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Subido porJose Labio
Presentacion grupal
Este documento presenta las soluciones a varias tareas de álgebra, trigonometría y geometría analítica. La primera tarea involucra aplicar la ley del seno y coseno para resolver tres ejercicios trigonométricos y graficarlos en GeoGebra. Las siguientes tareas incluyen calcular razones trigonométricas para ángulos agudos en triángulos rectángulos, evaluar identidades trigonométricas y resolver una ecuación trigonométrica. La última tarea aplica el teorema del coseno
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Presentacion grupal
- 1. JOSÉ MARÍA LABIO IsauraPaola Salazar Vargas KATHERINE ROJAS JONATHAN NOVOA GAMBOA curso -551108_16 ALGEBRA , TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIAANALITICA. presentado a Jaime Julio Buelva UNIVERSIDAD NACIONALABIERTA Y A DISTANCIA
- 2. Tarea 1: Desarrollarlos siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno. Graficar en GeoGebra. a). a = 17 m b = 42 m c = 31 m solución a = 20,7° b =119,2o c = 40,1° b= 42m a=17m c=31mB A C Empezaremos por hallar el ángulo mas grande en este caso el ángulo B aplicando teorema del coseno, donde tenemos: 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐(𝐶𝑜𝑠𝐵) despejamos para dejar solo B 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 = −2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐵 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 −2𝑎𝑐 = 𝐶𝑜𝑠 𝐵
- 3. Aplicamos inverso decoseno en ambos lados de la igualdad de tal forma que el coseno que acompaña a b se pueda cancelar. 𝑐𝑜𝑠−1 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 −2𝑎𝑐 = 𝐵 Remplazamos valores. 𝑐𝑜𝑠−1 422 − 172 − 312 −2(17)(31) = 𝐵 Resolvemos las potencias 𝑐𝑜𝑠−1 1764 − 289 − 961 −1054 = 𝐵 𝑐𝑜𝑠−1 514 −1054 = 𝐵 𝑐𝑜𝑠−1 −0,4876 = 𝐵 119,2° = 𝐵
- 4. Ahora vamos aencontrar el ángulo A aplicando teorema de seno. 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏 Remplazamos los valores: 𝑆𝑒𝑛 𝐴 17 = 𝑆𝑒𝑛 (119) 42 Despejamos: 𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 17. 𝑆𝑒𝑛 119 42 Aplicamos la inversa de seno en ambos lados de la igualdad de tal forma que el seno que acompaña a a se pueda cancelar. 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1 17. 𝑆𝑒𝑛 119 42 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1 17. 0,8746 42
- 5. 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1 14,8682 42 𝐴= 𝑆𝑒𝑛−1 0,3540 𝐴 = 20,7° Como ya conocemos el valor de dos de los ángulos y sabemos por teorema que la suma interna de los ángulos de un triángulo es igual a 180° realizamos una resta para encontrar el valor del ángulo C 𝐶 = 180° − 119,2° − 20,7° 𝐶 = 40,1°
- 6.
- 7. 𝑐2 = 𝑎2+ 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐴 = 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 −2𝑏𝑐 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 cos 𝐴 = 72 − 52 − 82 −2(5)(8) = −40 −80 = 0,5 𝐴 = cos 0,5 = 60° 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐵 = 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 −2𝑏𝑐 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 cos 𝐵 = 52 − 72 − 82 −2(7)(8) = −88 −112 = 0,7857 B= cos 0,7857 = 30,21° 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐶 𝐶 = 180° − 60° + 38,21° = 81,79°° D. a = 8 m b = 7 m c = 5 m
- 8. Tarea 2. Calculalas razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y B) de cada triángulo rectángulo que aparecen abajo. hipotenusa C. Adyacente C. Opuesto Vamos a calcular primero las razones trigonométricas para el ángulo A. Tenemos que las razones trigonométricas son: 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝑐. 𝑜 ℎ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑐. 𝑎 ℎ 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 𝑐. 𝑜 𝑐. 𝑎
- 9. Remplazamos valores 𝑆𝑒𝑛 𝛼= 3 5 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 4 5 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 3 4 Ahora vamos a calcular las razones trigonométricas para el ángulo , igualmente se remplaza los valores, teniendo en cuenta que la posición de los catetos cambia. hipotenusa C. Adyacente C. Opuesto Remplazamos valores 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 4 5 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 3 5 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 4 3
- 10. Tarea 3. Realizarlas siguientes identidades trigonométricas csc 𝑥 cot 𝑥 = 1 cos 𝑥 Sabemos por razones trigonométricas que: csc 𝑥 = 1 sen 𝑥 𝑦 cot 𝑥 = 1 tg 𝑥 = cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Remplazamos los valores: csc 𝑥 cot 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Aplicando la ley de extremos y medios tenemos: csc 𝑥 cot 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos 𝑥 csc 𝑥 cot 𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑠𝑥
- 11. Tarea 4. Revisary realizar las siguientes ecuaciones trigonométricas 2𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 no es una identidad trigonométrica por lo tanto lo vamos a comprobar con un ejemplo: si tenemos que 𝑥 = 0 podemos remplazar los valores 2𝑐𝑜𝑠2 (0) + 𝑠𝑒𝑛(0) = 1 2 1 + 0 = 1 2 ≠ 1 por lo tanto es una contradicción.
- 12. Tarea 5. Aplicacionestrigonométricas. a) Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 10 cm y 18 cm respectivamente y forman un ángulo de 43º. Tomamos el lado 𝐴𝐵 y aplicamos teorema de coseno. 𝐴𝐵2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 ∝ Remplazamos los valores. 𝐴𝐵2 = 52 + 92 − 2(5). (9). cos(43) Resolvemos as operaciones. 𝐴𝐵2 = 25 + 81 − 90. cos(43)
- 13. Repartimos raíz cuadradoen ambos lados de la igualdad y resolvemos. 𝐴𝐵 = 25 + 81 − 90. cos 43 𝐴𝐵 = 106 − 65,86 𝐴𝐵 = 40,18 𝐴𝐵 = 6,3 𝑐𝑚 Para poder calcular ∢AMD tenemos que realizar un resta, ya que dos de los ángulos del paralelogramo deben sumar 180° y ya conocemos el valor de uno. ∢𝐴𝑀𝐷 = 180° − 43° ∢𝐴𝑀𝐷 = 137° Aplicamos nuevamente el teorema del coseno para conocer el lado 𝐴𝐷 𝐴𝐷2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎. 𝑐. cosβ Remplazamos los valores. 𝐴𝐷2 = 52 + 92 − 2(5). (9). cos(137)
- 14. Resolvemos as operaciones. 𝐴𝐷2 =25 + 81 − 90. cos(137) Repartimos raíz cuadrado en ambos lados de la igualdad y resolvemos. 𝐴𝐷 = 25 + 81 − 90. cos 137 𝐴𝐷 = 106 − (−65,86) 𝐴𝐷 = 76,11 𝐴𝐷 = 8,7 𝑐𝑚