El factor integrante es una función que, al multiplicar una ecuación diferencial de primer orden no exacta, la convierte en una ecuación exacta. Un factor integrante depende solo de la variable independiente x o solo de la variable dependiente y, y se puede encontrar integrando funciones separadas de x e y. El factor integrante preserva las soluciones de la ecuación original.

1. Factor integrante
El factor Integrante es una función de un método de resolución de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden. Si por ejemplo, te dan una ecuación diferencial:
y'+p(x)y=g(x) ; siendo p(x) y g(x) polinomios reales (y por lo tanto funciones
continuas) en un intervalo abierto que contiene una solución, el factor integrante lo
obtienes de la siguiente manera:
Formulas:
p(x)=mx-Ny o Nx-my
N m
p (y)=my-Nx Ny-mx
N m
Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de
alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación
diferencial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo,
la siguiente ecuación diferencial
(1.3)
Es exacta, pues
Sin embargo, al multiplicarla por el factor , la ecuación /refedo2:eq1 se
transforma en

2. (1.4)
La cual no es exacta.
Observación: podemos invertir la situación, al multiplicar la ecuación 1.4 por el
factor obtenemos la ecuación diferencial 1.3, la cual es exacta. En tales
circunstancias, es razonable preguntarse: ¿hasta qué punto se puede convertir en
exacta una ecuación diferencial que no lo es? En otras palabras, si la ecuación
No es exacta, ¿bajo qué condiciones se puede encontrar una función con
la propiedad de que
Sea exacta? Cualquier función que actúe de este modo se llama factor integrante.
Así, es un factor integrante de la ecuación 1.4.
Definición [Factor integrante]
Si la ecuación diferencial
(1.5)
no es exacta, pero al multiplicarla por el factor se convierte
en exacta, decimos que es un factor integrante de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La expresión es un factor integrante de la ecuación
por obtenemospues al multiplicarla
la ecuación

3. La cual es exacta.
El lector puede comprobar que la solución de ésta ecuación es .
De inmediato, la pregunta que surge es ¿Cómo se encuentra un factor
integrante?, vamos a tratar de explorar un poco esta cuestión. Si es un
factor integrante de la ecuacióón1.5 entonces por el criterio de exactitud tenemos
que
Aplicando la regla del producto, esto se reduce a la ecuación
(1.6)
Pero despejar de la ecuación 1.6, es por lo general más difícil que resolver la
ecuación original 1.5. Sin embargo, existen algunas excepciones importantes que
podemos estudiar.
Suponga que la ecuación 1.5 tiene un factor integrante que depende solamente de
; es decir, . En este caso la ecuación 1.6 se reduce a
Separando variables obtenemos

4. (1.7)
Integrando a ambos lados de la expresión 1.7 podemos calcular fácilmente el
factor integrante.
De manera análoga, si la ecuación 1.5 tiene un factor integrante que depende
solamente de , entonces la ecuación 1.6 se reduce a
Separando variables obtenemos
(1.8)
Integrando a ambos lados de la expresión 1.8 podemos calcular fácilmente el
factor integrante.
Este resultado se enuncia en el siguiente teorema.
Teorema
Si
es continuo y depende solamente de , entonces
es un factor integrante de la ecuación 1.5.
Si

5. es continuo y depende solamente de , entonces
es un factor integrante de la ecuación 1.5.
Observación: al multiplicar por el factor integrante , podemos perder o
ganar soluciones.
Es posible enunciar resultados similares al anterior para otros tipos de factores
integrantes, el siguiente ejemplo muestra una situación de este tipo.
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial
si su factor integrante es de la forma .
Haga y calculemos las derivadas parciales de respecto a e
Sustituyendo en la ecuación 1.6 obtenemos que
Separando variables

6. Como y , resulta que
Integrando obtenemos que . Es decir, que el factor integrante
es . Al multiplicar por este factor tenemos que la ecuación original
se convierte en
La cual es exacta y tiene como solución