Unidad ii-geometría Plana

Universidad Marcelino Champagnat
CURSO
MATEMÁTICA II:
Unidad II: GEOMETRÍA PLANA
2018

Mg. RGP/Matemática II /Unidad 2/ 2018 1 de 11
CONTENIDOS
2. Introducción a la geometría plana
2.1.Nociones básicas. Punto. Recta. Plano.
2.1.1. Subconjuntos de la recta: semirrecta, rayo, segmento.
2.1.2. Posiciones relativas de dos rectas: paralelas y secantes.
2.1.3. Segmento: Medida (operaciones). Congruencia. Punto medio.
2.2.Figuras geométricas:
2.2.1. Convexas
2.2.2. No convexas.
2.3.Ángulos.
2.3.1. Definición. Medida. Congruencia.
2.3.2. Bisectriz.
2.3.3. Clasificación de los ángulos.
2.3.4. Ángulos determinados por dos rectas paralelas al ser cortadas
por una recta secante.
2.3.5. Ángulos de lados paralelos y perpendiculares
2.4.Rectas perpendiculares. Mediatriz

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA PLANA
En nuestro entorno observamos
una serie de estructuras, como la
que se muestra en la imagen de la
derecha. En ella se presenta una
estructura metálica, donde sus
elementos se distribuyen de
manera regular, garantizando su
solidez y óptima funcionalidad.
Lo que ejemplifica como la
Geometría se aplica para la
solución de diversas
problemáticas de la vida diaria.
Fuente: http://emabajio.com.mx/emabajio/
La palabra geometría significa etimológicamente “media de la Tierra” y tuvo sus
orígenes en la delimitación de terrenos en las antiguas civilizaciones, perfeccionando sus
aplicaciones con el transcurrir de los siglos. Actualmente se considera a la geometría
como una rama de la Matemática que estudia a las figuras en el plano o el espacio,
estableciendo relaciones entre ellas, por medio del método deductivo.
Punto En la imagen anterior notamos que existen uniones entre los elementos
estructurales, como por ejemplo A y B, a los que denominaremos puntos. Un punto es
adimensional, es decir que no tiene dimensión o tamaño, sólo tiene posición. Se representa
por una pequeña marca y se denota con letras mayúsculas, así se tiene: el punto A , el
punto B ,…
Recta Por dos puntos distintos pasa una y solo una recta, que es una
línea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos.
Así, decimos que la recta AB está determinada por los puntos A y
B denotándose como AB (se lee recta AB). Una recta se representa
con dos flechitas en los extremos, como se muestra a la derecha.
Observación:
Tres o más puntos que pertenecen a una misma recta se
denominan colineales. Por ejemplo P, Q y R son colineales
porque pertenecen a una misma recta, en este caso L.
Plano. Tres puntos no colineales determinan un plano, que es una
figura geométrica que suele ser evocada por una hoja de papel
apoyada sobre una mesa. El plano es una superficie llana que se
extiende indefinidamente, es decir que no tiene límites, y solamente
podemos representar una parte de él por medio de un cuadrilátero,
denotándose con una letra mayúscula.

Subconjuntos de la recta
a) Semirrecta. Sea la recta L y un punto P en ella, entonces dicho
punto divide a la recta en dos partes, recibiendo cada una el
nombre de semirrecta. El punto P no pertenece a ninguna de las
semirrectas y es el punto frontera.
Por ejemplo a la derecha se representa la semirrecta PA, la cual se denota
como PA.
b) Rayo. A la unión de una semirrecta con el punto frontera se le denomina rayo. El punto
donde se inicia el rayo se llama origen. Por ejemplo:
PB

: Rayo de Origen “P” y que pasa por “B”
QC

: Rayo de Origen “Q” y que pasa por “C”
c) Segmento. Sean A y B dos puntos distintos de una recta L
entonces el subconjunto de todos los puntos de L comprendidos
desde A hasta B se denomina segmento AB, denotándose como
AB . La distancia del punto A al B se denota como AB y
representa la longitud del segmento AB.
Si dos segmentos AB y PQ tienen igual longitud, es decir AB PQ , entonces se dirá que
estos segmentos son congruentes, denotándose como: AB PQ .
Dado el punto M perteneciente al segmento AB  M AB tal que
AM y MB son congruentes, entonces M es el punto medio de AB.
Posiciones relativas de rectas
Dos rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no
tienen ningún punto en común. Por ejemplo a la derecha se
muestran las rectas paralelas AB y PQ, denotándose como:
AB PQ// (se lee “la recta AB es paralela a la recta PQ”)
Dos rectas son secantes cuando están en un mismo plano y tienen
un solo punto en común. Por ejemplo a la derecha se presentan las
rectas CD y EF, las cuales se intersecan en el punto O.

Figuras convexas y cóncavas
Un conjunto convexo es aquel en el cual
si se consideran dos puntos que
pertenezca al conjunto y se traza el
segmento de recta formado por esos dos
puntos, dicho segmento resultante está
contenido en el conjunto. En el gráfico
de la izquierda se presentan cometas,
notándose que las cometas 3; 4 y 5 son
figuras convexas ¿por qué?, ¿qué otras
cometas son convexas?
Un conjunto que no es convexo, se dirá que es cóncavo. Por
ejemplo las cometas 1 y 2 son cóncavas o no convexas, porque
al tomar dos puntos en cada una de ellas, el segmento trazado
no está contenido en cada una de las cometas, como se observa
en la figura adjunta.
Actividad 1 Destreza: analizar
1. Analiza si cada una de las siguientes figuras es convexa o cóncava:
I. Percibe la información e identifica criterios y las partes
Describe cada una de las figuras.
La figura A es poligonal con 5 lados,
La figura B es poligonal con 8 lados
La figura C está delimitada en su borde por una semicircunferencia y 2 segmentos de
recta.
II. Relaciona los criterios y las partes
¿Cuándo se dice que una figura es convexa y cuándo es cóncava?
Una figura es convexa cuando al considerar dos puntos cualesquiera en la figura y
trazar el segmento de recta entre ellos, este se encuentra contenido en la figura. Una
figura es cóncava si no es convexa.
III. Analiza la información
Indica si cada una de las figuras es convexa o cóncava. Justifica tus respuestas.
Las figuras A y C son convexas porque
al trazar los segmentos de recta por
dos puntos en cada una de ellas, dichos
segmentos están contenidos en
respectivamente en las figuras, como se
ejemplifica en la figura de la derecha.

La figura B es cóncava porque el segmento PQ no está contenido
en la figura, como se muestra en la gráfica.
2. Analiza y justifica el valor de verdad de los siguientes enunciados:
(a)Por dos puntos distintos se pueden trazar infinitas rectas.
(b)Por un punto se pueden trazar infinitas rectas.
(c)Tres puntos colineales determinan un plano.
(d)Un plano contiene infinitos puntos.
3. Analiza y justifica el valor de verdad de los siguientes enunciados:
(a)Un segmento de recta tiene dos puntos extremos.
(b)Si A y B son puntos distintos de una recta, entonces, los segmentos AB y BA son
iguales.
(c)Si P y Q son puntos distintos de una recta, entonces, la semirrecta PQ es igual que la
semirrecta QP.
(d)Si dos rectas son paralelas, entonces se encuentran en el mismo plano.

4. En un plano P, se considera la recta L y un punto D
exterior a dicho recta. Si además A, B y C son puntos
de L. Analiza y justifica el valor de verdad de los
siguientes enunciados:
(a) BD P (b) AB BC
(c) B AD (d) L y BD son rectas secantes
(e) BC  BD (f)   CD CA
5. Sean los puntos A, B, C y D pertenecientes a la recta L, como se muestra en la gráfica:
Analiza qué figura geométrica se determina al realizar las siguientes operaciones de
conjuntos:
(a) BC CD (b) AB BC (c) AB AC
(d) AC CA (e) BC CB (f) BDAB
(g) CD C (h) ABAB (i) BCBC
6. En el gráfico de la derecha se muestra un cubo de vértices A, B, C,
D, E, F, G y H. Los puntos A, B, C y D de este cubo son
coplanares, es decir pertenecen a un mismo plano. Con los vértices
de este cubo, ¿cuántos conjuntos de cuatro puntos coplanares
distintos se pueden formar?, menciónalos

7. En el gráfico de la derecha se muestra un paralelepípedo
rectangular de vértices A, B, C, D, E, F, G y H. En base a
ello, analiza y justifica el valor de verdad de los siguientes
enunciados:
(a) AE y AD son rectas secantes. (b) EH y FG son rectas paralelas.
(c) BD y FH son rectas paralelas. (d) EG y HD son rectas paralelas.
(e) AB y DF son rectas secantes. (f) B, C, E y H son puntos coplanares.
8. Analiza y justifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones referidas a
convexidad:
(a)La recta es un conjunto convexo.
(b)Un rectángulo es un conjunto convexo.
(c)Una región circular es un conjunto cóncavo.
(d)La unión de dos figuras convexas siempre es convexa.

9. En el gráfico de la derecha se muestra una de las famosas
pirámides de Egipto, la cual tiene base cuadrada. En base a ello,
analiza qué figura geométrica se determina al realizar las
siguientes operaciones de conjuntos:
(a) AD DC (b) VC VD
(c) Plano ADV  Plano CDV (d) Plano ADV  Plano BCD
(e) Plano ABV  DV (f) Plano BDV  Plano ABCD
10. (a) Por tres puntos no colineales, ¿cuántas rectas distintas se pueden trazar?
(b)Por cuatro puntos, donde tres de ellos no son colineales, ¿cuántas rectas distintas se
pueden trazar?
(c)Por cinco puntos, donde tres de ellos no son colineales, ¿cuántas rectas distintas se
pueden trazar?
(d)En base a los resultados anteriores analiza cuántas rectas distintas se pueden trazar por
“n” puntos, donde tres de ellos no son colineales.

Actividad 2 Destreza: aplicar
1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que: AB = 7 cm,
AD = 19 cm, 
CD
BC
3
. Calcula AC.
I. Percibe la información e identifica elementos, datos, orden, entre otros.
a) ¿En qué relación se encuentran BC y CD?
De la condición:    
CD
BC CD 3 BC
3
, es decir CD es el triple de BC.
b) Representa en un diagrama la información proporcionada
De lo obtenido en (I.a) si BC = x cm entonces CD = 3x cm. Luego graficando la
información se tiene:
II. Elige los principios, propiedades, procedimientos, algoritmos, entre otros.
¿Qué conceptos o propiedades emplearías para resolver la situación propuesta?
El concepto de segmento y de su longitud, así como la operación de unión de
segmentos.
III. Aplica al resolver la situación propuesta.
Aplica los conceptos o propiedades pertinentes y resuelve la situación propuesta.
De la gráfica realizada en (I.b) se tiene:
AB + BC + CD = AD
7 + x + 3x = 19  4x = 12  x = 3
Finalmente, AC = AB + BC  AC = 7 + x  AC = 7 + 3  AC = 10 cm.
2. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que AD=20 cm, BD=15 cm,
AC = 14 cm, calcula BC.

3. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B y C; tal que AC = 4(AB) y BC = 12 cm.
Calcula la longitud de AC .
4. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que: CD = 9 cm,
AD = 34 cm, 
AC
AB
5
. Calcula BC.
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que
  
CD DE
AB BC
2 3
. Si BE = 36 cm, calcula AD.

6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si M es el punto medio de BC
y AB + AC = 36 cm. Determina la longitud de AM.
7. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que M es punto de AB, N es
punto medio de CD y AC + BD = 50 cm. Determina MN.
8. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E; tal que AC+BD+CE = 40 cm
y 
AE 3
.
BD 2
Determina la longitud de AE .

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