Presentación de integración por sustitución o cambio de variable

1. Integración por sustitución
Integrantes:
O por cambio de
variable

2. Integración por
sustitución
Apertura
• Presentación
Desarrolla
• Teoría
Cierre
• Retroalimentación
O por cambio de
variable
C.G 1.1
C.G 4.1
C.G 8.1
Matemáticas aplicadas

3. • El método de integración por sustitución o por cambio de variable se
basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita
convertir el integrando en algo más sencillo que se pueda integrar
más fácilmente.
Algunas de las formulas o teoremas para derivar por este método son:
1.- 𝑈 𝑛 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =
𝑈 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶
2.-
𝑑𝑢
𝑢
𝑑𝑥 = ln 𝑈 + 𝐶
3.- 𝑆𝑒𝑛 𝑈 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = − 𝐶𝑜𝑠 𝑈 + 𝐶

4. • 4.- 𝐶𝑜𝑠 𝑈 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑈 + 𝐶
• 5.- 𝑒 𝑈
𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑈
+ 𝐶
Pasos para desarrollar la antiderivada
1. Identificar el teorema a utilizar utilizando los métodos algebraicos para ello.
2. Identificar la función a sustituir, es decir Identificar "u".
3. Determinar el diferencial de "u" ("du") y despejar dy.
4. Reescribir el integral ya sustituido.
5. Integrar.

5. 𝑎 𝑛/𝑚
=
𝑚
𝑎 𝑛
1.- ʃ 1 − 4𝑦 𝑑𝑦 𝑈 𝑛 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =
𝑈 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶
Sea
𝑢 = 1 − 4𝑦 𝑑𝑢 = −4 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = −
𝑑𝑢
4
Sustitución
ʃ 1 − 4𝑦 𝑑𝑦 = ʃ𝑢½ −
𝑑𝑢
4 = −
1
4
ʃ 𝑢½ du = −
1
4
2u3/2
3 + 𝐶
= −
𝑢3
/
2
6
+ 𝐶
= −
(1−4𝑦)3
/
2
6
+ 𝐶

6. 2.- ʃ 𝑥2(𝑥3 − 1)10 𝑑𝑥 𝑈 𝑛 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =
𝑈 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶
Sea
𝑢 = 𝑥3 − 1 𝑑𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3𝑥2
Sustitución
ʃ 𝑥2 𝑥3 − 1 10 𝑑𝑥 = ʃ𝑥2 𝑢10 𝑑𝑢
3𝑥2 =
1
3
ʃ𝑢10du =
1
3
u11
11 + 𝐶 =
u11
33
+ C
Sustitución del resultado en la expresión original
(𝑥3
−1)11
33
+ C

7. 3.- ʃ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥2 𝑑𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑈 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = − 𝐶𝑜𝑠 𝑈 + 𝐶
Sea
𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑢 = 6𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
6𝑥
Sustitución
ʃ𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥2 𝑑𝑥 = ʃ𝑥 𝑆𝑒𝑛 3𝑥2 𝑑𝑢
6𝑥
=
1
6
ʃ𝑆𝑒𝑛 u du =
1
6
− 𝐶𝑜𝑠 𝑢 + 𝐶
− 𝐶𝑜𝑠 𝑢
6
+ 𝐶
Sustitución del resultado en la expresión original
− 𝐶𝑜𝑠 3 𝑥2
6
+ 𝐶

8. 4.- ʃ𝑒3𝑥 1 − 𝑒3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑒 𝑈 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑈 + 𝐶
Sea
𝑢 = 1 − 𝑒3𝑥
𝑑𝑢 = −3𝑒3𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
−3𝑒3𝑥
Sustitución
ʃ𝑒3𝑥 1 − 𝑒3𝑥 2 𝑑𝑥 = ʃ𝑒3𝑥 1 − 𝑒3𝑥 2 𝑑𝑢
−3𝑒3𝑥 = −
1
3
ʃ 𝑢2 𝑑𝑢
−
1
3
𝑢3
3
+ 𝐶 = −
𝑢3
9
+ 𝐶
Sustitución del resultado en la expresión original
−
(1−𝑒3𝑥 )3
9
+ 𝐶

9. Fin