Este documento describe conceptos geométricos como ángulos diedros, triedros y poliedros. Define ángulos diedros como la intersección de dos semiplanos que comparten una arista común, y describe elementos como aristas y caras. También define ángulos triedros y poliedros como intersecciones de tres o más semiplanos que comparten un vértice común, e incluye propiedades como la suma de sus caras. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
2. Ángulo Diedro Convexo
Dados cuatro puntos no
coplanares A, B, C y D, se
llama ángulo diedro
convexo ABCD, de arista BC,
a la figura formada por los
puntos comunes a dos
semiplanos: el limitado por el
plano ABC que contiene al
punto D y el limitado por el
plano BCD que contiene al punto A.
P es un punto interior, ya que pertenece al
diedro, aunque no a sus caras; mientras
que Q es un punto exterior, ya que no
pertenece al diedro.
3. Elementos
Observe la similitud entre los elementos de los
ángulos planos y los ángulos diedros:
˄
Ángulo: aob Diedro: εϕ
Vértice: o Arista: a
Lados: semirrectas oa y ob Caras: semiplanos ε y ϕ
4. Sección de un ángulo diedro
Se observa la sección plana o
intersección de un diedro αβ
con un plano que corta su
arista. Dicha sección es el
ángulo MNP cuyos lados
pertenecen a las caras y su
vértice a la arista.
Se llama sección de un diedro al
ángulo que determina en el
mismo un plano que corta a su
arista
5. Sección Normal
Una sección de un diedro se
llama normal cuando sus
lados son perpendiculares a la
arista
En este caso el ángulo MNP es
sección normal del diedro αβ si los
lados NM y NP son perpendiculares
a «a»
La sección normal de un diedro
se obtiene como la intersección de éste
con un plano perpendicular a la arista
CONSECUENCIA: todas las secciones
normales de un diedro son iguales
6. Amplitud de un Diedro
Se llama amplitud de un diedro a la amplitud de su
sección normal
Un diedro es congruente, mayor o menor que otro, si la
sección normal del primero es congruente, mayor o
menor que la del segundo, respectivamente
7. Diedros Consecutivos
Dos diedros son
consecutivos cuando
tienen solamente en
común la arista y una
cara.
Ej: αβ y βγ son
consecutivos
8. Diedros Complementarios y
Suplementarios
Diedros Complementarios Diedros Suplementarios
Dos diedros son complementarios Dos diedros son suplementarios
cuando su suma es igual a un diedro cuando su suma es igual a dos
recto. diedros rectos.
Ej: αβ y γδ son complementarios Ej: α´β´ y γ´δ´ son suplementarios
si αβ + γδ = 1 d. R (un diedro recto) si α´β´ + γ´δ´ = 2 d. R
9. Diedros Adyacentes y Opuestos por
la Arista
Diedros Adyacentes Opuestos por la Arista
Dos diedros son adyacentes cuando Dos diedros son opuestos por la arista
son consecutivos y sus cuando las caras de cada uno son los
caras no comunes son semiplanos semiplanos de las caras del otro.
opuestos.
Ej: αβ y βγ son adyacentes Ej: αβ y α´β´ son opuestos por la arista
10. Consecuencias
Si dos diedros son adyacentes,
sus secciones normales son
ángulos adyacentes
Los diedros adyacentes son
suplementarios
Los diedros opuestos por la
arista son congruentes
11. Clasificación
Diedro Recto: es igual a su adyacente Diedro Llano: tiene por
Ej: αβ es recto porque αβ = α´β caras semiplanos
opuestos y sus puntos
interiores pertenecen
Diedro Agudo: es menor que un diedro a un semiespacio.
recto. Ej: γδ es agudo porque γδ ˂ αβ
(αβ de la primer figura)
Diedro Cóncavo: es
Diedro Obtuso: es mayor que un aquel formado por los
diedro recto y menor que un llano. puntos de las caras de
Ej: εϕ es obtuso porque εϕ > αβ un diedro convexo
ABC (αβ de la primer figura) ABCD y todos sus
puntos exteriores
12. Bisector de un Ángulo Diedro
Se llama bisector de un diedro al semiplano interior que lo
divide en
dos diedros congruentes
Ej: β es semiplano
bisector de α1α2
entonces α1β = βα2
13. EJERCICIO 1
Nombra dos ejemplos de:
a) Diedros agudos
b) Diedros rectos
c) Diedros obtusos
d) Diedros llanos
e) Diedros opuestos por el
vértice Datos: la figura es un ortoedro
f) Diedros adyacentes A>B (aristas)
g) Diedros complementarios α: cara anterior
no consecutivos γ: cara posterior
h) Diedros congruentes β y δ: caras laterales
π1, π2, ε1, ε2 semiplanos diagonales
14. Teorema de Thales
Si tres o más planos
paralelos son cortados
por dos o más
transversales, la razón
entre dos segmentos de la
primera es igual a la razón
entre los segmentos
correspondientes de las
restantes
15. Teorema de Thales
Si α // β // γ y R, T y S son
secantes, entonces:
푎푎´
푎´푎´´
=
푏푏´
푏´푏´´
=
푐푐´
푐´푐´´
푎 푎´
푎푎´´
=
푏푏´
푏푏´´
=
푐푐´
푐푐´´
푎´푎´´
푎푎´´
=
푏´푏´´
푏푏´´
=
푐´푐´´
푐푐´´
17. EJERCICIO 3
Sea α//β//γ; R y S secantes
aa´ = 2x+3cm
a´a´´ = 4x-4cm
bb´ = 2x-3cm
b´b´´ = 2x
Halla el valor de:
a) X
b) aa´, a´a´´, bb´, b´b´´
c) Comprueba tus resultados
18. Ángulos Triedros
Dadas tres semirrectas no
coplanares vr, vs y vt se llama
ángulo triedro a la
figura formada por los
puntos comunes a los
diedros convexos de aristas
vr, vs y vt.
Es decir, el ángulo triedro es la
interseción de tres diedros
cuyas aristas concurren en un
punto
19. Notación
En símbolos se anota: tr v.
vr, vs, vt
Abreviado: tr v. rst
y se lee «triedro de vértice v
y aristas vr, vs y vt»
20. Elementos
Observe la similitud entre las definiciones y propiedades de
triángulos y triedros:
Triángulo: abc Triedro: tr v. abc (v: vértice)
Vértices: a, b, c Aristas: va, vb, vc
Lados: ab, bc, ca Caras: avb, bvc, cva
Ángulos: abc, bca, cab Diedros: d. va, d. vb, d. vc
21. Propiedades
En todo triedro cada cara es
menor que la suma de las
otras dos y mayor que su
diferencia
La suma de las caras de un
triedro es menor que cuatro
rectos
22. EJERCICIO 4
Indica en qué casos los datos
pueden corresponder a las caras
de un triedro. En caso contrario
explica por qué:
a) b) c)
Áng. avb = 40° Áng. avb = 120° Áng. avb = 90°
Áng. bvc = 135° Áng. bvc = 130° Áng. bvc = 80°
Áng. cva = 25° Áng. cva = 90° Áng. cva = 190°
23. Congruencia de Triedros
Si los diedros y las caras
correspondientes de dos
diedros son congruentes,
entonces los triedros son
congruentes
24. Ángulos Poliedros
La definición de poliedro contiene a la de triedro como caso particular:
3 semirrectas no coplanares que 3 o más semirrectas no coplanares
tienen un mismo origen v determinan que tienen un mismo origen v
un ángulo triedro. determinan un ángulo poliedro.
Tr. v. abc áng. Poliedro v. abc … n
Vértice: v Vértice: v
Aristas: va, vb, vc Aristas: va, vb, … , vn
Caras: avb, bvc, cva Caras: avb, bvc, … , nva
25. Propiedades
Se generaliza para los ángulos poliedros las propiedades
enunciadas para los triedros:
En todo ángulo poliedro cada cara es menor que la suma
de las restantes
La suma de las caras de un ángulo poliedro es menor
que cuatro rectos
26. EJERCICIO 5
¿En qué casos los datos pueden corresponder a un poliedro
v. abcd?
a) b) c)
Áng. avb=25° Áng. avb=35° Áng. avb=90°
Áng. bvc=42° Áng. bvc=98° Áng. bvc=103°
Áng. cvd=108° Áng. cvd=103° Áng. cvd=45°
Áng. dva=41° Áng. dva=49° Áng. dva=120°
27. Secciones de un ángulo poliedro
Se llama sección plana
de un ángulo poliedro a
la intersección de un
plano y un ángulo
poliedro.
Si el plano corta a todas
las aristas del ángulo
poliedro y no pasa por el
vértice, la sección plana es
un polígono
28. Si un ángulo es
seccionado por dos
planos paralelos que
corten a sus aristas, se
obtienen dos
polígonos semejantes
29. EJERCICIO 6
Datos:
π//π´
ab=3cm bc=4cm
a´b´=4,5cm a´c´=9cm
a) Calcla ac y b´c´
b) ¿Qué puedes decir de
los triángulos vab y va´b´?
c) Calcula vc´ siendo vc=8cm
