Solicitaciones Combinadas - Flexión y Corte (Vigas compuestas)

1. Estabilidad IIb - Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería
Mecánica e Ingeniería Naval y
Mecánica de la Facultad de Ingeniería
de la Universidad de Buenos Aires
Solicitaciones
Combinadas
Estudio de Casos
Flexión y Corte: Vigas compuestas
(Subterráneos de Bs. As. –
Estación Perú – Línea A)

2. Al estudiar la fórmula de
Jouravski – Colignon hemos
visto que…
…en una sección transversal de una viga sometida a flexión y corte aparecen tensiones
tangenciales.
La existencia de estas tensiones está relacionada a la aparición de esfuerzos rasantes
longitudinales, los cuales se absorben internamente por la propia continuidad de la pieza.
Veamos que sucede con estos esfuerzos en
los casos de vigas compuestas, vigas cuya
sección transversal queda conformada
mediante diferentes elementos unidos
entre sí. (viga cajón de madera unidos
mediante clavos, sección doble T de acero
formada por perfiles angulares y
planchuelas unidos mediante bulones).
Estos elementos (clavos, bulones, etc.) deben cumplir la misión de transmitir los esfuerzos
rasantes longitudinales entre los distintos elementos constitutivos de la pieza de manera tal
que funcionen en conjunto.

3. …y supongamos que la viga está constituida por una
única pieza, las tensiones que se generan serán:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑃 ∙ 𝐿
𝑊
𝑛
=
6 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿
𝑏 ∙ ℎ2
Consideremos ahora que la viga está formada por cuatro
láminas superpuestas, las cuales no están vinculadas
entre sí.
Como las láminas no tienen fricción entre si, cada una de
ellas se flexiona independientemente. La fuerza exterior
que corresponde a cada lámina es P/4, con lo que la
tensión máxima en cada una de ellas será:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑃
4
∙ 𝐿
𝑊
𝑛
=
6 ∙
𝑃
4
∙ 𝐿
𝑏 ∙
ℎ
4
2 =
6 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿
𝑏 ∙ ℎ2 ∙ 4
Analicemos una ménsula
con una carga concentrada
en el extremo…

4. …se observa que la barra trabajará como una unidad, en forma
similar a la primera situación. Lo que ocurre es que los pernos,
trabajando al corte, absorben los esfuerzos rasantes
longitudinales.
𝐻 = 𝜏 ∙ 𝑏 =
𝑄 ∙ 𝑆𝑛
∗
𝐽𝑛 ∙ 𝑏
∙ 𝑏 =
𝑄 ∙ 𝑆𝑛
∗
𝐽𝑛
Si las láminas se unen con
pernos rígidos…
El esfuerzo rasante se define como el producto de las tensiones
tangenciales por el ancho b de la sección en la superficie de
deslizamiento.

5. …se observa que la barra trabajará como una unidad, en forma
similar a la primera situación. Lo que ocurre es que los pernos,
trabajando al corte, absorben los esfuerzos rasantes
longitudinales.
𝐻 = 𝜏 ∙ 𝑏 =
𝑄 ∙ 𝑆𝑛
∗
𝐽𝑛 ∙ 𝑏
∙ 𝑏 =
𝑄 ∙ 𝑆𝑛
∗
𝐽𝑛
Si las láminas se unen con
pernos rígidos…
El esfuerzo rasante se define como el producto de las tensiones
tangenciales por el ancho b de la sección en la superficie de
deslizamiento.
…que resulta ser un esfuerzo por unidad de longitud de eje de la pieza y depende del
esfuerzo de corte, del momento de inercia de la sección y del momento estático con
respecto al eje neutro de la parte de la sección que tiende a separarse del conjunto.
𝐻1 = 𝜏1 ∙ 𝑏 =
𝑄 ∙ 𝑆𝑛
1
𝐽𝑛
𝐻2 = 𝜏2 ∙ 𝑏 =
𝑄 ∙ 𝑆𝑛
2
𝐽𝑛

6. …el esfuerzo rasante que le corresponde según
su zona de influencia.
𝑇 = 𝐻 ∙ 𝑒
Cada elemento de unión que
se coloca debe absorber…
Si se usan bulones, por ejemplo:
𝑇 = 𝐻 ∙ 𝑒 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝐵𝑢𝑙ó𝑛 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝐵𝑢𝑙ó𝑛 ∙ 𝑛
…siendo n: cantidad de bulones en paralelo en
una misma sección.
Si se elige el diámetro de los bulones puede calcularse la separación a que deben colocarse,
o bien, si se establece esta separación puede determinarse el diámetro necesario.
𝐻 ∙ 𝑒 =
𝑄 ∙ 𝑆𝑛
∗
𝐽𝑛
∙ 𝑒 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝐵𝑢𝑙ó𝑛 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝐵𝑢𝑙ó𝑛 ∙ 𝑛 =
𝜋𝑑2
4
∙ 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝐵𝑢𝑙ó𝑛 ∙ 𝑛

7. La viga laminada de la figura está
formada por dos viguetas unidas por
pegamento…
Si el esfuerzo cortante admisible del pegante es de 14 Kg/cm2,
calcular el valor de la carga P admisible que puede aplicarse en el
extremo libre de la viga para que las 2 viguetas no se despeguen:
Problema 1
Padm
1800 cm 10 cm
7 cm
7 cm
Q = Padm
Para esta solicitación, el diagrama de
esfuerzos de corte será:

8. La viga laminada de la figura está
formada por dos viguetas unidas por
pegamento…
Si el esfuerzo cortante admisible del pegante es de 14 Kg/cm2,
calcular el valor de la carga P admisible que puede aplicarse en el
extremo libre de la viga para que las 2 viguetas no se despeguen:
Problema 1
Padm
1800 cm 10 cm
7 cm
7 cm
Q = Padm
Para esta solicitación, el diagrama de
esfuerzos de corte será:
…las tensiones tangenciales de corte vendrán dadas por la expresión
de Jouravski:
y
x
x
y
x
x
yz
b
J
S
Q
b
J
S
dz
dM






*
*


9. 𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝟑𝑸
𝟐𝒃𝒉
= 𝟏, 𝟓 ∙
𝑷𝒂𝒅𝒎
𝑨
≤ 𝟏𝟒
𝑲𝒈
𝒄𝒎𝟐
…y para la sección
rectangular será:
y
x
x
y
x
x
yz
b
J
S
Q
b
J
S
dz
dM






*
*

Considerando una capa de fibras distante y del eje
neutro se tiene:
𝑆𝑥
∗
=
𝑦
ℎ
2
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑦
ℎ
2
𝑏𝑦 ∙ 𝑑𝑦 =
𝑏𝑦2
2
𝑦
ℎ
2
=
𝑏
2
ℎ2
4
− 𝑦2
además: 𝐽𝑥 =
𝑏ℎ3
12
luego resulta:
𝜏 =
𝑄 ∙
𝑏
2
ℎ2
4
− 𝑦2
𝑏ℎ3
12
∙ 𝑏
= −
6𝑄
𝑏ℎ3
∙ 𝑦2 +
3𝑄
2𝑏ℎ
Al variar y de 0 a ± h/2 los correspondientes
valores de la tensión de corte  dibujan una
parábola. Para y = ± h/2, o sea en las fibras
más alejadas del eje neutro xx, se tiene  = 0 ;
y para y = 0 es:
Nosotros debemos garantizar que el
esfuerzo cortante máximo actuante no
sobrepase el esfuerzo cortante admisible
del pegamento. Por lo tanto:
𝑷𝒂𝒅𝒎 = 𝟏𝟑𝟎𝟔, 𝟔𝟕 𝑲𝒈
Para esta solicitación, el diagrama de
esfuerzos de corte será:
Si el esfuerzo cortante admisible del pegante es de 14 Kg/cm2,
calcular el valor de la carga P admisible que puede aplicarse en el
extremo libre de la viga para que las 2 viguetas no se despeguen:
Padm
1800 cm 10 cm
7 cm
7 cm
Q = Padm
…las tensiones tangenciales de corte vendrán dadas por la expresión
de Jouravski:
Problema 1

10. Se construye una viga cajón con 4
tablones unidos por pernos como se
ve en la figura…
Si la fuerza cortante máxima que debe soportar la viga es de 3KN
calcular el espaciamiento máximo emax entre los pernos sabiendo que
cada perno es capaz de soportar una fuerza de corte de 0,5KN.
Problema 2
Q = 3 KN
Para esta solicitación, el diagrama de
esfuerzos de corte será:
3 KN
1800 cm
5 cm
5 cm
24 cm
22 cm
4 cm
4 cm
emax
0,5 KN
0,5 KN
perno

11. Se construye una viga cajón con 4
tablones unidos por pernos como se
ve en la figura…
…las tensiones tangenciales de corte vendrán dadas por la expresión
de Jouravski:
y
x
x
y
x
x
yz
b
J
S
Q
b
J
S
dz
dM






*
*

Si la fuerza cortante máxima que debe soportar la viga es de 3KN
calcular el espaciamiento máximo emax entre los pernos sabiendo que
cada perno es capaz de soportar una fuerza de corte de 0,5KN.
Problema 2
Q = 3 KN
Para esta solicitación, el diagrama de
esfuerzos de corte será:
3 KN
1800 cm
5 cm
5 cm
24 cm
22 cm
4 cm
4 cm
emax
0,5 KN
0,5 KN
perno

12. y
x
x
y
x
x
yz
b
J
S
Q
b
J
S
dz
dM






*
*

Calculamos las
características
geométricas de la
sección…
𝑆▂
∗
= 22 𝑐𝑚 ∙ 5 𝑐𝑚 ∙
1
2
5 𝑐𝑚
Si la fuerza cortante máxima que debe soportar la viga es emax entre
los pernos sabiendo que de 3KN calcular el espaciamiento máximo
cada perno es capaz de soportar una fuerza de corte de 0,5KN.
Problema 2
Q = 3 KN
Para esta solicitación, el diagrama de
esfuerzos de corte será:
3 KN
1800 cm
5 cm
5 cm
24 cm
22 cm
4 cm
4 cm
emax
0,5 KN
0,5 KN
perno
𝐽𝑥 =
22 𝑐𝑚 ∙ 5 + 24 + 5 𝑐𝑚
3
12
−
22 − 4 − 4 𝑐𝑚 ∙ 24 𝑐𝑚 3
12
⎧
⎨
⎩
𝑏 = 4 𝑐𝑚 +4 𝑐𝑚
𝑆𝑥
∗
= 1595 𝑐𝑚3
𝑏 = 8 𝑐𝑚
𝐽𝑥 = 55929,33 𝑐𝑚4
plano de corte
…y siendo Q = 3 KN resulta:
𝝉𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒏𝒕𝒆 =
𝟑 𝑲𝑵 ∙ 𝟏𝟓𝟗𝟓 𝒄𝒎𝟑
𝟓𝟓𝟗𝟐𝟗, 𝟑𝟑 𝒄𝒎𝟒 ∙ 𝟖 𝒄𝒎
= 𝟏, 𝟎𝟕 × 𝟏𝟎𝟓
𝑵
𝒎𝟐
…para el plano longitudinal de corte de los pernos

13. El área de
influencia de cada
perno será:
𝒆𝒎𝒂𝒙
𝒆𝒎𝒂𝒙
𝟐
𝒆𝒎𝒂𝒙
𝟐
𝒆𝒎𝒂𝒙
Á𝑟𝑒𝑎𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚2
= 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∙ 𝑒𝑚𝑎𝑥 = 0,04 𝑚 ∙ 𝑒𝑚𝑎𝑥
…y siendo:
𝐹𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝜏𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 ∙ Á𝑟𝑒𝑎𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 → 500 𝑁 = 1,07 × 105
𝑁
𝑚2
∙ 0,04 𝑚 ∙ 𝑒𝑚𝑎𝑥
…resulta:
𝑒𝑚𝑎𝑥 =
𝐹𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑛𝑜
𝜏𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟
=
500 𝑁
1,07 × 105 𝑁
𝑚2 ∙ 0,04 𝑚
= 0,116 𝑚 ≅ 11 𝑐𝑚

14. Veamos el siguiente
ejemplo:
Problema 3
La estructura de acero
mostrada, cuya sección se
encuentra formada por dos
perfiles UPN (DIN 1026)
(espalda con espalda) va a
ser sometida a una carga P.
Teniendo en cuenta la flexión
y el corte, y empleando los
datos indicados en la tabla,
se solicita:
• Determinar si la estructura será adecuada
• En caso de no resultar adecuada la estructura, diseñar el espesor e de las platabandas de
refuerzo (ver figura inferior)
• Determinar la máxima separación p entre los pernos de unión, cuyos diámetro y tensión
tangencial admisible son, respectivamente, d y 1adm

15. Veamos el siguiente
ejemplo:
Problema 3
La estructura de acero
mostrada, cuya sección se
encuentra formada por dos
perfiles UPN (DIN 1026)
(espalda con espalda) va a
ser sometida a una carga P.
Teniendo en cuenta la flexión
y el corte, y empleando los
datos indicados en la tabla,
se solicita:
• Determinar si la estructura será adecuada
• En caso de no resultar adecuada la estructura, diseñar el espesor e de las platabandas de
refuerzo (ver figura inferior)
• Determinar la máxima separación p entre los pernos de unión, cuyos diámetro y tensión
tangencial admisible son, respectivamente, d y 1adm

16. Veamos como está
solicitada la estructura:
Podemos ver que la sección
C es la más solicitada a
flexión y las comprendidas
entre C y B las más
solicitadas a corte.
Como el corte genera
tensiones tangenciales y la
flexión tensiones normales,
estarán orientadas a 90°
unas de las otras y por lo
tanto deberán tratarse en
forma vectorial.
Observamos que la sección
más comprometida es la
que se encuentra un dx a la
derecha de C, dónde
resulta:
𝑸𝒎𝒂𝒙 =
𝑭 ∙ 𝒂
𝑳
𝑴𝒎𝒂𝒙 =
𝑭 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃
𝑳

17. Veamos como está
solicitada la estructura:
Podemos ver que la sección
C es la más solicitada a
flexión y las comprendidas
entre C y B las más
solicitadas a corte.
Como el corte genera
tensiones tangenciales y la
flexión tensiones normales,
estarán orientadas a 90°
unas de las otras y por lo
tanto deberán sumarse en
forma vectorial.
Observamos que la sección
más comprometida es la
que se encuentra un dx a la
derecha de C, dónde
resulta:
𝑸𝒎𝒂𝒙 =
𝑭 ∙ 𝒂
𝑳
𝑴𝒎𝒂𝒙 =
𝑭 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃
𝑳
…verifiquemos que para la solicitación
impuesta (170 kN) al perfil UPN 300 no se
superen las tensiones admisibles del proyecto

18. De la tabla del perfil UPN 300 obtenemos:
Como la luz entre apoyos es considerable,
verificamos que las tensiones generadas por la
flexión no superen las admisibles
𝝈𝒁𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑱𝒙
∙
𝒉
𝟐
= 𝟐𝟏, 𝟏
𝒌𝑵
𝒄𝒎𝟐
> 𝟏𝟔
𝒌𝑵
𝒄𝒎𝟐
= 𝝈𝒂𝒅𝒎
Debida a que la distribución de tensiones
normales generadas por la flexión son máximas
en las fibras más alejadas del eje neutro, lo
razonable es aumentar “material” en las alas, por
lo que se sumaran platabandas de refuerzo en
ambas alas, simétricamente respecto del eje “x”,
aumentando el Jx:
 No verifica

19. De la tabla del perfil UPN 300 obtenemos:
Como la luz entre apoyos es considerable,
verificamos que las tensiones generadas por la
flexión no superen las admisibles
𝝈𝒁𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑱𝒙
∙
𝒉
𝟐
= 𝟐𝟏, 𝟏
𝒌𝑵
𝒄𝒎𝟐
> 𝟏𝟔
𝒌𝑵
𝒄𝒎𝟐
= 𝝈𝒂𝒅𝒎
Debida a que la distribución de tensiones
normales generadas por la flexión son máximas
en las fibras más alejadas del eje neutro, lo
razonable es aumentar “material” en las alas, por
lo que se sumaran platabandas de refuerzo en
ambas alas, simétricamente respecto del eje “x”,
aumentando el Jx:
 No verifica
…y el Jx de la nueva sección será (aplicando Steiner):
𝑱𝑹𝒙 = 𝑱𝒙 + 𝟐
𝟐𝒃𝒆𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟐𝒃𝒆
𝒉
𝟐
+
𝒆
𝟐
𝟐
...y suponiendo e<<h y e<<2b:
 = 0  = 0
...y como:
𝑱𝑹𝒙 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝝈𝒂𝒅𝒎
∙
𝒉
𝟐
→ 𝒆𝒎𝒊𝒏 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝟐𝒃𝒉𝝈𝒂𝒅𝒎
−
𝑱𝒙
𝒃𝒉𝟐
= 𝟎, 𝟔 𝒄𝒎
…con emin ya dimensionado
puedo calcular los valores
reales de:
𝝈𝒁𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝑱𝑹𝒙
∙
𝒉
𝟐
+ 𝒆
𝑱𝑹𝒙 = 𝑱𝒙 + 𝟐
𝟐𝒃𝒆𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟐𝒃𝒆
𝒉
𝟐
+
𝒆
𝟐
𝟐

20. …verificamos ahora al corte, y dado que para
las fibras más solicitadas a flexión la solicitación
por corte es nula y viceversa, no resultará
necesario, en este caso, calcular las tensiones
principales:
 verifica

21. La fuerza de “resbalamiento” deberá ser absorbida por los pernos, aplicando Jouravski...
Las tensiones zy (3-3) distribuidas en un área (2.b.p) deben ser
equilibradas mediantes fuerzas correspondientes a cada par de
bulones 2.T1
Calculamos ahora la
separación entre los pernos
de unión
(Facultad de Ingeniería –
UBA – Sede Las Heras)

22. …es decir
La fuerza de “resbalamiento” deberá ser absorbida por los pernos, aplicando Jouravski...
Las tensiones zy (3-3) distribuidas en un área (2.b.p) deben ser
equilibradas mediantes fuerzas correspondientes a cada par de
bulones 2.T1
(Facultad de Ingeniería –
UBA – Sede Las Heras)

23. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

24. Muchas Gracias