El documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, monomios, polinomios, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de estos. También cubre productos notables y factorización de polinomios.

1. Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Plan Nacional de Formación Higiene y Seguridad Laboral
Matemáticas. Trayecto Inicial
Alumno: Mervin Medina
12.743.024
Barquisimeto, 02 de Noviembre de 2023

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Expresiones algebraicas.
Es una expresión algebraica racional donde las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la
potencia de exponente natural. Se llama parte literal de un monomio a las letras con sus exponentes.
Suma y resta de Monomios:
Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes. El resultado se obtiene sumando o restando sus
coeficientes
Ejemplo: 5x2
.y3
+ 8x2
.y3
– 3x2
y3
= 5x2
.y3
+ 5x2
.y3
= 10X2
.y3
Producto de monomios.
Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el
producto de los coeficientes y de las partes literales,
respectivamente.
Cociente de Monomios:
Es el resultado de la división de monomios es otro
monomio cuyo coeficiente equivale al cociente de los
coeficientes de los monomios y cuya parte literal se
obtiene de dividir las variables que tienen la misma
base, es decir, restando sus exponentes
Monomios:

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Expresiones algebraicas.
Polinomios:
Es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios o términos, cada uno de los cuales es el
producto de:
- Un coeficiente constante y de valor conocido, y
- Una o varias variables o indeterminadas, no necesariamente distintas entre sí (denotadas generalmente como "x",
"y",..., o bien x1, x2, …) llamadas así porque su valor no está prefijado de antemano
En cada término, cada variable puede aparecer más de una vez, en tal caso se representa por medio de una
potencia, como en x3 = x.x.x. Cada uno de los términos del polinomio tiene asociado un número natural llamado
grado, igual a la suma de los exponentes de sus variables (p.e. el monomio 5xy2 tiene grado 3). Se llama grado del
polinomio al mayor de los grados de sus términos.
Valor numérico de un Polinomio:
el valor numérico de un polinomio P(x) para el valor x=a, es decir P(a), es el resultado que se obtiene al sustituir la
variable x del polinomio por el número a y hacer los cálculos indicados en la expresión del polinomio.

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Expresiones algebraicas.
Suma y Resta de Polinomios:
En la suma de dos o más polinomios se deben sumar los términos de los polinomios que son semejantes. Es decir, la
suma de polinomios consiste en sumar los términos que tienen la misma parte literal (mismas variables y mismos
exponentes). La suma de polinomios se puede realizar de dos formas distintas: con el método vertical o con el método
horizontal.
Ejemplo de suma de Polinomios:
Por lo tanto, el resultado obtenido de la suma de los 2 polinomios es:
P(x) + Q(x) = 9x4 - 3x3 + 6x2 - 2x - 2

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Suma y Resta de Polinomios:
En la suma de dos o más polinomios se deben sumar los términos de los polinomios que son semejantes. Es decir, la suma
de polinomios consiste en sumar los términos que tienen la misma parte literal (mismas variables y mismos exponentes).
La suma de polinomios se puede realizar de dos formas distintas: con el método vertical o con el método horizontal.
Ejemplo de suma de Polinomios:
Por lo tanto, el resultado obtenido de la suma de los 2 polinomios es: P(x) + Q(x) = 9x4 - 3x3 + 6x2 - 2x - 2
Resta de dos polinomios siendo P(x) = 7x4 + 2x3 + 5x - 4 y Q(x) = 4x4 - 3x3 + 8x2 - 2x + 1

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Expresiones algebraicas.
Multiplicación de Polinomios:
Multiplicación de un polinomio por un monomio: Para resolver la multiplicación un monomio por un polinomio se
multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Ejemplo Nº 1. Ejemplo Nº 2.
Multiplicación de dos polinomios
Para hacer una multiplicación de polinomios se debe multiplicar cada término del primer polinomio por todos los
términos del segundo polinomio y luego sumar (o restar) los monomios del mismo grado (monomios semejantes).

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Expresiones algebraicas.
División de Polinomios / División de un polinomio entre un monomio:
Para resolver la división de un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio.
6x2 – 2X + 4
División de Polinomios / División de un polinomio entre otro Polinomio

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Expresiones algebraicas.
Producto Notable:
Son reglas matemáticas que permiten resolver de manera directa operaciones con polinomios.
Las fórmulas de las identidades notables más comunes son el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia (o
resta), y la suma por la diferencia.
El cuadrado de una suma:
El cuadrado de una suma o suma al cuadrado, es una de las principales identidades notables. En concreto, se trata de
un binomio con dos términos positivos elevado a la 2, es decir, su expresión algebraica es (a+b)2 Ejemplo:
( x + 5 )2 = ( a + b )2 = a2 + 2.a.b + b2 = (a+b)2 = a2 + 2 a b + b2
= (x+5)2 = X2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
El cuadrado de una diferencia:
( a – b )2 = a2 - 2ab + b2
( x – 3 )2 = x2 – 2.x.3 + 32 = x2 – 6X + 9
El producto de una suma por una diferencia es una de las 3 identidades notables más usadas. Tal y como indica su
nombre, se trata de un binomio positivo multiplicado por su binomio conjugado (mismo binomio pero con el signo
intermedio cambiado), es decir, la expresión algebraica de este tipo de producto notable es (a+b)·(a-b)

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Expresiones algebraicas.
Producto Notable:
Son reglas matemáticas que permiten resolver de manera directa operaciones con polinomios.
Las fórmulas de las identidades notables más comunes son el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia (o
resta), y la suma por la diferencia.
El cuadrado de una suma:
El cuadrado de una suma o suma al cuadrado, es una de las principales identidades notables. En concreto, se trata de
un binomio con dos términos positivos elevado a la 2, es decir, su expresión algebraica es (a+b)2 Ejemplo:
( x + 5 )2 = ( a + b )2 = a2 + 2.a.b + b2 = (a+b)2 = a2 + 2 a b + b2
= (x+5)2 = X2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
El cuadrado de una diferencia:
( a – b )2 = a2 - 2ab + b2
( x – 3 )2 = x2 – 2.x.3 + 32 = x2 – 6X + 9
El producto de una suma por una diferencia es una de las 3 identidades notables más usadas. Tal y como indica su
nombre, se trata de un binomio positivo multiplicado por su binomio conjugado (mismo binomio pero con el signo
intermedio cambiado), es decir, la expresión algebraica de este tipo de producto notable es (a+b)·(a-b)

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Expresiones algebraicas.
Producto Notable / Cuadrado de un trinomio:
El cuadrado de un trinomio (polinomio formado por 3 términos) es igual al cuadrado del primer término, más el
cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble del primero por el segundo, más el
doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
Ecuaciòn: ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo: ( x2 + x + 3 )2 = (x2)2 + x2 + 32 + 2.x2.x + 2.x2.3 + 2.x.3 = x4 + x2 + 9 + 2x3 + 6x2 + 6x =
x4 + 2x3 + 7x2 + 6x + 9
Cubo de una suma:
El producto notable del cubo de una suma es un binomio (polinomio con solo dos monomios) elevado a la 3 cuyos dos
elementos son positivos. Por lo tanto, algebraicamente el cubo de un suma se expresa como (a+b)3.
Ecuaciòn: = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( x + 2 )3 = x3 + 3.x2 2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x +8
Cubo de una diferencia
El cubo de una diferencia, o cubo de una resta, es un binomio elevado a la 3 que tiene un término con signo negativo.
Así pues, la expresión matemática de este tipo de producto notable es (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
( 3x - 2 )3 = (3x)3 – 3.(3x)2 . 2 + 3..3x..22 - 23 = 27x3 – 54x2 – 36x – 8

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Expresiones algebraicas.
Producto Notable / Factorizaciòn:
Un polinomio que corresponde a una identidad notable (o producto notable) es muy sencillo factorizarlo. Sin embargo,
para poderlo hacer se debe dominar las fórmulas de las identidades notables.
Diferencia de cuadrados
La fórmula de la identidad notable de la diferencia de cuadrados es la siguiente: a2 - b2 = (a + b) . (a - b).
Por lo tanto, si encontramos con polinomio que cumpla con la expresión a2 - b2 se puede factorizar directamente.
X 2 - 9 = (x + 3) (x - 3)
Factorización de trinomios de segundo grado:
Hay trinomios que son cuadrados perfectos y estos se pueden factorizar de manera directa con las fórmulas de las
identidades notables. Pero la mayoría de trinomios no son productos notables, por tanto, ¿cómo se hace la
factorización de estos casos de polinomios? Para factorizar un polinomio de segundo grado simplemente se iguala el
polinomio a cero y se resuelve la ecuación de segundo grado resultante. De modo que las soluciones de la ecuación
serán las raíces del polinomio. Ejemplo:
Igualamos el polinomio a cero:
Ahora usamos la fórmula de la ecuación de 2º grado para hallar las soluciones de la ecuación:

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Expresiones algebraicas.
Factorización de trinomios de segundo grado:
De manera que las raíces del polinomio son: x = 3 y x = 5.
Finalmente la factorización polinomial es P(x) = ( x – 3 ) . ( x + 5 )
Factorización de trinomios de cuarto grado con exponentes pares:
Al igual que en el caso anterior, para factorizar un polinomio de cuarto grado con exponentes pares debemos igualar el
polinomio a cero y resolver la ecuación bicuadrada. De forma que los valores hallados corresponderán a las raíces del
polinomio. Ejemplo: P(x) = x4 – 5x2 + 4
P(x) = x4 – 5x2 + 4 = 0 Hacemos un cambio de variable x2 = t luego t2 = 5t+4= 0
Ecuación de segundo grado
Deshacemos el cambio de variable para calcular las raíces: ( x2 = t )
r2 = 4 ; ;
r2 = 1 ; ;
Por lo tanto las raíces del polinomio son: x = 2 ; x = - 2; x = 1 y x = -1

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Referencias Bibliográficas:
https://www.google.com/search?q=Expresiones+Algebraicas&oq=Expresiones+Algebraicas&aqs=chrome..69i57j0i20i263i512j
0i131i433i512j0i512l7.3618j0j15&sourceid=chrome&ie=UTF-8
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_Avanzada/01%3A_Fundamentos_de_%C3%A1lgebra/
1.03%3A_Ra%C3%ADces_cuadradas_y_c%C3%BAbicas_de_n%C3%BAmeros_reales
https://lurdaneta.files.wordpress.com/2014/10/e-navarro-propedeutico-de-matematica.pdf
https://www.polinomios.org/division-de-monomios-dividir-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/