Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores de seno, coseno y tangente para ángulos comunes, y teoremas como el seno y coseno. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas y resolución de triángulos. Finalmente, proporciona ejercicios adicionales para practicar conceptos trigonométricos fundamentales.
finales de algebra del cbc ciencias economicasapuntescbc
1. El documento presenta 20 problemas de álgebra lineal y matemática discreta tomados de exámenes finales de 1999 y 2000. Los problemas incluyen sistemas de ecuaciones, programación lineal, subespacios vectoriales y matrices.
2. Se pide determinar puntos de equilibrio, bases de subespacios, ecuaciones paramétricas de rectas, soluciones de sistemas de ecuaciones y más.
3. El documento proporciona una guía de problemas de matemáticas comunes en exámenes finales para que los
Razones trigonométricas de ángulos notables 5ºbrisagaela29
Este documento presenta una serie de problemas relacionados con triángulos notables y funciones trigonométricas. Incluye ecuaciones y expresiones que involucran senos, cosenos, tangentes, cotangentes, secantes y cosecantes de diferentes ángulos agudos y obtusos, así como su cálculo y resolución.
Este documento resume conceptos clave sobre movimiento uniforme y acelerado, incluyendo distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad, aceleración, gravedad, caída libre y tiro vertical. Proporciona ejemplos numéricos y ecuaciones para calcular estas cantidades.
Este documento resume la historia de la trigonometría. Comenzó como una herramienta para resolver problemas astronómicos en la antigua Grecia. Hiparco se considera el fundador de la trigonometría en el 140 a.C. La trigonometría se desarrolló como una disciplina autónoma en el siglo XVII después de mejoras en el álgebra y el simbolismo matemático. Neper y otros matemáticos posteriores continuaron perfeccionando la trigonometría y expandiendo su uso.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento define y explica las funciones trigonométricas básicas. Define el seno, coseno y tangente en términos de los lados de un triángulo rectángulo asociado a un ángulo dado. También define la cotangente, cosecante y secante y especifica la periodicidad de cada función trigonométrica.
Este documento presenta una introducción a las identidades trigonométricas fundamentales y algunas propiedades y tipos de ejercicios relacionados con ellas. Explica las identidades reciprocas, pitagóricas, por división y auxiliares. También cubre propiedades como que las identidades siguen cumpliéndose al multiplicar los ángulos por un factor numérico, y tipos de ejercicios como demostraciones, simplificaciones, condicionales y eliminación del ángulo. Finalmente, propone algunos ejercicios de aplicación de
La trigonometría estudia la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. Tiene una larga historia que se extiende por más de 4000 años, cuando los babilonios y griegos comenzaron a aplicarla. Proporciona aplicaciones útiles como la medición de estrellas y el sol. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, coseno y tangente. Se usa comúnmente para medir rascacielos y edificios.
finales de algebra del cbc ciencias economicasapuntescbc
1. El documento presenta 20 problemas de álgebra lineal y matemática discreta tomados de exámenes finales de 1999 y 2000. Los problemas incluyen sistemas de ecuaciones, programación lineal, subespacios vectoriales y matrices.
2. Se pide determinar puntos de equilibrio, bases de subespacios, ecuaciones paramétricas de rectas, soluciones de sistemas de ecuaciones y más.
3. El documento proporciona una guía de problemas de matemáticas comunes en exámenes finales para que los
Razones trigonométricas de ángulos notables 5ºbrisagaela29
Este documento presenta una serie de problemas relacionados con triángulos notables y funciones trigonométricas. Incluye ecuaciones y expresiones que involucran senos, cosenos, tangentes, cotangentes, secantes y cosecantes de diferentes ángulos agudos y obtusos, así como su cálculo y resolución.
Este documento resume conceptos clave sobre movimiento uniforme y acelerado, incluyendo distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad, aceleración, gravedad, caída libre y tiro vertical. Proporciona ejemplos numéricos y ecuaciones para calcular estas cantidades.
Este documento resume la historia de la trigonometría. Comenzó como una herramienta para resolver problemas astronómicos en la antigua Grecia. Hiparco se considera el fundador de la trigonometría en el 140 a.C. La trigonometría se desarrolló como una disciplina autónoma en el siglo XVII después de mejoras en el álgebra y el simbolismo matemático. Neper y otros matemáticos posteriores continuaron perfeccionando la trigonometría y expandiendo su uso.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento define y explica las funciones trigonométricas básicas. Define el seno, coseno y tangente en términos de los lados de un triángulo rectángulo asociado a un ángulo dado. También define la cotangente, cosecante y secante y especifica la periodicidad de cada función trigonométrica.
Este documento presenta una introducción a las identidades trigonométricas fundamentales y algunas propiedades y tipos de ejercicios relacionados con ellas. Explica las identidades reciprocas, pitagóricas, por división y auxiliares. También cubre propiedades como que las identidades siguen cumpliéndose al multiplicar los ángulos por un factor numérico, y tipos de ejercicios como demostraciones, simplificaciones, condicionales y eliminación del ángulo. Finalmente, propone algunos ejercicios de aplicación de
La trigonometría estudia la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. Tiene una larga historia que se extiende por más de 4000 años, cuando los babilonios y griegos comenzaron a aplicarla. Proporciona aplicaciones útiles como la medición de estrellas y el sol. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, coseno y tangente. Se usa comúnmente para medir rascacielos y edificios.
Este documento explica las razones trigonométricas y funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) en términos de los lados del triángulo. Luego presenta ejemplos resueltos de cómo calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo usando las funciones trigonométricas. Finalmente, muestra aplicaciones prácticas de la resolución de triáng
Evaluación de recuperación de razones trigonométricas y aplicacionesedwinjavieralmanza
Este documento es una evaluación de recuperación de matemáticas para grado décimo que contiene 3 problemas relacionados con razones trigonométricas y aplicaciones. El primer problema pide encontrar las razones trigonométricas restantes y representar un triángulo rectángulo dado uno de sus lados. El segundo problema solicita calcular la altura de un árbol usando la altura de una persona y el ángulo de observación. El tercer problema pide resolver un triángulo rectángulo dado dos de sus lados.
Propiedades de las Razones TrigonometricasEdwin Cho
razones trigonométricas, sus propiedades, aplicación de las razones trigonométricas, teoría de las razones trigonométricas,
ejercicios de razones trigonométricas
, propiedades de las razones trigonométricas
i) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica cómo calcular las razones trigonométricas para estos ángulos y sus propiedades.
ii) Se describen las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos coterminales y negativos.
iii) Se provee información sobre los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante y fórmulas para calcular expresiones trigonométricas.
El documento describe los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de números. Explica que el MCD es el divisor común más grande de los números, mientras que el MCM es el múltiplo común más pequeño. Incluye ejemplos y propiedades de ambos, así como métodos para calcularlos como descomposición simultánea, descomposición canónica y divisiones sucesivas. Finalmente, relaciona el MCD y MCM de dos números a través de sus divisores y múltip
El documento presenta las funciones trigonométricas en el primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones trigonométricas en cualquier ángulo mediante la reducción al primer cuadrante. Además, provee ejemplos para hallar funciones trigonométricas como Sen, Tg y Sec en diferentes ángulos.
Este documento contiene 24 proyectos de matemáticas para un examen bimestral de segundo año de secundaria. Los proyectos incluyen cálculos, ecuaciones, fracciones, raíces, logaritmos y otros temas matemáticos. Cada proyecto presenta un problema matemático con su solución correspondiente.
El documento presenta las funciones trigonométricas en el primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones en los otros cuadrantes mediante la identificación del cuadrante y el uso de las cofunciones. Se proporcionan ejemplos para hallar Sen120°, Sen217°, Sen344° y otras funciones en diferentes cuadrantes.
1) Los espacios métricos son conjuntos donde se ha definido una función de distancia entre puntos que cumple con tres axiomas. 2) Se presentan ejemplos de espacios métricos como los números reales con la métrica usual, el espacio euclidiano y el espacio de funciones continuas. 3) También se describen otras métricas como la métrica del ascensor, la métrica de correos y la métrica del taxi.
Este documento presenta información sobre identidades trigonométricas de ángulos triples. Explica fórmulas como sen3x = 3senx - sen3x y cos3x = 4cos3x - 3cosx. También incluye ejemplos numéricos y problemas resueltos para aplicar estas identidades.
Este documento presenta los triángulos rectángulos notables de 45°-45° y 30°-60°, cuyas razones trigonométricas de ángulos agudos son conocidas. Luego, proporciona ejemplos de cálculos trigonométricos utilizando estas razones conocidas, así como gráficos y ejercicios de aplicación.
Este documento describe las funciones trigonométricas y la circunferencia trigonométrica. Explica que las funciones trigonométricas se utilizan para medir triángulos y que la circunferencia trigonométrica es una herramienta fundamental para estudiar las funciones seno, coseno y tangente. Además, analiza cómo varían los valores de estas funciones en cada cuadrante de la circunferencia trigonométrica.
Este documento presenta 10 ejercicios sobre composición de funciones, inversa de funciones, funciones exponenciales y logarítmicas. Los ejercicios involucran calcular valores de funciones dadas, representar funciones gráficamente, hallar expresiones analíticas de funciones a partir de gráficas, y estudiar propiedades como continuidad y crecimiento. El documento provee soluciones completas a cada ejercicio.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre integración básica. En la primera sección, se resuelven integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas. La segunda sección involucra el uso de cambios de variable apropiados para resolver integrales. La tercera sección aplica el método de integración por partes para integrales que involucran funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.
El documento presenta una demostración geométrica del Teorema de Pitágoras, seguida de ejercicios y problemas de aplicación. Explica cómo usar el teorema para calcular lados desconocidos en triángulos rectángulos a través de la relación entre los cuadrados de los catetos y la hipotenusa.
Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores para ángulos comunes, y teoremas para resolver triángulos. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas, y problemas. El documento está organizado en secciones de introducción teórica y ejercicios resueltos.
Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores para ángulos comunes, y teoremas para resolver triángulos. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas, y problemas. El documento está organizado en secciones de introducción teórica y ejercicios resueltos.
El documento presenta la resolución de un examen de trigonometría de 4o de ESO con 7 problemas. En el primer problema se calculan las razones trigonométricas de ángulos mayores de 360o. En el segundo problema se calculan las razones trigonométricas de un ángulo en el 4o cuadrante. Los problemas 3 y 4 demuestran identidades trigonométricas. Los problemas 5, 6 y 7 resuelven triángulos usando teoremas trigonométricos.
Este documento presenta la resolución de un examen de trigonometría para 4o de ESO. El examen contiene 7 problemas que involucran hallar razones trigonométricas, aplicar teoremas trigonométricos como el seno, coseno y teorema del coseno para resolver triángulos. El documento muestra de manera detallada los pasos para resolver cada problema trigonométrico.
Este documento presenta varias ecuaciones trigonométricas para resolver. Instruye resolver las ecuaciones usando funciones trigonométricas inversas con la ayuda de una calculadora. Explica que las soluciones se expresan en grados u radianes considerando todas las posibles respuestas entre 0° y 360° o un número indeterminado k de giros completos.
Este documento presenta las soluciones a varias tareas de álgebra, trigonometría y geometría analítica. La primera tarea involucra aplicar la ley del seno y coseno para resolver tres ejercicios trigonométricos y graficarlos en GeoGebra. Las siguientes tareas incluyen calcular razones trigonométricas para ángulos agudos en triángulos rectángulos, evaluar identidades trigonométricas y resolver una ecuación trigonométrica. La última tarea aplica el teorema del coseno
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la trigonometría plana y esférica. Introduce las funciones trigonométricas y sus razones, definiéndolas a partir de triángulos rectángulos. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo y su representación en el plano cartesiano. Además, incluye fórmulas clave y relaciones entre las funciones trigonométricas.
Este documento explica las razones trigonométricas y funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) en términos de los lados del triángulo. Luego presenta ejemplos resueltos de cómo calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo usando las funciones trigonométricas. Finalmente, muestra aplicaciones prácticas de la resolución de triáng
Evaluación de recuperación de razones trigonométricas y aplicacionesedwinjavieralmanza
Este documento es una evaluación de recuperación de matemáticas para grado décimo que contiene 3 problemas relacionados con razones trigonométricas y aplicaciones. El primer problema pide encontrar las razones trigonométricas restantes y representar un triángulo rectángulo dado uno de sus lados. El segundo problema solicita calcular la altura de un árbol usando la altura de una persona y el ángulo de observación. El tercer problema pide resolver un triángulo rectángulo dado dos de sus lados.
Propiedades de las Razones TrigonometricasEdwin Cho
razones trigonométricas, sus propiedades, aplicación de las razones trigonométricas, teoría de las razones trigonométricas,
ejercicios de razones trigonométricas
, propiedades de las razones trigonométricas
i) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica cómo calcular las razones trigonométricas para estos ángulos y sus propiedades.
ii) Se describen las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos coterminales y negativos.
iii) Se provee información sobre los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante y fórmulas para calcular expresiones trigonométricas.
El documento describe los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de números. Explica que el MCD es el divisor común más grande de los números, mientras que el MCM es el múltiplo común más pequeño. Incluye ejemplos y propiedades de ambos, así como métodos para calcularlos como descomposición simultánea, descomposición canónica y divisiones sucesivas. Finalmente, relaciona el MCD y MCM de dos números a través de sus divisores y múltip
El documento presenta las funciones trigonométricas en el primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones trigonométricas en cualquier ángulo mediante la reducción al primer cuadrante. Además, provee ejemplos para hallar funciones trigonométricas como Sen, Tg y Sec en diferentes ángulos.
Este documento contiene 24 proyectos de matemáticas para un examen bimestral de segundo año de secundaria. Los proyectos incluyen cálculos, ecuaciones, fracciones, raíces, logaritmos y otros temas matemáticos. Cada proyecto presenta un problema matemático con su solución correspondiente.
El documento presenta las funciones trigonométricas en el primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones en los otros cuadrantes mediante la identificación del cuadrante y el uso de las cofunciones. Se proporcionan ejemplos para hallar Sen120°, Sen217°, Sen344° y otras funciones en diferentes cuadrantes.
1) Los espacios métricos son conjuntos donde se ha definido una función de distancia entre puntos que cumple con tres axiomas. 2) Se presentan ejemplos de espacios métricos como los números reales con la métrica usual, el espacio euclidiano y el espacio de funciones continuas. 3) También se describen otras métricas como la métrica del ascensor, la métrica de correos y la métrica del taxi.
Este documento presenta información sobre identidades trigonométricas de ángulos triples. Explica fórmulas como sen3x = 3senx - sen3x y cos3x = 4cos3x - 3cosx. También incluye ejemplos numéricos y problemas resueltos para aplicar estas identidades.
Este documento presenta los triángulos rectángulos notables de 45°-45° y 30°-60°, cuyas razones trigonométricas de ángulos agudos son conocidas. Luego, proporciona ejemplos de cálculos trigonométricos utilizando estas razones conocidas, así como gráficos y ejercicios de aplicación.
Este documento describe las funciones trigonométricas y la circunferencia trigonométrica. Explica que las funciones trigonométricas se utilizan para medir triángulos y que la circunferencia trigonométrica es una herramienta fundamental para estudiar las funciones seno, coseno y tangente. Además, analiza cómo varían los valores de estas funciones en cada cuadrante de la circunferencia trigonométrica.
Este documento presenta 10 ejercicios sobre composición de funciones, inversa de funciones, funciones exponenciales y logarítmicas. Los ejercicios involucran calcular valores de funciones dadas, representar funciones gráficamente, hallar expresiones analíticas de funciones a partir de gráficas, y estudiar propiedades como continuidad y crecimiento. El documento provee soluciones completas a cada ejercicio.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre integración básica. En la primera sección, se resuelven integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas. La segunda sección involucra el uso de cambios de variable apropiados para resolver integrales. La tercera sección aplica el método de integración por partes para integrales que involucran funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.
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Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores para ángulos comunes, y teoremas para resolver triángulos. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas, y problemas. El documento está organizado en secciones de introducción teórica y ejercicios resueltos.
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El documento presenta la resolución de un examen de trigonometría de 4o de ESO con 7 problemas. En el primer problema se calculan las razones trigonométricas de ángulos mayores de 360o. En el segundo problema se calculan las razones trigonométricas de un ángulo en el 4o cuadrante. Los problemas 3 y 4 demuestran identidades trigonométricas. Los problemas 5, 6 y 7 resuelven triángulos usando teoremas trigonométricos.
Este documento presenta la resolución de un examen de trigonometría para 4o de ESO. El examen contiene 7 problemas que involucran hallar razones trigonométricas, aplicar teoremas trigonométricos como el seno, coseno y teorema del coseno para resolver triángulos. El documento muestra de manera detallada los pasos para resolver cada problema trigonométrico.
Este documento presenta varias ecuaciones trigonométricas para resolver. Instruye resolver las ecuaciones usando funciones trigonométricas inversas con la ayuda de una calculadora. Explica que las soluciones se expresan en grados u radianes considerando todas las posibles respuestas entre 0° y 360° o un número indeterminado k de giros completos.
Este documento presenta las soluciones a varias tareas de álgebra, trigonometría y geometría analítica. La primera tarea involucra aplicar la ley del seno y coseno para resolver tres ejercicios trigonométricos y graficarlos en GeoGebra. Las siguientes tareas incluyen calcular razones trigonométricas para ángulos agudos en triángulos rectángulos, evaluar identidades trigonométricas y resolver una ecuación trigonométrica. La última tarea aplica el teorema del coseno
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la trigonometría plana y esférica. Introduce las funciones trigonométricas y sus razones, definiéndolas a partir de triángulos rectángulos. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo y su representación en el plano cartesiano. Además, incluye fórmulas clave y relaciones entre las funciones trigonométricas.
Este documento presenta ejercicios resueltos de trigonometría para estudiantes de economía y empresa. Incluye problemas sobre ángulos y razones trigonométricas, ecuaciones trigonométricas, áreas de polígonos regulares y problemas geométricos que involucran senos, cosenos y tangentes. Las soluciones detalladas muestran los pasos para calcular razones trigonométricas, simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas y problemas geométricos.
Este documento explica las funciones trigonométricas básicas como el seno, coseno y tangente. Define estas funciones en términos de los lados de un triángulo rectángulo y presenta fórmulas para resolver triángulos rectángulos dados ciertos datos. También incluye tablas con valores notables de las funciones trigonométricas y gráficas que muestran su comportamiento periódico.
El documento presenta los conceptos básicos de la trigonometría en triángulos rectángulos, incluyendo las definiciones de seno, coseno, tangente y otras funciones trigonométricas, así como fórmulas y valores para ángulos de 30°, 45° y 60°. También incluye ejemplos de cálculos trigonométricos y la resolución de problemas geométricos usando estas relaciones.
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con la trigonometría de ángulos agudos en triángulos. Incluye cálculos de razones trigonométricas en diferentes triángulos, uso de relaciones fundamentales, resolución de triángulos rectángulos, y más. El documento proporciona detalles paso a paso para cada ejercicio con el objetivo de practicar y reforzar conceptos trigonométricos básicos.
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con la trigonometría de ángulos agudos en triángulos. Incluye cálculos de razones trigonométricas en diferentes triángulos, uso de relaciones fundamentales, resolución de triángulos rectángulos, y más. El documento proporciona detalles paso a paso para cada ejercicio con el objetivo de practicar y reforzar conceptos trigonométricos básicos.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Pitágoras descubrió el teorema que relaciona los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Las funciones seno, coseno y tangente definen las razones trigonométricas entre los lados de cualquier triángulo. La ley del seno y la ley del coseno permiten resolver problemas sobre triángulos desconociendo uno o más lados o ángulos.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos de reducción al primer cuadrante para determinar las razones trigonométricas de ángulos que no son agudos en función de ángulos agudos. Explica casos como ángulos positivos menores de una vuelta, mayores de una vuelta, negativos, fraccionarios y relacionados. También incluye ejemplos y problemas para practicar la aplicación de estas técnicas.
El documento presenta conceptos básicos de trigonometría para resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos y no rectángulos. Explica las funciones trigonométricas, la ley de los senos y la ley de los cosenos, e incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas leyes y conceptos.
Este documento presenta 30 ejercicios de trigonometría agrupados en 4 secciones: cálculo de razones trigonométricas, demostración de igualdades trigonométricas, resolución de ecuaciones trigonométricas y problemas. Los ejercicios abarcan temas como senos, cosenos, tangentes y aplicaciones del teorema del seno y coseno para resolver problemas geométricos.
Este documento presenta un resumen de una unidad sobre funciones y fórmulas trigonométricas. Incluye ejercicios para practicar la conversión entre grados y radianes, el cálculo de funciones trigonométricas para ángulos sumados y sustraídos, y la demostración de varias fórmulas trigonométricas importantes usando otras relaciones. El documento proporciona detalles paso a paso para resolver los ejercicios y demostraciones.
Este documento presenta la resolución de varias ecuaciones trigonométricas a través de la aplicación de fórmulas trigonométricas básicas. Explica cómo reducir expresiones a una única función trigonométrica y obtener ángulos mediante funciones arco. Resuelve 6 ecuaciones trigonométricas dadas como ejemplos aplicando estas técnicas y obteniendo múltiples ángulos de solución para cada una.
Este documento describe métodos para resolver triángulos oblicuángulos usando una calculadora científica. Explica que el teorema del coseno y el teorema del seno pueden usarse para calcular ángulos y lados. Luego proporciona dos reglas sencillas para determinar qué ángulo calcular de manera que el valor dado por la calculadora sea el correcto. Finalmente, incluye un apéndice sobre cómo calcular el argumento de un número complejo.
Similar a ejercicios-de-trigonometria_resueltos.pdf (20)
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Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
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Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
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Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
1. MATEMÁTICAS TIMONMATE
EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Juan Jesús Pascual
1/22
TRIGONOMETRÍA
A. Introducción teórica
A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes).
A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica.
A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas.
A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno.
B. Ejercicios resueltos
B.1. Razones trigonométricas.
B.2. Ecuaciones trigonométricas.
B.3. Problemas.
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:
Las razones trigonométricas de un triángulo
rectángulo son las siguientes funciones:
La función seno, coseno, tangente, cosecante,
secante y cotangente.
Todas ellas pueden entenderse como
relaciones entre los lados de un triángulo
rectángulo.
Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β
del triángulo rectángulo aquí representado:
a) Para el ángulo α:
función seno función coseno función tangente
α =
a
sen
c
α =
b
cos
c
α =
a
tg
b
función cosecante función secante función cotangente
1 c
cosec
sen a
α = =
α
α = =
α
1 c
sec
cos b
α = =
α
1 b
cotg
tg a
2. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
2/22
b) Para el ángulo β:
función seno función coseno función tangente
β =
b
sen
c
β =
a
cos
c
β =
b
tg
a
función cosecante función secante función cotangente
β = =
β
1 c
cosec
sen b
β = =
β
1 c
sec
cos a
β = =
β
1 a
cotg
tg b
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos
(en grados y radianes)
ángulo sen cos tg ángulo sen cos tg
0º 0 rad 0 1 0 60º rad
3
π 3
2
1
2
3
30º rad
6
π 1
2
3
2
1
3
90 rad
2
π
1 0 ∞
45º rad
4
π 2
2
2
2
1 180º rad
π 0 –1 0
A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera
goniométrica
Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la
unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido
muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo
mediante el siguiente dibujo.
3. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
3/22
A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas
a) Relaciones fundamentales:
El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados
mediante la siguiente igualdad:
sen
tg
cos
θ
= θ
θ
Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente
vinculada al teorema de Pitágoras:
2 2
sen cos 1
θ+ θ =
b) Relaciones del ángulo suma–diferencia:
( )
α ±β = α⋅ β ± β⋅ α
sen sen cos sen cos
( )
α ±β = α⋅ β α⋅ β
cos cos cos sen sen
∓
( )
α ± β
α ±β =
α⋅ β
tg tg
tg
1 tg tg
∓
c) Relaciones del ángulo doble
Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales.
( )
α = α⋅ α
sen 2 2sen cos
( )
α = α − α
2 2
cos 2 cos sen
( )
α
α =
− α
2
2tg
tg 2
1 tg
d) Relaciones del ángulo mitad
α − α
=
2 1 cos
sen
2 2
α + α
=
2 1 cos
cos
2 2
4. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
4/22
α − α
=
+ α
2 1 cos
tg
2 1 cos
A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno
Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se
verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno
y teorema del coseno.
a) Teorema del seno: = =
a b c
senA senB senC
b) Teorema del coseno: = + −
2 2 2
a b c 2bccosA
B. EJERCICIOS RESUELTOS
B.1. Cálculo de razones trigonométricas
1. Sabiendo que sen 0,86
α = calcula las demás razones trigonométricas
directas e inversas
Solución:
Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y
las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar
todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:
• sen 0,86
α =
C
B
A
c b
a
5. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
5/22
• El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental
2 2
sen cos 1
θ + θ = :
2 2 2 2 2
sen cos 1 cos 1 sen cos 1 sen
θ+ θ = ⇒ θ = − θ ⇒ θ = − θ
Sustituyendo datos:
2 2 1
cos 1 sen cos 1 0,86 cos
2
θ = − θ ⇒ θ = − ⇒ θ =
• La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental
sen
tg
cos
θ
= θ
θ
. Sólo hay que sustituir en ella los valores conocidos:
sen 0,86
tg tg tg 1,72
cos 0,5
θ
= θ ⇒ θ = ⇒ θ =
θ
• La cosecante es la inversa del seno.
1 1
cosec sen 1,26
0,86
−
α = α = =
• La secante es la inversa del coseno.
1 1
sec cos 2
1
2
−
α = α = =
• La cotangente es la inversa de la tangente.
1 1
cotg tg 0,58
1,72
−
α = α = =
2. Calcula las relaciones trigonométricas
directas de α y β
Solución:
Las razones trigonométricas directas son el
seno, el coseno y la tangente.
Para el ángulo α:
40
sen sen 0,8
50
α = ⇒ α = ,
30
cos cos 0,6
50
α = ⇒ α =
40
tg tg 1,33
30
α = ⇒ α =
Observa que se cumple que 2 2
sen cos 1
α + α =
6. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
6/22
Para el ángulo β :
30
sen sen 0,6
50
β = ⇒ β =
40
cos cos 0,8
50
β = ⇒ β =
30
tg tg 0,75
40
β = ⇒ β =
Observa que también se cumple que 2 2
sen cos 1
β + β = , como no podía
ser de otra manera.
3. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
135º
Solución:
El ángulo 135º está en el 2º cuadrante. Será equivalente a un ángulo
de 45º para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se
indica en la figura.
- 560º
Solución:
Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:
560 360
1 vuelta 360º 200º
200 1
⇒ ⋅ +
El ángulo que tenemos que manejar es -200º. Ello es equivalente a un
ángulo de 20º en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y
cos20 es negativo
135º
45º
- cos 45
sen 45
7. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
7/22
4. Sabiendo que
3
cos
2
α = y que α está en el 4º cuadrante, halla las
demás razones trigonométricas.
Solución:
Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es
negativo.
El senα lo deducimos usando la relación fundamental de la
trigonometría: 2 2
sen cos 1
α + α =
Así:
2
2 2 2 3 3 1
sen cos 1 sen 1 sen 1
2 4 2
α + α = ⇒ α + = ⇒ α =− − =−
El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata:
1
sen 1
2
tg
cos 3 3
2
−
α
α = = =−
α
;
1
cotg 3
tg
α = = −
α
;
1 3
sec
cos 2
α = =
α
;
1
cosec 2
sen
α = =−
α
5. Sabiendo que
1
tg
3
α =− y que α está en el 2º cuadrante, halla las
demás razones trigonométricas.
Solución:
Si α está en el 2º cuadrante entonces cosα es negativo y senα es
positivo.
- Utilizamos la relación 2
2
1
tg 1
sen
α + =
α
para hallar senα :
2
2
2 2 2
1 1 1 4 1 3
tg 1 1 sen
sen sen 3 sen 2
3
α + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ α =
α α α
-200º
20º
- cos 45
sen 20
8. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
8/22
- Hallamos cosα a partir de
sen
tg
cos
α
α =
α
:
3
sen 3
2
cos
1
tg 2
3
α
α = = =−
α −
.
- Las obtención de las razones trigonométricas inversas es inmediata:
1 2
sec
cos 3
α = =−
α
;
1 2
cosec
sen 3
α = =
α
;
1
cotg 3
tg
α = =−
α
6. Si α está en el tercer cuadrante y
1
sen
2
α =− , determina las siguientes
razones trigonométricas:
( )
sen 180º−α
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo, como bien
indica el enunciado. Pero, en general, ( )
sen sen 180
α = −α , así que
( )
1
sen 180
2
−α =−
( )
sen 180º+α
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo. Además:
( )
sen sen 180
α =− −α , así que ( )
1
sen 180
2
−α =
( )
cos 180º−α
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante cosα es negativo. Además:
( )
cos cos 180
α =− −α .
Deduzcamos cosα :
Usamos la relación fundamental de la trigonometría:
2 2
sen cos 1
α + α =
2
2 2 2
1 1 3
sen cos 1 cos 1 cos 1
2 4 4
α + α = ⇒ − + α = ⇒ α =− − =−
9. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
9/22
Entonces, ( )
3
cos 180
4
−α =
( )
cos 180º+α
Solución:
Se cumple que ( )
cos cos 180
α =− +α . Entonces:
( )
3
cos 180
4
− =− +α ⇒ ( )
3
cos 180
4
+α =
( )
tg 180º−α
Solución:
( )
( )
( )
1
sen 180º 2
2
tg 180º
3
cos 180º 3
4
−
−α
−α = = =
−α −
( )
tg 180º+α
Solución:
( )
( )
( )
1
sen 180º 2
2
tg 180º
3
cos 180º 3
4
+α
+α = = =
+α
B.2. Demostración de igualdades trigonométricas:
7.
2sen 3
cos
2tg 3sec
α +
= α
α + α
Solución:
Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para
convertirlo en cos α . Teniendo en cuenta que
sen
tg
cos
α
α =
α
y que
1
sec
cos
α =
α
, podemos escribir:
2sen 3 2sen 3
sen 3
2tg 3sec 2
cos cos
α + α +
=
α
α + α +
α α
10. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
10/22
Operamos esa expresión con el fin de simplificarla:
( )
cos 2sen 3
2sen 3 2sen 3
sen 3 2sen 3
2
cos cos cos
α α +
α + α +
= =
α α +
+
α α α
2sen 3
α +
cos
= α
Como acabamos de ver, la igualdad se cumple.
8.
2
2
2
sen
tg
1 sen
α
α =
− α
Solución:
Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
2
2
2
sen
A tg
cos
α
= α =
α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
En
2
2
sen
B
1 sen
α
=
− α
vamos a reescribir el denominador de una forma
más conveniente:
Teniendo en cuenta que 2 2
sen cos 1
α + α = se deduce que
2 2
1 sen cos
− α = α . Entonces:
2 2
2 2
sen sen
B
1 sen cos
α α
= =
− α α
Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera.
9. ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2sen 1 1
tg cotg cos sen
sec cosec
1 cotg
α
α ⋅ α − = α + α ⋅ −
α α
+ α
Solución:
Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
11. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
11/22
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 sen 2 sen
1
A tg cotg tg
tg 1
1 cotg 1
tg
⋅ α ⋅ α
= α ⋅ α − = α ⋅ − =
α
+ α +
α
( )
( )
( )
2
2
2 sen
1
cos
1
sen
⋅ α
= −
α
+
α
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2 sen 2 sen
1 1
1
sen cos
sen
sen
⋅ α ⋅ α
= − = − =
α + α
α
α
( )
2
1 2 sen
= − ⋅ α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
B cos sen
sec cosec
= α + α ⋅ − =
α α
( ) ( ) ( ) ( )
cos sen cos sen
= α + α ⋅ α − α =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
cos sen 1 sen sen 1 2 sen
= α − α = − α − α = − ⋅ α
Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
10. 2 2 4
2
1
sen cos cos
sec
= α⋅ α + α
α
Solución:
Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
2
2
1
A cos
sec
= = α
α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
( )
2 2 4 2 2 2 2
B sen cos cos sen cos cos cos
= α⋅ α + α = α + α ⋅ α = α
Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
11. 4 2 4
cosec 1 2 cotg cotg
α− = α + α
Solución:
Manipulamos el miembro de la izquierda, que llamaremos A:
12. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
12/22
( )( )
4 2 2
A cosec 1 cosec 1 cosec 1
= α− = α− α +
Recordamos que 2 2
cosec 1 cotg
α = + α . Entonces:
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
cosec 1 cosec 1 1 cotg 1 1 cotg 1
α− α + = + α− + α + =
( )
2 2
cotg cotg 2
= α α + = 4 2
cotg 2 cotg
α + α .
Hemos llegado a obtener el lado B de la expresión dada, luego se ha
demostrado que la igualdad es cierta.
12. 2
2tg
sen 2
1 tg
α
α =
+ α
Solución:
Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante
manipulaciones adecuadas llegaremos al miembro de la derecha:
2
sen cos
cos
cos
sen 2 2 sen cos 2 2 tg cos
α
α
α⋅ α
α = ⋅ α⋅ α = ⋅ ⋅ = ⋅ α⋅ α =
2 2 2 2
2 2 2 2
tg
1 1
2 tg 2 tg 2
1 sen cos sen cos
cos cos cos cos
α
= ⋅ α⋅ = ⋅ α⋅ = ⋅ =
α + α α α
+
α α α α
2
2 tg
1 tg
⋅ α
=
+ α
. Queda así demostrado.
13.
2 sen x 3
cos x
2 tg x 3 sec x
⋅ +
=
⋅ + ⋅
Solución:
Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante
B.3. Ecuaciones trigonométricas
14. Resuelve:
3
sen x =
2
Solución:
13. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
13/22
1
1
2
x 60º
3 3
x sen
2
2
x 180º 60º 120º
3
−
π
= =
= ⇒
π
= − = =
15. Resuelve:
1
cosx
2
=
Solución:
1
1
2
x 45º 45º
1 180º 4
x cos
7
2
x 360º 45º 315º 315º
180º 4
−
π π
= = ⋅ =
= ⇒
π π
= − = = ⋅ =
16.
1
tg x =
3
Solución:
1
x 30º 30º
1 180º 6
x tg
3
x 30º 180º 210º
7
−
π π
= = ⋅ =
= ⇒
π
= + = =
17. Resuelve la ecuación cos2x sen x
= en el intervalo [ ]
0,2π
Solución:
• Hay que recordar que 2 2
cos2x cos x sen x
= − . Así:
cos2x sen x
= 2 2
cos x sen x sen x
⇒ − =
• Por otro lado, hay que tener en cuenta que 2 2
cos x sen x 1
+ = . Por
ello:
2 2 2 2
cos x sen x sen x 1 sen x sen x sen x
− = ⇒ − − = ⇒
( ) ( )
2
2
1 1 4 2 1
2 sen x senx 1 0 senx
2 2
− ± − − ⋅ ⋅ −
⇒ ⋅ + − = ⇒ = =
⋅
sen x 1
1
sen x
2
= −
=
=
• Finalmente estudiamos cada uno de estos dos casos:
14. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
14/22
Si sen x 1
=− , entonces: 1
3
x
2
π
=
Si
1
sen x
2
= , entonces: 2
x
6
π
= y 3
5
x
6
π
=
18. Resuelve la ecuación 3
sen 2x cos x 6sen x
⋅ = en el intervalo [ ]
0,2π
Solución:
• Hay que recordar que sen 2x 2sen x cos x
= ⋅ . Así:
3 3
sen 2x cos x 6sen x 2 sen x cos x cos x 6sen x
⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒
2 3
2 sen x cos x 6sen x
⇒ ⋅ ⋅ =
• Por otro lado, hay que tener en cuenta que 2 2
cos x sen x 1
+ = . Por
ello:
( )
2 3
2 sen x 1 sen x 6 sen x
⋅ ⋅ − = ⋅ ⇒
( )
2 2
sen x 1 sen x 3 sen x sen x
⇒ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⇒
( )
2
2
sen x 0
sen x 4 sen x 1 0 1 1
sen x sen x
4 2
=
⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒
= ⇒ = ±
• Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos:
Si sen x 0
= , entonces: 1
x 0
=
Si
1
sen x
2
= , entonces: 2
x
6
π
= y 3
5
x
6
π
=
Si
1
sen x
2
=− , entonces: 4
7
x
6
π
= y 5
11
x
6
π
=
19. Resuelve: cos2x cos6x sen5x sen3x
− = +
Solución:
Vamos a utilizar las siguientes relaciones:
A B A B
cosA cosB 2 sen sen
2 2
A B A B
senA senB 2 sen cos
2 2
+ −
− =− ⋅ ⋅
+ −
− = ⋅ ⋅
Entonces:
15. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
15/22
2x 6x 2x 6x
cos2x cos6x 2 sen sen
2 2
5x 3x 5x 3x
sen5x sen3x 2 sen cos
2 2
+ −
− =− ⋅ ⋅
+ −
− = ⋅ ⋅
Sustituimos lo obtenido en la ecuación dada y pasamos todo a un
miembro
( ) ( ) ( ) ( )
2 sen 4x sen 2x 2 sen 4x cos x
− ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅
Si tenemos en cuenta que ( ) ( )
sen a sen a
− =− y sacamos factor común,
entonces:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 sen 4x 0
2 sen 4x sen 2x cos x 0
sen 2x cos x 0
⋅ =
⋅ ⋅ − = ⇒
− =
- Resolvemos la primera ecuación de las dos:
( )
4x 0 2k x k
2
2 sen 4x 0
4x 2k x k
4 2
π
= + π ⇒ =
⋅ = ⇒
π π
= π+ π ⇒ = +
- Resolvemos la segunda ecuación:
( ) ( )
sen 2x cos x 0
− = ⇒ ( ) ( ) ( )
2 sen x cos x cos x 0
⋅ − = ⇒
( ) ( )
2 sen x 1 cos x 0
⇒ ⋅ − = ⇒
( )
( ) ( )
x 2k
2
cos x 0
3
x 2k
2
x 2k
1 6
2 sen x 1 0 sen x
5
2
x 2k
2
π
= + π
= ⇒
π
= + π
⇒
π
= + π
⋅ − = ⇒ = ⇒
π
= + π
La solución es entonces la unión de todas estas soluciones.
20. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [ ]
0,2π
sen x sen y 1
2x 2y
+ =
+ = π
Solución:
16. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
16/22
• Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la
primera ecuación:
2x 2y x y
2
π
+ = π ⇒ = − , por lo que:
sen x sen y 1 sen y sen y 1
2
π
+ = ⇒ − + =
• Ahora, para poder simplificar esta expresión usamos la fórmula del
seno de la diferencia de dos ángulos:
sen y sen cos y cos seny cos y
2 2 2
π π π
− = ⋅ − ⋅ =
, es decir:
sen y sen y 1 cos y seny 1
2
π
− + = ⇒ + =
• Intentamos expresar el coseno en función del seno, elevando al
cuadrado los dos miembros de la ecuación:
( )
2 2 2 2
cos y seny 1 cos y sen y 2 senycos y 1
+ = ⇒ + + ⋅ = ⇒
1 2 sen ycos y 1 sen ycos y 0
⇒ + ⋅ = ⇒ =
Pero sen ycos y sen 2y
= , por lo que sen ycos y 0 sen 2y 0
= ⇒ =
• Las soluciones para sen 2y 0
= están dadas por: 2y 0
= y 2y = π ,
esto es: 1
y 0
= ; 2
y
2
π
= . Teniendo en cuenta que x y
2
π
= − ,
entonces:
1
y 0
= ⇒ 1
x
2
π
=
2
y
2
π
= ⇒ 2
x 0
=
21. Calcula las soluciones del siguiente sistema, en el intervalo [ ]
0,2π .
sen x 2 sen y
x y
3
= ⋅
π
− =
Solución:
17. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
17/22
• Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la
primera ecuación:
x y x y
3 3
π π
− = ⇒ = + , por lo que:
sen x 2 sen y sen y 2 sen y
3
π
= ⋅ ⇒ + = ⋅
• Usamos la fórmula del seno de la suma de dos ángulos en el
miembro izquierdo de la ecuación:
3 1
sen y sen cos y cos seny cos y seny
3 3 3 2 2
π π π
+ = ⋅ + ⋅ = +
Entonces la fórmula a resolver es:
3 1 3 1
cos y seny 2seny cos y seny 3 tg y
2 2 2 2
+ = ⇒ = ⇒ =
Solución:
1
2
y 60º
3
tg y 3
4
y 180º 60º
3
π
= =
= ⇒
π
= + =
22. Calcula las soluciones del siguiente sistema.
4y sen x cos x 3
2y cos 2x 3
⋅ ⋅ =
⋅ =
Solución:
• Dividimos las dos ecuaciones del sistema:
4y sen x cos x 3 4y sen x cos x 3 2 sen x cos x
3
2y cos 2x cos 2x
3
2y cos 2x 3
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ = ⇒ =
⋅
⋅ =
• Recordamos que 2 sen x cos x sen 2x
⋅ ⋅ = y sustituimos en la
ecuación:
2 sen x cos x 3 sen 2x
3 tg 2x 3
cos 2x cos 2x
3
⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
18. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
18/22
• Despejamos x:
2x 2k x k
3 6
π π
= + π ⇒ = + π
B.4. Problemas
23. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un
ángulo de 30º.
Solución:
La altura, y, del árbol la deducimos de
la relación siguiente:
y
tg30 y 10 tg30 y 5,77 m
10
= ⇒ = ⋅ ⇒ =
24. Calcula x e y:
Solución:
Aplicamos la relación
b
tg
a
θ = a los
dos triángulos rectángulos,
obteniendo el siguiente sistema de
ecuaciones:
y
tg47
x
y
tg30
40 x
=
=
+
Operando:
( )
x tg47 y
40 x tg30 y
⋅ =
⇒
+ =
( )
( )
x tg47 y
x tg47 40 x tg30
40 x tg30 y
⋅ =
⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒
+ =
x
30º 47º
40 m
y
19. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
19/22
1,07x 23,09 0,58x 0,49x 23,09
⇒ = + ⇒ = ⇒
23,09
x x 47,12 m
0,49
⇒ = ⇒ = .
Calculemos finalmente el valor de y:
x tg47 y 47,12 1,07 y y 50,42 m
⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
25. Calcula x
Solución:
Tenemos dos triángulos.
De cada uno de ellos
obtendremos una
ecuación trigonométrica.
26. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)
Solución:
Aplicamos el teorema del coseno:
2 2 2
a b c 2 b c cosA
= + − ⋅ ⋅ ⋅
Entonces:
100 m
30º
y
100 m
60º
x+y
y
tg30
100
=
x y
tg60
100
+
=
x
100 m
30º
60º
y
40º
10
y
12
Resolvemos el sistema:
57,7 y
57,7 173,2 x
173,2 x y
x 115,5 m
=
⇒ = − ⇒
− =
⇒ =
20. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
20/22
2 2 2
y 10 12 2 10 12 cos 40
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
y 100 124 240 cos 40 6,35 m
= + − ⋅ =
27. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno:
a b c
senA senB senC
= =
Solución:
Sustituimos los valores dados en la
expresión del teorema del seno:
a b c
senA senB senC
= = ⇒
3 sen40
y 1,96 m
sen80
3 sen60
x 2,64 m
sen80
⋅
= =
⇒
⋅
= =
28. Halla la altura de la montaña
Solución:
Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas
perteneciente a un triángulo rectángulo (el
CBB´ y el
ACC´
A
C
B
45º
30º
h
4000 m
80º
40º
x
y
z= 3m
21. TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
21/22
Resolvamos éste sistema:
4000 h
4000 h
1
tg45 x 4000 h
x
x
4000 h h 3
1 h
h x h 3
tg30
x
3
x
−
−
=
= = −
⇒ ⇒ ⇒ − = ⇒
=
=
=
4000
h m 1464 m
3 1
⇒ = ≈
+
29. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z.
Solución:
60º
45º
75º
678 m
x
y
z
A
B
C
D
A
C
B
45º
30º
h
4000 m
45º
4000 h
−
x
B´
C´
Triángulo
CBB´:
4000 h
tg45
x
−
=
Triángulo
ACC´ :
h
tg30
x
=
22. Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
22/22
Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo
ABC . De él
deduciremos las distancias y, z
y 678
2
2 3 y 678 m
3
2 2
z 678 1356
z sen75 m
sen75 3 3
2
=
=
⇒ ⇒
= =
Ahora nos fijamos en el triángulo
ACD . De él obtendremos la altura
de las torres, x.
2 2 2
x 678 sen60 678 452 m
3 3 3
= ⋅ = ⋅ =
A B
C
75º 45º
60º
y z
2
600 m
3
60º
x
D C
A
y z 678
sen45 sen75 sen60
y 678
sen45 sen60
z 678
sen75 sen60
= = ⇒
=
⇒ ⇒
=