Este documento presenta el método de expansión en fracciones parciales para encontrar la transformada inversa de Laplace de funciones. Explica que si una transformada específica no se encuentra en una tabla, puede escribirse como una suma de fracciones simples con polos conocidos. También describe cómo usar MATLAB para encontrar los residuos, polos y términos directos de una expansión en fracciones parciales.

1. Transformada inversa de
Laplace
• Un método conveniente es usar la tabla de
transformadas de laplace.
• Si una transformada especifica F(s) no se encuentra,
puede expandirse en fracciones parciales y escribirse en
términos de funciones simples de s, para los cuales se
conoce su transformada inversa.

2. Método de expansión en
fracciones parciales
• Para análisis de sistemas de control la transformada de
laplace de f(t) ocurre con frecuencia en la forma:
• Si F(s) se separa en componentes:
F(s) = F1(s) + F2(s)+ ... +Fn(s)

3. Método de expansión en
fracciones parciales
• Debe indicarse que para aplicar este método hay que
encontrar con anticipación las raíces del polinomio del
denominador (factorizar el denominador).

4. Método de expansión en
fracciones parciales
• El valor de se encuentra con la siguiente formula:

5. Método de expansión en
fracciones parciales
• Por tanto
• Debido a que:
• f(t) se obtiene como:

6. ejemplos
• Encuentre la transformada inversa de Laplace de:

7. ejemplos
• Encuentre la transformada inversa de Laplace de:

8. Fracciones parciales con polos múltiples
Por tanto suponiendo que s= -1:
3
3
2
2
1
1
)1()1()1()(
)(
)(
+
+
+
+
+
==
s
b
s
b
s
b
sA
sB
sF
32
2
1
3
)1()1(
)(
)(
*)1( bsbsb
sA
sB
s ++++=+

9. Fracciones parciales con polos múltiples
Así mismo la diferenciación de ambos miembros con
respecto a s produce:

10. Fracciones parciales con polos múltiples

11. Fracciones parciales con MATLAB
Sea la función de transferencia:
Donde ai y bi pueden ser cero
• num = [b0 b1 ... bn]
den = [1 a1 ... an]
El comando: [r,p,k] = residue(num,den)
Encuentra los residuos (r), los polos (p) y los terminos directos (k), de un
desarrollo en fracciones simples.
n
nn
n
nn
asas
bsbsb
den
num
sA
sB
+++
+++
== −
−
...
...
)(
)(
1
1
1
10
)(
)(
)(
...
)2(
)2(
)1(
)1(
)(
)(
sk
nps
nr
ps
r
ps
r
sA
sB
+
−
++
−
+
−
=

12. Fracciones parciales con MATLAB
EJEMPLO:
Para esta función se tiene:
num=[2 5 3 6]
den=[1 6 11 6]
[r,p,k]=residue(num,den)
Entonces:
6116
6352
)(
)(
23
23
+++
+++
=
sss
sss
sA
sB
r =
-6.0000
-4.0000
3.0000
p =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k =
2
2
1
3
2
4
3
6
)(
)(
+
+
+
+
−
+
+
−
=
ssssA
sB

13. Fracciones parciales con MATLAB
La función residue también se puede utilizar para obtener los
polinomios (numerador y denominador), a partir de su desarrollo en
fracciones simples.
» >> [num, den]=residue(r,p,k);
» >> printsys(num,den,'s')
»
» num/den =
»
» 2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6
» -----------------------
» s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6
• printsys(num,den,'s'): imprime (num/den) en términos del cociente de
los polinomios en s