1. El documento describe el proceso de linealización de las ecuaciones de movimiento no lineales de una aeronave mediante el uso de series de Taylor.
2. Esto permite representar el sistema no lineal original como un modelo matemático linealizado alrededor de una condición de operación nominal.
3. La linealización es útil porque permite aplicar herramientas matemáticas lineales para analizar la dinámica de vuelo y desarrollar simuladores de entrenamiento.
Este documento describe diferentes tipos de gráficas y funciones en MatLab. Explica cómo generar gráficas xy con escalas lineales y logarítmicas usando los comandos plot, semilogx, semilogy y loglog. También cubre cómo crear gráficas múltiples, subgráficas, y gráficas tridimensionales de funciones de dos variables.
Este documento presenta un ejemplo numérico para calcular la pendiente de una recta secante y tangente utilizando funciones. Primero, calcula la pendiente de la recta secante entre 8 y 10 toneladas utilizando la fórmula dada. Luego, grafica la recta secante para valores de 1 a 2 y calcula su pendiente. Finalmente, obtiene la ecuación de la recta tangente en el punto 1 sustituyendo valores en la fórmula dada.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de funciones. Explica cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una función en un punto, lo que conduce al concepto de derivada como un límite. Luego define formalmente la derivada de una función y presenta ejemplos de cómo calcular derivadas de funciones comunes usando esta definición. Finalmente, discute brevemente cuándo una función puede no ser diferenciable.
Este documento introduce métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de punto fijo y el método de Newton. Explica cómo extender estos métodos para resolver sistemas con múltiples incógnitas mediante iteraciones sucesivas o simultáneas. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método de punto fijo a un sistema de dos ecuaciones no lineales.
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
Este documento presenta notas sobre cálculo diferencial. Contiene 7 capítulos que cubren temas como límites, derivación, aplicaciones de derivadas como crecimiento exponencial, linealización, optimización, teoremas como el valor medio y L'Hospital. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos.
I. Este documento describe los elementos de una función cuadrática, incluyendo las intersecciones con los ejes x e y, y las coordenadas del vértice. II. También presenta un ejemplo para encontrar las intersecciones y las coordenadas del vértice de la función f(x)=x^2-6x+5. III. Explica cómo reescribir una función cuadrática para hallar su vértice y graficarla.
Este documento introduce los conceptos de límite y derivada, que son fundamentales en cálculo. Explica que un límite representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Luego define la derivada de una función como la tasa de cambio de dicha función con respecto a la variable independiente y presenta diferentes formas de notarla. Finalmente, muestra cómo calcular derivadas usando la definición formal de límite.
Este documento describe diferentes tipos de gráficas y funciones en MatLab. Explica cómo generar gráficas xy con escalas lineales y logarítmicas usando los comandos plot, semilogx, semilogy y loglog. También cubre cómo crear gráficas múltiples, subgráficas, y gráficas tridimensionales de funciones de dos variables.
Este documento presenta un ejemplo numérico para calcular la pendiente de una recta secante y tangente utilizando funciones. Primero, calcula la pendiente de la recta secante entre 8 y 10 toneladas utilizando la fórmula dada. Luego, grafica la recta secante para valores de 1 a 2 y calcula su pendiente. Finalmente, obtiene la ecuación de la recta tangente en el punto 1 sustituyendo valores en la fórmula dada.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de funciones. Explica cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una función en un punto, lo que conduce al concepto de derivada como un límite. Luego define formalmente la derivada de una función y presenta ejemplos de cómo calcular derivadas de funciones comunes usando esta definición. Finalmente, discute brevemente cuándo una función puede no ser diferenciable.
Este documento introduce métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de punto fijo y el método de Newton. Explica cómo extender estos métodos para resolver sistemas con múltiples incógnitas mediante iteraciones sucesivas o simultáneas. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método de punto fijo a un sistema de dos ecuaciones no lineales.
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
Este documento presenta notas sobre cálculo diferencial. Contiene 7 capítulos que cubren temas como límites, derivación, aplicaciones de derivadas como crecimiento exponencial, linealización, optimización, teoremas como el valor medio y L'Hospital. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos.
I. Este documento describe los elementos de una función cuadrática, incluyendo las intersecciones con los ejes x e y, y las coordenadas del vértice. II. También presenta un ejemplo para encontrar las intersecciones y las coordenadas del vértice de la función f(x)=x^2-6x+5. III. Explica cómo reescribir una función cuadrática para hallar su vértice y graficarla.
Este documento introduce los conceptos de límite y derivada, que son fundamentales en cálculo. Explica que un límite representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Luego define la derivada de una función como la tasa de cambio de dicha función con respecto a la variable independiente y presenta diferentes formas de notarla. Finalmente, muestra cómo calcular derivadas usando la definición formal de límite.
segundo parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene 4 ejercicios de análisis matemático con sus respectivas respuestas: 1) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de una función, 2) Calcular una integral definida, 3) Hallar el área de una región delimitada por curvas, 4) Estudiar la convergencia de una serie de potencias.
clase modelo derivada de funciones reales RAUL BEJAR.pptxRAULBEJARBELLIDO
Este documento trata sobre la derivada y su interpretación geométrica. Define la derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando h tiende a cero. Explica cómo calcular derivadas de funciones elementales usando la definición y reglas de derivación. Finalmente, presenta un ejemplo de aplicación de derivadas para calcular el costo marginal de producción.
Este documento presenta seis ejemplos que ilustran el cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. En el primer ejemplo, se calcula el área debajo de una parábola y una recta mediante la suma de rectángulos y luego tomando el límite para obtener la integral definida. Los ejemplos subsiguientes calculan áreas de regiones delimitadas por curvas algebraicas de manera similar. Los últimos dos ejemplos calculan volúmenes de sólidos de revolución, generados al girar regiones planas alreded
El documento presenta 8 ejemplos de funciones lineales de la forma f(x)=mx+b, indicando la pendiente m y el punto b donde la recta corta el eje y para cada una. También incluye gráficas de las funciones para mostrar si son crecientes o decrecientes.
El documento trata sobre cálculo vectorial. Explica conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Los objetivos son que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales vectoriales y aplicar teoremas como el de Green, Stokes y Gauss.
1. El documento describe diferentes técnicas para derivar funciones algebraicas utilizando la regla general de derivación. 2. Explica cómo derivar constantes, variables independientes, productos de constantes por variables, sumas de funciones, productos y cocientes de funciones. 3. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de derivación.
Ejercicios detallados del obj 4 mat ii (178 179Jonathan Mejías
Este documento presenta la solución de tres ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones. En el primer ejercicio, se calcula la derivada de una función compuesta aplicando la regla de la cadena. En el segundo ejercicio, se calcula la derivada de una función que es el producto de dos funciones aplicando la fórmula de derivada de un producto. Finalmente, en el tercer ejercicio se verifica si una función cumple las hipótesis del teorema de Rolle para un intervalo dado.
Este documento presenta los conceptos clave de la integral indefinida y el método de sustitución algebraica. Explica la definición de la integral indefinida y la antiderivada de una función, así como propiedades y fórmulas básicas de integración. También cubre ejemplos de cálculo de integrales mediante sustitución algebraica y aplicaciones como el crecimiento poblacional. Finalmente, incluye conclusiones sobre los principales puntos tratados y una bibliografía de referencia.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
Este documento trata sobre el álgebra lineal y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos clave como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Luego clasifica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y más. Finalmente, describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, reducción y sustitución.
La recta de los mínimos cuadrados con excel y geogrebraMario Suárez
El documento explica el método de los mínimos cuadrados para ajustar una recta de regresión a un conjunto de datos. Presenta las ecuaciones para calcular los parámetros de la recta cuando Y depende de X y viceversa. También muestra cómo calcular el punto centroide donde se intersectan ambas rectas de regresión. Finalmente, incluye un ejemplo numérico para ilustrar los pasos.
Este documento presenta métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de punto fijo y el método de punto fijo con desplazamientos sucesivos. Explica cómo transformar un sistema no lineal en un sistema equivalente que puede resolverse iterativamente mediante estas técnicas. También incluye un teorema sobre la convergencia del método de punto fijo y un ejemplo numérico para ilustrar los métodos.
Este documento presenta la unidad VI sobre la aplicación de la derivada. La unidad contiene seis secciones que explican conceptos como la interpretación gráfica de la derivada, ecuaciones de tangentes y normales, funciones crecientes y decrecientes, y valores extremos. El objetivo de la unidad es que los estudiantes identifiquen el concepto de derivada y lo apliquen para resolver problemas geométricos, físicos y sus aplicaciones.
Este documento presenta 31 preguntas y problemas sobre álgebra vectorial y teoría de campos. Las preguntas cubren temas como identificar magnitudes escalares y vectoriales, operaciones con vectores como suma, producto escalar y vectorial, y propiedades de campos como conservativos, irrotacionales y solenoidales. Los problemas implican aplicar estas nociones a casos concretos como fuerzas, campos escalares y vectoriales dados en diferentes sistemas de coordenadas.
El documento resume diferentes técnicas de transformación de variables en modelos de regresión para mejorar el ajuste de los modelos. Estas incluyen transformaciones de las variables predictoras y/o de respuesta para linealizar modelos no lineales, así como transformaciones para estabilizar la varianza de los errores o mejorar la normalidad de los residuos. El autor también discute el uso de mínimos cuadrados ponderados y generalizados.
El documento proporciona información sobre gráficas de funciones y ecuaciones. Explica cómo graficar ecuaciones mediante el uso de intersecciones con los ejes y simetrías, y cómo determinar el centro, radio y forma de circunferencias. También cubre conceptos como dominio, rango, tipos de funciones y operaciones con funciones como suma, resta, multiplicación y división.
El documento describe el método de Newton para encontrar las raíces reales de una ecuación f(x)=0. Explica que el método involucra iterativamente calcular x1=x0-f(x0)/f'(x0), donde x0 es el valor inicial y x1 es el valor siguiente. Demuestra que el método converge cuadráticamente si f'(r)≠0. Luego provee detalles sobre cómo implementarlo computacionalmente en MATLAB, incluyendo cómo definir la ecuación, calcular su derivada y evaluarla iterativamente.
1. El documento describe los conceptos fundamentales de la mecánica de Lagrange y Hamilton, incluyendo el cálculo de variaciones, las ecuaciones de Euler-Lagrange, las coordenadas generalizadas, y las ligaduras holónomas y no holónomas.
2. Se define la función de Lagrange como la diferencia entre la energía cinética y potencial de un sistema, y se establece que las ecuaciones del movimiento se obtienen a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a la función de Lagrange.
3. También se introducen conceptos como
Ecuaciones y sist de ecuaciones no linealesRonny Malpica
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones no lineales. Explica que estos sistemas no siguen el principio de superposición como los sistemas lineales. Luego describe métodos para resolver este tipo de sistemas, incluyendo la iteración de punto fijo, el método de Newton y el método del descenso más rápido. Finalmente, introduce conceptos como valores y vectores propios de una matriz, así como aproximaciones de valores propios para matrices simétricas.
segundo parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene 4 ejercicios de análisis matemático con sus respectivas respuestas: 1) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de una función, 2) Calcular una integral definida, 3) Hallar el área de una región delimitada por curvas, 4) Estudiar la convergencia de una serie de potencias.
clase modelo derivada de funciones reales RAUL BEJAR.pptxRAULBEJARBELLIDO
Este documento trata sobre la derivada y su interpretación geométrica. Define la derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando h tiende a cero. Explica cómo calcular derivadas de funciones elementales usando la definición y reglas de derivación. Finalmente, presenta un ejemplo de aplicación de derivadas para calcular el costo marginal de producción.
Este documento presenta seis ejemplos que ilustran el cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. En el primer ejemplo, se calcula el área debajo de una parábola y una recta mediante la suma de rectángulos y luego tomando el límite para obtener la integral definida. Los ejemplos subsiguientes calculan áreas de regiones delimitadas por curvas algebraicas de manera similar. Los últimos dos ejemplos calculan volúmenes de sólidos de revolución, generados al girar regiones planas alreded
El documento presenta 8 ejemplos de funciones lineales de la forma f(x)=mx+b, indicando la pendiente m y el punto b donde la recta corta el eje y para cada una. También incluye gráficas de las funciones para mostrar si son crecientes o decrecientes.
El documento trata sobre cálculo vectorial. Explica conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Los objetivos son que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales vectoriales y aplicar teoremas como el de Green, Stokes y Gauss.
1. El documento describe diferentes técnicas para derivar funciones algebraicas utilizando la regla general de derivación. 2. Explica cómo derivar constantes, variables independientes, productos de constantes por variables, sumas de funciones, productos y cocientes de funciones. 3. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de derivación.
Ejercicios detallados del obj 4 mat ii (178 179Jonathan Mejías
Este documento presenta la solución de tres ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones. En el primer ejercicio, se calcula la derivada de una función compuesta aplicando la regla de la cadena. En el segundo ejercicio, se calcula la derivada de una función que es el producto de dos funciones aplicando la fórmula de derivada de un producto. Finalmente, en el tercer ejercicio se verifica si una función cumple las hipótesis del teorema de Rolle para un intervalo dado.
Este documento presenta los conceptos clave de la integral indefinida y el método de sustitución algebraica. Explica la definición de la integral indefinida y la antiderivada de una función, así como propiedades y fórmulas básicas de integración. También cubre ejemplos de cálculo de integrales mediante sustitución algebraica y aplicaciones como el crecimiento poblacional. Finalmente, incluye conclusiones sobre los principales puntos tratados y una bibliografía de referencia.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
Este documento trata sobre el álgebra lineal y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos clave como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Luego clasifica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y más. Finalmente, describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, reducción y sustitución.
La recta de los mínimos cuadrados con excel y geogrebraMario Suárez
El documento explica el método de los mínimos cuadrados para ajustar una recta de regresión a un conjunto de datos. Presenta las ecuaciones para calcular los parámetros de la recta cuando Y depende de X y viceversa. También muestra cómo calcular el punto centroide donde se intersectan ambas rectas de regresión. Finalmente, incluye un ejemplo numérico para ilustrar los pasos.
Este documento presenta métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de punto fijo y el método de punto fijo con desplazamientos sucesivos. Explica cómo transformar un sistema no lineal en un sistema equivalente que puede resolverse iterativamente mediante estas técnicas. También incluye un teorema sobre la convergencia del método de punto fijo y un ejemplo numérico para ilustrar los métodos.
Este documento presenta la unidad VI sobre la aplicación de la derivada. La unidad contiene seis secciones que explican conceptos como la interpretación gráfica de la derivada, ecuaciones de tangentes y normales, funciones crecientes y decrecientes, y valores extremos. El objetivo de la unidad es que los estudiantes identifiquen el concepto de derivada y lo apliquen para resolver problemas geométricos, físicos y sus aplicaciones.
Este documento presenta 31 preguntas y problemas sobre álgebra vectorial y teoría de campos. Las preguntas cubren temas como identificar magnitudes escalares y vectoriales, operaciones con vectores como suma, producto escalar y vectorial, y propiedades de campos como conservativos, irrotacionales y solenoidales. Los problemas implican aplicar estas nociones a casos concretos como fuerzas, campos escalares y vectoriales dados en diferentes sistemas de coordenadas.
El documento resume diferentes técnicas de transformación de variables en modelos de regresión para mejorar el ajuste de los modelos. Estas incluyen transformaciones de las variables predictoras y/o de respuesta para linealizar modelos no lineales, así como transformaciones para estabilizar la varianza de los errores o mejorar la normalidad de los residuos. El autor también discute el uso de mínimos cuadrados ponderados y generalizados.
El documento proporciona información sobre gráficas de funciones y ecuaciones. Explica cómo graficar ecuaciones mediante el uso de intersecciones con los ejes y simetrías, y cómo determinar el centro, radio y forma de circunferencias. También cubre conceptos como dominio, rango, tipos de funciones y operaciones con funciones como suma, resta, multiplicación y división.
El documento describe el método de Newton para encontrar las raíces reales de una ecuación f(x)=0. Explica que el método involucra iterativamente calcular x1=x0-f(x0)/f'(x0), donde x0 es el valor inicial y x1 es el valor siguiente. Demuestra que el método converge cuadráticamente si f'(r)≠0. Luego provee detalles sobre cómo implementarlo computacionalmente en MATLAB, incluyendo cómo definir la ecuación, calcular su derivada y evaluarla iterativamente.
1. El documento describe los conceptos fundamentales de la mecánica de Lagrange y Hamilton, incluyendo el cálculo de variaciones, las ecuaciones de Euler-Lagrange, las coordenadas generalizadas, y las ligaduras holónomas y no holónomas.
2. Se define la función de Lagrange como la diferencia entre la energía cinética y potencial de un sistema, y se establece que las ecuaciones del movimiento se obtienen a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a la función de Lagrange.
3. También se introducen conceptos como
Ecuaciones y sist de ecuaciones no linealesRonny Malpica
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones no lineales. Explica que estos sistemas no siguen el principio de superposición como los sistemas lineales. Luego describe métodos para resolver este tipo de sistemas, incluyendo la iteración de punto fijo, el método de Newton y el método del descenso más rápido. Finalmente, introduce conceptos como valores y vectores propios de una matriz, así como aproximaciones de valores propios para matrices simétricas.
Trazos poligonales para hallar las medidas de los angulos con las distancias establecidas realizadas con la cinta metrica. Empleando fórmulas como la ley de cosenos y senos, para determinar dichos ángulos.Lo que ayudará para la enseñanza estudiantil en el ámbito de la ingeniería.
Catalogo General Grespania Ceramica Amado Salvador Distribuidor Oficial ValenciaAMADO SALVADOR
Descarga el catálogo general de productos cerámicos Grespania, presentado por Amado Salvador, distribuidor oficial de cerámica Grespania. Explora la amplia selección de productos Grespania de alta calidad diseñados para brindar belleza y durabilidad a tus proyectos de construcción y diseño.
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El crecimiento urbano de las ciudades latinoamericanas ha sido muy rápido en las últimas décadas, debido a factores como el crecimiento demográfico, la migración del campo a la ciudad, y el desarrollo económico. Este crecimiento ha llevado a la expansión de las ciudades hacia las áreas periféricas, creando problemas como la falta de infraestructura adecuada, la congestión del tráfico, la contaminación ambiental, y la segregación social.
En muchas ciudades latinoamericanas, el crecimiento urbano ha sido desorganizado y ha resultado en la formación de asentamientos informales o barrios marginales, donde las condiciones de vida son precarias y la población carece de servicios básicos como agua potable, electricidad y transporte público.
Además, el crecimiento urbano descontrolado ha llevado a la destrucción de áreas verdes, la deforestación y la pérdida de biodiversidad, lo que tiene un impacto negativo en el medio ambiente y en la calidad de vida de los habitantes de las ciudades.
Para hacer frente a estos desafíos, las ciudades latinoamericanas están implementando políticas de planificación urbana sostenible, promoviendo la densificación urbana, la revitalización de áreas degradadas, la preservación de espacios verdes y la mejora de la infraestructura y los servicios públicos. También se están llevando a cabo programas de vivienda social y de regularización de asentamientos informales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de estas áreas.
El crecimiento urbano de las ciudades latinoamericanas ha sido muy rápido en las últimas décadas, debido a factores como el crecimiento demográfico, la migración del campo a la ciudad, y el desarrollo económico. Este crecimiento ha llevado a la expansión de las ciudades hacia las áreas periféricas, creando problemas como la falta de infraestructura adecuada, la congestión del tráfico, la contaminación ambiental, y la segregación social.
En muchas ciudades latinoamericanas, el crecimiento urbano ha sido desorganizado y ha resultado en la formación de asentamientos informales o barrios marginales, donde las condiciones de vida son precarias y la población carece de servicios básicos como agua potable, electricidad y transporte público.
Además, el crecimiento urbano descontrolado ha llevado a la destrucción de áreas verdes, la deforestación y la pérdida de biodiversidad, lo que tiene un impacto negativo en el medio ambiente y en la calidad de vida de los habitantes de las ciudades.
Para hacer frente a estos desafíos, las ciudades latinoamericanas están implementando políticas de planificación urbana sostenible, promoviendo la densificación urbana, la revitalización de áreas degradadas, la preservación de espacios verdes y la mejora de la infraestructura y los servicios públicos. También se están llevando a cabo programas de vivienda social y de regularización de asentamientos informales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de estas áreas.
Catalogo Peronda: Pavimentos y Revestimientos Ceramicos de Calidad. Amado Sal...AMADO SALVADOR
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Unidad3.pdf
1. Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
18 de diciembre de 2022
2. Introducción
En la Unidad 1 de este curso se determinaron las ecuaciones de movimiento
que describen la dinámica de vuelo de una aeronave de ala ja, mientras que
en la Unidad 2 se planteó como obtener las fuerzas y momentos que intervie-
nen en tales ecuaciones. En esta Unidad se resuelve tal sistema de ecuaciones
con el propósito de conocer principalmente su estabilidad dinámica y, tener
a la postre, el planteamiento de un modelo matemático para aplicar el di-
seño de controlares de vuelo o el desarrollo de simuladores de vuelo para el
entrenamiento de tripulaciones.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
3. Debe reconocerse que el punto de partida en el análisis de un sistema de
control es su representación mediante un modelo matemático, generalmente
como un operador entre entradas y salidas del sistema, o como un conjunto de
ecuaciones diferenciales. El modelo matemático representado por el conjunto
de ecs. diferenciales dado por:
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
4. Ecuaciones cinemáticas
φ̇ = p + (q sin φ + r cos φ) tan θ
θ̇ = q cos φ − r sin φ
ψ̇ = (q sin φ + r cos φ)/ cos θ
ẋE = u cos θ cos ψ + v(sin φ sin θ cos ψ − cos φ sin ψ)
+ w(cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ) (1)
ẏE = u cos θ sin ψ + v(sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ)
+ w(cos φ sin θ sin ψ − sin φ cos ψ)
żE = −u sin θ + v sin φ cos θ + w cos φ cos θ
Ecuaciones dinámicas
X − mg sin θ = m(u̇ + qw − rv)
Y + mg cos θ sin φ = m(v̇ + ru − pw)
Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ + pv − qu) (2)
L = Ixxṗ − Ixzṙ + qr(Izz − Iyy) − Izxpq
M = Iyyq̇ + rp(Ixx − Izz) + Izx(p2
− r2
)
N = Izzṙ − Izxṗ + pq(Iyy − Ixx) + Izxqr
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
5. son de carácter no lineal, que en palabras de [3], reere que un sistema se dice
que es no lineal si no es posible aplicar el principio de superposición, por lo
que la respuesta de tal sistema a dos entradas no puede calcularse tratando
cada entrada a la vez y sumando los resultados.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
6. Sin embargo, la mayoría de los modelos matemáticos usados tradicionalmen-
te por teóricos y prácticos del control son lineales. De hecho, los modelos
lineales son mucho más manejables que los no lineales, y pueden represen-
tar en forma precisa el comportamiento de sistemas reales en muchos casos
útiles [2]. De este modo, las ecuaciones antes mencionadas serán linealizadas
bajo el fundamento de la Teoría de pequeñas perturbaciones a partir de una
linealización mediante Series de Taylor.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
7. Series de Taylor
Cuando un modelo es muy complejo matemáticamente y se le desea resol-
ver con relativa simplicidad, se puede recurrir a técnicas que permitan su
representación en una forma tal que puedan aplicarse la gran cantidad de
herramientas matemáticas, en el ámbito del algebra, que existen a disposi-
ción. Esta representación implica una escritura mediante series innitas y a
la técnica que permite llegar a tal representación se le conoce como linea-
lización. Las soluciones de esa representación en series innitas son usadas
generalmente para aproximar el valor de la función en un punto deseado con
cierto grado de precisión.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
8. Así, la linealización generalmente consiste en una expansión en series de Tay-
lor de la ecuación de estado (no-lineal) alrededor de un punto de operación
denido ya sea de forma natural por el sistema, o seleccionado arbitraria-
mente para satisfacer alguna necesidad de control.
La expansión en series de Taylor adopta la siguiente estructura:
f(x) =
∞
X
k=0
1
k!
dk
f(x)
dxk
x0
(x − x0)k
(3)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
9. Aplicando la ec.(3) a una función escalar, donde la condición de operación se
elige como x̄, ȳ, se tiene por ejemplo que,
y = f(x)
= f(x̄) +
df
dx
(x − x̄) +
1
2!
df2
dx2
(x − x̄)2
+ · · · +
1
n!
dfn
dxn
(x − x̄)n
(4)
donde las derivadas
df
dx
,
df2
dx2
,...,
dfn
dxn
se evalúan en x = x̄. Si la variación x−x̄
es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en x − x̄.
Así, la ec.(4), se simplica a
y = ȳ + m(x − x̄) (5)
donde
ȳ = f(x̄) y m =
df
dx x=x̄
(6)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
10. Ejemplo 3.1
Linealice la ecuación siguiente:
y(x) = 3x3
− 2x2
+ 2 en el punto de operación x̄ = 2
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
11. Ejemplo 3.1
Linealice la ecuación siguiente:
y(x) = 3x3
− 2x2
+ 2 en el punto de operación x̄ = 2
Solución: Empleando la ec.(5), se desarrollan los pasos siguientes:
1 Se evalúa f(x̄) = ȳ
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
12. Ejemplo 3.1
Linealice la ecuación siguiente:
y(x) = 3x3
− 2x2
+ 2 en el punto de operación x̄ = 2
Solución: Empleando la ec.(5), se desarrollan los pasos siguientes:
1 Se evalúa f(x̄) = ȳ
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
13. Ejemplo 3.1
Linealice la ecuación siguiente:
y(x) = 3x3
− 2x2
+ 2 en el punto de operación x̄ = 2
Solución: Empleando la ec.(5), se desarrollan los pasos siguientes:
1 Se evalúa f(x̄) = ȳ
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
2 Se calcula y evalúa la pendiente m =
df
dx x=x̄
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
14. Ejemplo 3.1
Linealice la ecuación siguiente:
y(x) = 3x3
− 2x2
+ 2 en el punto de operación x̄ = 2
Solución: Empleando la ec.(5), se desarrollan los pasos siguientes:
1 Se evalúa f(x̄) = ȳ
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
2 Se calcula y evalúa la pendiente m =
df
dx x=x̄
m = 9x2
− 4x
x=2
= 9(2)2
− 4(2) = 28
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
15. Ejemplo 3.1
Linealice la ecuación siguiente:
y(x) = 3x3
− 2x2
+ 2 en el punto de operación x̄ = 2
Solución: Empleando la ec.(5), se desarrollan los pasos siguientes:
1 Se evalúa f(x̄) = ȳ
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
2 Se calcula y evalúa la pendiente m =
df
dx x=x̄
m = 9x2
− 4x
x=2
= 9(2)2
− 4(2) = 28
3 Se sustituyen los valores de ȳ y de la pendiente m
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
16. Ejemplo 3.1
Linealice la ecuación siguiente:
y(x) = 3x3
− 2x2
+ 2 en el punto de operación x̄ = 2
Solución: Empleando la ec.(5), se desarrollan los pasos siguientes:
1 Se evalúa f(x̄) = ȳ
ȳ = 3(2)3
− 2(2)2
+ 2 = 18
2 Se calcula y evalúa la pendiente m =
df
dx x=x̄
m = 9x2
− 4x
x=2
= 9(2)2
− 4(2) = 28
3 Se sustituyen los valores de ȳ y de la pendiente m
y − ȳ = m(x − x̄)
y − 18 = 28(x − 2)
y = 28x − 56 + 18
y = 28x-38
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
17. A continuación, considere un sistema no lineal cuya salida y es una función
de dos entradas x1 y x2, tal que:
y = f(x1, x2) (7)
Mediante una expansión en series de Taylor a n de linealizar el sistema, se
tiene:
y = f(x̄1, x̄2) +
∂f
∂x1
(x1 − x̄1) +
∂f
∂x2
(x2 − x̄2)
+
1
2!
∂f2
∂x2
1
(x1 − x̄1) +
∂f2
∂x2
2
(x2 − x̄2)
+
1
3!
∂f3
∂x3
1
(x1 − x̄1) +
∂f3
∂x3
2
(x2 − x̄2)
(8)
+ · · · +
1
n!
∂fn
∂xn
1
(x1 − x̄1) +
∂fn
∂xn
2
(x2 − x̄2)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
18. Donde las derivadas parciales se evalúan en x1 = x̄1, x2 = x̄2.
Si se opera el sistema cerca del punto de equilibrio, es posible no considerar
los términos de orden superior.
Así, el modelo matemático linealizado del sistema no lineal original alrededor
de la condición de operación nominal se obtiene mediante:
y − ȳ =
∂f
∂x1 x1=x̄1,x2=x̄2
(x1 − x̄1) +
∂f
∂x2 x1=x̄1,x2=x̄2
(x2 − x̄2) (9)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
19. Ejemplo 3.2
Linealice la ecuación no lineal z = xy en la región comprendida entre 5
x 7, 10 y 12. Determine el error si la ecuación linealizada se utiliza
para calcular el valor de z cuando x = 5 y = 10.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
20. Ejemplo 3.2
Linealice la ecuación no lineal z = xy en la región comprendida entre 5
x 7, 10 y 12. Determine el error si la ecuación linealizada se utiliza
para calcular el valor de z cuando x = 5 y = 10.
Solución: Empleando la ec.(9) y dado que la región considerada está entre
5 x 7, 10 y 12, se seleccionan x̄ = 6, ȳ = 11 como puntos de
operación. Así,
1 Se evalúa f(x̄, ȳ) = z̄
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
21. Ejemplo 3.2
Linealice la ecuación no lineal z = xy en la región comprendida entre 5
x 7, 10 y 12. Determine el error si la ecuación linealizada se utiliza
para calcular el valor de z cuando x = 5 y = 10.
Solución: Empleando la ec.(9) y dado que la región considerada está entre
5 x 7, 10 y 12, se seleccionan x̄ = 6, ȳ = 11 como puntos de
operación. Así,
1 Se evalúa f(x̄, ȳ) = z̄
z̄ = 6 · 11 = 66
2 Se calculan y evalúan las pendientes
m1 =
∂f
∂x1
x1 = x̄1
x2 = x̄2
, m2 =
∂f
∂x2
x1 = x̄1
x2 = x̄2
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
22. Ejemplo 3.2
Linealice la ecuación no lineal z = xy en la región comprendida entre 5
x 7, 10 y 12. Determine el error si la ecuación linealizada se utiliza
para calcular el valor de z cuando x = 5 y = 10.
Solución: Empleando la ec.(9) y dado que la región considerada está entre
5 x 7, 10 y 12, se seleccionan x̄ = 6, ȳ = 11 como puntos de
operación. Así,
1 Se evalúa f(x̄, ȳ) = z̄
z̄ = 6 · 11 = 66
2 Se calculan y evalúan las pendientes
m1 =
∂f
∂x1
x1 = x̄1
x2 = x̄2
, m2 =
∂f
∂x2
x1 = x̄1
x2 = x̄2
m1 =
∂f(xy)
∂x1
x1 = x̄1
x2 = x̄2
= ȳ = 11, m2 =
∂f(xy)
∂x2
x1 = x̄1
x2 = x̄2
= x̄ = 6
3 Se sustituyen los valores de z̄ y de las pendientes m1 y m2 en la ec.(9)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
23. z − z̄ = m1(x − x̄) + m2(y − ȳ)
z − 66 = 11(x − 6) + 6(y − 11)
z = 11x − 66 + 6y − 66 + 66
z = 11x+6y-66 (10)
Cuando x = 5, y = 10, el valor de z dado por la ec. linealizada está dado
por:
z = 11(5) + 6(10) − 66
z = 55 + 60 − 66 = 49
Mientras que el valor exacto de z es z = xy = 50. El error es 50 − 49 = 1 y
el porcentaje de error es 2 %.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
24. Breve introducción al Espacio de Estados
En la teoría de control clásica, el diseño de los sistemas de control de reali-
mentación se logra utilizando la técnica del lugar de las raíces y los métodos
de Bode desarrollados por Evans y Bode, respectivamente. Estas técnicas son
muy útiles para diseñar muchos sistemas de control prácticos. Sin embargo,
el diseño de un sistema de control utilizando cualquiera de las técnicas es
esencialmente por ensayo y error.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
25. Breve introducción al Espacio de Estados
En la teoría de control clásica, el diseño de los sistemas de control de reali-
mentación se logra utilizando la técnica del lugar de las raíces y los métodos
de Bode desarrollados por Evans y Bode, respectivamente. Estas técnicas son
muy útiles para diseñar muchos sistemas de control prácticos. Sin embargo,
el diseño de un sistema de control utilizando cualquiera de las técnicas es
esencialmente por ensayo y error.
Con el rápido desarrollo de las computadoras, ha evolucionado un nuevo en-
foque para el diseño de sistemas de control. Este nuevo enfoque, comúnmente
llamado teoría de control moderna, permite un enfoque más sistemático para
el diseño de sistemas de control.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
26. Modelado en el Espacio de Estado
El enfoque de espacio de estados para el análisis y diseño de sistemas de
control es un método en el dominio del tiempo.
La aplicación de técnicas de variables de estado para controlar problemas se
denomina teoría de control moderna. Las ecuaciones de estado son simple-
mente ecuaciones diferenciales de primer orden que gobiernan la dinámica
del sistema que se analiza.
ẋ = Ax+ Bη (11)
La salida del sistema se expresa en términos de estado y entradas de control
de la manera siguiente:
y = Cx+ Dη (12)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
27. Los vectores de estado, control y salida se denen de la manera siguiente:
x =
x1(t)
x2(t)
.
.
.
xn(t)
Vector de estado(n × 1) (13)
η =
δ1(t)
δ2(t)
.
.
.
δn(t)
Vector de control o entrada (p × 1) (14)
y =
y1(t)
y2(t)
.
.
.
yn(t)
Vector de salida (q × 1) (15)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
28. Las matrices A, B, C y D se denen de la siguiente manera:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann
Matriz de la planta(n × n) (16)
B =
b11 b12 . . . b1p
b21
.
.
.
.
.
.
bn1 bn2 . . . bnp
Matriz de entrada o de control (n × p)
(17)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
30. Suponga que el sistema físico que se está modelando se puede describir me-
diante una ecuación diferencial de n-ésimo orden:
dn
c(t)
dtn
+ a1
dn−1
c(t)
dtn−1
+ a2
dn−2
c(t)
dtn−2
+ . . . + an−1
dc(t)
dt
+ anc(t) = r(t) (20)
donde: c(t) y r(t) son las variables de entrada y salida, respectivamente Esta
ecuación diferencial se puede reducir a un conjunto de ecuaciones diferenciales
de primer orden deniendo las variables de estado de la manera siguiente:
x1(t) = c(t)
x2(t) =
dc(t)
dt
.
.
. (21)
xn(t) =
dn−1
c(t)
dtn−1
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
31. Las ecuaciones de estado ahora se pueden escribir como
ẋ1(t) = x2(t)
ẋ2(t) = x3(t)
.
.
. (22)
ẋn(t) = −anx1(t) − an−1x2(t) − . . . − a1xn(t) + r(t)
Al reescribir la ecuación en la forma de vector de estado se obtiene
ẋ = Ax+ Bη (23)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
33. y la ecuación de salida es
y = Cx (26)
donde
C = [1 0 0 . . . 0] (27)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
34. PROBLEMA DE EJEMPLO 1
Reescriba las siguientes ecuaciones diferenciales en forma de espacio de
estados
d2
c1
dt2
+ 5
dc1
dt
+ 4c2 = r1
dc2
dt
+
dc1
dt
+ c1 + 3c2 = r2
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
35. PROBLEMA DE EJEMPLO 1
Reescriba las siguientes ecuaciones diferenciales en forma de espacio de
estados
d2
c1
dt2
+ 5
dc1
dt
+ 4c2 = r1
dc2
dt
+
dc1
dt
+ c1 + 3c2 = r2
Solución: Sea:
x1 = c1
x2 = ċ1
x3 = c2
Así,
ẋ2 + 5x2 + 4x3 = r1
ẋ3 + x2 + x1 + 3x3 = r2
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
36. Linealización de las ecs. de movimiento
Las ecs. presentadas por el sistema de ecuaciones de (2) son no lineales y com-
plicadas para aplicar técnicas de análisis dinámico y control. A menudo son
más complicadas de lo necesario para realizar un análisis de una buena canti-
dad de regímenes de vuelo. A este respecto, se puede recurrir a la aplicación
de la Teoría de pequeñas perturbaciones, que no es más que una linealización
de las ecuaciones no lineales del sistema (2). La teoría de pequeñas perturba-
ciones considera que la trayectoria de la aeronave en una condición de vuelo
en equilibrio sufre solo pequeñas desviaciones de su movimiento.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
37. Como se ha mencionado, esta linealización tiene su fundamento en una ex-
pansión mediante series de Taylor. De esta linealización se consideran que
las perturbaciones, en forma de entradas, son tan pequeñas que permiten
que los términos de ordenes superiores a uno se puedan ignorar debido a su
aportación numérica tan insignicante. Así, cada una de las variables en las
ecuaciones de movimiento son reemplazadas por un valor de referencia más
una perturbación, tal que:
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
38. u = u0 + ∆u v = v0 + ∆v w = w0 + ∆w
p = p0 + ∆p q = q0 + ∆q r = r0 + ∆r
φ = φ0 + ∆φ θ = θ0 + ∆θ ψ = ψ0 + ∆ψ (28)
X = X0 + ∆X Y = Y0 + ∆Y Z = Z0 + ∆Z
L = L0 + ∆L M = M0 + ∆M N = N0 + ∆N
δa = δa0 + ∆δa δe = δe0 + ∆δe δr = δr0 + ∆δr
δt = δt0 + ∆δt
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
39. Para la linealización se asume que la aeronave vuela en vuelo estable y equili-
brado, lo que no aporta aceleraciones ni cambios bruscos de orientación como
lo sería el vuelo de una maniobra de barril o un desplome. Esta consideración
conduce a que los ángulos de alabeo, deslizamiento y guiñada sean cero, por
lo que:
v0 = p0 = q0 = r0 = φ0 = ψ0 = 0
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
40. Introduciendo la notación de pequeñas perturbaciones, dada por (28), en las
ecs.(2) se obtienen las ecuaciones de movimiento linealizadas. Nótese que en
las ecs.(2) se encuentra representado de forma explícita el vector de fuerza
externa debida a la gravedad, de manera que los efectos de fuerza y momento
que producen los vectores de términos aerodinámicos, propulsivos y de control
se encuentran contenidos todavía en los términos X, Y, Z, L, M y N. Estos
serán representados de manera explícita más adelante.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
41. Con el proposito de ejemplicar la deducción de las ecuaciones linealizadas
se toma la primera ecuación del conjunto (2), dada por:
X − mg sin θ = m(u̇ + qw − rv)
Que queda denida mediante:
X0 + ∆X − mg sin(θ0 + ∆θ)
= m
d
dt
(u0 + ∆u) + (q0 + ∆q)(w0 + ∆w) − (r0 + ∆r)(v0 + ∆v)
(29)
Introduciendo los términos que son cero en la ec. (29), ésta se reduce a:
X0 + ∆X − mg sin(θ0 + ∆θ) = m(∆u̇ + w0∆q) (30)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
42. Empleando la identidad trigonométrica siguiente:
sin(θ0 + ∆θ) = sin θ0 cos ∆θ + cos θ0 sin ∆θ = sin θ0 + ∆θ cos θ0 (31)
y sustituyéndola en la ec. (30), se tiene:
X0 + ∆X − mg(sin θ0 + ∆θ cos θ0) = m(∆u̇ + w0∆q) (32)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
43. Empleando la identidad trigonométrica siguiente:
sin(θ0 + ∆θ) = sin θ0 cos ∆θ + cos θ0 sin ∆θ = sin θ0 + ∆θ cos θ0 (31)
y sustituyéndola en la ec. (30), se tiene:
X0 + ∆X − mg(sin θ0 + ∆θ cos θ0) = m(∆u̇ + w0∆q) (32)
Si se considera que los valores de las condiciones iniciales sea cero, se tiene
la ecuación que representa únicamente la dinámica de la aeronave debida a
pequeñas perturbaciones [1], esto es:
∆X − mg(sin θ0 + ∆θ cos θ0) = m(∆u̇ + w0∆q) (33)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
44. Realizando el mismo procedimiento para el resto de las ecuaciones denidas
en (2), se tiene:
∆X − mg(sin θ0 + ∆θ cos θ0) = m(∆u̇ + w0∆q)
∆Y + mg∆φ cos θ0 = m(∆v̇ − w0∆p + u0∆r)
∆Z + mg(cos θ0 − ∆θ sin θ0) = m(∆ẇ − u0∆q) (34)
∆L = Ixx∆ṗ − Ixz∆ṙ
∆M = Iyy∆q̇
∆N = Izz∆ṙ − Ixz∆ṗ
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
45. La fuerza gravitatoria no produce momentos sí el análisis se realiza en el
centro de gravedad de la aeronave, así ∆Lg = ∆Mg = ∆Ng = 0, por lo
que ∆L, ∆M, y ∆N contienen únicamente los términos provocados por los
vectores de fuerzas aerodinámicas, propulsivas y de control.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
46. Términos aerodinámicos
La expansión en series de Taylor de los términos aerodinámicos, de acuerdo
con la ec.(9), si se omiten los términos de orden superior, así como aque-
llos que tienen poca contribución numérica en el resultado, está expresada
mediante [1]:
Xa = X̄a +
∂X
∂u
∆u +
∂X
∂v
∆v +
∂X
∂w
∆w +
∂X
∂p
∆p +
∂X
∂q
∆q +
∂X
∂r
∆r +
∂X
∂ẇ
∆ẇ
Ya = Ȳa +
∂Y
∂u
∆u +
∂Y
∂v
∆v +
∂Y
∂w
∆w +
∂Y
∂p
∆p +
∂Y
∂q
∆q +
∂Y
∂r
∆r +
∂Y
∂ẇ
∆ẇ
.
.
. =
.
.
.
.
.
. (35)
Na = N̄a +
∂N
∂u
∆u +
∂N
∂v
∆v +
∂N
∂w
∆w +
∂N
∂p
∆p +
∂N
∂q
∆q +
∂N
∂r
∆r +
∂N
∂ẇ
∆ẇ
donde resulta claro que:
∆u = u − ū, ∆v = v − v̄, · · · , ∆ẇ = ẇ − ˙
w̄ y
m1 =
∂X
∂u
u = ū
v = v̄
.
.
.
ẇ = ˙
w̄
, m2 =
∂X
∂v
u = ū
u = ū
.
.
.
ẇ = ˙
w̄
, · · · , m7 =
∂X
∂v
u = ū
u = ū
.
.
.
ẇ = ˙
w̄
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
47. Términos de control
La expansión en series de Taylor de los términos de control quedan expresados
mediante:
Xc =
∂X
∂δa
∆δa +
∂X
∂δe
∆δe +
∂X
∂δr
∆δr
Yc =
∂Y
∂δa
∆δa +
∂Y
∂δe
∆δe +
∂Y
∂δr
∆δr
Zc =
∂Z
∂δa
∆δa +
∂Z
∂δe
∆δe +
∂Z
∂δr
∆δr (36)
Lc =
∂L
∂δa
∆δa +
∂L
∂δe
∆δe +
∂L
∂δr
∆δr
Mc =
∂M
∂δa
∆δa +
∂M
∂δe
∆δe +
∂M
∂δr
∆δr
Nc =
∂N
∂δa
∆δa +
∂N
∂δe
∆δe +
∂N
∂δr
∆δr
Los valores L̄c, M̄c y N̄c son igual a cero, debido a que se ha establecido que
la aeronave se encuentra en vuelo recto y nivelado.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
48. Términos de propulsión
El control de la fuerza de empuje está dada en la aeronave por la variación
de la palanca de aceleración denotada por δt, de manera que sus derivadas
de control sobre cada una de las funciones son:
Xt =
∂X
∂δt
∆δt
Yt =
∂Y
∂δt
∆δt (37)
.
.
.
.
.
.
Nt =
∂N
∂δt
∆δt
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
49. Al sustituir cada uno de las contribuciones de fuerzas y momentos externos,
que son a saber, los producidos por efectos aerodinámicos, efectos de control
y efectos propulsivos, en las ecuaciones dinámicas linealizadas dadas por (34),
se tiene:
m(∆u̇ + w0∆q) = X̄a +
∂X
∂u
∆u +
∂X
∂v
∆v +
∂X
∂w
∆w +
∂X
∂p
∆p +
∂X
∂q
∆q
+
∂X
∂r
∆r +
∂X
∂ẇ
∆ẇ − mg sin θ0 − mg∆θ cos θ0 +
∂X
∂δa
∆δa
+
∂X
∂δe
∆δe +
∂X
∂δr
∆δr +
∂X
∂δt
∆δt
(38)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
52. Ecuaciones de movimiento desacopladas
Ecuaciones de movimiento longitudinal Un movimiento longitudinal
desacoplado es el movimiento que tiene lugar como respuesta ante una per-
turbación que se maniesta sobre el plano longitudinal de simetría de la
aereonave. El movimiento involucra la fuerza axial X, la fuerza normal Z y
el momento de cabeceo M.
Como el movimiento lateral-direccional no está presente, las variables parti-
cipantes en tal movimiento son nulas, eso es v, p y r así como sus derivadas
son todas cero. De esta forma, el conjunto de ecuaciones dadas por (38)-(43),
se reduce a:
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
54. Ecuaciones de movimiento lateral-direccional
El movimiento lateral-dierccional desacoplado involucra movimiento de ala-
beo, giñada y desplazamiento transversal. La dinámica, es por tanto, descrita
por la fuerza Y , y los momentos de alabeo L y guiñada N. Al no existir mo-
vimiento longitudinal, las variables u, w y q así como sus derivadas son cero.
De esta forma, el conjunto de ecuaciones dadas por (38)-(43), se reduce a:
m∆v̇ −
∂Y
∂v
∆v −
∂Y
∂p
+ mw0
∆p −
∂Y
∂r
− mu0
∆r − mg∆φ cos θ0
=
∂Y
∂δa
∆δa +
∂Y
∂δr
∆δr
(47)
Ixx∆ṗ − Ixz∆ṙ −
∂L
∂v
∆v −
∂L
∂p
∆p −
∂L
∂r
∆r =
∂L
∂δa
∆δa +
∂L
∂δr
∆δr (48)
Izz∆ṙ − Ixz∆ṗ −
∂N
∂v
∆v −
∂N
∂p
∆p −
∂N
∂r
∆r =
∂N
∂δa
∆δa +
∂N
∂δr
∆δr (49)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
55. Respuesta de la aeronave mediante funciones de transferencia
El conjunto de ecuaciones de movimiento obtenidas y representadas por las
ecs. (44-49) son ecuaciones diferenciales, que pueden ser resueltas por di-
ferentes métodos. Uno de ellos es presentado en esta sección y consiste en
transformarlo en ecuaciones algebraicas. Para convertir las ecuaciones dife-
renciales a ecuaciones algebraicas se recurre al método de transformadas de
Laplace en el dominio s.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
56. Respuesta de la aeronave mediante funciones de transferencia
El conjunto de ecuaciones de movimiento obtenidas y representadas por las
ecs. (44-49) son ecuaciones diferenciales, que pueden ser resueltas por di-
ferentes métodos. Uno de ellos es presentado en esta sección y consiste en
transformarlo en ecuaciones algebraicas. Para convertir las ecuaciones dife-
renciales a ecuaciones algebraicas se recurre al método de transformadas de
Laplace en el dominio s. Posteriormente, mediante un tratamiento mate-
mático, las ecuaciones algebraicas se pueden combinar para representar el
comportamiento dinámico de la aeronave. Este comportamiento dinámico
responde a las múltiples entradas de la aeronave (δa, δe, δr, δt). Al cociente
entre las respuestas de la aeronave y las entradas, es decir los comandos de
vuelo, se conoce como función de transferencia.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
57. Todas las funciones de transferencia son escritas como la relación de dos
polinomios en el operador s de Laplace. Las funciones de transferencia propias
tienen al polinomio numerador al menos de un grado menor que el polinomio
denominador. Para representar una función de transferencia se emplea la
notación siguiente:
θ(s)
δe(s)
=
Nθ
δe
∆(s)
(50)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
58. Todas las funciones de transferencia son escritas como la relación de dos
polinomios en el operador s de Laplace. Las funciones de transferencia propias
tienen al polinomio numerador al menos de un grado menor que el polinomio
denominador. Para representar una función de transferencia se emplea la
notación siguiente:
θ(s)
δe(s)
=
Nθ
δe
∆(s)
(50)
La representación de una función de transferencia dada por ec(50) indica la
respuesta de cabeceo ante la entrada del elevador.
donde:
Nθ
δe
: Polinomio del numerador en s que relaciona la respuesta en cabeceo de
la aeronave en función del elevador δe(s).
∆(s): Polinomio del denominador en s, el cual es común a todas las funciones
de transferencia de la dinámica longitudinal. Este término se conoce como el
polinomio característico y cuando se iguala a cero se convierte en la ecuación
característica.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
59. Funciones de transferencia de la dinámica longitudinal
Recordando que la transformada de Laplace para expresiones diferenciales
tales como ẋ(t) y ẍ(t) están dadas por:
L{ẋ(t)} = sX(s) − x(0)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
60. Funciones de transferencia de la dinámica longitudinal
Recordando que la transformada de Laplace para expresiones diferenciales
tales como ẋ(t) y ẍ(t) están dadas por:
L{ẋ(t)} = sX(s) − x(0)
L{ẍ(t)} = s2
X(s) − sx(0) − ẋ(0)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
61. Funciones de transferencia de la dinámica longitudinal
Recordando que la transformada de Laplace para expresiones diferenciales
tales como ẋ(t) y ẍ(t) están dadas por:
L{ẋ(t)} = sX(s) − x(0)
L{ẍ(t)} = s2
X(s) − sx(0) − ẋ(0)
donde x(0) y ẋ(0) son condiciones iniciales en t = 0.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
62. Funciones de transferencia de la dinámica longitudinal
Recordando que la transformada de Laplace para expresiones diferenciales
tales como ẋ(t) y ẍ(t) están dadas por:
L{ẋ(t)} = sX(s) − x(0)
L{ẍ(t)} = s2
X(s) − sx(0) − ẋ(0)
donde x(0) y ẋ(0) son condiciones iniciales en t = 0. Transformando el conjun-
to de ecs. (44)-(46) en el dominio de s, considerando las condiciones iniciales
0, se tiene:
ms −
∂X
∂u
∆U(s) −
∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s
∆W(s)−
∂X
∂q
− mw0
s − mg cos θ0
∆Θ(s) =
∂X
∂δe
∆δe(s) +
∂X
∂δt
∆δt(s)
(51)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
63. −
∂Z
∂u
∆U(s) +
m −
∂Z
∂ẇ
s −
∂Z
∂w
∆W(s)−
∂Z
∂q
+ mu0
s − mg sin θ0
∆Θ(s) =
∂Z
∂δe
∆δe(s) +
∂Z
∂δt
∆δt(s)
(52)
−
∂M
∂u
∆U(s) −
∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s
∆W(s) +
Iyys2
−
∂M
∂q
s
∆Θ(s)
=
∂M
∂δe
δe(s) +
∂M
∂δt
δt(s)
(53)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
64. Las ecuaciones (51)-(53), se pueden reescribir mediante una estructura ma-
tricial, tal que:
ms −
∂X
∂u
−
∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s
−
∂X
∂q
− mw0
s + mg cos θ0
−
∂Z
∂u
m −
∂Z
∂ẇ
s −
∂Z
∂w
∂Z
∂q
+ mu0
s − mg sin θ0
−
∂M
∂u
−
∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s
Iyys2
−
∂M
∂q
s
∆U(s)
∆W(s)
∆Θ(s)
=
∂X
∂δe
∂X
∂δt
∂Z
∂δe
∂Z
∂δt
∂M
∂δe
∂M
∂δt
∆δe(s)
∆δt(s)
(54)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
65. Manteniendo un mando jo a n de aplicar el concepto de función de trans-
ferencia a la ec.(54), en este caso el mando de aceleración, es decir ∆δt = 0,
se tiene que:
ms −
∂X
∂u
−
∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s
−
∂X
∂q
− mw0
s + mg cos θ0
−
∂Z
∂u
m −
∂Z
∂ẇ
s −
∂Z
∂w
−
∂Z
∂q
+ mu0
s + mg sin θ0
−
∂M
∂u
−
∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s
Iyys2
−
∂M
∂q
s
∆U(s)
∆δe(s)
∆W(s)
∆δe(s)
∆Θ(s)
∆δe(s)
=
∂X
∂δe
∂Z
∂δe
∂M
∂δe
(55)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
66. La solución de la ec.(48) puede ser resuelta mediante la Regla de Cramer, lo
que conduce a tener que:
∆U(s)
∆δe(s)
=
Nu
δe
∆(s)
,
∆W(s)
∆δe(s)
=
Nw
δe
∆(s)
y
∆Q(s)
∆δe(s)
=
Nq
δe
∆(s)
= s
Nθ
δe
∆(s)
(56)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
67. La solución de la ec.(48) puede ser resuelta mediante la Regla de Cramer, lo
que conduce a tener que:
∆U(s)
∆δe(s)
=
Nu
δe
∆(s)
,
∆W(s)
∆δe(s)
=
Nw
δe
∆(s)
y
∆Q(s)
∆δe(s)
=
Nq
δe
∆(s)
= s
Nθ
δe
∆(s)
(56)
dado que: θ̇(t) = q(t) de donde resulta que sΘ(s) = Q(s).
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
68. Así, los polinomios del numerador de las relaciones dadas por (56) están
dados por:
Nu
δe
(s) =
∂X(s)
δe(s)
−
∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s
−
∂X
∂q
− mw0
s + mg cos θ0
∂Z(s)
δe(s)
m −
∂Z
∂ẇ
s −
∂Z
∂w
−
∂Z
∂q
+ mu0
s + mg sin θ0
∂M(s)
δe(s)
−
∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s
Iyys2
−
∂M
∂q
s
(57)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
71. Mientras que el común denominador es:
∆(s) =
ms −
∂X
∂u
−
∂X
∂w
+
∂X
∂ẇ
s
−
∂X
∂q
− mw0
s + mg cos θ0
−
∂Z
∂u
m −
∂Z
∂ẇ
s −
∂Z
∂w
−
∂Z
∂q
+ mu0
s + mg sin θ0
−
∂M
∂u
−
∂M
∂w
+
∂M
∂ẇ
s
Iyys2
−
∂M
∂q
s
(60)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
72. El denominador, dado por la ec.(60), puede ser factorizado en dos pares de
polinomios que contienen a su vez un par de raíces cada uno. A estas raices
o soluciones se les conoce como polos. Cada polinomio describe un modo de
estabilidad longitudinal. Los factores que aparecen en cada ecuación se pue-
den escribir mediante s2
+ 2ξωns + ω2
n = 0, lo cual representa el polinomio
característico que describe un movimiento armónico amortiguado. La estabi-
lidad de cada modo está determinada por la relación de amortiguamiento ξ
y de la frecuencia natural ωn.
El modo de oscilación más bajo se conoce como modo fugoide mientras que
el modo de oscilación de frecuencia más alta se conoce como oscilación de
cabeceo de periodo corto. Para que la aeronave sea dinámicamente estable
completamente, ambas relaciones de amortiguamiento de ambos polinomios
deber tener parte real negativa.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
74. Manteniendo un mando jo a n de aplicar el concepto de función de trans-
ferencia, en este caso el mando del timón, es decir ∆δr = 0, se tiene que:
ms −
∂Y
∂v
−
∂Y
∂p
+ mw0
s − mg cos θ0 −
∂Y
∂r
− mu0
s
−
∂L
∂v
Ixxs2
−
∂L
∂p
s −Ixzs2
−
∂L
∂r
s
−
∂N
∂v
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s Izzs2
−
∂N
∂r
s
∆V (s)
∆δa(s)
∆Φ(s)
∆δa(s)
∆Ψ(s)
∆δa(s)
=
(62)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
75. La solución de la ec.(62) puede ser resuelta mediante la Regla de Cramer, lo
que conduce a tener que:
∆V (s)
∆δa(s)
=
Nv
δa
∆(s)
,
∆P(s)
∆δa(s)
=
Np
δa
∆(s)
= s
Nφ
δa
∆(s)
y
∆R(s)
∆δa(s)
=
Nr
δa
∆(s)
= s
Nψ
δa
∆(s)
(63)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
76. dado que: φ̇(t) = p(t) de donde resulta que s Φ(s) = P(s) y ψ̇(t) = r(t), por
tanto, s Ψ(s) = R(s)
Así, los polinomios del numerador de las relaciones dadas por (63) están
dados por:
Nv
δa
(s) =
∂Y
∂δa
−
∂V
∂p
+ mw0
s − mg cos θ0 −
∂Y
∂r
− mu0
s
∂L
∂δa
Ixxs2
−
∂L
∂p
s −Ixzs2
−
∂L
∂r
s
∂N
∂δa
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s Izzs2
−
∂N
∂r
s
(64)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
77. Nφ
δa
(s) =
ms −
∂Y
∂v
∂Y
∂δa
−
∂Y
∂r
− mu0
s
−
∂L
∂v
∂L
∂δa
−Ixzs2
−
∂L
∂r
s
−
∂N
∂v
∂N
∂δa
Izzs2
−
∂N
∂r
s
(65)
Nψ
δa
(s) =
ms −
∂Y
∂v
−
∂Y
∂p
+ mw0
s − mg cos θ0
∂Y
∂δa
−
∂L
∂v
Ixxs2
−
∂L
∂p
s
∂L
∂δa
−
∂N
∂v
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s
∂N
∂δa
(66)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
78. Mientras que el común denominador es:
∆(s) =
ms −
∂Y
∂v
−
∂Y
∂p
+ mw0
s − mg cos θ0 −
∂Y
∂r
− mu0
s
−
∂L
∂v
Ixxs2
−
∂L
∂p
s −Ixzs2
−
∂L
∂r
s
−
∂N
∂v
−Ixzs2
−
∂N
∂p
s Izzs2
−
∂N
∂r
s
(67)
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
79. En aviones convencionales, a partir de la cuártica de estabilidad para la
dinámica lateral-direccional se obtienen los siguientes valores propios:
1 Modo espiral: Real, de módulo muy pequeño, puede ser positivo o
negativo.
2 Modo de convergencia en alabeo: Real, de módulo muy grande.
3 Modo de balanceo holandés: Par de raíces complejas conjugadas,
con parte real negativa y de módulo pequeño.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
80. Ejercicio por espacio de estados
Determine el modo espiral, de convergencia de alabeo, así como el de
balanceo holandés para la aeronave Lockheed C-5A que vuela a 0.6 Mach a
una altitud de 20000 pies en vuelo recto y nivelado, cuyas derivadas de
estabilidad y control son:
yv = −0.106/s lv = −0.007 /m s nv = 0.0023 /m s
yp = 0 lp = −0.988 /s np = −0.0921 /s
yr = −189.586 m/s lr = 0.282 /s nr = −0.203 /s
yφ = 9.8073 m/s2
lφ = 0 nφ = 0
yψ = 0.3768 m/s2
lψ = 0 nψ = 0
yδa = −0.0178 m/s2
lδa = 0.434 /s2
nδa = 0.0343 /s2
yδr = 3.3936 m/s2
lδr = 0.187/s2
nδr = −0.522 /s2
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
81. Ejercicio
a) Determinar el modelo longitudinal de la aeronave siguiente en el
sistema cuerpo.
b) Una vez obtenido el modelo, linealizarlo.
c) Obtenga su respuesta natural, así como sus frecuencias naturales y
relaciones de amortiguamiento para los modos de oscilación.
d) Determine si la aeronave es estable.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
82. Los datos de la aeronave son:
S = 0.85m2
c̄ = 0.36m ρ = 0.9667 kg/m3
Iyy = 6.076 Kg − m2
m = 4 kg η = −2o
xR = 0.01m zH = 0.08m k = 1.4
Con:
CL = 0.1419 + 5.29α + 0.1713δe + 4.34
q c̄
2V
CD = 0.02881 + 0.06478α + 0.00497δe + 1.39α2
CM = 0.06644 − 1.198α − 1.032δe − 6.37
qc̄
2V
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave
83. Bibliografía I
[1] Michael V Cook.
Flight dynamics principles: a linear systems approach to aircraft
stability and control.
Butterworth-Heinemann, 2012.
[2] Hassan K Khalil and Jessy W Grizzle.
Nonlinear systems, volume 3.
Prentice hall Upper Saddle River, NJ, 2002.
[3] Katsuhiko Ogata.
Modern control engineering.
Prentice hall, 2010.
Solución de las ecuaciones de movimiento de la aeronave