Este documento presenta una propuesta de actividad sobre la enseñanza de matemáticas basada en la resolución de problemas. Se proponen dos problemas relacionados con la resolución de triángulos oblicuángulos y se analizan estos problemas según los principios de Polya para verificar su consistencia. Finalmente, se discute cómo esta actividad podría abordar diferentes tipos de conocimiento matemático en los estudiantes.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN<br />FACULTAD DE FILOSOFIA, HUMANDADES Y ARTES<br />DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA<br />PROFESORADO DE MATEMÁTICA<br />CATEDRA: SEMINARIO DE ENSEÑANZA II CICLO LECTIVO: 2011<br />Enseñanza basada en la Resolución de Problemas<br />Actividad<br />1- La educación matemática ha pasado por muchos cambios, sobre todo desde los años 60, hasta llegar a la concepción de que la enseñanza a través de la resolución de problemas (RP) se presenta como el método más efectivo para lograr un aprendizaje activo y transmitir los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.<br />Lo primero es poder determinar si la situación planteada constituye un verdadero problema. Para ello es necesario identificar las condiciones de un problema: aceptación, bloqueo y exploración.<br />Se pide que: en forma invidual elaboren por lo menos dos propuestas de problemas, referidos al tema en estudio, identificando en cada una, las condiciones necesarias.<br />«Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una excusa». (Proverbio chino)<br />Con objeto de determinar la altura de un árbol situado en un lugar inaccesible, se dispone un teodolito en un punto accesible y desde el mismo se lanza una visual al punto más alto del árbol, obteniéndose un ángulo de inclinación de 22º 47'. A continuación, se adelanta el teodolito una distancia de 10 m en dirección al árbol y se vuelve a lanzar otra visual al mismo punto, obteniéndose, en este caso, un ángulo de 31º 19'. Calcula la altura del árbol, considerando que el anteojo del teodolito está a 1.5 m del suelo. <br /> PROBLEMA 1:<br />OBJETIVO: Resolver un triángulo oblicuángulo a partir de los datos proporcionados en el dibujo.<br />PROBLEMA 2:<br />OBJETIVO: Resolver un triángulo oblicuángulo a partir de los datos, asociando esos datos (lados y ángulos) a la posición correcta en el correspondiente dibujo <br />Para calcular la superficie de un campo cuya forma es la de un pentágono irregular (ABCDE), se midieron sus lados :AB = 200m , BC=600m , CD=100m , DE=450m y EA=300m.También se midieron cuatro de sus ángulos : A=80° , B=120° , C=100° y D=110° . ¿Pueden calcular la medida del quinto ángulo? . Dibujen un plano y ubiquen los datos. Tracen las diagonales desde el vértice A , utilicen sus conocimientos de trigonometría para calcular la longitud de cada una.<br />Quedan determinados tres triángulos .Con los datos del problema y los resultados obtenidos se puede calcular una altura y el área de cada triángulo. <br />Sumando las áreas de los tres triángulos se obtiene el área del campo.<br />Contenidos Previos<br />Sistemas de medición de ángulos <br />Clasificación de triángulos<br />Polígonos definición y clasificación <br />Razones trigonométricas <br />Resolución de triángulos rectángulos<br />Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo<br />Propiedad triangular<br />Relación de proporcionalidad<br />Teorema del coseno<br />Teorema del seno<br />A continuación analizaremos los problemas propuestos teniendo en cuenta los tres estados por los que el alumnado debe pasar para poder así clasificarlos como verdaderos problemas. <br />ACEPTACIÓN:<br />Para que esta condición se de, además de que deben resultar atrayentes las propuestas, se sugiere que el docente tenga en cuenta el modo de presentación de la actividad, esto es charlar con los alumnos previamente la importancia de aprender por medio de la resolución de problemas aplicados a distintas situaciones de la vida real, proponerles que lo asuman como un reto personal en consecuencia tendrán que dedicarle tiempo y esfuerzo para lograr resolverlos.<br />Además se considera de importancia detallar los objetivos que se pretenden lograr con la actividad, esto puede ser significativo para los alumnos, que les quede claro a que conocimiento accederán .<br />Considerando los contenidos previos y las sugerencias antes mencionadas los alumnos asumirán el reto, es decir aceptarán lo propuesto, como un desafío.<br />BLOQUEO:<br />El bloqueo en los problemas propuestos se puede producir en la interpretación de los mismos, en el problema 1 , el gráfico simplifica su apreciación , pero la dificultad podría ser que no sepan identificar, ángulo de inclinación, aunque se supone que el alumno trabajo con anterioridad “ángulo de elevación y ángulo de inclinación” , cuando estudió resolución de triángulos rectángulos , temas considerados como contenidos previos. En el problema 2 la dificultad estará dada a la hora de graficar la situación, sobre todo en la ubicación y realización de ángulos.<br />EXPLORACIÓN:<br />Luego de hacer la lectura correspondiente el alumno comienza a interpretar y a relacionar lo que se le pide con sus contenidos previos, es decir comienza a explorar las situaciones planteadas y todo tipo de herramienta que sea viable en solución al problema. Desarrollando así habilidades para resolver problemas que involucran triángulos oblicuángulos, a través del análisis y aplicación de la ley de senos y/o cosenos, con lo cual podrá explorar la realidad, representarla, explicarla e interactuar con ella.<br />2- La enseñanza a través de RP implica tres tipos de interpretaciones:<br />Enseñar para resolver problemas: proponer a los alumnos más problemas, emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias, proponer no sólo ejercicios sino también problemas que promuevan la búsqueda y la investigación.<br />Enseñar sobre la resolución de problemas: enseñanza de la heurística, el objetivo es que los alumnos aprendan y apliquen estrategias para resolver problemas.<br />Enseñar vía la resolución de problemas: esto es enseñar matemática por medio de problemas. <br />Se pide que: a) de acuerdo a lo elaborado en el ítem anterior identifiquen qué tipo de interpretación aplican, justificando su elección.<br /> <br />Los dos problemas antes mencionados sirven para enseñar vía la resolución de problemas, ya que se tiene como objetivo enseñar a resolver triángulos oblicuángulos por medio del teorema del seno y del teorema del coseno. Dándose únicamente propiedades necesarias y los teoremas ,como herramienta para abordar las situaciones planteadas.<br />b) elaboren propuestas que tengan en cuenta las interpretaciones que no se tuvieron en cuenta anteriormente, siempre referidas al tema de matemática en estudio.<br />Si los conceptos resolución de triángulos oblicuángulos a través del teorema del seno y a través del teorema del coseno, ya fueron institucionalizados antes de abordar los problemas 1 y 2 estaríamos en presencia de enseñar sobre la resolución de problemas. <br />Si se cumple que: los alumnos poseen los conceptos antes mencionados, y además de haber adquirido la comprensión teórica de los teoremas el docente haya explicado y ejemplificado los casos que se le pueden presentar y estos problemas vienen propuestos en una guía de actividades donde antes se propusieron problemas tipos, donde el alumno identificó casos y resolvió, estaríamos en presencia de enseñar para resolución de problemas. <br />3- Una vez enunciados los problemas controlar su consistencia aplicando los principios enunciados por G. Polya<br />Para determinar si un problema está bien formulado se les propone que revisen las sugerencias de Polya (1945) sobre las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores: <br />1. COMPRENDER EL PROBLEMA. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático. <br /> - Se debe leer el enunciado despacio. <br /> - ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) - ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos) - Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. - Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación. <br />La actividad se abordará de la siguiente manera: el docente pedirá realizar una lectura pausada y comprensiva de las situaciones planteadas por grupo de no más de 3 alumnos, este paso es muy importante ya que de acuerdo a la lectura que puedan realizar podrán obtener los datos ( lo que se conoce) e incógnitas ( lo que se busca, hacia donde van) de manera correcta , si esto no fuese suficiente y no les resultase sencillo se les sugiere realizar un gráfico para una mejor interpretación. <br />2. TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. <br /> - ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? - ¿Se puede plantear el problema de otra forma? - Imaginar un problema parecido pero más sencillo. - Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida? - ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan? <br />3. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN. También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. <br /> - Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. - ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? - Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? - Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace. - Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo. <br />Si el primer principio planteado por G.Polya , fue realizado correctamente, el alumno visualizará de forma más clara hacia dónde va, que busca y como lo hace, es decir de esta manera podrá encontrar relación entre los datos y lo que se les pide e identificar como y que teorema deberá emplear en cada situación. Si esto no fuese así el docente ayudará a clarificar sus dudas invitando y acompañando a que lo realice como lo pensó y si no resulta que justifique por que ese no es el camino y deberá continuará ensayando otras posibilidades, hasta llegar a la correcta.<br />4. COMPROBAR LOS RESULTADOS. Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver. - Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. - Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible? - ¿Se puede comprobar la solución? - ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? - ¿Se puede hallar alguna otra solución? - Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. - Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas. <br />Es muy importante inculcar en los alumnos que cada problema que se aborda no termina cuando encontramos lo que podamos llegar a pensar que es la solución del mismo. <br />Por ejemplo si se nos plantea algo muy sencillo como “si dos lapiceras cuestan $ 4.50 y se nos pregunta ¿cuál será el precio de 5 lapiceras? a lo que se puede responder por error al realizar las operaciones correspondientes $112,50 , aunque parezca absurdo y poco probable de ocurrir, los docentes se encuentran a menudo con respuestas como estas, esto se debe a una mala interpretación y contextualización del problema, es por ello que el docente debe pedir la repuesta justificando cada paso. Algunas preguntas que ayudarán a una mejor comprobación de la respuesta obtenida <br /> a) ¿Utiliza todos los datos pertinentes? b) ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? c) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? d) ¿Puede quedar concretada en caso particulares? e) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? f) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido<br />R.P.SANCHEZPAOLA.doc<br />Análisis de la propuesta de actividad relacionada con la aplicación de la resolución de problemas.<br />indicadorsinoCómo se evidenciaconocimiento olvidadoxComo el conocimiento olvidado es un tipo de conocimiento que desaparece de la mente de los alumnos, fue aprendido y usado pero luego de un tiempo no puede ser recuperado , este problema puede inducirlo, púes se le pide al alumno la construcción de un polígono irregular , también que calcule el área de cada triángulo, es decir puede tener dificultad a la hora de graficar como también dificultad en calcular la altura en lo que tendrá que hacer uso de los conceptos previos: construcción de polígonos y de las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo y justamente en estos conceptos previos el conocimiento olvidado puede presentarse. conocimiento inertexComo el conocimiento inerte se expresa en la imposibilidad de utilizar lo aprendido en situaciones nuevas, puede suceder que el alumno reconozca que debe aplicar, el teorema del coseno, ya que seguramente estuvo trabajando anteriormente en la resolución de triángulos oblicuángulos y en los casos que se le pueden presentar. pero no es la solución al problema, hay una serie de pasos para llegar a ella, también se debe utilizar razones trigonométricas de un triángulo rectángulo para calcular la altura, y así determinar el área de cada triángulo, para luego llegar a dar la repuesta a lo que se pide que es el área del polígono irregular.conocimiento ingenuoxNo se da el objetivo de la propuesta es que los alumnos logren darle un sentido a lo que se les enseña, que sea para ellos un aprendizaje significativo , el acento está puesto en sus procedimientos, en el aprendizaje activo y en que puedan encontrar una relación de la matemática con el mundo real.conocimiento ritualxEl conocimiento ritual si se da, una vez que los alumnos calculan el área de un triángulo, continúan aplicando de la misma forma mecánica el procedimiento a los otros dos triángulos. manejo insuficiente de los problemas matemáticosxSe manifiesta cuando el alumno recurre a la aplicación mecánica de fórmulas sin analizar los resultados que obtiene inferencias pobres a partir de la lecturaxPuede que el alumno al no hacer una lectura comprensiva del problema, no llegue a interpretar bien lo que se le pide ya que es un problema en la que debe realizar 5 pasos para dar su solución: 1º Construcción, 2º Calcular longitud de la diagonal,3º Cálculo de la altura de cada triángulo, 4º Cálculo de área de cada triángulo y 5º Cálculo del área del polígono irregular, en los que puede cometer y arrastrar errores de cálculo con las medidas que trabaja.estrategias que sólo apuntan a enunciar los conocimientos en los escritos, sin una reconstrucción creativaxNo se da ya que es propuesto en un contexto en los que intervienen ángulos y triángulos, a través de la construcción, análisis y cálculo de sus elementos y propiedades, para que el alumno desarrolle habilidades de razonamiento, argumentación, justificación y comunicación de conceptos y resultadosrepetición mecánicaxSe da al repetir el mismo procedimiento en cada uno de los tres triángulos.<br />Reformulación de la propuesta<br />indicador A través de:Nº1Información claraLos agrimensores y los cartógrafos trabajan con un proceso que llaman triangulación, para conocer la superficie de cualquier terreno irregular, pueden medir la distancias que necesitan y también los ángulos(con un teodolito) dividen al terreno en triángulos y, por medio de la trigonometría encuentran los datos necesarios para calcular el área de cada uno. Sumando las áreas de los triángulos obtienen la del terreno. Veamos un ejemplo de la vida real. Para calcular la superficie de un campo cuya forma es la de un pentágono irregular (ABCDE), se midieron sus lados :AB = 200m , BC=600m , CD=100m , DE=450m y EA=300m.También se midieron cuatro de sus ángulos : A=80° , B=120° , C=100° y D=110° . Actividad Nº1a/¿Puede calcular la medida del quinto ángulo? . b/ Dibuje un plano y ubique los datos. c/ Trace las diagonales desde el vértice A , utilice sus conocimientos de trigonometría para calcular la longitud de cada una.Quedan determinados tres triángulos .Con los datos del problema y los resultados obtenidos se puede calcular una altura y el área de cada triángulo. Sumando las áreas de los tres triángulos se obtiene el área del campo.Actividad Nº2: Busque en forma grupal información acerca de que es un teodolito sus aplicaciones y funciones Actividad Nº3: Desafío .Utilizando el programa geogebra construya distintas figuras y compare los resultados obtenidos utilizando el programa con los resultado que se obtiene al realizarlo de forma manual como en la actividad Nº1.Actividad Nº4Exponer en forma grupal información y conclusiones obtenidas en las actividades Nº 2 y 3.Práctica reflexiva El problema se presenta en un contexto que permite al alumno la oportunidad de reflexionar sobre lo que aprende. Aplicándose el tema de estudio a un hecho concreto de la vida realMotivaciónSe hace una conexión de la matemática con otras áreas, lo que permitirá al alumno informarse, y motivarse, ya que para ellos la matemática es la mayoría de las veces una serie de ejercicios sin sentidos.principiosInstrucción didácticaEstá dada en la presentación precisa y clara que brinda el enunciado. EntrenamientoA través de la búsqueda de información y uso del programa geogebra en la construcción y calculo de distintas áreas al variar las figuras.Enseñanza socráticaSe promueve a la reflexión a través de las preguntas y a través de las distintas actividades que se plantean ayudando al alumno a tomar conciencia de las herramientas necesarias para acceder al conocimiento. Esto permite generar en ellos una fuerte motivación.estrategiasImágenes mentalesConstrucción de ángulos y triángulos que determinan el polígono irregular.Temas generadoresResolución de triángulos oblicuángulos, teoremas del seno y del coseno.Actividades de comprensiónexplicación ejemplificaciónaplicaciónjustificacióncomparación y contrasteLas actividades de comprensión que se aplican en esta situación problemática son: explicación, ejemplificación, aplicación y justificación. Explicación y justificación de resultados obtenidos, Ejemplificación y aplicación al relacionar con otras áreasNiveles de comprensiónNivel 1: contenidoNivel 2: Resolución de problemasPúes en el problema planteado puede evidenciarse la producción de representaciones que facilitan actitudes y estrategias que facilitan la comprensión. Nivel 3: epistémicoSe puede generar explicaciones y justificaciones en relación al tema en estudio.Nivel 4: investigaciónRecursos tecnológicosEl docente pide a los alumnos que busquen información sobre que es un teodolito, para que sirve y su clasificación, esto además de informarse le va a permitir comprender el enunciado del problema.Uso de programa GeoGebra , diseñado para interactuar dinámicamente en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Algebra y el Análisis o Cálculo. Puede ser usado para Matemáticas, Fisica, Dibujo Técnico,... Fue especialmente diseñado para utilizarlo en la enseñanza a nivel de la escolaridad media. En GeoGebra se puede hacer construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas -mediante el ratón o con instrucciones en el teclado-, y todo eso modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto depende B de otro A, al modificar A, también se actualiza B.<br />