2. Logro de aprendizaje:
Al finalizar la sesión el estudiante comprende todo lo referente a las series de
Fourier, la transformada de Fourier, y su importancia para la representación de las
señales en el dominio de la frecuencia.
Transformada Discreta de Fourier
Representación de una señal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia
3. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Si a partir de una señal no periódica 𝑥 𝑛 , tenemos la señal periódica 𝑥𝑝[𝑛] cuyo periodo es
N. Entonces:
La serie de Fourier para la señal 𝑥𝑝[𝑛] y los coeficientes serás:
Si reemplazamos los coeficientes por unos no normalizados , tenemos:
Transformada Discreta de Fourier
4. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Si multiplicamos y dividimos por una constante, la relación se mantiene:
La ecuación se puede ver como una suma de Riemann de la integral de una función de
variable continua entre 0 a 2π, entonces:
Identificando términos, también tenemos:
Transformada Discreta de Fourier
5. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Dada la periodicidad de la transformada de Fourier cuyo periodo es 2π, entonces la integral
puede extenderse a cualquier periodo, entonces:
Es posible deducir la relación entre los coeficientes de la serie de Fourier discreta y la
transformada de Fourier de su periodo fundamental:
Transformada Discreta de Fourier
6. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
La transformada de Fourier en tiempo discreto es convergente si las señales son
absolutamente sumables, lo cual supone que la señal 𝑥 𝑛 es de energía finita:
Considerando las señales no periódicas 𝑥 𝑛 , y 𝑛 y z 𝑛 con transformadas de Fourier
𝑋(Ω), Y(Ω) y 𝑍 Ω respectivamente, entonces se tienen las siguientes propiedades:
• Linealidad: Si z 𝑛 = α. 𝑥 𝑛 + β. y 𝑛 , tendremos que: 𝑍 Ω = α. 𝑋(Ω) + β. Y(Ω).
• Desplazamiento temporal: si y 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑛0 tendremos lo siguiente:
Transformada Discreta de Fourier
7. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
• Inversión en el tiempo: si y 𝑛 = 𝑥 −𝑛 , tenemos lo siguiente:
• Escalado temporal: similar al caso anterior, considerando la señal discreta:
• Si , tenemos:
Transformada Discreta de Fourier
8. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
• Multiplicación: Si z 𝑛 = 𝑥 𝑛 . 𝑦 𝑛 , entonces se tiene que:
El resultado representa la convolución periódica de 𝑋(Ω), Y Ω , tener en cuenta que puede
considerarse cualquier periodo de integración.
• Convolución periódica: Si z 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦 𝑛 , entonces:
Transformada Discreta de Fourier
9. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Otras relaciones importantes:
• Diferenciación: Si y 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥[𝑛 − 1] , usamos la propiedad de linealidad y
desplazamiento temporal para obtener lo siguiente:
• Valor medio: el valor medio de la señal discreta 𝑥 𝑛 en un periodo es:
• Relación de Parseval:
Transformada Discreta de Fourier
10. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
En el caso de señales periódicas, partiendo de la serie de Fourier discreta:
La transformada de Fourier será:
Considerar que al ser periódicos de periodo 𝑁, los 𝑐𝑘, 𝑋(Ω) sigue siendo periódico de
periodo 2π.
La transformada de Fourier en el caso discreto, similar al tiempo continuo, permite
simplificar el análisis de sistemas lineales e invariantes. La razón principal es la propiedad
que permite transformar convoluciones temporales a productos de los espectros.
Transformada Discreta de Fourier
11. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Si, ante una señal de entrada 𝑥 𝑛 , representamos la salida de un sistema LTI como:
Podemos suponer la interpretación de la transformada de Fourier en tiempo discreto como
superposición de armónicos, entonces:
Se tiene que 𝑦 𝑛 se representa por una combinación lineal de armónicos que hay en la
entrada, el cual al pasar por el sistema LTI ve alterada su amplitud y su fase por el autovalor
𝐻 Ω , el cual depende de la frecuencia.
Esta interpretación es útil para diseñar filtros selectivos en frecuencia para señales en
tiempo discreto.
Transformada Discreta de Fourier
12. Ejercicios:
• Calcular la transformada de Fourier de 𝑥 𝑛 =
1
2
𝑛
𝑢 𝑛
• Obtener la transformada de Fourier de 𝑥 𝑛 = 3𝛿 𝑛 − 1 ∗ 𝑒𝑗(𝑛−1)
Transformada Discreta de Fourier Referencia: https://www.lpi.tel.uva.es/lineales/apuntes/tema4.pdf
