Ejercicios de la Transformada de Fourier

1. ( ) ( ) exp( )
F f t i t dt
 


 

1
( ) ( ) exp( )
2
f t F i t d
  





La transformada
de
Fourier
1

2. De la Serie de Fourier a
la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuencia
de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las
series de Fourier para obtener una
representación en el dominio de la frecuencia
de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica
de periodo T:
2

3. Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y
periodo T:
1
f(t)
t
. . . -T -T/2
0 T/2
T . . .
p
-p/2
p/2











 


2
2
2
2
2
2
0
1
0
)
(
T
p
p
p
p
T
t
t
t
t
f
3

4. Los coeficientes de la serie compleja de
Fourier en este caso resultan puramente
reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo
obtenemos (en este caso) graficando cn
contra  = n0.
)
(
)
(
2
0
2
0
p
p
n
n
n
sen
T
p
c









4

5. Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
-60 -40 -20 0 20 40 60
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw
0
c
n
5

6. Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 5
f(t)
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 10
t
f(t
)
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 20
t
f(t)
6

7. -50 0 50
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p = 1, T = 5
-50 0 50
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p = 1, T = 10
-50 0 50
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
p = 1, T = 20
-50 0 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
p = 1, T = 2
=n0
c
n
...el espectro se "densifica".
7

8. En el límite cuando T, la función deja de
ser periódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie
de Fourier?
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 
t
f(t)
8

9. Si se hace T muy grande (T), el espectro
se vuelve "continuo":
9

10. El razonamiento anterior nos lleva a
reconsiderar la expresión de una función f(t)
no periódica en el dominio de la frecuencia,
no como una suma de armónicos de
frecuencia n0, sino como una función
continua de la frecuencia .
Así, la serie:
al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando
T) por la variable continua , se
transforma en una integral de la siguiente
manera:





n
t
in
ne
c
t
f 0
)
( 
10

11. Recordemos:
La serie de Fourier es:
-T/2< x < T/2
O bien:
 


 








n
t
in
T
T
t
in
T e
dt
e
t
f
t
f 0
0
2
/
2
/
1
)
(
)
( 

0
2
/
2
/
1 2
y
)
( 0




 


T
dt
e
t
f
c
T
T
t
in
T
n
 


 








n
t
in
T
T
t
in
e
dt
e
t
f
t
f 0
0
0
2
/
2
/
2
1
)
(
)
( 

 
 













 


 d
e
dt
e
t
f
t
f t
i
t
i
)
(
)
( 2
1
T
T
/
2
/
2
0
0






Cuando T , n0   y 0  d y el sumatorio
se convierte en:
11

12. La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F() (dominio de la frecuencia) a
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.




 
 
 d
e
F
t
f t
i
)
(
)
( 2
1





 dt
e
t
f
F t
i
 )
(
)
(
Identidad
de Fourier
o antitrans-
formada de
Fourier
Transformada
de Fourier
12

13. La transformada de Fourier y
la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )
F f t i t dt
 


 

1
( ) ( ) exp( )
2
f t F i t d
  





En algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la
anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2). 13

14. Notación: A la función F() se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se
denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos
permite obtener f(t) a partir de F() se le
llama transformada inversa de Fourier y
se denota por F –1 ,es decir






 

 
 d
e
F
t
f
F
F t
i
)
(
)
(
)]
(
[ 2
1
1







 dt
e
t
f
f
F
t
f
F t
i

 )
(
)
(
ˆ
)
(
)]
(
[
fˆ
14

15. Transformadas integrales
–K(,t): núcleo o kernel.
–Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función
F() en el espacio  o recíproco.
–Ejemplos: de Fourier, Wavelet,
transformada Z, de Laplace, de
Hilbert, de Radon, etc
dt
t
f
t
K
F
b
a

 )
(
)
,
(
)
( 

15

16. Un problema que es difícil de resolver en sus
"coordenadas" (espacio t) originales, a menudo,
es más sencillo de resolver al transformarlo a
espacio .
Después, la transformada inversa nos devuelve la
solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
16

17. Ejemplo. Calcular F() para el pulso
rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del
tiempo de la función es:
-p/2
0 p/2
1
f(t)
t









 

t
t
t
t
f
p
p
p
p
2
2
2
2
0
1
0
)
(
17

18. Integrando:
Usando la fórmula
de Euler:

 







2
/
2
/
)
(
)
(
p
p
t
i
t
i
dt
e
dt
e
t
f
F 


2
/
2
/
1
p
p
t
i
i e 


 
 )
( 2
/
2
/
1 p
i
p
i
i e
e 

 
 

)
2
/
(
sinc
2
/
)
2
/
(
)
( p
p
p
p
sen
p
F 


 

i
e
e
p
sen
p
i
p
i
2
)
2
/
(
2
/
2
/ 





18

19. En forma gráfica,
la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1
F(w) con p=1
w
F(w)
p =1









 

t
t
t
t
f
p
p
p
p
2
2
2
2
0
1
0
)
(
)
2
/
(
sinc
)
( p
p
F 
 
19

20. Sinc(x/2) es la
transformada de
Fourier de una
función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la
transformada de
Fourier de una
función triangulo.
Sinc2(ax) es el
patrón de difracción
de una ranura.
La función sinc(x)
20

21. Demostrar que la transformada de
Fourier de la función triángulo, D(t), es
sinc2(/2)

0
2
sinc ( / 2)

1
t
0
( )
t
D
1
1/2
-1/2
TF
21

22. Ejercicio: Calcular la Transformada de
Fourier de la función escalón unitario o
función de Heaviside, u(t):
Grafica U() = F[u(t)].
¿Qué rango de frecuencias contiene U()?
¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
22

23. La función delta de Kronecker y delta
de Dirac
if 0
( )
0 if 0
t
t
t

 

 


t
(t)
,
1 if
0 if
m n
m n
m n



 


23

24. La función impulso o delta de Dirac
Recordemos que podemos pensar en la función
delta como el límite de una serie de funciones
como la siguiente:
t
f1(t)
f2(t)
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√
f3(t)
(t)
24

25. Y recordemos algunas propiedades
de la función 
( ) 1
t dt




 t
(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t a f t dt t a f a dt f a
 
 
 
   
 
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
   
     




  
 
    


25

26. Transformada de Fourier de la (t):
  )
(t
t
f 
   1
)
(
ˆ 

 




dt
e
t
f t
i

 
t
(t)

1

()
Observa que la transformada de Fourier de
f(t) = 1/(2) es:
t
  )
(
dt
e
f̂ t
i




 





2
1

2
1
Recordemos
26

27. f t
 
0 , t  
T
2
1 , 
T
2
 t 
T
2
0 ,
T
2
 t










T
2
T
2
T
2
T

2
T
2
2
)
(
ˆ
T
T
sen
T
f











27

28.  
















2
,
0
2
2
,
1
2
,
0
t
T
T
t
T
T
t
t
f
2
2
)
(
ˆ
T
T
sen
T
f











f t
  1
T ∞
  





 dt
e
f t
i
1
ˆ 
 )
( 


 2
T ∞
28

29. Transformada de Fourier de la función coseno
+0
0
0

0
{cos( )}
t

F
cos(0t)
t
0
  )
cos( 0t
t
f 
   




 dt
e
t
f t
i

 )
cos(
ˆ
0
  
+








 +
 




+








dt
e
e
dt
e
e
e t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
)
(
)
( 0
0
0
0
2
1
2







 
)
(
)
(
2
2
)
(
ˆ
0
0 






 +
+


f
 
)
(
)
(
)
(
ˆ
0
0 






 +
+


f
29

30. Transformada de Fourier de la función seno:
  )
( 0t
sen
t
f 
   
 




dt
e
t
sen
f t
i

 )
(
ˆ
0













 
 dt
e
i
e
e t
i
t
i
t
i



2
0
0
 dt
e
e
i
t
i
t
i




+




 )
(
)
( 0
0
2
1 



 
)
(
)
(
)
(
ˆ
0
0 






 

+
 i
f
+0
0
0

sen(0t)
t
0
t)}
sen(
{ 0

F
30

31. La transformada de Fourier de la onda
plana exp(i0 t)
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.
F {exp(i0t)}
0 0

exp(i0t)
0
t
t
Re
Im
0
)
(
2
}
{
0
)
( 0
0
0
























dt
e
dt
e
e
e
F
t
i
t
i
t
i
t
i
31

32. Sum
F {exp(i0t)}
0 0

exp(i0t)
0
t
t
Re
Im
0
TF
0

TF
32

33. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
 
0
0
,
0
0
,








a
t
t
e
t
f
at
  
 



0
ˆ dt
e
e
f t
i
at 

2
2
2
2
0
)
(
0
)
(
1
1
)
1
0
(
1











+

+



+

+


+


+



+


+


a
i
a
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
e
dt
e
t
i
a
t
i
a
33

34. La transformada de Fourier de una
Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.
2 2
2
{exp( )} exp( )exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a




   
 

F
t
0
2
exp( )
at


0
2
exp( / 4 )
a


TF
Más adelante lo demostraremos.
34

35. La transformada inversa de Fourier
Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos
retornar al espacio directo mediante la inversa de la
transformada de Fourier:
  





 dk
e
k
G
k
G
F
x
g ikx
)
(
2
1
)
(
)
( 1
 




 dx
e
x
g
k
G ikx
)
(
)
(



 



 



 


 

)
'
(
)
'
(
)
'
(
'
'
2
1
)
(
)
(
)
(
2
1
x
g
x
x
x
x
ik
ikx
ikx
ikx
dx
dk
e
x
g
dk
e
dx
e
x
g
dk
e
k
G
 
  







































35

36. A partir de su definición, obtener la transformada
inversa de Fourier de la función  
   3
3
3
5
3
2
+






i
i
g
   
 
   
   
 
 
3
orden
de
polo
3
3
)
(
3
2
:
residuos)
de
(teoría
de
Cálculo
3
5
3
2
3
5
3
2
3
3
1
1
3
3
3
3
1
1
2
1
i
z
iz
e
z
f
d
e
i
I
I
d
e
i
d
e
i
d
e
i
i
g
F
d
e
g
g
F
izx
x
i
I
x
i
I
x
i
x
i
x
i







+










+












































 


 



 


 

36

37.  
 
 
 
 
 
0
x
;
0
I
0
x
;
e
x
2
5
π
2
f(z)
πi
10
I
2
e
ix
f(z)
3
orden
i polo de
3
z
3
iz
e
f(z)
dω
e
3
iω
5
I
):
e residuos
(teoría d
I
Cálculo de
0
x
;
0
I
0
x
;
e
πx
2
f(z)
πi
4
I
2
e
ix
f(z)
2
x
3
2
i
3
z
2
x
3
2
i
3
z
3
izx
iωω
3
2
2
1
x
3
2
i
3
-
z
1
x
3
2
i
3
-
z
s
Re
s
Re
s
Re
s
Re









+

+



















37

38.  











 

0
x
;
e
x
5
0
x
;
e
x
2
g
F
:
es
Fourier
de
inversa
ada
transform
la
Luego
x
3
2
x
3
2
1
38

39. 6
13
6
1
)
( 2






i
g




 
 
d
e
g
x
f x
i
)
(
)
(
A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier de
la función:
Respuesta.
Integrando en el plano complejo:
i
z
i
z
z
z
z
z
z
g
2
3
,
3
2
,
)
)(
(
6
1
)
( 2
1
2
1





39

40. • Si x > 0:


 



+



R
R
R
k
k
izx
dw
w
G
dz
z
G
z
z
G
i
dz
e
z
g
)
(
)
(
)
),
(
(
Res
2
)
(
)
(
2
1


izx
g(z)e
G(z) 
Tomando
Haciendo lim R→∞ 








0
6
13
6
1
lim
)
(
lim
Como 2
z
z iz
z
z
g

-R R
C
40

41. Jordan)
de
3
(Lema
0
)
(
lim
)
(
R

 

 R
izx
dx
e
z
g

Entonces:














x
x
k e
e
z
z
G
i
x
f 3
2
2
3
5
2
)
),
(
(
Res
2
)
(


• Si x < 0:


 







R
R
R
k
k
izx
dw
w
G
dz
z
G
z
z
G
i
dz
e
z
g
)
(
)
(
)
),
(
(
Res
2
)
(
)
(
2
1


41

42. 
-R R
Haciendo lim R→∞










0
6
13
6
1
lim
)
(
lim
Como
2
z
z
iz
z
z
g
Jordan)
de
3
(Lema
0
)
(
lim
)
(
R

 

 R
izx
dx
e
z
g

Entonces: 0
)
),
(
(
Res
2
)
( 
  k
z
z
G
i
x
f 



















0
, x
0
0
, x
e
e
5
π
2
f(x)
x
3
2
x
2
3
42

43. Algunas funciones no poseen
transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.






dx
x
g
2
)
(
43

44. La TF y su inversa son simétricas.
( )exp( )
1
2 ( )exp( [ ] )
2
F t i t dt
F t i t dt

 






 


Si la TF de f(t) es F(), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a ’, podemos ver que
llegamos a la TF inversa:
1
2 ( )exp( [ ] )
2
F i d
    



 
  
 
 
 

2 ( )
f
 
 
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son
un "par transformado."
Que podemos escribir:
44

45. La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son
ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
  )
(
)
(
)
( k
iF
k
F
x
f
F i
r +

 
potencia
de
espectro
A
espectral
fase
espectral
magnitud
o
amplitud
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
)
(

+





+



 
i
r
i
r
k
i
F
F
F
A
F
F
k
F
A
e
k
A
k
F
x
f
F
45

46. La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
 






















dx
)
kx
sin(
)
x
(
f
)
k
(
F
dx
)
kx
cos(
)
x
(
f
)
k
(
F
dx
)
kx
(
isen
)
kx
cos(
)
x
(
f
dx
e
)
x
(
f
i
r
ikx
  )
k
(
iF
)
k
(
F
)
x
(
f
F i
r +

46

47. Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F.T.
 

 ˆ
f 
 
g(t) F.T.
 

 ˆ
g 
 





 f(t) + g(t) F.T.
 

 ˆ
f 
 + ˆ
g 
 
f (t) F.T.
 

 ˆ
f 
  (a + ib)f (t) F.T.
 

 (a+ ib) ˆ
f 
 
47

48. La transformada de Fourier de la
combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t



F()
G()
f(t) + g(t)
F() + G()
)}
(
{
)}
(
{
)}
(
)
(
{
t
g
bF
t
f
aF
t
bg
t
af
F
+

+
48

49. Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t) 
0 , t 
a
2
1 ,
b
2
 t 
a
2
2 , t 
b
2









; a  b  0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t)  g(t) + h(t)
donde g(t) 
0 , t 
a
2
1 , t 
a
2







; h(t) 
0 , t 
b
2
1 , t 
b
2







49

50. Luego:
ˆ
f ()  ˆ
g() + ˆ
h()
2
b
2
b
sen
2
b
2
a
2
a
sen
2
a
)
(
f̂






 

+






 



50

51. Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a
0
51

52. Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
 
0, t  a
1,  a  t  b
0,  b  t  b
1, b  t  a
0, t  a









; h(t) 
0 , t  b
1 , t  b





g(t) 
0 , t  a
1 , t  a





f t
  g(t)  h(t)
52

53. F.T.
 
 ˆ
g() 
2a
2
sen(a)
a
h(t) 
0 , t  b
1 , t  b





g(t) 
0 , t  a
1 , t  a





F.T.
 
 ˆ
h() 
2b
2
sen(b)
b
ˆ
f ()  ˆ
g()  ˆ
h() 
2a
2
sen(a)
a

2b
2
sen(b)
b
53

54.  
  )
(
ˆ 
f
t
f
F 
 
 

























a
f
a
dt
e
t
f
a
at
d
e
at
f
a
dt
e
at
f
at
f
F
t
a
i
at
a
i
t
i




ˆ
1
'
)
'
(
1
)
(
)
(
1
)
(
'
)
(
2. Escalado:  
  






a
f
a
at
f
F

ˆ
1
54

55. Efecto de
la propiedad
de escalado
f(t) F()
Pulso
corto
Pulso
medio
Pulso
largo
Mientras más
corto es el
pulso, más
ancho es el
espectro.
Esta es la esencia
del principio de
incertidumbre en
mecánica cuántica.



t
t
t
55

56. La transformada de Fourier respecto al
espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia
espacial.
Todo lo expuesto sobre la
transformada de Fourier entre los
dominios t y  se aplica los
dominios x y k.
k
x
 
  )
(
ˆ
)
( k
f
dx
e
x
f
x
f
F ikt

 




56

57. 3. Traslación en el dominio de tiempos
   

 
f
e
a
t
f
f
t
f a
i
T
F
T
F ˆ
)
(
ˆ
)
( .
.
.
.

 

+


 

  




 dt
e
t
g
g t
i
 )
(
ˆ 




+
 dt
e
a
t
f t
i
)
(
  





 du
e
u
f
g a
u
i )
(
)
(
ˆ 
 




 du
e
u
f
e
u
i
a
i 

)
(
  )
(
ˆ
ˆ 
 
f
e
g a
i

f (t + a) g(t)
57

58. 4. : f (t)  f *
(t)  ˆ
f 
  ˆ
f *

 
   
   










)
(
ˆ
Im
)
(
ˆ
Im
)
(
ˆ
Re
)
(
ˆ
Re




f
f
f
f
5. :   



 dt
t
f
f )
(
0
ˆ
  



 


d
f
f )
(
ˆ
2
1
0
58

59. 5. Identidad de Parseval : f *
(t)g(t)dt


  ˆ
f *
() ˆ
g()d





















 










dt
d
g
d
f e
e
t
i
t
i
'
'
)
'
(
ˆ
)
(
ˆ*






 




















 e
dt
g
d
f
d
t
i '
)
'
(
ˆ
'
)
(
ˆ )
(
* 





(' )
f (t)  g(t)  f(t)
2
dt


  ˆ
f ()
2
d



Teorema de Rayleigh




 

 d
g
f )
(
ˆ
)
(
ˆ*
En particular:
59

60. Toda función puede escribirse como la suma
de una función par y una función impar
( ) [ ( ) ( )]/ 2
( ) [ ( ) ( )]/ 2
( ) ( ) ( )
E x f x f x
O x f x f x
f x E x O x
 + 
  

 +
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
60

61. Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
  




 dt
t
f
f e
t
i
 )
(
ˆ 





+
  





0
0
)
(
)
( dt
t
f
dt
t
f e
e
t
i
t
i 







+
  
 

0 0
)
(
)
(
)
(
ˆ dt
t
f
dt
t
f
f e
e
t
i
t
i 

  



+

0
)
( dt
t
f e
e
t
i
t
i 

  


0
)
cos(
)
(
2
ˆ dt
t
t
f
f 

61

62. 





+

  
 

0 0
)
(
)
(
)
(
ˆ dt
t
f
dt
t
f
f e
e
t
i
t
i 


Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
  




 dt
t
f
f e
t
i
 )
(
ˆ 





+
  





0
0
)
(
)
( dt
t
f
dt
t
f e
e
t
i
t
i 

 



+


0
)
( dt
t
f e
e
t
i
t
i 

  


0
)
(
)
(
2
ˆ dt
t
sen
t
f
i
f 

62

63. 6. Transformada de la derivada:
ikF(k)
ikF(f(x))
(x))
f
F( 


  )
k
´(
iF
))
x
(
f
´(
iF
)
x
(
xf
F 

7. Transformada xf(x):
Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores.
Y en general:
  F(k)
ik
(x))
F(f
n
)
n
(

Y en general:
  )
k
´(
F
i
)
x
(
f
x
F n
n

63

64. 1. Encontrar la transformada de Fourier de la
función:
2. A partir del resultado anterior y una conocida
propiedad de la transformada de Fourier, determina
la transformada de Fourier de la función:
 
2
1
1
)
(
x
x
f
+

 2
2
1 x
x
)
x
(
g
+

i
z
-i
z
z
f
z
z
f
dz
z
e
I
dx
x
e
k
F
ikz
ikx




+


+

+











2
1
2
2
2
y
excepto
C,
z
analítica
es
)
(
1
1
)
(
con
3"
tipo
"
integral
1
:
complejo
plano
al
integral
la
Pasamos
1
)
(
integral
la
piden
Nos
1.
64

65. k
k
ikz
i
z
ikz
i
z
k
ikz
i
z
ikz
i
z
e
k
F
e
i
z
e
i
z
e
i
k
F
e
i
z
e
i
z
e
i
k
F
lím
lím




















+







+


















+










)
(
:
que
modo
De
2
1
2
)
(
:
C
circuito
el
en
integramos
0
k
Para
2
1
2
)
(
:
C
circuito
el
en
integramos
0
k
Para
2
1
2
2
Res
Res
C1
C2
 
 
   
  2
1
)
(
1
2
1
2
:
1
2
y
que
Puesto
2
2
2
2
2
2
2
2
k
k
e
ik
x
x
F
k
G
e
ik
x
x
F
x
x
F
x
x
dx
df
f
ikF
dx
df
F












+












+










+

+











2.
65

66. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
siendo a>0 constante.










2
exp
)
(
2
ax
x
f
)
(
2
exp
)
(
2
exp
)
(
2
2
x
axf
ax
ax
x
f
ax
x
f 
























)
´(
)
( k
iaF
k
ikF 

Derivando tenemos:
 









)
´(
))
(
´(
)
(
)
(
))
(
(
))
(
(
k
iF
x
f
iF
x
xf
F
k
ikF
x
f
ikF
x
f
F
Transformando a ambos lados de la ecuación y usando las siguientes
propiedades de la TF:
Veamos otra aplicación de estas dos últimas propiedades:
66

67. a
k
t
u
u
ax
ikx
ax
a
k
e
a
k
F
a
dt
t
e
a
du
e
a
du
e
a
dx
e
F
B
dx
e
e
Be
k
F
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
2
)
0
(
)
(



































u2 = ax2/2
a
k
Be
k
F
k
iaF
k
ikF 2
2
)
(
)
´(
)
(





u2 = t
67

68. Convolución
Se define la integral de convolución de dos funciones
f(t) y g(t) del siguiente modo:
  du
u
t
g
u
f
t
g
f )
(
)
(
)
( 

 



du
t
g
u
t
f )
(
)
(






68

69. 69

70. rect(x)
* rect(x) = D(x)
Ejemplo visual:
70

71. Convolución con la función delta
Convolucionar una función con una delta,
simplemente centra la función sobre la delta.
( ) ) ( ) ( – )
( )
f t t a f t u u a du
f t a
 


    
 

71

72. Propiedades de la convolución
Commutativa:
Asociativa:
Distributiva:
f
g
g
f 


f  (g  h) ( f  g)  h
f  (g +h)  f  g + f  h
72

73.   )
(
)
(
)
(
*
)
( w
G
w
F
t
g
t
f
F 

El teorema de convolución o
teorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a
multiplicación en el espacio recíproco.
73

74. Ejemplo del teorema de convolución
2
{ ( )}
sinc ( / 2)
x
k
D 
F
{rect( )}
sinc( / 2)
x
k

F
rect( ) rect( ) ( )
x x x
  D
2
sinc( / 2) sinc( / 2) sinc ( / 2)
k k k
 
74

75.  


















 














du
d
e
g
d
e
f
du
u
t
g
u
f
t
g
f
u
t
i
u
i
'
)
'
(
ˆ
2
1
)
(
ˆ
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
'





























 























d
f
d
du
e
e
g
u
i
t
i
)
(
ˆ
'
2
1
)
'
(
ˆ
)
'
(
)
'
(
'


 


 

Demostremos el teorema de convolución.
75

76. )
(
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ t
g
t
f
d
e
g
f t
i








 








 














d
f
d
e
g
t
i
)
(
ˆ
'
)
'
(
)
'
(
ˆ
'
  )
(
)
(
)
(
*
)
( w
G
w
F
t
g
t
f
F 

Aplicando la TF a ambos lados:
76

77. 







2
,
)
cos(
2
,
0
)
(
0
T
t
t
T
t
t
f

Ejemplo de aplicación del teorema de convolución:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
  



2
2
0 )
cos(
ˆ
T
T
t
i
dt
e
t
f 

 










 +

2
2
2
0
0
T
T
t
i
t
i
t
i
dt
e
e
e 


2
2
0
)
(
0
)
( 0
0
2
1
)
(
ˆ
T
T
t
i
t
i
ie
ie
f

+









+
+











Podemos hacerlo aplicando la definición:
77

78. 











+
+

+










2
)
(
)
2
(
2
)
(
)
2
(
2
1
)
(
ˆ
0
0
0
0
T
sen
i
i
T
sen
i
i
f 








   














+






+
+









2
2
)
(
2
2
)
(
2
)
(
ˆ
0
0
0
0
T
T
sen
T
T
sen
T
f

















2
,
)
cos(
2
,
0
)
(
0
T
t
t
T
t
t
f
 78

79. 







2
,
1
2
,
0
)
(
T
t
T
t
t
h
; g t
   cos(0t)
 
)
(
)
(
2
)
(
ˆ 0
0 






 +
+


g
2
2
)
(
ˆ
T
T
sen
T
h


















2
,
)
cos(
2
,
0
)
(
0
T
t
t
T
t
t
f

  )
(
)
( t
g
t
h
t
f 

TF
TF
Pero, también podemos usar:
g
h
hg
f ˆ
ˆ
ˆ 


79

80.   dt
e
t
g
t
h
g
h t
i

 





 )
(
)
(
2
1
)
(
ˆ
ˆ
g
h
hg
f ˆ
ˆ
ˆ 


  


 



'
)
'
(
ˆ
)
'
(
ˆ
)
(
ˆ
ˆ 



 d
g
h
g
h
  '
)
'
(
)
'
(
2
2
'
2
'
2
1
0
0 












d
T
T
sen
T +

+








 



   














+






+
+











2
2
)
(
2
2
)
(
2
2
1
)
)(
ˆ
ˆ
(
)
(
ˆ
0
0
0
0
T
T
sen
T
T
sen
T
g
h
f











80

81. Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de las
siguientes funciones:
f (t) 
0 , t 
a  b
2
1 , t 
a  b
2







g(t)  2  t 
a + b
2





+  t +
a + b
2












81

82. El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es:
f g
 (t) 
1
2
f(u)


 g(t  u)du
f g
 (t)  f(u)


 (t 
a + b
2
 u) + (t +
a+ b
2
 u)





du
f  g
 (t)  f(t 
a + b
2
) + f (t +
a + b
2
)
es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funciones
pulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es la
siguiente: 82

83. 0
1
-a -b b a
0
y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:
2a
2
sen(a)
a

2b
2
sen(b)
b 83

84. Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier del
producto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución,
según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de
f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivas
de f(t) y g(t):
f g
 (t)  F.T.
 
 ˆ
f() ˆ
g()
f (t) 
0 , t 
a  b
2
1 , t 
a  b
2







F.T .
 
 ˆ
f() 
a  b
2
sen( 
a  b
2
)

a  b
2
84

85. Calculamos la transformada de Fourier de g(t):
ˆ
g 
  
1
2
g(t)
it
e dt



ˆ
g 
  
1
2
2  t 
a + b
2





+  t +
a+ b
2












it
e dt



ˆ
g 
  
i
a+ b
2
e +
i
a+ b
2
e  2cos 
a + b
2






ˆ
f () ˆ
g 
  
a  b
2
sen(
a  b
2
)

a  b
2
2cos 
a + b
2






85

86. ˆ
f () ˆ
g 
  
a  b
2
sen(
a  b
2
)

a  b
2
2cos 
a + b
2






ˆ
f () ˆ
g 
  
2

1

2sen(
a  b
2
)cos 
a+ b
2






ˆ
f () ˆ
g 
  
2

1

sen(a)  sen b
 
 
que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.
86

87. ˆ
f () 
T2
2
sen2
(
T
2
)
2
T2
4
Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada
de Fourier de la siguiente función:
Tenemos que calcular la antitransformada:
f t
 
1
2
ˆ
f()
it
e d



f t
 
1
2
T 2
2
sen2
(
T
2
)
2
T2
4
it
e d


 
1
2
T
2
sen(
T
2
)
T
2












2
it
e d



87

88. f (t) 
1
2
T
2
sen(
T
2
)
T
2












T
2
sen(
T
2
)
T
2












it
e d



y, llamando:
ˆ
g() 
T
2
sen(
T
2
)
T
2
nos queda que:
f (t) 
1
2
ˆ
g()ˆ
g()
it
e d


 
1
2
2 g g
 (t)
Teorema de convolución
g(t) 
0 , t 
T
2
1 , t 
T
2







Antitransformada
de Fourier
88

89. Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda:
gg
 (t) 
1
2
g(u)


 g(t  u)du
g(t) 
0 , t 
T
2
1 , t 
T
2







donde
Si t  T  g  g
 (t)  0
Si  T  t  0  g  g
 (t) 
1
2
1 1

T
2
t+
T
2
  du 
t + T
2
89

90. Si 0  t  T  g  g
 (t) 
1
2
11
t
T
2
T
2
  du 
T  t
2
Si t  T  g  g
 (t)  0
Luego:
f (t)  g  g
 (t) 
T  t
2
, t  T
0 , t  T





90