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Expresiones algebraicas sc0101
- 1. República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación. U.E.T “Andrés Eloy Blanco” Barquisimeto-Edo Lara. Expresiones Algebraicas. Alumno: Kendry Linarez. C.I: 30.105.535.
- 2. Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. Suma de expresiones algebraicas. E algebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas. Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben reunir todos los términos semejantes que existan, en uno solo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma. Suma de monomios: Cuando los factores son iguales, por ejemplo la suma 2x+4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tienen el mismo grado (en este caso sin exponentes) En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos es el mismo que multiplicar por X: 2x+4x= (2+4) x=6x. Suma de polinomios: Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Sumaremos 3a2 +4a+6b-5c-8b2 con c+6b2 -3a+5b 4a + 3ª2 + 6b - 82 -3a +5b +6b2 +c Resultado =a +3ª2 +11b -2b2 +c Resta de expresiones algebraicas. La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del algebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra.
- 3. Resta de monomios: cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x-4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tienen el mismo grado (en este caso,1, o sea sin exponentes). Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos es lo mismo que multiplicar por X: 2x-4x = (2-4) x = 2x. Resta de polinomios: Un polinomio es una expresión algebraica que esta formada por sumas y restas de los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el polinomio. 4a+3a+6b-8b-3a+5b+6b+c Valor numérico de una expresión algebraica. El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir esta por un valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. El valor numérico es el valor obtenido al sustituir las variables por números y desarrollar las operaciones. L(r) =2 R=5 cm L (5) =2 5=10 cm S (l) =l2 L= 5cm A (5) = 52 = 25 cm2 . V (a) = a2 a= 5cm V (5) =52 = 1252 Multiplicación algebraica
- 4. La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otra palabra, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamados multiplicando y multiplicador. ° La multiplicación de signos iguales siempre positiva. ° La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa. La multiplicación entre polinomios: - Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio. - Luego multiplicamos la parte literal, estas son, las variables. - Aplicamos la ley distributiva. - Por ultimo aplicamos la ley de los signos. Ejemplo. 3x2 3x2 y4x4 4x4 . (3x2 ) (4x4 ) = (3.4) (x2 .x4 ) = (12) (x2+5 ) = 12x7 . Multiplicación entre polinomios: La forma más básica o reducida de la multiplicación entre polinomios es de la forma (a +b) (c +d) = a +c. b +c. a +d. b +d. esto es la multiplicación entre dos binomios, su prueba es muy sencilla, es solo aplicando la propiedad distributiva. La propiedad nos dice que: X (y+z) = X+y X+z. Si suponemos que X = a+b y = C y z=d, reemplazando la propiedad tenemos
- 5. (a+b). X(c y+d z) = (a+b) c. División algebraica Consta de las mismas partes que la división aritmética, así que si hay dos expresiones algebraicas, p(x) dividiendo, y q(y) siendo el divisor, de modo que el grado p(x) sea mayor o igual a 0, siempre podemos hallar dos expresiones algebraicas dividiéndose. La ley de los exponentes nos dice que si tenemos las mismas bases en el dividendo como en el divisor sus exponentes se restan División de monomios: se dividen los coeficientes y las literales se restan junto con sus exponentes. Ejemplo: 5xm+2y4z / -4xm-4y3z = 5/4 x6y. División de polinomios: Para dividir un polinomio en otro polinomio es necesario seguir los siguientes pasos : 1- Se ordenan los dos polinomios en orden descendiente y alfabético. 2- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor
- 6. 3- Se multiplica el primer término del coeficiente por el divisor y el producto. Obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo. 4- Se repiten el segundo y tercer paso hasta que el resultado sea 0 o de menor exponentes que el dividendo. Ejemplo: -15x2 +22xy-8y2 / -3x+2y = 5x-4y Producto notable Es el nombre que recibe multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyos resultados se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen con ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas. Cada producto corresponde de una fórmula de factorización. Por ejemplo la factorización de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Con polinomios obtenidos de la multiplicación de otras que poseen ciertas características particulares, que al cumplir ciertas reglas no es necesario realizar la multiplicación. Cuadrado de suma de 2 términos: (a+b) 2= a2+2ab+b2 Factorización por producto notable
- 7. Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a un polinomio como el producto de dos o más factores. Encontrar el polinomio de raíz de unos más complejos. Los ejercicios de factorización ayudan a comprender esta técnica, que se utiliza mucho en las matemáticas y consiste en el proceso de escribir una suma como un producto de ciertos términos. Para factor izar adecuadamente hay que empezar por ver si hay números o letras en común para cada termino. Por ejemplo, la expresión 5x4 -10x3 +25x2 , que contiene tres términos, se puede factor izar notando que la “X” se repite en cada uno, aunque con diferente potencia. En cuanto a los coeficientes numéricos, todos son múltiplos de 5. Entonces el factor común consta: - El producto entre el máximo común divisor de los coeficientes y la menor potencia de la o las letras que aparezcan Mediante la factorización se transforma una expresión algebraica expandida en un producto de factores con el que resulta como trabajar. A2 -b2 = (a+b) (a-b) A2 +2ab+b2 = (a+b)2 A2 -2ab+b2 = (a-b)2 A3 -b3 = (a-b) (a2 +ab+b2 ) A3 +b3 = (a+b) (a2 -ab+b2 )
- 8. Ejercicios resueltos. Ejercicios de suma de expresiones algebraicas. 1- ) efectué las operaciones indicadas y simplifique. (0.7x2 -2xy)+ (3xy-y2 )-(0.3x2 -1.1y2 ) Solución: (0.7x2 -2xy)+ (3xy-y2 )-(0.3x2 -1.1y2 ) = 0.7x2 -2xy+3xy-y2 -0.3x2 -1.1y2 = (0.7x2 -0.3x2 -)+ (-2xy+3xy)+ (y2 -1.1y2 ) = (0.7-0.3) x2 + (-2+) xy+ (-1-1.1) y2 =0.4x2 +xy-2.1y2 Entonces: (0.7x2 -2xy)+(3xy-y2 )-(0.3x2 -1.1y22 ) Es= 0.4x2 +xy-2.1y2 . 2- ) 5x3 -3x2 -6x-4, -8x3 +2x2 -3y+7x2 +9x+1 Por tanto el polinomio resultante Es: -3x3 +6x2 -15x-6 X3 x2 x + 5 - 3 - 6 - 4 - 8 + 2 - 3 + 7- 9+ 1 - 3 + 6 – 15 - 6
- 9. Ejercicios de resta algébrica 1- 3x+2y – 5 restar -4x+y-3 = 3x+2y-5- (-4x+y-3) =3x+2y-5+4x-y+3 = (3x+4x)+ (2y-y)+ (-5+3) =7x+y-2 2- De 4ab+3bc-5ac+7 restar 2-4bc-5ac-ab = 4ab+ 3bc-5ac+7- (2-4bc-5ac-ab) = 4ab+3bc- 5ac+7 -2 +4bc+5ac+ab = (4ab+ab) +(3bc+4bc)+(-5ac+5ac)+ (7-2) =5ab+ 7bc+0ac+5 =5ab + 7bc+5 Ejercicios de multiplication algebraica 1- Multiplicar 3x2 y 4x4 Solución: (3x2)(4x4)= (3.4) (x2.x4) = (12) (x2+5) = 12x7 2- Multiplicar: -2y3 y 3y4
- 10. Solución: (-2y3) (3y4) = (-2.3) (y3.y4) = (-6) (y3+4) = -6y7 Ejercicios de division algebraica: 1- Dividir 1/3x3 -35/36x2y +2/3xy2 -3/8y3 entre 2/x – 3/2y Solución: 2/3x -3/2y / 1/3x3 -35/36x2y +2/3xy2 -3/8y2 -1/3x3 3/4x2y -2/9x2y+2/3xy2 2/9x2y – 1/2xy2 +1/6xy2 – 3/8y3 -1/6xy2 + 3/y3 = 0 2- Dividir 1/6ª2 +5/36ab -1/6b2 entre 1/3a +1/2b Solución: 1/3a +1/2b / 1/6a2 + 5/36ab – 1/6b2 -1/6a2 – 1/4 ab -1/9ab – 1/6b2 1/9ab + 1/6b2 =0
- 11. Ejercicios de producto notable. 1- Si a+b = √5 y ab = 3, calcular (a-b)2 Solución: (a+b)2 – (a-b)2 =4ab A+b = √5 y ab = 3, tenemos: (√5)2 –(a-b)2 = 4(3) 5-(a-b)2 =12 = - (a-b)2 = 12-5 -(a-b)2 = 7 (a-b)2 = -7 2- a+b = 11 y ab = 20 calcular E = √a2 + b2 a2+ b2 +2(20) = 121 a2 + b2 + 40 = 121 a2 +b2 = 121-40 a2 +b2 = 80 E = √a2+ b2 = √81 = 9 Ejercicios de Factorización por producto notable: 1- 24x9 y2 -66 y7 z4 Solución: 6x6 y2 (4x3 -y5 z4 ) 2- A2 (a+b)-2ab(a+b)+b2 (a+b)