Este documento explica cómo aplicar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) al modelo económico de oferta y demanda. Presenta el marco teórico de oferta, demanda y el principio económico que los une. Resuelve un problema numérico utilizando una EDO lineal para modelar el precio en función del tiempo, determinando la estabilidad del precio y el precio de equilibrio.

1. Aplicación EDO a la
Economía

2. Aplicación EDO a la Economía
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3. Aplicación EDO a la Economía
PRESENTACIÓN
INTEGRANTES:


MARIA ANTONELLA AGUIRRE MENDEZ.
JULIO CESAR MITAC QUISPE.
CURSO:
ANALISIS MATEMATICO III
TEMA:
APLICACIÓNES DE EDO A LA ECONOMIA
PROFESORA:
ELVIA PEREZ.
CICLO:
IV
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4. Aplicación EDO a la Economía
RESUMEN
En este breve artículo aplicaremos ecuaciones diferenciales a la Economía, con
una perspectiva a la Ingeniería de Software.
Dado que el modelo de oferta y demanda, utiliza para su explicación matemática y
económica, las ecuaciones diferenciales lineales, se lleva a cabo una explicación
de cómo obtener una solución analítica y gráfica de dichas ecuaciones.
Posteriormente, se explica con detalle los elementos básicos para definir con
lenguaje de ecuaciones diferenciales los conceptos de oferta, demanda y el
principio económico que los une, a través del planteamiento y solución de varios
ejemplos de aplicación.
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5. Aplicación EDO a la Economía
PROBLEMA A RESOLVER
Plantearemos a continuación un problema, al cual se les dará solución con el
principio de oferta y demanda.
1. La oferta y la demanda de un bien están dados en miles de unidades
respectivamente por:
Y
.
El precio del bien en
, es US$ 20.
a) Encontrar el precio en cualquier tiempo .
b) Obtener la gráfica del precio en función del tiempo
c) Determinar si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si este existe.
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6. Aplicación EDO a la Economía
OBJETIVOS
Aplicar los conceptos de EDO previamente vistos en clase, para obtener un
modelo matemático.
Conocer la relación entre oferta y demanda de manera conjunta para
ampliar la visión del mercado.
Identificar los factores determinantes en los cambios de la oferta y la
demanda.
Analizar el precio en función del tiempo (para saber si el precio aumenta,
disminuye
o
se
mantiene
constante).
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7. Aplicación EDO a la Economía
MARCO TEORICO
OFERTA Y DEMANADA:

Sea
la función precio de un bien en el tiempo. El número de
unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo, en
cualquier tiempo
se llama demanday se denota por
Esta
demanda puede depender no sólo del precio en cualquier tiempo , sino
también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomarán los
precios, esto es, la tasa de cambio del precio
.
(1)
Es la función de demanda.

Análogamente, el número de unidades del bien que los productores tienen
disponible por unidad de tiempo, en cualquier tiempo se llama oferta y
se denota por
. Como en el caso de la demanda, la oferta depende de
y
, esto es:
(2)
Por tanto,

es la función de oferta.
Para aplicar los conceptos anteriores debemos asumir lo siguiente:
a) Economía competitiva y libre: Significa que los consumidores y
productores compiten para determinar los precios.
b) Los precios, demanda y oferta son continuos:Los precios toman valores
discretos, pero en la práctica, se pueden aproximar con un buen grado de
precisión adoptando valores continuos (más precisos).
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8. Aplicación EDO a la Economía
LEY DE LA OFERTA
Ley económica que determina que la cantidad ofrecida de un bien aumenta a
medida que lo hace su precio, manteniéndose las restantes variables constantes.
La cantidad ofrecida es directamente proporcional al precio.
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9. Aplicación EDO a la Economía
LEY DE LA DEMANDA
Esta es una ley económica que determina que la cantidad demandada de un bien
disminuye a medida que aumenta su precio. La cantidad demandada es
inversamente proporcional al precio.
PRINCIPIO ECONOMICO DE OFERTA Y DEMANDA:
La ley de la oferta y demanda es un modelo económico básico postulado para la
formación de precios de mercado de los bienes, usándose para explicar una gran
variedad de fenómenos.
El precio de un bien en cualquier tiempo , es decir
, está determinado por la
condición de que la demanda y la oferta en un mismotiempo son iguales.
(3)
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10. Aplicación EDO a la Economía
MODELO MATEMÁTICO
Para encontrar nuestro modelo matemático utilizaremos el principio de oferta y
demanda. (
)
1. De la ecuación (3)sabemos que:
Ahora bien, las formas más simples de y son funciones lineales en
, esto es:
En donde
y
y
son constantes reales.
2. Aplicamos (4)y (5)en (3).
Donde
,
La EDO (6)es lineal no homogénea, con función desconocida
Si la ecuación está sujeta a la condición inicial
problema de valores iniciales PVI.
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.
se origina un

11. Aplicación EDO a la Economía
3. Para hallar la solución debemos multiplicar a todo por el factor integrante.
Recordar que si tenemos:
el factor integrante seria
.
Entonces hallemos el factor integrante en la EDO (6).
4. Ahora multiplicamos a (6)por el factor integrante.
5. Procedemos a integrar para hallar nuestra solución general.
6. Para hallar
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, utilizamos la condición inicial
en (7)

12. Aplicación EDO a la Economía
7. Reemplazando (8)en (7), obtendríamosla solución particular:
MODELO MATEMATICO
Se presentan varias posibilidades:

Caso 1: Si
entonces de
se obtiene que
situación
en la cual los precios son constantes todo el tiempo.

Caso 2: Aquí el precio
tiende a
como el límite cuando crece,
asumiendo que este límite es positivo. En este caso se tieneestabilidad de
precios y el límite

Caso 3:
medida que
se llama precio de equilibrio.
En este caso, el precio
crece, asumiendo que
inflación continuada o inestabilidad de precios.
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crece indefinidamente, a
. Se presenta aquí la

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SOLUCION DEL PROBLEMA
1. Del problema planteado tenemos los siguientes datos
Y
El precio del bien en

Por

Hallamos el factor integrante.

Multiplicamos a nuestra EDO por el factor integrante.

Integramos para hallar la solución general.
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el
principio
económico
de
oferta
y
, es US$ 20.
demanda,
se
tiene

14. Aplicación EDO a la Economía

Sustituimos

De esta manera el precio está definido como:
en la expresión.
En la figura se puede ver la representación gráfica (curva solución) de
.
Por otra parte, cuando
. Entonces en este caso se presenta
estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es US$15, lo cual
corresponde al caso 2, pues es positivo.
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15. Aplicación EDO a la Economía
CONCLUSION

Dado que la economía es una ciencia que estudia cómo se administran
recursos escasos con el objeto de producir bienes y servicios, intentar dar
solución a problemas de este tipo, a través de un modelo matemático es una
tarea bastante difícil, si se tiene en cuenta la amplia gama de factores
endógenos y exógenos que rodean al problema en sí mismo. De ahí que, esos
modelos deben estar sometidos a permanentes validaciones y ajustes,
paralelamente a la determinación de su grado de incertidumbre.

El uso de las ecuaciones diferenciales, facilita enormemente la interpretación
económica de los problemas relacionados con la oferta y demanda, sobre todo
la representación gráfica de las soluciones de las mismas. De hecho,
proporciona un magnífico cuadro visual para determinar si en la situación
planteada existe o no estabilidad de precio y el precio de equilibrio, si estos
existen.

Hoy en día los software facilitan la aplicación de los modelos económicos.
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RECOMENDACIONES

Es conveniente decir que el modelo matemático de oferta y demanda con
ecuaciones diferenciales tiene sentido si se está trabajando en un modelo
perfectamente competitivo, esto es, un cambio en la producción, no afecta el
precio del producto.

Se insiste en el hecho de que cualquier resultado obtenido teóricamente, debe
finalmente ser probado a la luz de la realidad.
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BIBLIOGRAFIA

Dennis ZILL, (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado.

SPIEGEL, Murray (1989). Ecuaciones diferenciales aplicadas.

DERRICK /GROSSMAN (1984). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones.
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