Este documento describe los fundamentos matemáticos de las funciones trigonométricas, incluyendo sus dominios, imágenes, identidades y cómo resolver ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que existen seis funciones trigonométricas principales y describe sus propiedades como ser periódicas, continuas y acotadas.

1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

2. • Una función trigonométrica, también llamada
circular, es aquella que se define por la
aplicación de una razón trigonométrica a los
distintos valores de la variable independiente,
que ha de estar expresada en radianes.
• Existen seis clases de funciones
trigonométricas: seno, coseno y tangente con
su respectiva forma inversa.

3. • Es una función no algebraica impar, función
elemental trascendente, periódica de periodo 𝟐𝝅
es continua, infinitamente derivable e integrable.
• Su dominio es todo el
conjunto ℝ.
• Su imagen es el intervalo
[-1,1], ya que el seno de
un ángulo siempre se
encuentra entre estos
valores.

4. • Esta función es periódica, acotada y continua.
• Su dominio existe para todo el
conjunto de los números reales.
• En cambio, su imagen es el
intervalo [-1,1], ya que el
coseno de un ángulo siempre
se encuentra entre estos
valores.

5. • Su dominio contiene a todos los reales excepto a aquellos en
los que no existe la tangente, que son
los ángulos (2k−1)π2, siendo k un
número entero. En cambio, cualquier
número real pertenece a su imagen.

7. • Es una igualdad entre expresiones que
contienen funciones trigonométricas y es
válida para todos los valores del ángulo en los
que están definidas las funciones.

8. 1. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
1
𝑐𝑠𝑒𝑐 𝑥
2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑐 𝑥
3. 𝑡𝑔 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑡 𝑥
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
4. 𝑐𝑡𝑔 𝑥 =
1
𝑡𝑎𝑔 𝑥
=
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
5. 𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
6. 𝑐𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥

9. • 7.𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1 Identidad Pitagórica
• 8.
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
=
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑒𝑐2 𝑥
• 9.
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= 𝑡𝑔2
𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥

10. ECUACIONES E INECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
• No son identidades trigonométricas.
¿CÓMO SE RESUELVE?
• Todo debe reducirse a COSENOS O SENOS.
• Se utiliza las identidades trigonométricas.
• Se utiliza artificios.

11. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
• Para resolver una ecuación
trigonométrica haremos las
transformaciones
necesarias para trabajar con
una sola función
trigonométrica, para ello
utilizaremos las identidades
trigonométricas
fundamentales.

12. INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
• Se denomina inecuaciones
trigonométricas a toda
desigualdad entre funciones
trigonométricas que se va o
no a verificar para un
conjunto de valores de la
variable. Si la inecuación se
verifica se llamará compatible
en caso contrario
incompatible.

13. EJEMPLOS PROPUESTOS
Ecuaciones Trigonométricas
• 2𝑡𝑔𝑥 − 3𝑐𝑡𝑔𝑥 − 1 = 0
• 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 − 2𝑐𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 5 = 0
Inecuaciones Trigonométricas
• 𝑠𝑒𝑛𝑥 >
√2
2
, 𝑒𝑛[0 ; 2π]
• 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 > 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ [0 ; π]
- http://www.academia.edu/6806185/Tabla_de_Identidades_Trigonom%C3%A9tricas

14. Forma Trigonométrica de un Número Complejo
Si consideramos un número complejo distinto de cero,
z = a + bi,
y su representación geométrica,
P (a, b),
observamos que a = r cos θ y b = r sin θ
Por lo que,

15. - El valor absoluto de z, r = 𝑧 = 𝑎 2 + 𝑏 2 , se conoce también como
el módulo de z.
- El ángulo θ, asociado a z, se conoce como el argumento de z

16. Ejemplos:
Expresar en su forma trigonométrica con 0 ≤ θ < 2π:

17. Solución de Triángulos
Triángulos Rectángulos

18. Ejemplos:

19. Triángulos Cualesquiera
Teorema de Senos

20. Triángulos Cualesquiera
Teorema de cosenos