -4 -2 2 4
-4

14. Gráficas
Encuentra los interceptos en x & y de la gráfica de
y  x  2 x  1.
2
El proceso de encontrar interceptos en x & y se puede resumir de la siguiente
forma.
Para encontrar el intercepto en x:
1) Cambia y por 0.
2) Resuelve por x.
Para encontrar el intercepto en y:
1) Cambia x por 0.
2) Resuelve por y.

15. Gráficas
• Cesar tiene una hipoteca de 30 años en la cual su pago
mensual es $850. En el siguiente eje coordenado se
muestra la porción de cada pago va para intereses y la
porción de cada pago que va para el principal.
y
800
700
600
A
500
400
300
200 B
100
x
60 120 180 240 300 360

16. Gráficas
• ¿Cuál gráfica es la porción del interés y cuál es la porción del
principal?
• Al cabo de 10 años (120 meses), ¿cuánto del pago va para intereses
y cuanto para el principal?
y
800
700
600
A
500
400
300
200 B
100
x
60 120 180 240 300 360

17. Círculos
• Si (c, d) es un punto en el plano y r es un número
positivo, entonces el círculo con centro (c, d) y radio r
consiste de todos los puntos (x, y) que descansan r
unidades de (c, d)
(x, y)
r
(c, d)

18. Círculos
El círculo con centro  c, d  y radio r es la gráfica de
 x  c   y  d   r2
2 2
(x, y)
r
(c, d)

19. Círculos
• Identifica la gráfica de la ecuación (x – 4)2 + (y – 2)2 = 9.
• Encuentra la ecuación del círculo con centro (-3, 2) y
radio 2 y grafícalo.
• Encuentra la ecuación del círculo con centro (3, -1) que
pasa por (2, 4).
• Muestra que la gráfica de 3x2 + 3y2 – 12x – 30y + 45 = 0

20. Círculos
El círculo con centro  0, 0  y radio r es la gráfica de
x2  y 2  r 2
Si hacemos que r = 1, tenemos entonces que x2 + y2 = 1 es el
círculo de radio 1 con centro en el origen. Este círculo es llamado
el círculo unitario.
y
x
-1 1

21. Ejercicios Recomendados
• Libro “Contemporary Precalculus: A Graphing
Approach”, páginas 48 – 53, ejercicios 1 – 6,
11, 15, 18, 19, 24, 30, 33, 37 – 46, 49, 55 – 77
(impares)