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CALCULO VECTORIAL
PARTE III
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA
FACULTAD DE ENERGÍA, LAS
INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES
CARRERA DE
INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA
Contenido:
Funciones vectoriales
Cálculo de funciones vectoriales
Movimiento sobre una curva
FUNCIONES DE VALORES VECTORIALES
12.1 FUNCIONES VECTORIALES
Introducción: En ciencias e ingeniería muchas veces es conveniente introducir un
vector r con las funciones f y g como componentes:
r(t) = {f(t), g(t)} = f(t) i + g(t) j
Funciones de valores vectoriales: Una curva C en el espacio tridimensional, o una
curva espacial, se parametriza mediante tres ecuaciones
x = f (t), y = g(t), z = h(t), a <= t <= b.
Al emplear las funciones en la última ecuación como componentes, el equivalente
en el espacio tridimensional es
r(t) = {f(t), g(t),h(t)} = f(t) i + g(t) j + h(t) k
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
12.1 FUNCIONES VECTORIALES
Rectas: Las ecuaciones paramétricas de una recta L que pasa por un punto en
el espacio y es paralela a un vector v = {a, b, c}, v diferente de 0, son
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct -∞ ≤ t ≤ ∞
Estas ecuaciones resultan del hecho de que los vectores r – r0 y v son paralelos de
modo que r – r0 es un múltiplo escalar de v, esto es, r – r0 = tv. En consecuencia,
una función vectorial de la recta L está dada por r(t) = r0 + tv
Si r0 = {x0, y0, z0} y r1 = {x1, y1, z1} son los vectores de posición de dos puntos
distintos P0 y P1, entonces podemos considerar v = r1 – r0 ={x1 – x0, y1 – y0, z1 -
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vector [r(t+h) - r(t)]/h es un vector sobre la recta tangente en P. También definimos
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12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Integrales de funciones vectoriales: Si r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k es una función
vectorial continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral indefinida de r está
definida por
Debido a la continuidad de las funciones componentes f, g y h, la integral definida
de r(t) sobre [a, b] puede definirse como
donde R es una función vectorial tal que R'(t) = r(t)
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
https://www.mathway.com/es/popular-problems/Calculus/546291
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12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Longitud de una curva espacial: Si C es una curva suave en el espacio
tridimensional definida por las ecuaciones paramétricas
x = f (t), y = g(t), z = h(t), a ≤ t ≤ b,
donde
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Funcion de la longitud de arco: La integral definida a continuacion se denomina
funcion de longitud de arco para la curva C.
El simbolo u es una variable de integracion sustituta. La funcion s(t) representa la
longitud de C entre los puntos sobre la curva definida por los vectores de posicion
r(a) y r(t). Si podemos resolver esa ecuacion para t en terminos de s, entonces es
factible expresar r(t) = {f(t), g(t), h(t)} como
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VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
12.3 MOVIMIENTO SOBRE UNA CURVA
Introduccion: Suponga que una partícula o cuerpo se mueve a lo largo de la curva
C de manera que su posición en el tiempo t está dada por la función de valores
vectoriales
r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k
Podemos describir la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de
derivadas de r(t).
v(t) = r'(t) = f'(t) i + g'(t) j + h'(t) k
a(t) = r''(t) = f''(t) i + g''(t) j + h''(t) k
La siguiente funcion escalar representa la rapidez de la particula.
La rapidez se relaciona con la longitud de arco, entonces su longitud entre el punto
inicial en t = a y el punto terminal en t = b está dada por
Si P(x1, y1, z1) es la posición de la partícula sobre la curva C en el tiempo t1,
entonces en base a la geométrica concluimos que v(t1) es tangente a la curva C en
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  • 2. Contenido: Funciones vectoriales Cálculo de funciones vectoriales Movimiento sobre una curva FUNCIONES DE VALORES VECTORIALES
  • 3. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES Introducción: En ciencias e ingeniería muchas veces es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes: r(t) = {f(t), g(t)} = f(t) i + g(t) j Funciones de valores vectoriales: Una curva C en el espacio tridimensional, o una curva espacial, se parametriza mediante tres ecuaciones x = f (t), y = g(t), z = h(t), a <= t <= b. Al emplear las funciones en la última ecuación como componentes, el equivalente en el espacio tridimensional es r(t) = {f(t), g(t),h(t)} = f(t) i + g(t) j + h(t) k VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 4. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES Rectas: Las ecuaciones paramétricas de una recta L que pasa por un punto en el espacio y es paralela a un vector v = {a, b, c}, v diferente de 0, son x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct -∞ ≤ t ≤ ∞ Estas ecuaciones resultan del hecho de que los vectores r – r0 y v son paralelos de modo que r – r0 es un múltiplo escalar de v, esto es, r – r0 = tv. En consecuencia, una función vectorial de la recta L está dada por r(t) = r0 + tv Si r0 = {x0, y0, z0} y r1 = {x1, y1, z1} son los vectores de posición de dos puntos distintos P0 y P1, entonces podemos considerar v = r1 – r0 ={x1 – x0, y1 – y0, z1 - z0}. Una función vectorial de la recta que pasa por los dos puntos es r(t) = (1-t) r0 + t r1 , o VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 5. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES Rectas: 0 ≤ t ≤ 1 VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 6. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES Curva helicoidal: Una función vectorial de la forma describe una hélice circular (Figura). El número 2πc/k recibe el nombre de horquilla de una hélice. Una hélice circular es sólo un caso especial de la función vectorial que describe una hélice elíptica cuando a diferente b. VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 7. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES La curva definida por se denomina hélice cónica. Una curva dada por se llama hélice esférica. VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 8. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES Limites y continuidad VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 9. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES Limites y continuidad Derivada de una funcion vectorial: la derivada de r tambien se describe dr/dt VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 10. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 11. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES Interpretacion geometrica de r'(t): Como sugieren las figuras, la posición límite del vector [r(t+h) - r(t)]/h es un vector sobre la recta tangente en P. También definimos la recta tangente como la recta que pasa por P que es paralela al vector r'(t). VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 12. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 13. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES Integrales de funciones vectoriales: Si r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k es una función vectorial continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral indefinida de r está definida por Debido a la continuidad de las funciones componentes f, g y h, la integral definida de r(t) sobre [a, b] puede definirse como donde R es una función vectorial tal que R'(t) = r(t) VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL https://www.mathway.com/es/popular-problems/Calculus/546291 https://www.calculadora-de-derivadas.com/
  • 14. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES Longitud de una curva espacial: Si C es una curva suave en el espacio tridimensional definida por las ecuaciones paramétricas x = f (t), y = g(t), z = h(t), a ≤ t ≤ b, donde VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 15. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES Funcion de la longitud de arco: La integral definida a continuacion se denomina funcion de longitud de arco para la curva C. El simbolo u es una variable de integracion sustituta. La funcion s(t) representa la longitud de C entre los puntos sobre la curva definida por los vectores de posicion r(a) y r(t). Si podemos resolver esa ecuacion para t en terminos de s, entonces es factible expresar r(t) = {f(t), g(t), h(t)} como r(s) = {x(s), y(s), z(s)} VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  • 16. 12.3 MOVIMIENTO SOBRE UNA CURVA Introduccion: Suponga que una partícula o cuerpo se mueve a lo largo de la curva C de manera que su posición en el tiempo t está dada por la función de valores vectoriales r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k Podemos describir la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de derivadas de r(t). v(t) = r'(t) = f'(t) i + g'(t) j + h'(t) k a(t) = r''(t) = f''(t) i + g''(t) j + h''(t) k La siguiente funcion escalar representa la rapidez de la particula. La rapidez se relaciona con la longitud de arco, entonces su longitud entre el punto inicial en t = a y el punto terminal en t = b está dada por Si P(x1, y1, z1) es la posición de la partícula sobre la curva C en el tiempo t1, entonces en base a la geométrica concluimos que v(t1) es tangente a la curva C en P. VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL