Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores para ángulos comunes, y teoremas para resolver triángulos. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas, y problemas. El documento está organizado en secciones de introducción teórica y ejercicios resueltos.
1. This document provides examples and problems related to concepts involving the definite integral.
2. There are 30 problems involving calculations of definite integrals, summations, and other concepts related to the definite integral.
3. The problems progress from simpler calculations and concepts to more complex examples involving multiple steps and terms in the integrals and summations.
Este documento presenta información sobre trigonometría. Explica las funciones trigonométricas básicas como seno, coseno y tangente. También cubre las razones trigonométricas reciprocas y la resolución de problemas comunes usando el teorema del seno y del coseno. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta 30 problemas relacionados con la conversión entre los sistemas de medida angular sexagesimal, centesimal y radianes. Los problemas incluyen calcular ángulos en diferentes sistemas, determinar valores desconocidos a partir de ecuaciones que relacionan las medidas en cada sistema, y cálculos geométricos como la longitud de arcos y el área de sectores circulares.
El documento define las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo como cocientes entre las medidas de los lados divididos por la hipotenusa. Explica que el seno es el cateto opuesto dividido por la hipotenusa, el coseno es el cateto adyacente dividido por la hipotenusa, y la tangente es el cateto opuesto dividido por el cateto adyacente. Además, presenta ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de las razones trigonométricas.
Este documento contiene 15 preguntas de geometría analítica sobre vectores, rectas y puntos. Algunas preguntas tienen que ver con la equivalencia y ortogonalidad de vectores, ecuaciones de rectas, puntos medios, ángulos entre rectas, pendientes, y distancias entre puntos y rectas. El documento proporciona varias opciones de respuesta para cada pregunta y pide marcar la respuesta correcta.
Este documento presenta información sobre productos notables, división algebraica y cocientes notables. Cubre definiciones, tablas de identidades, casos especiales, métodos de división, teoremas y aplicaciones de estos temas fundamentales de álgebra. Incluye ejemplos detallados de identidades como la suma y diferencia de un binomio al cuadrado y al cubo, y las identidades de Legendre, Steven y Argand.
Ubicando Pares Ordenados Sobre El Plano Cartesianocarina
El documento explica cómo ubicar puntos ordenados en el plano cartesiano. Define la abscisa como la coordenada x que representa la distancia horizontal desde el origen, y la ordenada como la coordenada y que representa la distancia vertical desde el origen. Proporciona ejemplos de puntos en los cuatro cuadrantes con sus coordenadas (x, y) respectivas.
Identidades trigonométricas de arcos compuestos ppt4luisa guerra
Este documento presenta identidades trigonométricas para sumas y diferencias de arcos. Explica que sen(x + y) = senx * cosy + seny * cosx y que cos(x + y) = cosx * cosy - seny * senx. También cubre identidades para la diferencia de arcos y propiedades como que tgx + tgy + tg(x + y) = tgx * tgy. El objetivo es desarrollar expresiones como sen(x ± y) y calcular razones trigonométricas de ángulos desconocidos usando estas identidades
1. This document provides examples and problems related to concepts involving the definite integral.
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Este documento presenta información sobre trigonometría. Explica las funciones trigonométricas básicas como seno, coseno y tangente. También cubre las razones trigonométricas reciprocas y la resolución de problemas comunes usando el teorema del seno y del coseno. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta 30 problemas relacionados con la conversión entre los sistemas de medida angular sexagesimal, centesimal y radianes. Los problemas incluyen calcular ángulos en diferentes sistemas, determinar valores desconocidos a partir de ecuaciones que relacionan las medidas en cada sistema, y cálculos geométricos como la longitud de arcos y el área de sectores circulares.
El documento define las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo como cocientes entre las medidas de los lados divididos por la hipotenusa. Explica que el seno es el cateto opuesto dividido por la hipotenusa, el coseno es el cateto adyacente dividido por la hipotenusa, y la tangente es el cateto opuesto dividido por el cateto adyacente. Además, presenta ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de las razones trigonométricas.
Este documento contiene 15 preguntas de geometría analítica sobre vectores, rectas y puntos. Algunas preguntas tienen que ver con la equivalencia y ortogonalidad de vectores, ecuaciones de rectas, puntos medios, ángulos entre rectas, pendientes, y distancias entre puntos y rectas. El documento proporciona varias opciones de respuesta para cada pregunta y pide marcar la respuesta correcta.
Este documento presenta información sobre productos notables, división algebraica y cocientes notables. Cubre definiciones, tablas de identidades, casos especiales, métodos de división, teoremas y aplicaciones de estos temas fundamentales de álgebra. Incluye ejemplos detallados de identidades como la suma y diferencia de un binomio al cuadrado y al cubo, y las identidades de Legendre, Steven y Argand.
Ubicando Pares Ordenados Sobre El Plano Cartesianocarina
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Identidades trigonométricas de arcos compuestos ppt4luisa guerra
Este documento presenta identidades trigonométricas para sumas y diferencias de arcos. Explica que sen(x + y) = senx * cosy + seny * cosx y que cos(x + y) = cosx * cosy - seny * senx. También cubre identidades para la diferencia de arcos y propiedades como que tgx + tgy + tg(x + y) = tgx * tgy. El objetivo es desarrollar expresiones como sen(x ± y) y calcular razones trigonométricas de ángulos desconocidos usando estas identidades
Este documento explica el concepto de progresión geométrica, donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. Presenta ejemplos y fórmulas para calcular términos individuales, la suma de los términos y más. Luego, proporciona una serie de ejercicios resueltos que ilustran cómo aplicar estas fórmulas para encontrar términos, razones y sumas en diferentes progresiones geométricas.
Vectors are directed line segments used to represent quantities with both magnitude and direction. They have an initial point and terminal point. The document provides examples of calculating the component form and magnitude of vectors, as well as the standard operations of vector addition and scalar multiplication. It also discusses the dot product and using it to determine the angle between two vectors.
El documento presenta la solución a un examen de trigonometría con 5 preguntas. La primera pregunta encuentra el conjunto de soluciones para una ecuación trigonométrica. La segunda determina las razones trigonométricas de un ángulo. La tercera calcula las razones trigonométricas para un ángulo coterminal. La cuarta y quinta verifican identidades trigonométricas.
El documento presenta diferentes problemas resueltos sobre medidas de ángulos en circunferencias. Explica cómo calcular la medida de ángulos centrales, interiores, inscritos, semi-inscritos, ex-inscritos y exteriores utilizando las medidas de arcos opuestos y propiedades geométricas. Resuelve 10 problemas aplicando estas fórmulas y conceptos para encontrar medidas de ángulos desconocidos.
Este documento presenta un capítulo sobre vectores. Introduce conceptos clave como cantidades escalares y vectoriales, y cómo representar vectores usando coordenadas polares y rectangulares. Explica cómo encontrar los componentes y la resultante de vectores. También revisa expectativas matemáticas como álgebra, trigonometría y notación científica necesarias para comprender vectores. El objetivo es que los estudiantes aprendan a representar y analizar magnitudes físicas que tienen tanto magnitud como dirección.
Este documento proporciona fórmulas para calcular el área, perímetro y volumen de varias figuras geométricas del plano y del espacio, incluyendo cuadrados, rectángulos, círculos, esferas, cubos, cilindros y más. Proporciona detalles como las fórmulas para calcular el área total, lateral y base, así como el volumen de figuras tridimensionales como conos, pirámides, prismas y toros.
Este documento contiene la resolución de varios ejercicios sobre funciones lineales. Presenta ejercicios de representación gráfica de rectas, cálculo de pendientes, y obtención de ecuaciones de rectas. Los ejercicios están organizados en 4 problemas y se resuelven paso a paso mediante fórmulas y gráficas.
El documento presenta la solución a 20 problemas de álgebra. Cada problema contiene una ecuación o expresión algebraica que debe resolverse para hallar el valor de una variable. El profesor provee la resolución detallada de cada problema paso a paso.
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica las funciones exponenciales y cómo se usan para modelar el crecimiento poblacional. Luego introduce las funciones logarítmicas, definiendo los logaritmos y estableciendo la relación entre las formas exponencial y logarítmica. Finalmente, cubre las propiedades y leyes de los logaritmos.
Semana 4 - Razones y proporciones -Magnitudes proporcionales.pdfMelanyHurtadoGutierr
Este documento presenta conceptos sobre proporcionalidad directa e inversa, razones y proporciones aritméticas y geométricas. Explica que una magnitud es directamente proporcional a otra cuando ambas aumentan o disminuyen en la misma proporción, mientras que son inversamente proporcionales cuando una aumenta mientras la otra disminuye. También define términos como términos extremos, medios y diferenciales o proporcionales en una proporción. Finalmente incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe los conceptos de sonido espacial, fuentes sonoras y vibraciones de cuerdas. Explica que el sonido espacial manipula el sonido para crear la sensación de movimiento en un espacio. Las fuentes sonoras son objetos que vibran y producen sonido, como gotas de agua o truenos. Luego describe que las cuerdas producen sonido a diferentes frecuencias dependiendo de su longitud y el número de armónicos, y pueden ser excitadas de diferentes formas como con dedos, uñas o arcos. Finalmente,
Este documento presenta la resolución de varios problemas de matemáticas. El primer problema involucra calcular el área de un cuadrilátero formado dentro de un triángulo equilátero. El segundo problema trata de determinar la cantidad de problemas difíciles menos fáciles resueltos por tres personas. El tercer problema pide calcular la cantidad de alumnos que faltaron a la escuela un día dado.
Un documento describe un problema de física que involucra tres bloques conectados en equilibrio sobre un plano inclinado sin fricción. Se pide determinar (a) la masa M suspendida y (b) las tensiones T1 y T2. Resolviendo las ecuaciones de equilibrio, se encuentra que (a) M = 3msenθ y (b) T1 = (2mg)senθ + T2 = (3mg)senθ.
Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores de seno, coseno y tangente para ángulos comunes, y teoremas como el seno y coseno. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas y resolución de triángulos. Finalmente, proporciona ejercicios adicionales para practicar conceptos trigonométricos fundamentales.
El documento presenta la resolución de un examen de trigonometría de 4o de ESO con 7 problemas. En el primer problema se calculan las razones trigonométricas de ángulos mayores de 360o. En el segundo problema se calculan las razones trigonométricas de un ángulo en el 4o cuadrante. Los problemas 3 y 4 demuestran identidades trigonométricas. Los problemas 5, 6 y 7 resuelven triángulos usando teoremas trigonométricos.
Este documento presenta la resolución de un examen de trigonometría para 4o de ESO. El examen contiene 7 problemas que involucran hallar razones trigonométricas, aplicar teoremas trigonométricos como el seno, coseno y teorema del coseno para resolver triángulos. El documento muestra de manera detallada los pasos para resolver cada problema trigonométrico.
Este documento presenta las soluciones a varias tareas de álgebra, trigonometría y geometría analítica. La primera tarea involucra aplicar la ley del seno y coseno para resolver tres ejercicios trigonométricos y graficarlos en GeoGebra. Las siguientes tareas incluyen calcular razones trigonométricas para ángulos agudos en triángulos rectángulos, evaluar identidades trigonométricas y resolver una ecuación trigonométrica. La última tarea aplica el teorema del coseno
Este documento presenta varias ecuaciones trigonométricas para resolver. Instruye resolver las ecuaciones usando funciones trigonométricas inversas con la ayuda de una calculadora. Explica que las soluciones se expresan en grados u radianes considerando todas las posibles respuestas entre 0° y 360° o un número indeterminado k de giros completos.
Este documento presenta ejercicios resueltos de trigonometría para estudiantes de economía y empresa. Incluye problemas sobre ángulos y razones trigonométricas, ecuaciones trigonométricas, áreas de polígonos regulares y problemas geométricos que involucran senos, cosenos y tangentes. Las soluciones detalladas muestran los pasos para calcular razones trigonométricas, simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas y problemas geométricos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la trigonometría plana y esférica. Introduce las funciones trigonométricas y sus razones, definiéndolas a partir de triángulos rectángulos. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo y su representación en el plano cartesiano. Además, incluye fórmulas clave y relaciones entre las funciones trigonométricas.
Este documento explica las funciones trigonométricas básicas como el seno, coseno y tangente. Define estas funciones en términos de los lados de un triángulo rectángulo y presenta fórmulas para resolver triángulos rectángulos dados ciertos datos. También incluye tablas con valores notables de las funciones trigonométricas y gráficas que muestran su comportamiento periódico.
Este documento explica el concepto de progresión geométrica, donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. Presenta ejemplos y fórmulas para calcular términos individuales, la suma de los términos y más. Luego, proporciona una serie de ejercicios resueltos que ilustran cómo aplicar estas fórmulas para encontrar términos, razones y sumas en diferentes progresiones geométricas.
Vectors are directed line segments used to represent quantities with both magnitude and direction. They have an initial point and terminal point. The document provides examples of calculating the component form and magnitude of vectors, as well as the standard operations of vector addition and scalar multiplication. It also discusses the dot product and using it to determine the angle between two vectors.
El documento presenta la solución a un examen de trigonometría con 5 preguntas. La primera pregunta encuentra el conjunto de soluciones para una ecuación trigonométrica. La segunda determina las razones trigonométricas de un ángulo. La tercera calcula las razones trigonométricas para un ángulo coterminal. La cuarta y quinta verifican identidades trigonométricas.
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Este documento presenta un capítulo sobre vectores. Introduce conceptos clave como cantidades escalares y vectoriales, y cómo representar vectores usando coordenadas polares y rectangulares. Explica cómo encontrar los componentes y la resultante de vectores. También revisa expectativas matemáticas como álgebra, trigonometría y notación científica necesarias para comprender vectores. El objetivo es que los estudiantes aprendan a representar y analizar magnitudes físicas que tienen tanto magnitud como dirección.
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Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica las funciones exponenciales y cómo se usan para modelar el crecimiento poblacional. Luego introduce las funciones logarítmicas, definiendo los logaritmos y estableciendo la relación entre las formas exponencial y logarítmica. Finalmente, cubre las propiedades y leyes de los logaritmos.
Semana 4 - Razones y proporciones -Magnitudes proporcionales.pdfMelanyHurtadoGutierr
Este documento presenta conceptos sobre proporcionalidad directa e inversa, razones y proporciones aritméticas y geométricas. Explica que una magnitud es directamente proporcional a otra cuando ambas aumentan o disminuyen en la misma proporción, mientras que son inversamente proporcionales cuando una aumenta mientras la otra disminuye. También define términos como términos extremos, medios y diferenciales o proporcionales en una proporción. Finalmente incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
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Este documento presenta la resolución de varios problemas de matemáticas. El primer problema involucra calcular el área de un cuadrilátero formado dentro de un triángulo equilátero. El segundo problema trata de determinar la cantidad de problemas difíciles menos fáciles resueltos por tres personas. El tercer problema pide calcular la cantidad de alumnos que faltaron a la escuela un día dado.
Un documento describe un problema de física que involucra tres bloques conectados en equilibrio sobre un plano inclinado sin fricción. Se pide determinar (a) la masa M suspendida y (b) las tensiones T1 y T2. Resolviendo las ecuaciones de equilibrio, se encuentra que (a) M = 3msenθ y (b) T1 = (2mg)senθ + T2 = (3mg)senθ.
Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores de seno, coseno y tangente para ángulos comunes, y teoremas como el seno y coseno. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas y resolución de triángulos. Finalmente, proporciona ejercicios adicionales para practicar conceptos trigonométricos fundamentales.
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Este documento presenta la resolución de un examen de trigonometría para 4o de ESO. El examen contiene 7 problemas que involucran hallar razones trigonométricas, aplicar teoremas trigonométricos como el seno, coseno y teorema del coseno para resolver triángulos. El documento muestra de manera detallada los pasos para resolver cada problema trigonométrico.
Este documento presenta las soluciones a varias tareas de álgebra, trigonometría y geometría analítica. La primera tarea involucra aplicar la ley del seno y coseno para resolver tres ejercicios trigonométricos y graficarlos en GeoGebra. Las siguientes tareas incluyen calcular razones trigonométricas para ángulos agudos en triángulos rectángulos, evaluar identidades trigonométricas y resolver una ecuación trigonométrica. La última tarea aplica el teorema del coseno
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Este documento presenta ejercicios resueltos de trigonometría para estudiantes de economía y empresa. Incluye problemas sobre ángulos y razones trigonométricas, ecuaciones trigonométricas, áreas de polígonos regulares y problemas geométricos que involucran senos, cosenos y tangentes. Las soluciones detalladas muestran los pasos para calcular razones trigonométricas, simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas y problemas geométricos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la trigonometría plana y esférica. Introduce las funciones trigonométricas y sus razones, definiéndolas a partir de triángulos rectángulos. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo y su representación en el plano cartesiano. Además, incluye fórmulas clave y relaciones entre las funciones trigonométricas.
Este documento explica las funciones trigonométricas básicas como el seno, coseno y tangente. Define estas funciones en términos de los lados de un triángulo rectángulo y presenta fórmulas para resolver triángulos rectángulos dados ciertos datos. También incluye tablas con valores notables de las funciones trigonométricas y gráficas que muestran su comportamiento periódico.
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con la trigonometría de ángulos agudos en triángulos. Incluye cálculos de razones trigonométricas en diferentes triángulos, uso de relaciones fundamentales, resolución de triángulos rectángulos, y más. El documento proporciona detalles paso a paso para cada ejercicio con el objetivo de practicar y reforzar conceptos trigonométricos básicos.
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con la trigonometría de ángulos agudos en triángulos. Incluye cálculos de razones trigonométricas en diferentes triángulos, uso de relaciones fundamentales, resolución de triángulos rectángulos, y más. El documento proporciona detalles paso a paso para cada ejercicio con el objetivo de practicar y reforzar conceptos trigonométricos básicos.
El documento presenta los conceptos básicos de la trigonometría en triángulos rectángulos, incluyendo las definiciones de seno, coseno, tangente y otras funciones trigonométricas, así como fórmulas y valores para ángulos de 30°, 45° y 60°. También incluye ejemplos de cálculos trigonométricos y la resolución de problemas geométricos usando estas relaciones.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Pitágoras descubrió el teorema que relaciona los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Las funciones seno, coseno y tangente definen las razones trigonométricas entre los lados de cualquier triángulo. La ley del seno y la ley del coseno permiten resolver problemas sobre triángulos desconociendo uno o más lados o ángulos.
El documento presenta conceptos básicos de trigonometría para resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos y no rectángulos. Explica las funciones trigonométricas, la ley de los senos y la ley de los cosenos, e incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas leyes y conceptos.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos de reducción al primer cuadrante para determinar las razones trigonométricas de ángulos que no son agudos en función de ángulos agudos. Explica casos como ángulos positivos menores de una vuelta, mayores de una vuelta, negativos, fraccionarios y relacionados. También incluye ejemplos y problemas para practicar la aplicación de estas técnicas.
El documento describe los tipos de triángulos no rectángulos (agudángulos y obtusángulos) y métodos para resolver triángulos no rectángulos usando los teoremas del seno y coseno. Proporciona ejemplos de cómo aplicar estos teoremas para calcular lados y ángulos desconocidos dados otros elementos del triángulo. También incluye ejercicios de práctica aplicando los teoremas.
Este documento describe métodos para resolver triángulos oblicuángulos usando una calculadora científica. Explica que el teorema del coseno y el teorema del seno pueden usarse para calcular ángulos y lados. Luego proporciona dos reglas sencillas para determinar qué ángulo calcular de manera que el valor dado por la calculadora sea el correcto. Finalmente, incluye un apéndice sobre cómo calcular el argumento de un número complejo.
Este documento describe cómo resolver triángulos oblicuángulos, que son triángulos sin ángulos rectos, utilizando la ley del seno y la ley del coseno. Explica que la ley del seno se usa cuando se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos, o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. La ley del coseno se usa cuando se conocen los tres lados o dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. A continuación, proporciona ejemplos de cómo aplicar
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre trigonometría. Los ejercicios cubren temas como conversiones entre grados y radianes, cálculo de senos, cosenos y tangentes, y aplicación de las relaciones trigonométricas básicas para calcular ángulos y razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Este documento presenta 30 ejercicios de trigonometría agrupados en 4 secciones: cálculo de razones trigonométricas, demostración de igualdades trigonométricas, resolución de ecuaciones trigonométricas y problemas. Los ejercicios abarcan temas como senos, cosenos, tangentes y aplicaciones del teorema del seno y coseno para resolver problemas geométricos.
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El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
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El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
1. MATEMÁTICAS TIMONMATE
EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Juan Jesús Pascual
1/22
TRIGONOMETRÍA
A. Introducción teórica
A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes).
A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica.
A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas.
A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno.
B. Ejercicios resueltos
B.1. Razones trigonométricas.
B.2. Ecuaciones trigonométricas.
B.3. Problemas.
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:
Las razones trigonométricas de un triángulo
rectángulo son las siguientes funciones:
La función seno, coseno, tangente, cosecante,
secante y cotangente.
Todas ellas pueden entenderse como
relaciones entre los lados de un triángulo
rectángulo.
Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β
del triángulo rectángulo aquí representado:
a) Para el ángulo α:
función seno función coseno función tangente
α =
a
sen
c
α =
b
cos
c
α =
a
tg
b
función cosecante función secante función cotangente
1 c
cosec
sen a
α = =
α
α = =
α
1 c
sec
cos b
α = =
α
1 b
cotg
tg a
2. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
2/22
b) Para el ángulo β:
función seno función coseno función tangente
β =
b
sen
c
β =
a
cos
c
β =
b
tg
a
función cosecante función secante función cotangente
β = =
β
1 c
cosec
sen b
β = =
β
1 c
sec
cos a
β = =
β
1 a
cotg
tg b
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos
(en grados y radianes)
ángulo sen cos tg ángulo sen cos tg
0º 0 rad 0 1 0 60º rad
3
π 3
2
1
2
3
30º rad
6
π 1
2
3
2
1
3
90 rad
2
π
1 0 ∞
45º rad
4
π 2
2
2
2
1 180º radπ 0 –1 0
A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera
goniométrica
Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la
unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido
muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo
mediante el siguiente dibujo.
3. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
3/22
A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas
a) Relaciones fundamentales:
El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados
mediante la siguiente igualdad:
sen
tg
cos
θ
= θ
θ
Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente
vinculada al teorema de Pitágoras:
2 2
sen cos 1θ+ θ =
b) Relaciones del ángulo suma–diferencia:
( )α ±β = α⋅ β ± β⋅ αsen sen cos sen cos
( )α ±β = α⋅ β α⋅ βcos cos cos sen sen∓
( )
α ± β
α ±β =
α⋅ β
tg tg
tg
1 tg tg∓
c) Relaciones del ángulo doble
Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales.
( )α = α⋅ αsen 2 2sen cos
( )α = α − α2 2
cos 2 cos sen
( )
α
α =
− α2
2tg
tg 2
1 tg
d) Relaciones del ángulo mitad
α − α
=2 1 cos
sen
2 2
α + α
=2 1 cos
cos
2 2
4. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
4/22
α − α
=
+ α
2 1 cos
tg
2 1 cos
A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno
Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se
verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno
y teorema del coseno.
a) Teorema del seno: = =
a b c
senA senB senC
b) Teorema del coseno: = + −2 2 2
a b c 2bccosA
B. EJERCICIOS RESUELTOS
B.1. Cálculo de razones trigonométricas
1. Sabiendo que sen 0,86α = calcula las demás razones trigonométricas
directas e inversas
Solución:
Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y
las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar
todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:
• sen 0,86α =
CB
A
c b
a
5. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
5/22
• El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental
2 2
sen cos 1θ + θ = :
2 2 2 2 2
sen cos 1 cos 1 sen cos 1 senθ+ θ = ⇒ θ = − θ ⇒ θ = − θ
Sustituyendo datos:
2 2 1
cos 1 sen cos 1 0,86 cos
2
θ = − θ ⇒ θ = − ⇒ θ =
• La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental
sen
tg
cos
θ
= θ
θ
. Sólo hay que sustituir en ella los valores conocidos:
sen 0,86
tg tg tg 1,72
cos 0,5
θ
= θ ⇒ θ = ⇒ θ =
θ
• La cosecante es la inversa del seno.
1 1
cosec sen 1,26
0,86
−
α = α = =
• La secante es la inversa del coseno.
1 1
sec cos 2
1
2
−
α = α = =
• La cotangente es la inversa de la tangente.
1 1
cotg tg 0,58
1,72
−
α = α = =
2. Calcula las relaciones trigonométricas
directas de α y β
Solución:
Las razones trigonométricas directas son el
seno, el coseno y la tangente.
Para el ángulo α:
40
sen sen 0,8
50
α = ⇒ α = ,
30
cos cos 0,6
50
α = ⇒ α =
40
tg tg 1,33
30
α = ⇒ α =
Observa que se cumple que 2 2
sen cos 1α + α =
6. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
6/22
Para el ángulo β :
30
sen sen 0,6
50
β = ⇒ β =
40
cos cos 0,8
50
β = ⇒ β =
30
tg tg 0,75
40
β = ⇒ β =
Observa que también se cumple que 2 2
sen cos 1β + β = , como no podía
ser de otra manera.
3. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
135º
Solución:
El ángulo 135º está en el 2º cuadrante. Será equivalente a un ángulo
de 45º para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se
indica en la figura.
- 560º
Solución:
Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:
560 360
1 vuelta 360º 200º
200 1
⇒ ⋅ +
El ángulo que tenemos que manejar es -200º. Ello es equivalente a un
ángulo de 20º en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y
cos20 es negativo
135º
45º
- cos 45
sen 45
7. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
7/22
4. Sabiendo que
3
cos
2
α = y que α está en el 4º cuadrante, halla las
demás razones trigonométricas.
Solución:
Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es
negativo.
El senα lo deducimos usando la relación fundamental de la
trigonometría: 2 2
sen cos 1α + α =
Así:
2
2 2 2 3 3 1
sen cos 1 sen 1 sen 1
2 4 2
α + α = ⇒ α + = ⇒ α =− − =−
El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata:
1
sen 12tg
cos 3 3
2
−
α
α = = =−
α
;
1
cotg 3
tg
α = = −
α
;
1 3
sec
cos 2
α = =
α
;
1
cosec 2
sen
α = =−
α
5. Sabiendo que
1
tg
3
α =− y que α está en el 2º cuadrante, halla las
demás razones trigonométricas.
Solución:
Si α está en el 2º cuadrante entonces cosα es negativo y senα es
positivo.
- Utilizamos la relación 2
2
1
tg 1
sen
α + =
α
para hallar senα :
2
2
2 2 2
1 1 1 4 1 3
tg 1 1 sen
sen sen 3 sen 23
α + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ α = α α α
-200º
20º
- cos 45
sen 20
8. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
8/22
- Hallamos cosα a partir de
sen
tg
cos
α
α =
α
:
3
sen 32cos
1tg 2
3
α
α = = =−
α −
.
- Las obtención de las razones trigonométricas inversas es inmediata:
1 2
sec
cos 3
α = =−
α
;
1 2
cosec
sen 3
α = =
α
;
1
cotg 3
tg
α = =−
α
6. Si α está en el tercer cuadrante y
1
sen
2
α =− , determina las siguientes
razones trigonométricas:
( )sen 180º−α
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo, como bien
indica el enunciado. Pero, en general, ( )sen sen 180α = −α , así que
( )
1
sen 180
2
−α =−
( )sen 180º+α
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo. Además:
( )sen sen 180α =− −α , así que ( )
1
sen 180
2
−α =
( )cos 180º−α
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante cosα es negativo. Además:
( )cos cos 180α =− −α .
Deduzcamos cosα :
Usamos la relación fundamental de la trigonometría:
2 2
sen cos 1α + α =
2
2 2 21 1 3
sen cos 1 cos 1 cos 1
2 4 4
α + α = ⇒ − + α = ⇒ α =− − =−
9. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
9/22
Entonces, ( )
3
cos 180
4
−α =
( )cos 180º+α
Solución:
Se cumple que ( )cos cos 180α =− +α . Entonces:
( )
3
cos 180
4
− =− +α ⇒ ( )
3
cos 180
4
+α =
( )tg 180º−α
Solución:
( )
( )
( )
1
sen 180º 22tg 180º
3cos 180º 3
4
−−α
−α = = =
−α −
( )tg 180º+α
Solución:
( )
( )
( )
1
sen 180º 22tg 180º
3cos 180º 3
4
+α
+α = = =
+α
B.2. Demostración de igualdades trigonométricas:
7.
2sen 3
cos
2tg 3sec
α +
= α
α + α
Solución:
Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para
convertirlo en cos α . Teniendo en cuenta que
sen
tg
cos
α
α =
α
y que
1
sec
cos
α =
α
, podemos escribir:
2sen 3 2sen 3
sen 32tg 3sec 2
cos cos
α + α +
=
αα + α +
α α
10. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
10/22
Operamos esa expresión con el fin de simplificarla:
( )cos 2sen 32sen 3 2sen 3
sen 3 2sen 3
2
cos cos cos
α α +α + α +
= =
α α +
+
α α α
2sen 3α +
cos= α
Como acabamos de ver, la igualdad se cumple.
8.
2
2
2
sen
tg
1 sen
α
α =
− α
Solución:
Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
2
2
2
sen
A tg
cos
α
= α =
α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
En
2
2
sen
B
1 sen
α
=
− α
vamos a reescribir el denominador de una forma
más conveniente:
Teniendo en cuenta que 2 2
sen cos 1α + α = se deduce que
2 2
1 sen cos− α = α . Entonces:
2 2
2 2
sen sen
B
1 sen cos
α α
= =
− α α
Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera.
9. ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )2
2sen 1 1
tg cotg cos sen
sec cosec1 cotg
α α ⋅ α − = α + α ⋅ − α α + α
Solución:
Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
11. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
11/22
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 sen 2 sen1
A tg cotg tg
tg 11 cotg 1
tg
⋅ α ⋅ α
= α ⋅ α − = α ⋅ − =
α+ α +
α
( )
( )
( )
2
2
2 sen
1
cos
1
sen
⋅ α
= −
α
+
α
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
22
2 sen 2 sen
1 1
1sen cos
sensen
⋅ α ⋅ α
= − = − =
α + α
αα
( )2
1 2 sen= − ⋅ α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
B cos sen
sec cosec
= α + α ⋅ − = α α
( ) ( ) ( ) ( )cos sen cos sen = α + α ⋅ α − α =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
cos sen 1 sen sen 1 2 sen= α − α = − α − α = − ⋅ α
Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
10. 2 2 4
2
1
sen cos cos
sec
= α⋅ α + α
α
Solución:
Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
2
2
1
A cos
sec
= = α
α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
( )2 2 4 2 2 2 2
B sen cos cos sen cos cos cos= α⋅ α + α = α + α ⋅ α = α
Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
11. 4 2 4
cosec 1 2 cotg cotgα− = α + α
Solución:
Manipulamos el miembro de la izquierda, que llamaremos A:
12. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
12/22
( )( )4 2 2
A cosec 1 cosec 1 cosec 1= α− = α− α +
Recordamos que 2 2
cosec 1 cotgα = + α . Entonces:
( )( ) ( )( )2 2 2 2
cosec 1 cosec 1 1 cotg 1 1 cotg 1α− α + = + α− + α + =
( )2 2
cotg cotg 2= α α + = 4 2
cotg 2 cotgα + α .
Hemos llegado a obtener el lado B de la expresión dada, luego se ha
demostrado que la igualdad es cierta.
12. 2
2tg
sen 2
1 tg
α
α =
+ α
Solución:
Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante
manipulaciones adecuadas llegaremos al miembro de la derecha:
2sen cos
cos
cos
sen 2 2 sen cos 2 2 tg cosα
α
α⋅ α
α = ⋅ α⋅ α = ⋅ ⋅ = ⋅ α⋅ α =
2 2 2 2
2 2 2 2
tg1 1
2 tg 2 tg 2
1 sen cos sen cos
cos cos cos cos
α
= ⋅ α⋅ = ⋅ α⋅ = ⋅ =
α + α α α
+
α α α α
2
2 tg
1 tg
⋅ α
=
+ α
. Queda así demostrado.
13.
2 sen x 3
cos x
2 tg x 3 sec x
⋅ +
=
⋅ + ⋅
Solución:
Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante
B.3. Ecuaciones trigonométricas
14. Resuelve:
3
sen x =
2
Solución:
13. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
13/22
1
1
2
x 60º
3 3
x sen
22
x 180º 60º 120º
3
−
π = = = ⇒ π = − = =
15. Resuelve:
1
cosx
2
=
Solución:
1
1
2
x 45º 45º
1 180º 4
x cos
72
x 360º 45º 315º 315º
180º 4
−
π π = = ⋅ == ⇒
π π = − = = ⋅ =
16.
1
tg x =
3
Solución:
1
x 30º 30º
1 180º 6
x tg
3
x 30º 180º 210º
7
−
π π = = ⋅ == ⇒
π = + = =
17. Resuelve la ecuación cos2x sen x= en el intervalo [ ]0,2π
Solución:
• Hay que recordar que 2 2
cos2x cos x sen x= − . Así:
cos2x sen x= 2 2
cos x sen x sen x⇒ − =
• Por otro lado, hay que tener en cuenta que 2 2
cos x sen x 1+ = . Por
ello:
2 2 2 2
cos x sen x sen x 1 sen x sen x sen x− = ⇒ − − = ⇒
( ) ( )
2
2
1 1 4 2 1
2 sen x senx 1 0 senx
2 2
− ± − − ⋅ ⋅ −
⇒ ⋅ + − = ⇒ = =
⋅
sen x 1
1
sen x
2
= −=
=
• Finalmente estudiamos cada uno de estos dos casos:
14. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
14/22
Si sen x 1=− , entonces: 1
3
x
2
π
=
Si
1
sen x
2
= , entonces: 2x
6
π
= y 3
5
x
6
π
=
18. Resuelve la ecuación 3
sen 2x cos x 6sen x⋅ = en el intervalo [ ]0,2π
Solución:
• Hay que recordar que sen 2x 2sen x cos x= ⋅ . Así:
3 3
sen 2x cos x 6sen x 2 sen x cos x cos x 6sen x⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒
2 3
2 sen x cos x 6sen x⇒ ⋅ ⋅ =
• Por otro lado, hay que tener en cuenta que 2 2
cos x sen x 1+ = . Por
ello:
( )2 3
2 sen x 1 sen x 6 sen x⋅ ⋅ − = ⋅ ⇒
( )2 2
sen x 1 sen x 3 sen x sen x⇒ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⇒
( )2
2
sen x 0
sen x 4 sen x 1 0 1 1
sen x sen x
4 2
=⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒
= ⇒ = ±
• Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos:
Si sen x 0= , entonces: 1x 0=
Si
1
sen x
2
= , entonces: 2x
6
π
= y 3
5
x
6
π
=
Si
1
sen x
2
=− , entonces: 4
7
x
6
π
= y 5
11
x
6
π
=
19. Resuelve: cos2x cos6x sen5x sen3x− = +
Solución:
Vamos a utilizar las siguientes relaciones:
A B A B
cosA cosB 2 sen sen
2 2
A B A B
senA senB 2 sen cos
2 2
+ −
− =− ⋅ ⋅
+ −
− = ⋅ ⋅
Entonces:
15. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
15/22
2x 6x 2x 6x
cos2x cos6x 2 sen sen
2 2
5x 3x 5x 3x
sen5x sen3x 2 sen cos
2 2
+ −
− =− ⋅ ⋅
+ −
− = ⋅ ⋅
Sustituimos lo obtenido en la ecuación dada y pasamos todo a un
miembro
( ) ( ) ( ) ( )2 sen 4x sen 2x 2 sen 4x cos x− ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅
Si tenemos en cuenta que ( ) ( )sen a sen a− =− y sacamos factor común,
entonces:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 sen 4x 0
2 sen 4x sen 2x cos x 0
sen 2x cos x 0
⋅ = ⋅ ⋅ − = ⇒ − =
- Resolvemos la primera ecuación de las dos:
( )
4x 0 2k x k
2
2 sen 4x 0
4x 2k x k
4 2
π = + π ⇒ =⋅ = ⇒
π π = π+ π ⇒ = +
- Resolvemos la segunda ecuación:
( ) ( )sen 2x cos x 0− = ⇒ ( ) ( ) ( )2 sen x cos x cos x 0⋅ − = ⇒
( ) ( )2 sen x 1 cos x 0 ⇒ ⋅ − = ⇒
( )
( ) ( )
x 2k
2
cos x 0
3
x 2k
2
x 2k
1 6
2 sen x 1 0 sen x
52
x 2k
2
π = + π = ⇒ π = + π ⇒
π = + π ⋅ − = ⇒ = ⇒ π = + π
La solución es entonces la unión de todas estas soluciones.
20. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [ ]0,2π
sen x sen y 1
2x 2y
+ =
+ = π
Solución:
16. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
16/22
• Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la
primera ecuación:
2x 2y x y
2
π
+ = π ⇒ = − , por lo que:
sen x sen y 1 sen y sen y 1
2
π + = ⇒ − + =
• Ahora, para poder simplificar esta expresión usamos la fórmula del
seno de la diferencia de dos ángulos:
sen y sen cos y cos seny cos y
2 2 2
π π π − = ⋅ − ⋅ =
, es decir:
sen y sen y 1 cos y seny 1
2
π − + = ⇒ + =
• Intentamos expresar el coseno en función del seno, elevando al
cuadrado los dos miembros de la ecuación:
( )
2 2 2 2
cos y seny 1 cos y sen y 2 senycos y 1+ = ⇒ + + ⋅ = ⇒
1 2 sen ycos y 1 sen ycos y 0⇒ + ⋅ = ⇒ =
Pero sen ycos y sen 2y= , por lo que sen ycos y 0 sen 2y 0= ⇒ =
• Las soluciones para sen 2y 0= están dadas por: 2y 0= y 2y = π ,
esto es: 1y 0= ; 2y
2
π
= . Teniendo en cuenta que x y
2
π
= − ,
entonces:
1y 0= ⇒ 1x
2
π
=
2y
2
π
= ⇒ 2x 0=
21. Calcula las soluciones del siguiente sistema, en el intervalo [ ]0,2π .
sen x 2 sen y
x y
3
= ⋅ π
− =
Solución:
17. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
17/22
• Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la
primera ecuación:
x y x y
3 3
π π
− = ⇒ = + , por lo que:
sen x 2 sen y sen y 2 sen y
3
π = ⋅ ⇒ + = ⋅
• Usamos la fórmula del seno de la suma de dos ángulos en el
miembro izquierdo de la ecuación:
3 1
sen y sen cos y cos seny cos y seny
3 3 3 2 2
π π π + = ⋅ + ⋅ = +
Entonces la fórmula a resolver es:
3 1 3 1
cos y seny 2seny cos y seny 3 tg y
2 2 2 2
+ = ⇒ = ⇒ =
Solución:
1
2
y 60º
3
tg y 3
4
y 180º 60º
3
π = == ⇒
π = + =
22. Calcula las soluciones del siguiente sistema.
4y sen x cos x 3
2y cos 2x 3
⋅ ⋅ =
⋅ =
Solución:
• Dividimos las dos ecuaciones del sistema:
4y sen x cos x 3 4y sen x cos x 3 2 sen x cos x
3
2y cos 2x cos 2x32y cos 2x 3
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ =
⋅⋅ =
• Recordamos que 2 sen x cos x sen 2x⋅ ⋅ = y sustituimos en la
ecuación:
2 sen x cos x 3 sen 2x
3 tg 2x 3
cos 2x cos 2x3
⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
18. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
18/22
• Despejamos x:
2x 2k x k
3 6
π π
= + π ⇒ = + π
B.4. Problemas
23. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un
ángulo de 30º.
Solución:
La altura, y, del árbol la deducimos de
la relación siguiente:
y
tg30 y 10 tg30 y 5,77 m
10
= ⇒ = ⋅ ⇒ =
24. Calcula x e y:
Solución:
Aplicamos la relación
b
tg
a
θ = a los
dos triángulos rectángulos,
obteniendo el siguiente sistema de
ecuaciones:
y
tg47
x
y
tg30
40 x
=
= +
Operando:
( )
x tg47 y
40 x tg30 y
⋅ = ⇒
+ = ( )
( )
x tg47 y
x tg47 40 x tg30
40 x tg30 y
⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒
+ =
x
30º 47º
40 m
y
19. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
19/22
1,07x 23,09 0,58x 0,49x 23,09⇒ = + ⇒ = ⇒
23,09
x x 47,12 m
0,49
⇒ = ⇒ = .
Calculemos finalmente el valor de y:
x tg47 y 47,12 1,07 y y 50,42 m⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
25. Calcula x
Solución:
Tenemos dos triángulos.
De cada uno de ellos
obtendremos una
ecuación trigonométrica.
26. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)
Solución:
Aplicamos el teorema del coseno:
2 2 2
a b c 2 b c cosA= + − ⋅ ⋅ ⋅
Entonces:
100 m
30º
y
100 m
60º
x+y
y
tg30
100
=
x y
tg60
100
+
=
x
100 m
30º
60º
y
40º
10
y
12
Resolvemos el sistema:
57,7 y
57,7 173,2 x
173,2 x y
x 115,5 m
= ⇒ = − ⇒
− =
⇒ =
20. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
20/22
2 2 2
y 10 12 2 10 12 cos 40= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
y 100 124 240 cos 40 6,35 m= + − ⋅ =
27. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno:
a b c
senA senB senC
= =
Solución:
Sustituimos los valores dados en la
expresión del teorema del seno:
a b c
senA senB senC
= = ⇒
3 sen40
y 1,96 m
sen80
3 sen60
x 2,64 m
sen80
⋅ = =⇒
⋅ = =
28. Halla la altura de la montaña
Solución:
Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas
perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB´ y el ACC´
A
C
B
45º
30º
h
4000 m
80º40º
x
y
z= 3m
21. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
21/22
Resolvamos éste sistema:
4000 h4000 h
1tg45 x 4000 hxx
4000 h h 3
1 hh x h 3
tg30
x3x
−− == = −
⇒ ⇒ ⇒ − = ⇒
= ==
4000
h m 1464 m
3 1
⇒ = ≈
+
29. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z.
Solución:
60º
45º75º
678 m
x
y
z
A
B
C
D
A
C
B
45º
30º
h
4000 m
45º
4000 h−
x
B´
C´
Triángulo CBB´:
4000 h
tg45
x
−
=
Triángulo ACC´ :
h
tg30
x
=
22. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
22/22
Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC . De él
deduciremos las distancias y, z
y 678
22 3 y 678 m
32 2
z 678 1356
z sen75 msen75 3 3
2
=
=
⇒ ⇒
= =
Ahora nos fijamos en el triángulo ACD . De él obtendremos la altura
de las torres, x.
2 2 2
x 678 sen60 678 452 m
3 3 3
= ⋅ = ⋅ =
A B
C
75º 45º
60º
y z
2
600 m
3
60º
x
D C
A
y z 678
sen45 sen75 sen60
y 678
sen45 sen60
z 678
sen75 sen60
= = ⇒
=
⇒ ⇒
=