Este documento presenta información sobre cálculo diferencial, incluyendo técnicas de derivación, teoremas y fórmulas para calcular derivadas de funciones simples y compuestas. Contiene ejercicios resueltos sobre derivadas básicas, productos, cocientes y funciones trascendentes.

1. 1
UNIVERSIDAD DE SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FÍSICAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
SEGUNDO SEMESTRE DE 2015
CALCULO DIFERENCIAL
Taller 9
TEMAS A REFORZAR
Tecnicas de derivación
Teoremas para el cálculo de derivadas.
Para ciertas funciones definidas de manera simple y de manera compuesta se pueden
emplear las formulas siguientes
DERIVADAS COMPUESTAS

2. 2
Taller 1.
Derivadas básicas-Sumas –Restas y Potencias
Calcule las derivadas
a)
2
)( xxf  b)
5
)( xxf  c) 2)( xf d) xxf )(
e)
3
)( xxf  f)
x
exf )( g)
x
xf 2)(  h) )ln()( xxf 
g) i) )log()( xxf 
Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓( 𝑥) = 2𝑥3
Respuesta: 6𝑥2
2. 𝑓( 𝑥) = 3𝑥4
+ 7
3. 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 6 Respuesta: 2𝑥 + 1
4. 𝑓( 𝑥) = √2 𝑥5
5. 𝑓( 𝑥) =
−2
𝑥4
Respuesta: 8𝑥−5
6. 𝑓( 𝑥) = 2𝑥4
− 3𝑥
7. 𝑓( 𝑥) = 9 − 3𝑥 − 2𝑥2
Respuesta: -3-4x
8. 𝑓( 𝑥) =
5
𝑥−3
9. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥+3
Respuesta:
−1
(𝑥+3)2
10. 𝑓( 𝑥) =
3
4
𝑥 +
1
3
Calcule la derivada de las siguientes funciones.
11. 𝑓( 𝑥) = −3𝑥−3
Respuesta: 9𝑥−4
12. 𝑓( 𝑥) = 5𝑥7
+2𝑥 − 6
13. 𝑓( 𝑥) =
−8
𝑥10
Respuesta: -80𝑥−11
4.𝑓( 𝑥) = 5𝑥4
− 2𝑥3
+ 6𝑥 − 2
5. 𝑓( 𝑥) =
3
5𝑥5 Respuesta: −6𝑥−6
6. 𝑓( 𝑥) = 4𝑥10
+ 12𝑥7
− 5𝑥4
+ 8
7. 𝑓( 𝑥) = √𝑥
6
Respuesta:
1
6 √ 𝑥56
8. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
+
1
𝑥2
-
1
𝑥3
9. 𝑓( 𝑥) = 3𝑥−5
+ 2𝑥−3
Respuesta:−15𝑥−6
− 6𝑥−4
10. 𝑓( 𝑥) = 3𝑥3
− 3 √𝑥
3
+
3
𝑥3
− 3
Resuelva

3. 3
Taller 2 Productos y Cocientes
Ejemplo: Obtenga la derivada de la función 𝑓( 𝑥) =
3𝑥2−2𝑥
3𝑥
Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:
𝐷𝑥 [
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝑔( 𝑥) 𝐷𝑥 𝑓( 𝑥) − 𝑓( 𝑥) 𝐷𝑥 𝑔(𝑥)
[ 𝑔(𝑥)]2
Aplicando el teorema correspondiente
=
3𝑥(6𝑥 − 2) − (3𝑥2
− 2𝑥)(3)
(3𝑥)2
=
18𝑥2
− 6𝑥 − 9𝑥2
+ 6𝑥
9𝑥2
=
9𝑥2
9𝑥2
= 1
I. Calcular la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥2
+ 2)(𝑥3
+ 1) Respuesta: 5𝑥4
+ 6𝑥2
+ 2𝑥
2. 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥4
− 1)(𝑥2
+ 1)
3. 𝑓( 𝑥) =
1
3𝑥2+1
Respuesta:
−6𝑥
(3𝑥2+1)2
4. 𝑓( 𝑥) =
2
5𝑥2−1
5. 𝑓( 𝑥) =
𝑥−1
𝑥+1
Respuesta:
2
(𝑥+1)2
6. ( 𝑥) =
2𝑥−1
𝑥−1
7. . 𝑓( 𝑥) = (1 − 𝑥)2
Respuesta: 2x-2
II. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) f (t) = t2
+1( )× t3
+ t2
+1( ) b) f (z) =
1
2z
-
1
3z2
c) f (t) =
t -1
t2
+ 2t +1
d) f (x) =
3x
x3
+ 7x - 5
e) f (x) =
5 - 4x2
+ x5
x3
f) f (x) = 4 x5
+
2
x
III Hallar las siguientes derivadas
1)
323
3
3
2
3)( xxxxxf 
2)
3
24
63
2
2
3
4
)(
xx
xx
xf 
3)
3 22
31
)(
xxxx
xxxf 
4) 14
25
)( 2



x
x
xf
5) 6)
7) 8)
9)
10)  32
)54()( xxxf 11)
12)  23
264  xxy 2
x1x1y 

4. 4
Taller 3: Derivada de las funciones trascendentes directas.
La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los
teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario o
formulario.
Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = tan 4x3
− 2 cot x2
+ sec(2x− 1)
Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los teoremas
correspondientes para obtener la derivada de cada término y simplificando, se tiene:
Dxf(x) = sec2
4x3
Dx(4x3) + 2 csc2
x2
Dx(x2)
+sec(2x − 1)tan(2x− 1)Dx(2x− 1)
= 12x2
sec2
4x3
+ 4x csc2
x2
+ 2 sec(2x − 1) tan(2x − 1)
Ejercicio
Calcular las derivadas
1) y = 3 sen x
2) y = x + cos x
4) y = x - tan x
5) y = x sec x
Determine la derivada de las siguientes funciones:
a)
x
exxf )( b) )ln()( 2
xxxf 
c)
x
e
x
xf
4
)(  d)
)ln(
)(
x
e
xf
x

e)
x
x
xf
)ln(
)(  f)
x
xxf 2)( 2

Ejercicio

5. 5
Taller 4 REGLA DE LA CADENA
I.Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = x2
+ x( )
6
b) f (x) = 2x3
+1( )
-5
c)  2
3
32)(  xxf d) f (x) = x3
+1
e) f (t) =
t2
+1
t2
-1
f) f (u) =
1
u +1( )2
II.Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, aplicando regla de la cadena :
1. xy 2
sec 2.
93
)143(  xxy 3.
22
)4( 
 xy
4. 3
)1(
1
)(


x
xg
5. xy 4tan3 6. xsenxf 3)( 3

7.
2
13
12









x
x
y 8.
2
2
7
)( 








x
x
xf 9.
2
3
2
3
12





 

t
t
y
10. 23)( 2
 xxxf 11.
1
1
)(



t
t
tf
12. )3(sec 24
xy 
III.Emplear la regla de la cadena para hallar
dx
dy
en cada uno de los siguientes ejercicios :
1. 23;12
 xuuy 2. 32; 2
 xxuuy 3. 1;
1 2
2
 xu
u
y
4. 9;
1 2
 xu
u
y 5.
2
;
1
1
xu
u
y 


IV.Obtenga la derivada de las siguientes funciones
1. 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 1) Respuesta: 3 cos (3x-1)
2. 𝑓( 𝑥) = cos 2𝑥7
3. 𝑓( 𝑥) = tan √ 𝑥3
Respuesta:
𝑠𝑒𝑐2 √𝑥
3
3 √𝑥23
4. 𝑓( 𝑥) = sec(1 − 2𝑥 − 𝑥3
)
5. 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 + cos 5𝑥 Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x
6. 𝑓( 𝑥) = cot √ 𝑥 − csc √ 𝑥3
7. 𝑓( 𝑥) = 𝑡𝑎𝑛5
𝑥5
Repuesta:25𝑥4
𝑡𝑎𝑛4
𝑥5
𝑠𝑒𝑐2
𝑥5
8. 𝑓( 𝑥) = √ 𝑠𝑒𝑛22𝑥
9. 𝑓( 𝑥) =
2𝑥−1
tan 5𝑥
10. 𝑓( 𝑥) = cos(tan3𝑥) Respuesta: −3 𝑠𝑒𝑐2
3𝑥 𝑠𝑒𝑛(tan3𝑥)

6. 6
Taller 5. Derivada de las funciones trigonométricas inversas.
Ejemplo: Calcule la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (4 − 5𝑥3
)
Sí u= 4-5𝑥3
, utilizando el teorema 𝐷𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 =
1
√1−𝑢2
𝐷𝑥 𝑢 se tiene:
𝐷𝑥 𝑓( 𝑥) =
1
√1 − (4 − 5𝑥3)2
𝐷𝑥(4 − 5𝑥3
)
=
−15𝑥2
√1 − (4 − 5𝑥3)2
Ejercicios: Derive las siguientes funciones:
1. 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 − 1) Respuesta:
2
√1−(2𝑥−1)2
2. 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥2
+ 3)
3.𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 tan(1 + 𝑥 + 𝑥2
) Respuesta:
1+2𝑥
1+(1+𝑥+𝑥2)2
4. 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐cot(3𝑥2
− 1)
5. 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐sec(5 − 𝑥) Respuesta:
−1
(5−𝑥)√(5−𝑥)2−1
6. 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐csc √ 𝑥3
7. 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐cot √ 𝑥 Respuesta:
−1
2√𝑥
(1 + 𝑥)−1
8. 𝑓( 𝑥) = √ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
9. 𝑓( 𝑥) =
𝑎𝑟𝑐 tan 5𝑥
cot 7𝑥
10. 𝑓( 𝑥) = ( 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)5
Respuesta:
15(𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)4
√1−9𝑥2

7. 7
Taller 6 Derivada de las funciones logarítmicas.
Ejemplo: Calcule la derivada de la función log3(𝑥3
− 𝑥2
+ 1)
Considerando u= 𝑥3
− 𝑥2
+ 1 , aplicando el teorema
𝐷𝑥 log 𝑎 𝑢 =
1
𝑢
log 𝑎 𝑒 𝐷𝑥 𝑢 se tiene:
𝐷𝑥 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥3 − 𝑥2 + 1
log3 𝑒 (3𝑥2
− 2𝑥)
=
3𝑥2
− 2𝑥
𝑥3 − 𝑥2 + 1
log3 𝑒
Ejemplo: Determine la derivada de la función 𝑦 = ln(6𝑥2
+ 3𝑥)
Considerando 𝑢 = 6𝑥2
+ 3𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 ln 𝑢 =
1
𝑢
𝐷𝑥 𝑢, se tiene
𝐷𝑥 𝑦 =
1
6𝑥2 + 3𝑥
(12𝑥 + 3)
=
12𝑥 + 3
6𝑥2 + 3𝑥
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓( 𝑥) = log2(𝑥4
− 4𝑥2
) Respuesta:
4𝑥3−8𝑥
𝑥4−4𝑥2
log2 𝑒
2. 𝑓( 𝑥) = ln(2𝑥2
− 𝑥)
3. 𝑓( 𝑥) = tan(ln 𝑥2
)
4. 𝑓( 𝑥) = ln( 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ln(tan 3𝑥)
5. 𝑓( 𝑥) = ln(𝑡𝑎𝑛2
3𝑥) Respuesta:
6𝑠𝑒𝑐23𝑥
tan 3𝑥
6. 𝑓( 𝑥) =
cos4𝑥
log5𝑥
7. 𝑓( 𝑥) = log5(𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
8. 𝑓( 𝑥) = log2(𝑎𝑟𝑐 cos( 𝑥 − 𝑥2))
9. 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos( ln 𝑥2
)
10. 𝑓( 𝑥) = √1 + ln 3𝑥 Respuesta:
1
2𝑥√1+ln3𝑥
Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) )43ln()(  xxf b) 








u
u
uf
1
1
ln)(
c)    12ln1)( 2
 tttf d)  2
1ln)( wwf 
e)  2log)( 3
 xxf f)  xxxf  4
2log)(

8. 8
Taller 7 Derivada de las funciones exponenciales.
Ejemplo: Obtener la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = 7 𝑥2+𝑥
Considerando 𝑢 = 𝑥2
+ 𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑎 𝑢
= 𝑎 𝑢
ln 𝑎𝐷𝑥 𝑢, se tiene:
𝐷𝑥 𝑓( 𝑥) = 7 𝑥2+𝑥
ln7 𝐷𝑥 (𝑥2
+ 𝑥)
Calculando la derivada indicada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la
función
= (2𝑥 + 1)7 𝑥2+𝑥
ln7
Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑔( 𝑥) = 𝑒cos 2𝑥
Considerando 𝑢 = cos 2𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑒 𝑢
= 𝑒 𝑢
𝐷𝑥 𝑢, se tiene:
𝐷𝑥 𝑔( 𝑥) = 𝑒cos 2𝑥
𝐷𝑥 cos 2𝑥
Calculando la derivada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función
= −2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑒cos2𝑥
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓( 𝑥) = 2 𝑥−2
Respuesta:2 𝑥−2
ln 2
2. 𝑓( 𝑥) = 74−𝑥
3. 𝑓( 𝑥) = 3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
4. 𝑓( 𝑥) = 43𝑥2+𝑥
5. 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥2+3𝑥−8
6.𝑓( 𝑥) = 𝑒cos 𝑥3
Respuesta: −3𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥3
𝑒cos 𝑥3
. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a)
62
)( 
 x
exf b)
t
etf 
 53
)(
c)
2
2
)( x
exxf 
 d)
u
e
uf
u2
)( 
e)
82
5)( 
 x
xf f)
w
wwf 6
22)( 

9. 9
Taller 8 Derivación logarítmica.
Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función
elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo
de derivadas.
Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los logaritmos:
a) ln 𝐴 𝐵 = ln 𝐴 + ln 𝐵
b) ln
𝐴
𝐵
= ln 𝐴 − ln 𝐵
c) ln 𝐴 𝑛
= 𝑛 ln 𝐴
Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = 𝑥5𝑥
Igualando la función con y
𝑦 = 𝑥5𝑥
Aplicando el logaritmo natural
ln 𝑦 = ln 𝑥5𝑥
Aplicando la propiedad de los logaritmos
ln 𝑦 = 5𝑥 ln 𝑥
Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad
1
𝑦
𝐷𝑥 𝑦 = 5𝑥 𝐷𝑥 ln 𝑥 + ln 𝑥 𝐷𝑥(5𝑥)
= (5𝑥)
1
𝑥
+ 5 ln 𝑥 = 5 + 5 ln 𝑥
Despejando 𝐷𝑥 𝑦 𝐷𝑥 𝑦 = 𝑦(5 + 5 ln 𝑥)
Sustituyendo 𝑦 = 𝑥5𝑥
𝐷𝑥 𝑥5𝑥
= 5𝑥5𝑥
+ 5𝑥5𝑥
ln 𝑥
Ejercicios: Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las
siguientes funciones.
1. 𝑓( 𝑥) = (3𝑥)2𝑥
Respuesta: (3𝑥)2𝑥
(2+ 2 ln3𝑥)
2. 𝑓( 𝑥) = (3𝑥2
)cos2𝑥
3. 𝑓( 𝑥) = (cos 3𝑥) 𝑥+2
R:(cos 3𝑥) 𝑥+2
((−3𝑥 − 6)3𝑥 + 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠3𝑥)
4. 𝑓( 𝑥) = (𝑥5
− 5𝑥2
)5𝑥−6
5. 𝑓( 𝑥) = ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥2
)cot(3𝑥−1)
Determine la derivada de las siguientes funciones
a) f (x) = x3
+ ln x2
+1( ) b) f (t) = et
× t5
+ 2
c)
3
)ln()( xexf x
 d) f (u) = ln( u + 2u
)

10. 10
Taller 9 Derivadas sucesivas de una función.
Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una
nueva función, la cual se puede dividir nuevamente. A la derivada de la derivada de una
función se le llama segunda derivada y a las derivadas obtenidas a partir de la segunda,
se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada
la ordinaria.
Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función
𝑓( 𝑥) = 𝑥7
+ 2𝑥6
− 5𝑥4
+ 8𝑥3
− 2𝑥 + 2
La primera derivada de la función es:
𝐷𝑥 𝑓( 𝑥) = 7𝑥6
+ 12𝑥5
− 20𝑥3
+ 24𝑥2
− 2
La segunda derivada
𝐷𝑥
2
𝑓( 𝑥) = 42𝑥5
+ 60𝑥4
− 60𝑥2
+ 48𝑥
La tercera derivada
𝐷𝑥
3
𝑓( 𝑥) = 210𝑥4
+ 240𝑥3
− 120𝑥 + 48
La cuarta derivada
𝐷𝑥
4
𝑓( 𝑥) = 840𝑥3
+ 720𝑥2
− 120
La quinta derivada
𝐷𝑥
5
𝑓( 𝑥) = 2520𝑥2
+ 1440𝑥
Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓( 𝑥) = 2𝑥5
− 2𝑥3
R: 240
2. 𝑓( 𝑥) = cos(5𝑥 − 3)
3. 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 2)
4. 𝑓( 𝑥) = √4𝑥2 − 5
5. 𝑓( 𝑥) = √2𝑥 − 1 R.
105
√(2𝑥−1)9

11. 11
Taller10 Derivación de funciones implícitas.
Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia
ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función
implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto
a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al
derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El procedimiento
para esta derivación se puede consultar en el libro de texto y en el formulario o
prontuario.
Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la
función
3𝑥4
𝑦2
+ 3𝑥2
= 𝑥𝑦 + 7
Derivando con respecto a x
𝐷𝑥(3𝑥4
𝑦2) + 𝐷𝑥(3𝑥2
)=𝐷𝑥( 𝑥𝑦) + 𝐷𝑥(7)
Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3𝑥4
𝑦2
y 𝑥𝑦 se debe
aplicar el teorema de la derivada de un producto.
Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.
6𝑥4
𝑦𝑦´+ 12𝑥3
𝑦2
+ 6𝑥 = 𝑥𝑦´ + 𝑦
Reordenandoy como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se
agrupan en el primer miembro, factorizando los términos
𝑦′(6𝑥4
𝑦 − 𝑥) = 𝑦 − 12𝑥3
𝑦2
− 6𝑥
Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.
𝑦′
=
𝑦 − 12𝑥3
𝑦2
− 6𝑥
6𝑥4 𝑦 − 𝑥
Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a x las siguientes funciones
1. 𝑥𝑦 + 𝑥3
= 𝑦2
R: 𝑦′
=
𝑦+3𝑥2
2𝑦−𝑥
2. 𝑥3
+ 𝑦2
+ cos 𝑥𝑦 = 3𝑥𝑦
3. 𝑥2
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥2
= 𝑦2
− cos 𝑦
4. 𝑥3
+ 𝑦2
= 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 5𝑥