El documento describe los pasos para analizar gráfica y analíticamente el comportamiento de una función volumen V con respecto a una dimensión x, incluyendo calcular los puntos donde la derivada V' es cero para encontrar los máximos y mínimos, y analizar la derivada segunda V'' en esos puntos para determinar si son máximos o mínimos.

1. A partir de la situación planteada, ¿Qué es en realidad lo que se necesita calcular para obtener las
dimensiones óptimas solicitadas por el directorio?..............................................................................................
 Expresa la función general del volumen de la empresa a construir
 La siguiente gráfica corresponde a la función del volumen hallada en el inciso anterior:
 Analiza gráficamente la función v, y responde:
-¿Cuál es el dominio y la imagen de la función?
-¿Cuáles son los ceros o raíces?
-Estudia el comportamiento de la función, es decir, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
-Analiza la existencia de máximos y mínimos:
Máximos:……………… Mínimos:……………………
 A partir del análisis previo, ¿Cómo harías para graficar la función derivada de v? Graficarla.
 Analizando v’(x) indica:
a) el intervalo donde la derivada es positiva
b) el intervalo donde la derivada es negativa
c) ¿Encuentras algún punto donde la derivada es cero? Si la respuesta es afirmativa, completa la siguiente
frase:
Los puntos donde la derivada es cero coinciden con el……………………… de v y con el…………………………. de v.

 Calcula analíticamente, donde la derivada de v es igual a cero.
Hasta aquí hemos trabajamos de manera gráfica e intuitiva, ahora lo haremos de un modo analítico, para
encarar distintos caminos de resolución.

2. Los valores hallados coinciden con……………………………………………………………….
Si una función tiene un máximo o mínimo, entonces su derivada
es cero en dichos puntos.
B) Observa el siguiente gráfico:
¿Cuánto vale la derivada en x3? ¿En x3 hay un máximo o mínimo de la función?
Entonces, ¿podemos decir que la condición de que la derivada sea cero, es suficiente para la existencia de
un extremo?..................
 Retomando la actividad inicial, realiza el análisis (tanto gráfico como analítico) del comportamiento de
los valores máximos y mínimos en la derivada segunda de v,y completa el siguiente cuadro con “<”, ”>” o
“=”según corresponda, teniendo en cuenta todo la información obtenida durante el desarrollo de la
actividad :
Sea “a” un valor del dominio de una función f y además f’(a)=0 y f’’(a) ≠0, entonces:
 Si f’’(a)>0, f(a) es un mínimo relativo de f
 Si f’’(a) <0, f(a)es un máximo relativo de f
x1=4,5 v’(x1)…..0 v’’(x1)…..0
x2=14,1 v’(x2)…..0 v’’(x2)…..0