Este documento explica la transformada de Fourier, que transforma señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería. También define la transformada de Fourier y sus propiedades, como la linealidad, el escalamiento, el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, y la simetría. Finalmente, presenta ejemplos de aproximaciones a la transformada de Fourier y series de Fourier para funciones periódicas y no periódicas.

1. Michael varela Matemática 4
Transformada de Fourier
La transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada así por Joseph Fourier,
es una matemática empleada para transformar señales entre el dominio del
tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en
la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera
de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de
transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical
continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede
simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado
coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de
la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función
f de valores complejos y definidos en la recta, con otra función g definida de la
manera siguiente:
Donde es , es decir, tiene que ser una función integrable en el sentido de
la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el
enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier.
Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente
adoptada, no es universal. En la práctica las variables X y suelen estar asociadas
a dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —herzios—
respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:
Definición formal
Sea una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de es la función

2. Aproximación a la transformada de Fourier.
Considere la función fT(t) la cual es periódica de periodo T y que se muestra en la
figura #1.
Representación gráfica de la función periódica fT(t).
Figura #1
A partir de fT(t) se puede obtener una función f(t) la cual tiene como característica
que su periodo tiende a infinito. Esto es, el periodo de la función fT(t) se hace
tender a infinito, con lo cual, se obtiene que f(t) no es periódica.
Figura #2
Representación gráfica de la función periódica fT(t)
Considerando que el periodo se hace muy grande.
La figura #2 muestra la función f(t) luego que se ha hecho el periodo tender a
infinito en la función fT(t).
La función f(t) se puede definir como:
f t lim
T
( ) 



f (t) =
1 si - d / 2 < t < d / 2
0 en otro casoT (Ecuación 1)
De acuerdo a la ecuación #1 la función f(t) no es periódica.
f (t) d
T
t
T
f(t)
td/2-d/2

3. Integral de Fourier.
Considérese la función f(t) definida anteriormente; su representación en serie de Fourier es:
f t c en
jnw t
n
( ) .


 0
c
T
f t e dtn
jnw t
T
T
 


1 0
2
2
( ). .
/
/
Donde w T0 2  / .
Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 2 se tiene:
f t f x e dx ejnw x
T
T
jnw t
n
( ) ( ). .
/
/











1
T
0 0
2
2
Transformada de Fourier.
La transformada de Fourier se define y se denota como:
F w f t f t e dtjwt
( ) [ ( )] ( ) .  



Donde f (t) es la función a la cual se desea hallar la transformada de Fourier.
Para indicar la operación transformada de Fourier se utiliza el operador F (la letra “F”
gótica).
Dada F (w) es posible hallar f (t) a partir de ella. Este proceso se conoce con el nombre de
transformada inversa de Fourier y se denota como:
f t F w F w e dwjwt
( ) [ ( )] ( ) . 



-1 1
2
Donde el operador F -1
indica transformada inversa de Fourier.
Las ecuaciones 10 y 11 se conocen con el nombre de par de transformadas de Fourier.
Para que la transformada de Fourier exista generalmente se considera que:
f t dt( )  



Propiedades de la transformada de Fourier.

4. a) Propiedad de linealidad.
Si F1(w) = F[f1(t)] y F2(w) = F[f2(t)], además a1 y a2 son dos constantes arbitrarias,
entonces:
F [a1 f1(t) + a2 f2(t)] = a1 F1(w) + a2 F2(w)
b) Propiedad de escalamiento.
Si a es una constante real y F(w) = F[f(t)] entonces:
[f( t)] =
1
a
a F
w
a






Si a es positiva y mayor que uno, f(at) es una versión comprimida de f(t) y su
densidad espectral se expande en frecuencia por 1/a.
Si a es positiva y menor que uno, f(at) se expande y su densidad espectral se
comprime.
c) Si F[f(t)] = F(w) entonces:
F [f(- t)] = F(- w)
d) Propiedad de desplazamiento en el tiempo.
Si F(w) = F[f(t)] entonces:
[ ( )] ( ).f t t F w e jwt
  
0
0
e) Propiedad de desplazamiento en la frecuencia.
Si w0 es una constante real y F(w) = F[f(t)] entonces:
[ ( ). ] ( )f t e F w wjw t0
0 

5. f) Propiedad de simetría.
Si F(w) = F[f(t)] entonces:
[ ( ) ] ( )F t f w 2
Ejercicio