Este documento presenta varios problemas y propiedades relacionadas con números reales y álgebra. Incluye la definición y ejemplos de cuadrados mágicos, propiedades de cuerpos ordenados como unicidad del cero y del inverso aditivo, demostraciones de propiedades algebraicas como distribución y cancelación, y propiedades de valor absoluto e inecuaciones. Finalmente, propone ejercicios para aplicar y demostrar estas propiedades y conceptos.

1. Números Reales 1 1
Elementos de Álgebra UNPA-UARG
Práctico 3 Números Reales
1) Cuadrados mágicos.
Un cuadrado mágico debe tener todas sus filas, columnas y
diagonales que
sumen un valor dado.
a) Completa los lugares
vacíos para que resulte un
cuadrado mágico que sume 9.
b) Completa si es posible
los lugares vacíos para que
resulte un cuadrado mágico
que sume 6. En caso de no
ser posible, explique por
qué.
c) Completa los lugares
vacíos para que resulte un
cuadrado mágico que sume 8.
d) Determina, si existe, alguna condición que me permita construir
el cuadrado mágico que sume un determinado valor, dados los tres
números en los mismos lugares ya indicados en los incisos
anteriores.
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Propiedades algebraicas de los números Reales
S1) Asociativa + a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
S2) Conmutatividad + a+b = b+a
S3) Elemento neutro + (0 )/(a ) a+0=a
S4) Inverso aditivo + (a )(a’ )/ a+a’=0 (a’=-a)
P1) Asociatividad . a.(b.c) = (a.b).c
P2) Conmutatividad . a.b = b.a

2. Números Reales 2 2
P2) Elemento neutro . (1 ), 10 /(a ) a.1=a
P4) Inverso Multiplicativo. (a , a0)(a’’ )/ a.a’’=1 (a’’=a-1)
D) Distributividad ./+ a.(b+c) = a.b + a.c
I1) Reflexiva a=a
I2) Simétrica (a=b)  (b=a)
I3) Transitiva (a=b  b=c)  a=c
I4) Consistencia+ a=c  a+b=c+b
I5) Consistencia. a=c  a.b=c.b
O1) Tricotomía Vale una y sólo una: a<b , a>b , a=b
O2) Transitividad a<b  b<c  a<c
O3) Consistencia + a<b  a+c < b+c
O4) Consistencia . (a<b  c>0)  ac<bc
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2) Demostrar las propiedades siguientes a partir de las propiedades de
cuerpo ordenado de
i) Unicidad del 0, es decir demostrar que si existe 0* , tal que
verifica la igualdad a+0*=a para todo a , entonces 0=0*
ii) Unicidad del inverso aditivo.
iii) a+b = c+b  a=c (propiedad cancelativa para la (+))
1) a=b  a-b=0 Notación: a+(-b) = a-b
2) a+a = a  a=0
3) a=-(-a)
4) 0=-0
5) a.0 = 0
6) a0  -a0
7) -(a+b)=(-a)+(-b)
8) a+b = a-(-b)
9) (-a).b = -(a.b) = a.(-b)
10) (-1).a=-a
11) (-a).(-b) = a.b
12) a.(b-c)= a.b-a.c
13)(a+b).(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d
14) a2
-b2
=(a+b).(a-b) Notación: a2
=a.a
15) a.b=0  a=0  b=0
16) a2
=1  a=1  a=-1
17)a0  a.b= a.c  b=c (propiedad cancelativa para (.))
18) Para todo par de números reales a y b, tales que a0, !x
que verifica: a.x=b
(El inverso multiplicativo es único, tomando b=1)
19) 1=1-1
y -1=(-1)-1
20) a0  a-1
0  (-a)-1
=-(a-1
)
21) a0  a=(a-1
)-1
22) a0b  (a.b)-1
=a-1
.b-1
23) b0d  (a/b=c/d  a.d=b.c)
24) b0d  (b/d)-1
=d/b
25) b0d  (a/b).(c/d)=(a.c)/(b.d)
26)
I) 0<a  -a<0
II) 0<1
III) 0<a  0<a-1

3. Números Reales 3 3
IV) a<b  c<d  a+c<b+d
V) a<b  -b<-a
27) 0
a b c b c a c
      
28) a.c<b.c  0<c  a<b
29) Sean a, b, c y d positivos, probar:
a
b
c
d
a d b c
    
30) a<b  c<d  a+c<b+d
31) 0<x<y  0
1 1
 
y x
32) a , se cumple 0a2
3) Demostrar las siguientes propiedades de valor absoluto
i) |r|=0 sii r=0
ii) |-r|=|r|
iii) |a.b|=|a|.|b|
iv) |a|-1
= |a-1
| , a0
v) Si s0, se verifica
r
s
r
s
=
| |
| |
vi) 2|a.b| a2
+b2
vii)|r2
|=r2
4) Ejemplifique para valores, de igual y distinto signo de x e y.
i) |x+y|  |x| + |y|
ii) ||x|-|y||  |x-y|
5) Hallar el conjunto de los x que verifican las siguientes
condiciones:
i) |x|10 ii) |3x-1|1 iii) |x-2|1  |x+1|<3
iv) |x|<6  |x|8 v) |6-2x|7 vi) |3x|>|6-3x|
6) Demostrar: |x+y|=|x|+|y|  x  y tienen el mismo signo.
7) ¿Existe k tal, que para todo x se verifica kx?. J.S.R.
8) Dada la siguiente ecuación : 30+b·c = (30+b)(30+c)
con b y c números reales.
a) ¿Cuáles son los valores que pueden tomar b y c?
b) ¿Si en lugar de 30 consideras cualquier número a distinto de
cero cómo se describe el conjunto solución de la ecuación que
resulta?
9) ¿Existen a y b reales tales que se verifique:
1 1 1
a b a b
+ =
+
?J.S.R.