Fatiga (Teórica-14a - Diagrama de Smith)

1. Fatiga de los Materiales
(Diagrama de Smith)
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Veamos el concepto
de esfuerzos cíclicos…
La mayoría de los elementos de máquinas están
expuestas durante su vida útil a esfuerzos variables que
se repiten un gran número de veces (ciclos).
Sea por ejemplo, un eje que soporta las ruedas de un
vagón de ferrocarril. El tramo central está sometido a la
acción de un momento flector constante de intensidad
M = P.c, por lo que en una determinada fibra, se generan
tensiones normales que cambiarán continuamente a
medida que el eje gira, dependiendo del valor de la
coordenada “y”, de la fibra, la que varía de modo
senoidal con el ángulo (.t) de giro del conjunto eje y
ruedas. Según la fórmula de Navier resulta entonces:
𝝈 =
𝑴
𝑱𝒙
∙ 𝒚 =
𝑷 ∙ 𝒄
𝑱𝒙
∙
𝒅
𝟐
∙ 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕

3. Veamos el concepto
de esfuerzos cíclicos…
La mayoría de los elementos de máquinas están
expuestas durante su vida útil a esfuerzos variables que
se repiten un gran número de veces (ciclos).
Sea por ejemplo, un eje que soporta las ruedas de un
vagón de ferrocarril. El tramo central está sometido a la
acción de un momento flector constante de intensidad
M = P.c, por lo que en una determinada fibra, se generan
tensiones normales que cambiarán continuamente a
medida que el eje gira, dependiendo del valor de la
coordenada “y”, de la fibra, la que varía de modo
senoidal con el ángulo (.t) de giro del conjunto eje y
ruedas. Según la fórmula de Navier resulta entonces:
𝝈 =
𝑴
𝑱𝒙
∙ 𝒚 =
𝑷 ∙ 𝒄
𝑱𝒙
∙
𝒅
𝟐
∙ 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
Como consecuencia de las cargas variables, cualquier componente
estructural se puede romper luego de cierto período de servicio, sin
que las tensiones alcancen el valor de la tensión de rotura, e
inclusive, ni siquiera el límite de elasticidad de ese mismo material
ensayado con carga estática.

4. Al fenómeno de decrecimiento de la resistencia del material
con los esfuerzos variables con el tiempo, se lo denomina
“fatiga” y a los ensayos de materiales con este tipo de carga se
los denomina “ensayos de fatiga”.
La ley de variación de la tensión y de la deformación en función
del tiempo puede tener diversas formas, como por ejemplo la
que muestra la figura…
…sin embargo, para el estudio se puede
utilizar una sinusoide cuyo máximo y
mínimo coincidan con los del ciclo en
estudio.

5. Distinguiremos dos tipos fundamentales
de solicitaciones repetitivas…
• cargas pulsatorias,
• cargas oscilantes.
En las primeras, la tensión varía
entre dos valores extremos sin
cambiar de signo.
En cambio, para las segundas los
valores extremos son de distinto
signo.
Cada uno de ellos admite un caso
particular, lo que nos conduce a los
cuatro tipos de cargas:

6. Distinguiremos dos tipos fundamentales
de solicitaciones repetitivas…
• cargas pulsatorias,
• cargas oscilantes.
En las primeras, la tensión varía
entre dos valores extremos sin
cambiar de signo.
En cambio, para las segundas los
valores extremos son de distinto
signo.
Cada uno de ellos admite un caso
particular, lo que nos conduce a los
cuatro tipos de cargas:
• Carga pulsatoria (Tipo I).
• Carga pulsatoria intermitente (se caracteriza por ser nula una de
las tensiones extremas) (Tipo II).
• Carga oscilante (Tipo III).
• Carga oscilante alternada (se caracteriza por ser las tensiones
extremas opuestas). (Tipo IV).

7. Definiremos como Resistencia a la Fatiga
(W) a la máxima amplitud de la tensión
dinámica…
…que superpuesta en ambos
sentidos a la tensión media
puede actuar un número
ilimitado de reiteraciones, sin
provocar la rotura del material
ni una deformación plástica
superior a la admisible.
Ensayando probetas de iguales
dimensiones, con tensiones que varían de
acuerdo a un ciclo alternativo puro y con
diferente intensidad para cada probeta,
se obtienen resultados que se pueden
representar en un diagrama (, t) o en
uno (,N), siendo t el tiempo ó N el
número de ciclos que produce la falla.
Estos ensayos fueron realizados originalmente por Wöhler para solicitación alternativa pura y
a las curvas obtenidas se los conoce con el nombre de curvas de Wöhler.

8. Veamos ahora el diagrama
de Smith
Distintos investigadores han propuesto
diversos diagramas para resumir los
valores de las resistencias a fatiga
obtenidas mediante las curvas de
Wöhler, para coeficientes de asimetría
de ciclo “r” comprendidos entre los
valores (-1) y (+1).
El más difundido es el “Diagrama de
Smith”, el que se muestra en la figura
Para un material como un acero
común de construcción el diagrama
es simétrico para el tercer cuadrante
con relación al primero, por lo que,
sólo reproduciremos la parte
correspondiente al primero de ellos.

9. Para su construcción se procede
de la forma siguiente…
…sobre un par de ejes coordenados
ortogonales se llevan en abscisas los valores de
las tensiones medias m y en ordenadas los de
las tensiones superior max e inferior min
(correspondientes a las respectivas tensiones
medias)
m

max
C

min
C’
En consecuencia, los extremos de las
ordenadas (max y min) constituyen dos
lugares geométricos que son las curvas límites
de las tensiones superiores e inferiores.
Las ordenadas definidas por una recta a 45°
que pasa por el origen, corresponden, lo
mismo que las respectivas abscisas, a las
tensiones medias m y dicha recta divide en
partes iguales a la doble amplitud a. Es decir,
que la distancia de cada curva límite a la recta
mencionada corresponde al valor de la tensión
variable o dinámica a, correspondientes a las
distintas resistencias de fatiga.
a
a
C0
m
 +

10. Para su construcción se procede
de la forma siguiente…
Para una carga oscilante alternada, caso IV,
tenemos:
m

max
C

min
C’
a
a
C0
m
 +
M

R
𝝈𝒎 = 𝟎
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝝈𝑨 = 𝝈𝑭
…y su representación en el diagrama de
Smith corresponde a los puntos A y A’.
A
A’

A
=

max

A
=

max
Para la carga de rotura estática, se cumple:
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝝈𝑹 = 𝝈𝒎
…y su representación en el diagrama de
Smith corresponde al punto M.
Para una carga pulsatoria intermitente, caso
II, tenemos: 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝑼
𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝟎
𝝈𝒎 =
𝟏
𝟐
𝝈𝒎𝒂𝒙
…y su representación en el diagrama de Smith corresponde a los puntos
B y B’.

U
=

max
𝟏
𝟐
𝛔
𝐔
𝟏
𝟐
𝛔
𝐔
B
B’
Para obtener los puntos intermedios, se recurre a los resultados de
ensayos de fatiga variando m y a
Carga oscilante
Tipo III
Carga pulsatoria
Tipo I
Carga oscilante alternada
Tipo IV
Carga pulsatoria intermitente
Tipo II

11. Para el dimensionamiento de
fatiga, la experiencia…
M

R
…indica que no conviene que la tensión
superior supere el límite de fluencia del
material de modo que, en la práctica, el
diagrama de Smith resulta modificado como
se indica:

fl
Definimos los puntos N, M y M’
…y el diagrama de Smith modificado resulta:
M’
M
m
 +

A
=

max

A
=

max
A
A’
N
Si bien el diagrama está constituido por dos
curvas A-M y A’-M’, la reducida curvatura de
las mismas hace que puedan ser
reemplazadas por segmentos de recta sin
mayor error.

12. Esto simplifica notablemente el
trazado del diagrama de Smith…
m
 +

F

F
A
A’
Admitiendo que la tensión variable A
correspondiente a la resistencia pulsatoria es
del orden del 80% de la resistencia a las
oscilaciones F …
B
… bastará conocer los valores de fl y F
(límites de fluencia y resistencia de fatiga
para el Caso IV – carga oscilante alternativa)
Luego llevamos sobre el eje de abscisas, el
segmento
𝑶𝑩′ = 𝝈𝒎 = 𝟎, 𝟖 ∙ 𝝈𝑭
B’
 0,8 F
0
Sobre B’ levantamos una perpendicular sobre
la que llevamos el segmento
𝑩′𝑩 = 𝟐 ∙ 𝑶𝑩′ = 𝟏, 𝟔 ∙ 𝝈𝑭

fl
S D
Definimos los puntos S, A, A’ y D

13. Esto simplifica notablemente el
trazado del diagrama de Smith…
m
 +

F

F
A
A’
Admitiendo que la tensión variable A
correspondiente a la resistencia pulsatoria es
del orden del 80% de la resistencia a las
oscilaciones F …
B

fl
S
… bastará conocer los valores de fl y F
(límites de fluencia y resistencia de fatiga
para el Caso IV – carga oscilante alternativa).
Luego llevamos sobre el eje de abscisas, el
segmento
𝑶𝑩′ = 𝝈𝒎 = 𝟎, 𝟖 ∙ 𝝈𝑭
B’
 0,8 F
0
Sobre B’ levantamos un perpendicular sobre
la que llevamos el segmento
𝑩′𝑩 = 𝟐 ∙ 𝑶𝑩′ = 𝟏, 𝟔 ∙ 𝝈𝑭
La recta AB, en su intersección con la horizontal por S determina el
punto C…
C
… y con su simétrico C’ respecto de la recta a 45°, unido con D y A’
completamos el diagrama.
D
C’
Definimos los puntos S, A, A’ y D

14. Por medio de ensayos de laboratorio
se ha determinado…
Enunciado
…que el acero que compone el perfil de la figura
posee las siguientes características: fl = 4000 Kg/cm2;
R = 6000 Kg/cm2 y A ≈ ½R = 3000 Kg/cm2. Para las
condiciones de vínculo y carga indicadas se pide:
a) Construir el Diagrama de Smith modificado.
b) Hallar las ecuaciones de los esfuerzos máximos,
esfuerzos medios y esfuerzos mínimos.
c) Hallar los esfuerzos admisibles para carga
estática, carga intermitente y carga alternante.
d) Para la carga dada determinar en cada caso (carga
actuando estáticamente, carga actuando en
forma intermitente y carga actuando en forma
alternante) si hay o no falla del material.
Considerar fl = adm.

15. fl =C
45°
Realizamos el diagrama
de Smith modificado…
Resolución
m
 +
R (6000)
A (3000)
A’ (-3000)
fl (4000) C
B’
0
B
A
A’
M
𝝈𝒎𝒂𝒙 =
𝟏
𝟐
𝝈𝒎 + 𝟑𝟎𝟎𝟎
𝝈𝒎𝒊𝒏 =
𝟑
𝟐
𝝈𝒎 − 𝟑𝟎𝟎𝟎
𝝈𝒎𝒊𝒏 =
𝟏
𝟐
𝝈𝒎 + 𝟐𝟎𝟎𝟎
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝒇𝒍
Medimos del gráfico los esfuerzos
admisibles para carga estática (C ),
carga intermitente (B ) y carga
alternante (A )
B
A
Unimos A – M y A’ - M
Quedan definidos los puntos A,
A’, C y M
Trazando la vertical que pasa por
el punto donde A’ – M corta al eje
de abscisas, quedan definidos los
puntos B y B’. Trazamos el
diagrama de Smith modificado
Trazamos la recta a 45° y
horizontales por R, fl, A y A’
Las ecuaciones de sus lados son:

16. Verificamos para los distintos casos
si hay o no falla del material…
Resolución
De la tabla de perfiles I300 DIN 1025
obtenemos: W = 653 cm3
La sección más solicitada será el
empotramiento que soporta un
momento flexor que podemos calcular
como:
𝑴𝒎𝒂𝒙 = 𝑭 ∙ 𝑳 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎
𝑴𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎
Carga estática
𝝈𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑾
=
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎
𝟔𝟓𝟑 𝒄𝒎𝟑
𝝈𝒎𝒂𝒙 ≅ 𝟑𝟎𝟔𝟑
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐 < 𝝈𝒂𝒅𝒎
No hay falla estática del material

17. Para un par flexor variable entre
dos valores límites Mmáx y Mmin…
Resolución
…dimensionaremos el elemento según el criterio de
Soderberg. Así se tiene:
𝑴𝒎 =
𝟏
𝟐
𝑴𝒎𝒂𝒙 + 𝑴𝒎𝒊𝒏
𝝈𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑾
𝝈𝒎𝒊𝒏 =
𝑴𝒎𝒊𝒏
𝑾
𝒒 =
𝝈𝑨
𝝈𝑭𝒍
=
𝟑𝟎𝟎𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
𝟒𝟎𝟎𝟎
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐
= 𝟎, 𝟕𝟓
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑾 ∙ 𝝈𝒂𝒅𝒎
= 𝒒 + 𝟏 − 𝒒 ∙
𝑴𝒎
𝝈𝒂𝒅𝒎
→ 𝑾 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝝈𝒂𝒅𝒎
𝟏
𝒒
−
𝑴𝒎
𝑴𝒎𝒂𝒙
∙
𝟏
𝒒
− 𝟏
coeficiente que modificará el valor de la tensión
máxima para momento flexor variable
Ver Tutorial “Fatiga (Criterio de Soderberg)”

18. Para un par flexor variable entre
dos valores límites Mmáx y Mmin…
Resolución
En este caso tendremos que:
Carga intermitente
𝑴𝒎𝒊𝒏 = 𝟎
𝑴𝒎 =
𝟏
𝟐
𝑴𝒎𝒂𝒙
→ 𝑾 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝝈𝒂𝒅𝒎
𝟏, 𝟏𝟔𝟔𝟔 …
→ 𝝈𝒎𝒂𝒙=
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑾
𝟏, 𝟏𝟔𝟔𝟔 … =
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎
𝟔𝟓𝟑 𝒄𝒎𝟑
∙ 𝟏, 𝟏𝟔𝟔𝟔 … ≅ 𝟑𝟓𝟕𝟑
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐 < 𝝈𝒂𝒅𝒎
No hay falla por fatiga del material
Carga alternante
En este caso tendremos que:
𝑴𝒎𝒂𝒙 = −𝑴𝒎𝒊𝒏
𝑴𝒎 = 𝟎
→ 𝑾 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝝈𝒂𝒅𝒎
𝟏, 𝟑𝟑𝟑 …
→ 𝝈𝒎𝒂𝒙=
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑾
𝟏, 𝟑𝟑𝟑 … =
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎
𝟔𝟓𝟑 𝒄𝒎𝟑 ∙ 𝟏, 𝟑𝟑𝟑 … ≅ 𝟒𝟎𝟖𝟒
𝒌𝒈
𝒄𝒎𝟐 > 𝝈𝒂𝒅𝒎
Hay falla por fatiga del material

19. Bibliografía
Recomendada
(en orden alfabético)
 Estabilidad II - E. Fliess
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko

20. Muchas Gracias