Este documento presenta los conceptos y procedimientos de reducción al primer cuadrante para determinar las razones trigonométricas de ángulos que no son agudos en función de ángulos agudos. Explica casos como ángulos positivos menores de una vuelta, mayores de una vuelta, negativos, fraccionarios y relacionados. También incluye ejemplos y problemas para practicar la aplicación de estas técnicas.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2016-I
TRIGONOMETRÍA
“REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE’’
Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velàsquez
Definición:
Es el procedimiento mediante el cual se
determinan las razones trigonométricas de
un ángulo que no es agudo, en función de
otro que sí lo sea.
𝑅(∝) ⇒ 𝑅(𝛽)
∝: no es agudo
𝛽: es agudo
La conversión de una razón trigonométrica
(R.T) de un ángulo cualquiera en otra razón
equivalente de un ángulo del primer
cuadrante se llama: “reducción al primer
cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un
ángulo significa encontrar los valores de las
RT de cualquier ángulo en forma directa
mediante reglas prácticas.
Casos:
Ángulos positivos menores de una vuelta:
En este caso, el ángulo original "α" se
descompone como la suma o resta de un
ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º)
con un ángulo que sea agudo; para luego
aplicar:
  


RTRT 





360
180
  


RTCoRT 





270
90
Donde el signo (±) que deberá anteponerse
al resultado dependerá del cuadrante al que
pertenezca el ángulo original " 𝛼 "
Por ejemplo; calculemos:
*
*
II. Ángulos mayores de una vuelta:
En este caso, se procede de la siguiente
manera:
Por ejemplo, calculemos:
Si el ángulo estuviese expresado en
radianes, se procede de la siguiente
manera:
𝑅𝑇(2𝑛𝜋±∝) = ±𝑅𝑇(∝)
 Observación
𝑅𝑇(𝑛𝜋±∝) = {
±𝑅𝑇(∝); 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
𝑅𝑇(𝜋±∝); 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan
)(



2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc
)(



R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º  
q
Residuo
Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2 
1200º 360º
1080º 3
120º
  
( )
Semana Nº 6

2. Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
2
III. Ángulos negativos:
𝑺𝒆𝒏(−∝) = −𝑺𝒆𝒏 ∝ 𝑪𝒕𝒈(−∝) = −𝑪𝒕𝒈 ∝
𝑪𝒐𝒔(−∝) = 𝑪𝒐𝒔 ∝ 𝑺𝒆𝒄(−∝) = 𝑺𝒆𝒄 ∝
𝑻𝒈(−∝) = −𝑻𝒈 ∝ 𝑪𝒔𝒄(−∝) = −𝑪𝒔𝒄 ∝
Por ejemplo, calculemos:
IV. Ángulos fraccionarios:
𝑅𝑇 (
𝑛𝜋
𝑘
±∝) ; 𝑛 > 𝑘
Si la fracción es impropia es posible
descomponerse en la suma de un número
entero más una fracción propia, lo cual será
más sencillo descomponer y reducir
teniendo en cuenta criterios anteriores.
V. Ángulos relacionados:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1) Si   , simplifique:
   
    1º9022
122




CosCos
CosSenF
A) - 1 B) - ½ C) 0 D) ½ E) 1
2) Si SenA +2CosA = 0, Calcule el valor
de F ,
Si:      
     ASenACosACxc
ATgASecACtgF


º360.º180.º180
º90.º180.º270
A) –8 B) -5 C) 5/4 D) 0 E) 8
3) ¿Qué relación existe entre a y b?
sabiendo que:
0
4
b2a36Ctg
8
b3a2Tg 



 



 
a) ½ b) 1/3 c) ¼ d)1/5 e) 1/6
4) Cuál es la relación que existe entre x
e y.








 



 
2
89
10
2415
10
40  CosyxCtgxTg
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = 
d) y = 3x + p e) 2y – 3x = 2
5) Sabiendo que:
Entonces el valor de: M = |senq + cscq|
en términos de K es: (k > 0)
A)2K B) 1/K C) 2/K
D) E)
6) Analice la veracidad de las
proposiciones siendo , Zn
i.  SennSen  )(
ii.








 




6
5
6
5
2
3
3
2  CtgTgTg
iii. )()781(  CosSecCosSec 
iv.








 
x
Ctg
x
nCtg 113 
a) FFFF b) FFVF c) FVVV
d) FVVF e) VFVF
7) Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
   
   baTgabCos
abTgbaSenM
1110.54
1413.76


a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
8) Si entonces al simplificar:
3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan
)(












TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx:Si










TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx:Si
)sencos(
2
77
ctg
2
37
Ksen 




 





 

2
)1k( 2

k
)1k( 2

x y
2

 
3secx.secy cos(8x 9y)
F
tgx tgy sen(9x 8y)

 
 

3. Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
3
Se obtiene:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5
9) Si a y c son suplementarios, además a
y b son complementarios. Reducir:
)(
)(
)(
)34()32cos(4
cbaSen
cbaSen
cbatg
cbCsccaM




a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
10)Calcular el valor de
ZkkCos
SecSen
Tg
E 

 ;
2
)12(
6
253
3
109
6
143



a)
7
2 b)
7
2 c)
21
32 d)
21
32 e)
15
32
11)Siendo “” y “ ” las medidas de dos
ángulos complementarios:
 
 
 
 



32
23
64cos
42cos




ctg
tgQ
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2
12)Reducir:
3 4 6
7 7 7 7H cos cos cos cos      
A) 0 B) 1 C) 2 D)
1
2
E) 3
2º EXAMEN SUMATIVO–UNS 2013 - I
13)Si




 
2
43
2
4  SenSen , Evaluar:




 



 




 



 

2
7
2
16
2
15
2
10 33


CosCos
SenSen
M
a)
32
7 b)
7
32 c)
32
39 d)
32
25 e)
25
32
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012- I
14)Calcular:
E = tg100º.tg120º.tg160º.tg250º.tg350º
a)
3
3 b) 3 c)-1 d) 1 e) 3
15)Hallar : E = Secθ − Tanθ
x
y
θ
(x;-15)
17
a) 3/5 b) -3/5 c) 5/3 d) -5/2 e) -3/4
16)Si: 𝑥 − 𝑦 = 𝜋 , evalúe:
Tan(x + a). Tan(x + b). Tan(x + c). Tan(x + n)
Tan(y + a). Tan(y + b). Tan(y + c). Tan(x + n)
a) n b) n-1
c) 0 d) 1 e) -1
17) Si k ∈ Z; Calcular:
E = Cos(2k − 1)
π
2
+ Csc(4k − 1)
π
2
+ Sen(2k + 1)
π
2
+ Cos2kπ
a) 1 b) 0 c) 2 d) (−1) 𝑘 e) −(−1) 𝑘 − 1
18) Si se cumple:
Sen [(4k + 5)
π
2
− α] Cos[(2k + 1)π + α]
Sen[23π + α]Tan [
17π
2
+ α]
=
2
3
Calcular: Secα
a) -2/3 b) -3/2 c) 2/3 d) 1 e) 1/3
19) Al convertirlo al primer cuadrante,
resulta:
I. Tan4 = Tan(4 − π)
II. Sen3 = −Sen(π − 3)
III. Cot5 = −Cot(2π − 5)
IV. Cos2 = −Cos(π − 2)
Son verdaderas, las igualdades:
a) II; III y IV b) Solo I c) III y IV
d) I; III y IV e) Todas

4. Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
4
20) Hallar E = Cscθ + Cotθ
x
y
θ
(x;-5)13
a) 2/3 b) -3/2 c) -2/3 d) 3/2 e) -2
21) Calcula el valor de:
E = Sen (−
83π
8
) − Cos(−
57π
8
)
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
22) Reducir:
M = Cos
7π
11
+ Sen
6π
11
− Sen
5π
11
+ Cos
4π
11
a) 0 b) 2 c) -2 d) 4 e) -4
23) Si :
𝑓(x) =
Sen(π + x) + Cos(
3π
2
+ x)
x
+ xSen (
π
2
− x) Sec(2π − x)
Resolver: [𝑓(𝑥) + 𝜋][𝑓(𝑥) − 𝜋] < 0
a) 〈−𝜋; 𝜋〉 b) 〈−2𝜋; 2𝜋〉 c) [– 𝜋; 𝜋]
d) 〈−1; 1〉 e) 〈−𝜋; 𝜋〉 − {0}
24) Calcular el valor de:
E =
Cosβ + Cosθ + Sen(β + 2θ)
Cos (
β + 3θ
2
)
x
y
β
θ
a) Senθ b)−Senθ c) -1
d) −Tanθ e)1
25) Si: O1 es centro, hallar:
E = Tan|θ| + |Cotθ|
x
y
3
2
1
θ
O1
a) -2 b) 2 c) 0 d) 10/3 e) -10/3
26) Si:
∑ 𝑆𝑒𝑛 (
𝑛𝜋
2
+ 𝑥) = ∑ 𝐶𝑜𝑠 (
𝑛𝜋
2
+ 𝑥)
5
𝑛=1
5
𝑛=1
Calcule:
𝑅 = ∑ 𝑇𝑎𝑛 [(𝑛 + 1)
𝜋
2
+ 𝑥]
5
𝑛=1
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2
27) Hallar: Tanθ si ‘‘O’’ es centro
3
2
1
O θ
a) 31/11 b)11/31 c) -31/11
d) -11/31 e) -1/3