Este documento presenta tres identidades trigonométricas fundamentales y explica los tipos de identidades trigonométricas, incluyendo identidades por cociente, recíprocas y auxiliares. También cubre identidades para la suma y diferencia de arcos, arcos compuestos y arcos múltiples.

1. Trigonometría
Identidades trigonométricas fundamentales
En m a t e m á t i c a s , las identidades trigo- Identidades pitagóricas
nométricas son igualdades que involucran
razones trigonométricas, verificables para sen 2 e + cos 2 e = l
cualquier valor permisible de la variable o
variables que se considere. sen2e=l-cos 6 2
Estas identidades son útiles siempre que se • cos 6=l-sen 0
2 2
precise simplificar expresiones que inclu-
yen razones trigonométricas.
1 +tan 2 e=sec 2 e
• sec 6-tan2e=l
2
TIPOS DE IDENTIDADES
Identidades por cociente l+cot G=csc 2 e
2
• csc 0-cot2e=l
2
sen0 cose
tan 6: cote;
COS0 sene
dentidades auxiliares
sen 4 e+cos 9= 1 -2sen 6cos 0
4 2 2
Identidades recíprocas
s e n 6 e + c o s 9 = l - 3sen 0cos 2 e
6 2
tan6+cote=sec0csc6
csc0 = >sen6csc6 = l
sec 6+csc 9=sec 6csc 2 e
2 2 2

2. Semestral UNI • Trigonometría
Problemas resueltos Resolución
1. Demuestre que
Dato: cot x -•
Si asenx+&cosx=c, a d e m á s , a +b =c 2 2 2
Ha 2
entonces se cumple que
a b
senx = —, cosx = —
c c
Demostración
Del dato, tenemos que asenx+bcosx=c
— asenx=c-í>cosx
>
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
o sen x=c -2bccosx+6 cos x
2 2 2 2 2
h ={í¿í Á^f
2
a ( l -cos jr)=c -2&ccosAf+ft cos x
2 2 2 2 2
1/2
a =c +(o +¿3 )cos x-26ccosjf
2 2 2 2 2
Al reemplazar a =c -b 2 2 2 y a +b =c
2 2 2
tenemos Luego
c - b = c + c c o s j f - 2bccosx
2 2 2 2 2
_ a b ah bh
c cos x-2bccosx+b =0
2 2 2
E = frsenx + o c o s x = ¿ .,— "+-
j^ 2 Q 3/¿2
(ccosx-í>) =0 2 -> ccosx=b
Luego, cosx = —
c E = h + —
b a
Reemplazando el eos* en la igualdad
asenx+fc>cosx=c se tiene que
a
sen* = —
2/3
Si cotJf = encuentre el valor de s3/2
la siguiente expresión ab
a b

3. Semestral UNI • Trigonometría
Identidades trigonométricas de arcos compuestos
IDENTIDADES PARA LA SUMA DE DOS
ARCOS sen(a-9)
tana-tan9 =
eos a eos 9
sen(a+9) =senacos9+cosasenG
i PROPIEDAD
eos ( a + 6 ) =cosacosG - senasenB
Si x es variable angular y a y b son
constantes,
entonces
tan a + tan 9 asen x+ b eos x=Va + b sen( x + G)>
tan(a + 6) = 2 2
1-tan retan 9 donde
n
sen i = , b
eos,9 =
i a
Va +b 2 2 ' Vo + ¿
2
IDENTIDADES PARA LA DIFERENCIA DE
DOS ARCOS
A d e m á s , se cumple que
sen(a - 9)=senacosG -cosasen9
-la + b <asenx + bcosx<<Ja +b
2 2 2 2
cos(a - 9)=cosacos9+senasen9
TEOREMAS
IDENTIDADES AUXILIARES
Si A+B+C=nn, nsZ,
entonces
sen (a+9)sen(a+0)=sen a - sen 9
tanA+tanS+tanC=tanAtanfitanC

4. Academia César Vallejo ' Material Didáctico N.° 1
Problemas resueltos 2. A partir del gráfico, halle x.
1. Demuestre que si x es variable real y
a y o constantes reales se cumple que
- V a +b 2 2 < asenx + bcosx < ¡a 2 +b 2
2V3
Demostración
Resolución
Sea £ = a s e n x + b c o s x Del gráfico, se observa que
-> £'-ocosx=asen • p=a+30°
x . _ x+7
Elevamos ambos miembros al cuadrado tana = — ¡ = tanp =
)
2V3 2V3
£ -2o£cosjc+b cos x=a sen x
2 2 2 2 2
£ - 2 b £ c o s x + b c o s A : = a ( l -eos *)
2 , 2 2 2 2
Simplificando, tenemos la ecuación de
2.° grado:
(a +b )cos x-2£bcosx+£ -a ==0
2 2 2 2 2
Comox e R, entonces, cosx e R. Lue-
go, la ecuación cuadrática tiene solu- |5=a+30° -> tanp=tan(a+30°)
ciones reales, es decir, el discriminante , „ tana + tan30°
de la ecuación es mayor o igual a cero. tanB =
l-tanatan30°
(-2£b) -4(a +6 )(£ -a ) > 0 2 2 2 2 2
x J_
x+7 = 2V3 V3+
E b -(a +b )(E -a )>0
2 2 2 2 2 2 2V3 j _
2V3 ){"J3

5. Academia César Vallejo - Material Didáctico N. 1
Identidades trigonométricas de arcos múltiples
IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE
eos 9 - sen 9
2 2
sen39=3sen6-4sen e á
cos29 = <2 c o s 9 - l 2
l-2sen 9 2
cos39=4cos 9-3cos9 3
sen29=2sen9 cos9 3tan9-tan 9 3
tan 39 =
l-3tan 92
Fórmulas de d e g r a d a c i ó n Fórmulas de d e g r a d a c i ó n
2cos 9=l+cos29
2 2sen 9=l-cos29
2
4cos 9=3cos9+cos39
,3
Triángulo del á n g u l o doble
4sen 0=3sene-sen39
í
l+tan 9 2
2tan6
Identidades auxiliares
sen39=sen9(2cos29 +1)
• sen 29 = cos39=cos9(2cos29 - 1 )
l + tan 8 ¿
4sen9sen(60° - 9 ) s e n ( 6 0 ° + 9 ) = s e n 3 6
l-tan 92
• eos 29 =
l + tan 9 2 4cosecos(60 -9)cos(60°+9)=cos39
o
tan9tan(60°-9)tan(60°+9)=tan39
Identidades auxiliares

6. Semestral UNI • Trigonometría
Transformaciones trigonométricas
DE SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS
O COSENOS A PRODUCTO . D „ ;A+B
eos/I-I-eos £¡ = 2 eos eos
2 2 .
Por identidades t r i g o n o m é t r i c a s de
arcos compuestos . _ „ .A+B} (A-B"
eos A- coso = -2 sen sen
Para el seno se tiene: 2 2 ,
sen(a+B)=senacosB+cosasenp
sen(a - p)=senacosp - cosasenp DE PRODUCTO DE DOS SENOS O
COSENOS A SUMA O DIFERENCIA
Al sumar y restar el primer y segundo miem-
bro obtenemos:
2senxcosy=sen(x+y)+sen(x-y)
sen(a+p)+sen(a - p)=2senacosP
2cosxcosy=cos(x+y)+cos(A:-y)
sen(a+p) - sen(a - P)=2cosasenp
2serurseny=cos(jr-y)-cos(;r+y)
Sea 4=a+p y B = a - p , entonces
J
A+ B „ A-B Propiedades
< =
x y B=
2 2 Si A4-B+C=n, se cumple
Reemplazando, en las expresiones, se tiene
* n A A B C
sen A + s e n f í + senC = 4cos—eos—eos—
2 2 2
senA + s e n ñ = 2sen — — eos
2 2 ^ A A B C ,
eos A+cosñ + cosC = 4sen—sen—sen—+1
2 2 2
(A+B
seny4-senfi = 2cos
- sen
sen
{ 2 ) { 2 sen2A+sen2B+sen2C=4senAsen6senC

7. Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 1
Problema resuelto
Inr
senl — i ( p+u
Demuestre que senx+sen(x + r ) + sen(x + 2 r ) + . . . + s e n ( x + ( n - l ) ' ' ) = ^2-r^sen —
sen(-) ^ 2
Donde
P: primer ángulo U: último ángulo n razón de la progresión n: número de términos
Demostración
Sea £=serix+sen(x+r)+sen(x+2r)-r...+sen(x+(n-l)'")
Multiplicamos por 2 s e n ^ j a ambos miembros
2£sen - =2senxsen - +2sen(x+r)sen - +...+2sen(x+(n-l)r)sen -
Cada término del segundo miembro lo transformaremos en una diferencia de cosenos.
2senxsen - =cos x-- |-cos
2 2' 7 2
2sen(x + r)sen| - | = cos -eos
5r
2sen(x + 2r)sen¡ - | = cos -eos x +
2 s e n ( x + ( n - l ) r ) s e n | - | = cos x+jt^~r -eos x+— r
Sumando todos los términos de manera vertical
2£sen' - ] = cosf x - - i - cosí x + í n - - | r
l2j { 2 ) { { 2)
Transformando a producto:
, n ( r