TRANF. FOURIER- Semana 11.pptx

VARIABLE COMPLEJA
SESIÓN 11: TRANFORMADA DE FOURIER
0 5 10 15 20 25 30
-2
-1
0
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
t
f(t)

Espectros de Frecuencia Discreta
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra
la frecuencia angular w de la componente
correspondiente se le llama el espectro de amplitud de
f(t).
A la gráfica del ángulo de fase fn de los coeficientes cn
contra w, se le llama el espectro de fase de f(t).
Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia
angular w=nw0 es una variable discreta y los espectros
mencionados son gráficas discretas.
Series de Fourier. 2

Dada una función periódica f(t), le corresponde una y
sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un
conjunto único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el
dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t)
especifica la función en el dominio del tiempo.

Ejemplo. Para la función ya analizada:
Se encontró que
Por lo tanto,
1
f(t)
t
. . . -T/2
0 T/2
T . . .
-1
]
)
1
(
1
[
j
c n
n
1
n 


 
]
)
1
(
1
[
c n
n
1
n 

 

El espectro de amplitud se muestra a continuación
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia,
(n=número de armónico = múltiplo de w0).
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Espectro de Amplitud de f(t)
n
Cn

Frecuencia negativa (?) Frecuencia

De la Serie a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuencia para
funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series de
Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de
funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periodica de periodo
T

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo
T:
1
f(t)
t
. . . -T -T/2
0 T/2
T . . .
p
-p/2
p/2











 


2
T
2
p
2
p
2
p
2
p
2
T
t
0
t
1
t
0
)
t
(
f

Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier
en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo
obtenemos (en este caso) graficando cn contra
w=nw0.
)
n
(
)
n
(
sen
)
(
c
2
p
0
2
p
0
T
p
n
w
w


Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2
-60 -40 -20 0 20 40 60
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw
0
c
n

Si el periodo del tren de pulsos aumenta:
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p=1, T=2
t
f(t)
t
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p=1, T=5
f(t)
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p=1, T=10
t
f(t)
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p=1, T=20
t
f(t)

En el límite cuando T, la función deja de ser
periódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de
Fourier?
-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5
p=1, T=
t
f(t)

-50 0 50
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p=1, T=5
-50 0 50
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p=1, T=10
-50 0 50
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
p=1, T=20
-50 0 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
p=1, T=2
w=nw0
c
n

Si hace T muy grande (T): El espectro se
vuelve ¡continuo!

El razonamiento anterior nos lleva a
reconsiderar la expresión de una función f(t) no
periódica en el dominio de la frecuencia, no
como una suma de armónicos de frecuencia
nw0, sino como una función continua de la
frecuencia w.
Así, la serie
Al cambiar la variable discreta nw0 (cuando
T) por la variable continua w, se transforma
en una integral de la siguiente manera:




w

n
t
jn
n
0
e
c
)
t
(
f

Como
La serie queda
O bien,
cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoria
se convierte en
 



w

w








n
t
jn
2
/
T
2
/
T
t
jn
T
1 0
0
e
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f


w


2
/
T
2
/
T
t
jn
T
1
n dt
e
)
t
(
f
c 0
 



w

w

 w







n
t
jn
0
2
/
T
2
/
T
t
jn
2
1 0
0
e
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
 



w



w

 w






 d
e
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f t
j
t
j
2
1

Es decir,
Donde
Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa




w
 w
w
 d
e
)
(
F
)
t
(
f t
j
2
1




w


w dt
e
)
t
(
f
)
(
F t
j
Identidad
de Fourier
Transformada
De Fourier

Notación: A la función F(w) se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se denota por
F, es decir
En forma similar, a la expresión qu enos permite
obtener f(t) a partir de F(w) se le llama
transformada inversa de Fourier y se denota
por F –1 ,es decir




w


w
w


w d
e
)
(
F
)
t
(
f
)]
(
F
[ t
j
2
1
1
F




w


w
 dt
e
)
t
(
f
)
(
F
)]
t
(
f
[ t
j
F

Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular
f(t) siguiente
Solución. La expresión en el dominio del tiempo
de la función es
-p/2
0 p/2
1
f(t)
t









 

t
0
t
1
t
0
)
t
(
f
2
p
2
p
2
p
2
p

Integrando
Usando la fórmula de Euler
Obsérvese que el resultado es igual al obtenido
para cn cuando T , pero multiplicado por T.

 
w




w



w
2
/
p
2
/
p
t
j
t
j
dt
e
dt
e
)
t
(
f
)
(
F
2
/
p
2
/
p
t
j
j
1
e 
w

w


)
e
e
( 2
/
p
j
2
/
p
j
j
1 w
w

w
 

2
/
p
)
2
/
p
(
sen
p
)
(
F
w
w

w

En forma Gráfica
-50 0 50
0
0.5
1
F(w) con p=1
w
F(w)

Determine la Transformada de Fourier del pulso “encendido-apagado” mostrado en la
siguiente figura

Medidores Digitales
La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo
electrónico digital con la capacidad de cálculo de
espectros de frecuencia para señales del mundo
real, por ejemplo:
1) Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N.)
2) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls)
3) Power Platform PP-4300

Medidores Digitales
El Fluke 123 scope meter

Medidores Digitales
Tektronix THS720P (osciloscopio digital)

Medidores Digitales
Analizador de potencia PP-4300
Es un equipo especializado en monitoreo de la
calidad de la energía: permite medición de 4
señales simultáneas (para sistemas trifásicos)

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