Este documento introduce los conceptos de límite y derivada, que son fundamentales en cálculo. Explica que un límite representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Luego define la derivada de una función como la tasa de cambio de dicha función con respecto a la variable independiente y presenta diferentes formas de notarla. Finalmente, muestra cómo calcular derivadas usando la definición formal de límite.
Este documento presenta dos ejercicios sobre el movimiento vertical de caída libre. El primer ejercicio involucra una piedra lanzada hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial de 30 m/s y calcula su posición, velocidad y aceleración en una tabla de tiempo. El segundo ejercicio involucra una piedra lanzada desde la azotea de un edificio de 25 m de altura a 20 m/s y calcula el tiempo de subida, la máxima altura, el tiempo de vuelo y la velocidad final. Ambos
Este documento contiene 15 preguntas sobre parábolas, donde se pide determinar ecuaciones de parábolas a partir de gráficos dados, calcular parámetros como el vértice, foco y directriz, y resolver problemas geométricos relacionados con parábolas.
La matemática utiliza un lenguaje especial que está formado por números, letras y símbolos. Estos se denominan: Lenguaje Simbólico.
Cuando en Matemáticas se plantea el lenguaje coloquial, se esta presentando un problema a resolver, luego este deberá pasarse al lenguaje simbólico.
Por ejemplo: Al doble de un número se le restó su consecutivo, obteniéndose 40. ¿Cuál es el número?
Ante este problema se deberá escribir:
2X - (X+1) = 40
Vemos que se trata de una ecuación. Una vez realizado el desarrollo del mismo, se obtendrá el resultado, es decir el valor de X.
El documento describe el movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.), que ocurre cuando un móvil se mueve en línea recta y los cambios en su velocidad son iguales en intervalos de tiempo iguales, resultando en distancias recorridas diferentes. En el M.R.U.V. la aceleración es constante. Se presentan las ecuaciones que relacionan distancia, velocidad, aceleración y tiempo para este tipo de movimiento.
Este documento presenta 13 problemas relacionados con determinar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dadas. Los problemas involucran identificar pendientes, puntos y ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares basados en gráficos y datos numéricos provistos.
El documento presenta un trabajo sobre el módulo de un número real. Explica que el módulo es la distancia de un número hasta cero, y provee ejemplos para números positivos y negativos. También cubre propiedades del módulo como que es no negativo y igual al módulo de su opuesto. Resuelve ecuaciones y desigualdades utilizando estas propiedades del módulo.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento presenta soluciones a problemas relacionados con límites y continuidad de funciones. Resuelve 8 problemas utilizando la definición de límite para calcular límites, y aplica métodos algebraicos para calcular otros límites. También calcula límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas, y demuestra algunas propiedades de los límites.
Este documento presenta dos ejercicios sobre el movimiento vertical de caída libre. El primer ejercicio involucra una piedra lanzada hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial de 30 m/s y calcula su posición, velocidad y aceleración en una tabla de tiempo. El segundo ejercicio involucra una piedra lanzada desde la azotea de un edificio de 25 m de altura a 20 m/s y calcula el tiempo de subida, la máxima altura, el tiempo de vuelo y la velocidad final. Ambos
Este documento contiene 15 preguntas sobre parábolas, donde se pide determinar ecuaciones de parábolas a partir de gráficos dados, calcular parámetros como el vértice, foco y directriz, y resolver problemas geométricos relacionados con parábolas.
La matemática utiliza un lenguaje especial que está formado por números, letras y símbolos. Estos se denominan: Lenguaje Simbólico.
Cuando en Matemáticas se plantea el lenguaje coloquial, se esta presentando un problema a resolver, luego este deberá pasarse al lenguaje simbólico.
Por ejemplo: Al doble de un número se le restó su consecutivo, obteniéndose 40. ¿Cuál es el número?
Ante este problema se deberá escribir:
2X - (X+1) = 40
Vemos que se trata de una ecuación. Una vez realizado el desarrollo del mismo, se obtendrá el resultado, es decir el valor de X.
El documento describe el movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.), que ocurre cuando un móvil se mueve en línea recta y los cambios en su velocidad son iguales en intervalos de tiempo iguales, resultando en distancias recorridas diferentes. En el M.R.U.V. la aceleración es constante. Se presentan las ecuaciones que relacionan distancia, velocidad, aceleración y tiempo para este tipo de movimiento.
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Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento presenta soluciones a problemas relacionados con límites y continuidad de funciones. Resuelve 8 problemas utilizando la definición de límite para calcular límites, y aplica métodos algebraicos para calcular otros límites. También calcula límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas, y demuestra algunas propiedades de los límites.
Este documento describe las características de las funciones racionales y cómo graficarlas. Explica que las funciones racionales son de la forma R(x)=P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. También describe que las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador es cero, y que la gráfica se extiende hacia arriba o abajo a lo largo de la asíntota dependiendo de si la función es positiva o negativa en esa región. Finalmente, resume los cuatro casos posibles para el comportamiento
Este documento describe las leyes del movimiento de caída libre y presenta fórmulas para calcular la altura, velocidad y tiempo en este tipo de movimiento. Explica que todos los cuerpos caen con la misma velocidad y aceleración, y que la caída es un movimiento vertical, rectilíneo y uniformemente acelerado. Además, incluye ejercicios de precalentamiento para aplicar estas fórmulas y conceptos.
Este documento explica cómo sumar y restar ángulos. Indica que para sumar ángulos se colocan en columna y se suman grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos, convirtiendo los segundos y minutos que pasen de 60 a la siguiente unidad. Para restar ángulos se coloca en columna y se restan, haciendo transformaciones si el minuendo es menor que el sustraendo. Luego presenta ejemplos para practicar sumas y restas de ángulos.
Este documento explica las funciones exponenciales y cómo se ven afectadas por cambios en sus parámetros. Una función exponencial toma la forma f(x)=a^x, donde la variable independiente x está en el exponente. Cambios en el parámetro a afectan si la función es creciente u decreciente. Cambios en otros parámetros como c, k y h modifican la forma de la gráfica al moverla o voltearla.
Este documento contiene 18 ejercicios resueltos sobre funciones. Los ejercicios abordan conceptos como el dominio de definición, representación gráfica, composición de funciones y asociación entre gráficas y ecuaciones de funciones. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo y razonamiento para determinar las respuestas correctas a cada pregunta planteada.
Este documento describe el método de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica que este método transforma una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 en otra equivalente de la forma (x + b/2a)2 = -c + b2/4a2. Luego, provee los pasos para aplicar el método y resuelve dos ejemplos numéricos como demostración.
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesianabrekaluga4
Este documento trata sobre la unidad 3 de geometría analítica, la cual se enfoca en la recta y su ecuación cartesiana. Los propósitos son reafirmar el conocimiento de la geometría analítica al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de problemas que involucren relaciones entre figuras rectilíneas. Se explican conceptos como la pendiente de una recta, las diferentes formas de representar la ecuación de una recta, y cómo encontrar la ecuación dada varios elementos de la rect
Este documento presenta una guía para resolver problemas de análisis dimensional. Explica que las fórmulas dimensionales surgen de fenómenos físicos y que es importante identificar las variables directas e indirectas. También describe las propiedades de las constantes numéricas y los exponentes en el análisis dimensional. A continuación, presenta varios ejemplos resueltos de problemas de análisis dimensional, encontrando las dimensiones de constantes y variables en diferentes ecuaciones físicas.
El documento explica las características geométricas de una parábola, incluyendo que es el lugar geométrico de puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Luego presenta las ecuaciones canónicas de una parábola con vértice en el origen y varios ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una parábola dados sus elementos como el vértice, foco y directriz.
Se solicita determinar la variación de la fuerza magnética con respecto al ángulo entre dos vectores usando la fórmula F=q|v||B|senθ. Sustituyendo los valores dados, se obtiene la ecuación f(x)=31.5sen(x). Al derivar se encuentra que f'(x)=31.5cos(x). Los puntos críticos son x=π/2 y x=3π/2, donde la fuerza es máxima y mínima respectivamente.
I. El documento presenta varios ejemplos resueltos de problemas de cinemática que involucran conceptos como velocidad media, aceleración y movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado.
II. Los ejemplos incluyen cálculos de velocidad, aceleración, posición y representaciones gráficas para diversas situaciones de movimiento.
III. Se explican detalladamente los procedimientos y sistemas de coordenadas utilizados para resolver cada problema.
Este documento contiene varios ejercicios sobre circuitos eléctricos, incluyendo cálculos de resistencia equivalente, corriente, diferencia de potencial, y gastos de energía. Los ejercicios involucran diagramas de circuitos simples y múltiples resistencias, y cómo calcular valores desconocidos usando la ley de Ohm.
Este documento describe las funciones cuadráticas, incluyendo sus expresiones explícita, canónica y factorizada. Explica que los gráficos de funciones cuadráticas son parábolas y describe sus características como el vértice, raíces, ordenada al origen y ejes de simetría. También incluye fórmulas para calcular estas características y sugiere investigar cómo varían los gráficos cuando se modifican los parámetros a, p y k.
Este documento presenta 60 ejercicios sobre números complejos que incluyen resolver ecuaciones, expresar números complejos en forma binómica, realizar operaciones básicas y avanzadas con números complejos como sumas, restas, productos, divisiones, potencias y raíces, y calcular inversos de números complejos.
Este documento presenta 20 ejercicios de aplicación del Teorema de Tales para calcular longitudes desconocidas basándose en proporcionalidades dadas por rectas paralelas cortadas por transversales. Los ejercicios involucran figuras geométricas como triángulos, cuadriláteros y sombras proyectadas para establecer relaciones entre lados y ángulos correspondientes.
Este documento contiene 40 ejercicios de inecuaciones. La mayoría involucran resolver inecuaciones lineales, cuadráticas o racionales para determinar si una expresión es mayor, menor o igual que cero.
1. El documento presenta fórmulas para calcular distintos parámetros del movimiento rectilíneo uniformemente variado como velocidad, aceleración, espacio recorrido, etc. Incluye 10 ejemplos resueltos aplicando estas fórmulas.
2. El documento explica cómo calcular la aceleración, velocidad y distancia recorrida por objetos en movimiento rectilíneo uniformemente variado usando ecuaciones como la fórmula del espacio, la fórmula de la velocidad final y la fórmula
Este documento explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Presenta las características de una ecuación cuadrática y muestra cómo factorizar diferentes ecuaciones cuadráticas para encontrar sus raíces. A través de ejemplos, enseña a igualar cada factor a cero para determinar los valores de x que satisfacen la ecuación original.
Este documento presenta una serie de ejercicios para practicar la división de polinomios utilizando la regla de Ruffini. Incluye doce divisiones polinómicas para resolver en la sección 1 y diez divisiones polinómicas con resto y cociente en la sección 2. El objetivo es que los estudiantes practiquen la técnica de división de polinomios mediante la regla de Ruffini.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma general ax2 + bx + c = 0, métodos de resolución como factorización y la fórmula cuadrática, y propiedades del discriminante Δ. Resuelve varios ejemplos para ilustrar los métodos. También aplica ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones de equilibrio de mercado y determinar puntos de utilidad cero en negocios.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento describe las características de las funciones racionales y cómo graficarlas. Explica que las funciones racionales son de la forma R(x)=P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. También describe que las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador es cero, y que la gráfica se extiende hacia arriba o abajo a lo largo de la asíntota dependiendo de si la función es positiva o negativa en esa región. Finalmente, resume los cuatro casos posibles para el comportamiento
Este documento describe las leyes del movimiento de caída libre y presenta fórmulas para calcular la altura, velocidad y tiempo en este tipo de movimiento. Explica que todos los cuerpos caen con la misma velocidad y aceleración, y que la caída es un movimiento vertical, rectilíneo y uniformemente acelerado. Además, incluye ejercicios de precalentamiento para aplicar estas fórmulas y conceptos.
Este documento explica cómo sumar y restar ángulos. Indica que para sumar ángulos se colocan en columna y se suman grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos, convirtiendo los segundos y minutos que pasen de 60 a la siguiente unidad. Para restar ángulos se coloca en columna y se restan, haciendo transformaciones si el minuendo es menor que el sustraendo. Luego presenta ejemplos para practicar sumas y restas de ángulos.
Este documento explica las funciones exponenciales y cómo se ven afectadas por cambios en sus parámetros. Una función exponencial toma la forma f(x)=a^x, donde la variable independiente x está en el exponente. Cambios en el parámetro a afectan si la función es creciente u decreciente. Cambios en otros parámetros como c, k y h modifican la forma de la gráfica al moverla o voltearla.
Este documento contiene 18 ejercicios resueltos sobre funciones. Los ejercicios abordan conceptos como el dominio de definición, representación gráfica, composición de funciones y asociación entre gráficas y ecuaciones de funciones. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo y razonamiento para determinar las respuestas correctas a cada pregunta planteada.
Este documento describe el método de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica que este método transforma una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 en otra equivalente de la forma (x + b/2a)2 = -c + b2/4a2. Luego, provee los pasos para aplicar el método y resuelve dos ejemplos numéricos como demostración.
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesianabrekaluga4
Este documento trata sobre la unidad 3 de geometría analítica, la cual se enfoca en la recta y su ecuación cartesiana. Los propósitos son reafirmar el conocimiento de la geometría analítica al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de problemas que involucren relaciones entre figuras rectilíneas. Se explican conceptos como la pendiente de una recta, las diferentes formas de representar la ecuación de una recta, y cómo encontrar la ecuación dada varios elementos de la rect
Este documento presenta una guía para resolver problemas de análisis dimensional. Explica que las fórmulas dimensionales surgen de fenómenos físicos y que es importante identificar las variables directas e indirectas. También describe las propiedades de las constantes numéricas y los exponentes en el análisis dimensional. A continuación, presenta varios ejemplos resueltos de problemas de análisis dimensional, encontrando las dimensiones de constantes y variables en diferentes ecuaciones físicas.
El documento explica las características geométricas de una parábola, incluyendo que es el lugar geométrico de puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Luego presenta las ecuaciones canónicas de una parábola con vértice en el origen y varios ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una parábola dados sus elementos como el vértice, foco y directriz.
Se solicita determinar la variación de la fuerza magnética con respecto al ángulo entre dos vectores usando la fórmula F=q|v||B|senθ. Sustituyendo los valores dados, se obtiene la ecuación f(x)=31.5sen(x). Al derivar se encuentra que f'(x)=31.5cos(x). Los puntos críticos son x=π/2 y x=3π/2, donde la fuerza es máxima y mínima respectivamente.
I. El documento presenta varios ejemplos resueltos de problemas de cinemática que involucran conceptos como velocidad media, aceleración y movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado.
II. Los ejemplos incluyen cálculos de velocidad, aceleración, posición y representaciones gráficas para diversas situaciones de movimiento.
III. Se explican detalladamente los procedimientos y sistemas de coordenadas utilizados para resolver cada problema.
Este documento contiene varios ejercicios sobre circuitos eléctricos, incluyendo cálculos de resistencia equivalente, corriente, diferencia de potencial, y gastos de energía. Los ejercicios involucran diagramas de circuitos simples y múltiples resistencias, y cómo calcular valores desconocidos usando la ley de Ohm.
Este documento describe las funciones cuadráticas, incluyendo sus expresiones explícita, canónica y factorizada. Explica que los gráficos de funciones cuadráticas son parábolas y describe sus características como el vértice, raíces, ordenada al origen y ejes de simetría. También incluye fórmulas para calcular estas características y sugiere investigar cómo varían los gráficos cuando se modifican los parámetros a, p y k.
Este documento presenta 60 ejercicios sobre números complejos que incluyen resolver ecuaciones, expresar números complejos en forma binómica, realizar operaciones básicas y avanzadas con números complejos como sumas, restas, productos, divisiones, potencias y raíces, y calcular inversos de números complejos.
Este documento presenta 20 ejercicios de aplicación del Teorema de Tales para calcular longitudes desconocidas basándose en proporcionalidades dadas por rectas paralelas cortadas por transversales. Los ejercicios involucran figuras geométricas como triángulos, cuadriláteros y sombras proyectadas para establecer relaciones entre lados y ángulos correspondientes.
Este documento contiene 40 ejercicios de inecuaciones. La mayoría involucran resolver inecuaciones lineales, cuadráticas o racionales para determinar si una expresión es mayor, menor o igual que cero.
1. El documento presenta fórmulas para calcular distintos parámetros del movimiento rectilíneo uniformemente variado como velocidad, aceleración, espacio recorrido, etc. Incluye 10 ejemplos resueltos aplicando estas fórmulas.
2. El documento explica cómo calcular la aceleración, velocidad y distancia recorrida por objetos en movimiento rectilíneo uniformemente variado usando ecuaciones como la fórmula del espacio, la fórmula de la velocidad final y la fórmula
Este documento explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Presenta las características de una ecuación cuadrática y muestra cómo factorizar diferentes ecuaciones cuadráticas para encontrar sus raíces. A través de ejemplos, enseña a igualar cada factor a cero para determinar los valores de x que satisfacen la ecuación original.
Este documento presenta una serie de ejercicios para practicar la división de polinomios utilizando la regla de Ruffini. Incluye doce divisiones polinómicas para resolver en la sección 1 y diez divisiones polinómicas con resto y cociente en la sección 2. El objetivo es que los estudiantes practiquen la técnica de división de polinomios mediante la regla de Ruffini.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma general ax2 + bx + c = 0, métodos de resolución como factorización y la fórmula cuadrática, y propiedades del discriminante Δ. Resuelve varios ejemplos para ilustrar los métodos. También aplica ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones de equilibrio de mercado y determinar puntos de utilidad cero en negocios.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento trata sobre los conceptos de dominio de funciones y límite de funciones. Explica que el dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente para que la función esté definida. Luego, define el dominio específico de funciones polinómicas, racionales, irracionales y logarítmicas. Finalmente, introduce la noción de límite de funciones y cómo se puede calcular el límite cuando la variable independiente tiende a un valor determinado.
1) El documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. 2) También cubre conceptos como derivadas implícitas, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y cómo identificar máximos y mínimos. 3) Finalmente, discute temas como puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
El documento presenta una introducción a la teoría de límites en cálculo diferencial e integral. Explica conceptos fundamentales como variables, constantes, intervalos y funciones de una variable. Luego, introduce la noción de límite y continuidad, y describe diversos teoremas y propiedades de límites como límites de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales. Finalmente, aborda temas como límites infinitos, límites particulares, formas de levantar indeterminaciones y ejemplos de cálculo de límites.
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que un límite describe cómo se comporta una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular, sin alcanzarlo. Para que un límite exista, los valores de la función deben tender al mismo valor tanto cuando la variable se aproxima desde la izquierda como desde la derecha. También presenta diferentes reglas para calcular límites de funciones algebraicas, racionales y polinómicas.
1) El documento explica conceptos relacionados con derivadas como velocidad, aceleración, derivadas implícitas y de orden superior. 2) Incluye criterios para determinar si una función es creciente, decreciente, máximos y mínimos relativos y absolutos. 3) Aborda conceptos como puntos críticos, concavidad y la regla de L'Hopital para funciones indeterminadas.
El documento explica los conceptos básicos de las derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y trascendentes. En particular, introduce las derivadas de la función exponencial, logaritmo natural y logaritmo en cualquier base. Además, presenta ejemplos y ejercicios propuestos para practicar el cálculo de derivadas de funciones que incluyen logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas.
Este documento describe diferentes tipos de gráficas y funciones en MatLab. Explica cómo generar gráficas xy con escalas lineales y logarítmicas usando los comandos plot, semilogx, semilogy y loglog. También cubre cómo crear gráficas múltiples, subgráficas, y gráficas tridimensionales de funciones de dos variables.
Este documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. Primero define la velocidad como la derivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Luego ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos y explica la derivación implícita para funciones donde la variable dependiente no puede ser despejada explícitamente.
Folleto de Calculo diferencial e integralvane sanchez
El documento presenta una introducción a la teoría de límites en cálculo diferencial e integral. Explica conceptos fundamentales como variables, constantes, intervalos y funciones de una variable. Luego, define límites y continuidad, y presenta teoremas y propiedades sobre límites, incluyendo límites laterales, infinitos y particulares. Finalmente, cubre formas de levantar indeterminaciones y el cálculo de límites con cambio de variables.
El documento presenta una introducción a la teoría de límites en cálculo diferencial e integral. Explica conceptos fundamentales como variables, constantes, intervalos y funciones de una variable. Luego, define qué son los límites y la continuidad, y presenta teoremas y propiedades sobre cálculo de límites. Finalmente, cubre temas como límites laterales, límites infinitos, formas de levantar indeterminaciones y límites que no existen.
Este documento describe el cálculo de integrales definidas e indefinidas utilizando el programa DERIVE. Explica los conceptos de integral inferior y superior de Riemann y cómo aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos. Incluye ejemplos de cálculo de áreas delimitadas por curvas, funciones integrales y el cálculo de integrales indefinidas dependientes de parámetros.
Este documento introduce los conceptos de razón de cambio y derivada. Explica que las razones de cambio media y la pendiente de una secante no pueden responder preguntas sobre puntos específicos, mientras que el concepto de derivada como un límite cuando el incremento se acerca a cero sí puede hacerlo. También define la función derivada como el modelo matemático que representa el conjunto de puntos formados por las derivadas de una función en cada punto de su dominio.
El documento presenta diferentes métodos para encontrar extremos de funciones de varias variables, incluyendo derivadas parciales, puntos críticos, y métodos de Lagrange y Kuhn-Tucker. Resuelve ejercicios aplicando estos métodos para funciones como f(x,y)=4x^2+2y^2-2yx-10y-2x.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Este documento trata sobre derivadas algebraicas. Explica conceptos como la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función, y métodos para calcular derivadas como la diferenciación normal. Luego presenta reglas para derivar funciones algebraicas como potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente propone ejercicios para aplicar estas reglas de derivación.
El documento presenta conceptos básicos sobre límites de funciones. Introduce la definición formal de límite y algunos ejemplos ilustrativos. Luego establece propiedades algebraicas para calcular límites de sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias de funciones. Finalmente, explica cómo calcular límites de funciones polinómicas y racionales.
El documento presenta las reglas básicas de derivación para funciones polinómicas. Explica que la derivada de una constante es cero y que la derivada de una función de la forma f(x)=xn es nxn-1. También cubre las reglas para derivar sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. El objetivo es enseñar los conceptos fundamentales de derivación necesarios para el cálculo.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
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ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
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1. Prohibida
su
reproducción
90
La idea intuitiva de límite
La noción de límite constituye uno de los conceptos impor-
tantes para introducirse al estudio del cálculo.
En nuestras actividades cotidianas, figuramos la noción de
límite cuando en una competición automovilística se obser-
van vehículos a punto de colisionar, o también en una grúa
cuando estamos aproximadamente cerca de exceder su
capacidad de carga, se dice que el equipo de izaje se en-
cuentra al límite de su capacidad.
Considerando la función: �(x)= 2x + 1, determinemos.
a. La imagen de la función cuando x = 2.
b. La imagen de la función cuando x está muy cercano (límite) a 2.
Para interpretar la situación del problema, realizamos el análisis de la tabla de valores, así como
las respectivas representaciones gráficas.
Ejemplo
1
a. Imagen cuando x = 2 b. Imagen cuando x se aproxima a 2
Utilizamos valores enteros mayores y menores a 4. Utilizamos valores un tanto mayores y un tanto
menores a 4.
Observamos en la gráfica que cuando x = 2 en-
tonces �(x)= 5.
En el punto (2, 5), se observa un «agujero» (dis-
continuidad), que indica que a pesar de que x
no puede ser igual a 2, se acerca mucho a 2, y
entonces �(x) se «proyecta» o se aproxima a 5.
Utilizando límites, se denota: lim (2x + 1) = 5
x→2
x ... 0 1 2 3 4 ...
�(x) ... 1 3 5 7 9 ...
x ... 1,98 1,99 2,01 2,02 2,03 ...
�(x) ... 5,96 5,98 5,02 5,04 5,06 ...
-5
-5 0
5
5
-5
-5 0
5
5
2, 5 2, 5
http://goo.gl/PST9OC
Tabla 1.
x x
y y
2. Prohibida
su
reproducción
91
Estimación numérica de un límite
Considerando la función:
�: x ↦ �(x)=
x2
- 4
, x ≠ 2
x - 2
Supongamos que es posible representar grá-
ficamente la función f, pero es notable obser-
var que cuando x = 2, la función no podría
representarse, debido a que se anula el de-
nominador.
Para observar el comportamiento de la fun-
ción, generamos una tabla de valores que
se aproximen a dos por la izquierda y por la
derecha, es decir utilizamos valores un poco
menores y un poco mayores que 2, como se
ilustra en la siguiente tabla.
Como es notable, el límite de la función es 4,
debido a que se acerca por la izquierda y por la
derecha.
Ejemplo
2
x ... 0,98 0,99 1,01 1,02 1,03 ...
�(x) ... ...
(x,�(x))
x ... 3,98 3,99 4,01 4,02 4,03 ...
�(x) ... ...
(x,�(x))
x ... -0,1 -0,001 0,001 0,1 ...
�(x) ... ...
(x,�(x))
x ... -0,99 -0,98 1,01 1,02 ...
�(x) ... ...
(x,�(x))
x ... 1,98 1,99 2,01 2,02 2,03 ...
�(x) ... 3,98 3,99 4,01 4,02 4,03 ...
-2
-4
-2
-4 0
2
4
2 4
1. Considerando los siguientes límites, completa las tablas respectivas y estima el límite. Compara el
resultado con la representación gráfica respectiva.
a. lim (x2
+ 6x)
b. lim
c. lim
d. lim
Actividades
x→1
x→0
x→4
x→-1
x2
+ 6x
x2
- 6x + 8
x2
+ 2x + 1
x
x - 4
x + 4
Un número real L es el límite de una función � cuando x
tiende o se aproxima a x0
si y solo si para cualquier número
real positivo Ɛ, por pequeño que sea, existe un número real
positivo δ, tal que para todo x ≠ x0
, si la distancia entre x y
x0
es menor que δ, entonces la distancia entre �(x) y L es
menor que Ɛ.
x→x0
lim �(x) = L ⇔
A
Ɛ > 0,
E
δ > 0 : 0 < |x - x0
| < δ ⇒ |�(x) - L|< Ɛ
L + Ɛ
L - Ɛ
x0
- δ x0
+ δ
x0
x
L
�(x)
Fig. 1.
x
x
y
y
�(x)
3. Prohibida
su
reproducción
93
Derivada de una función
La derivada de una función mide el cambio o la variación
de una variable con respecto de otra.
Para intuir este concepto, observamos que la pendiente, o
inclinación, de una carretera es la derivada de la altura res-
pecto a la distancia horizontal.
La velocidad en módulo es la derivada de la distancia reco-
rrida con respecto al tiempo.
Así, el odómetro de un automóvil, se lo puede interpretar
como una máquina de derivar.
Diferentes notaciones de la derivada de una función
Las formas más conocidas para expresar la derivada según:
Leibniz: El cociente dy
dx
se lee: «derivada
de y con respecto a x». Esta notación tie-
ne la ventaja de sugerir a la derivada de
una función con respecto a otra como un
cociente de diferenciales.
Lagrange: La expresión �'(x) se lee «f pri-
ma de x» , es la notación más simple para
diferenciación.
Euler: La expresión Dx
� se lee «d sub x de �».
Al proceso de calcular la derivada de una función se deno-
mina derivación.
Una función es derivable en x siempre y cuando su deriva-
da en x exista, y además, también es derivable en un inter-
valo abierto siempre y cuando sea derivable para todos y
cada uno de los elementos del conjunto determinado por
el intervalo.
Una función derivable es continua pero el reciproco no se
cumple.
http://goo.gl/RO2lCx
La derivada de �'(x) de x está dada por:
�(x + h) - �(x)
h
�' (x)= lim
h→0
http://goo.gl/CI5H4y http://goo.gl/LnfXMw http://goo.gl/vMMM9l
Lagrange Euler Leibniz
Definición de la derivada de una función
4. Prohibida
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94
Cálculo de la derivada de una función mediante la definición de límites
En los procesos esenciales para obtener la derivada intervienen: productos notables, simpli-
ficación de expresiones semejantes y sustituciones numéricas; así tenemos:
2. Suponiendo que el movimiento de un
cuerpo se interpreta según la ecuación:
y= 10t2
, determina la velocidad media
considerando los dos primeros segundos
de caída.
3. Suponiendo que el movimiento de un
cuerpo se interpreta según la ecuación:
y= 3t2
- 2, determina la velocidad media
considerando los cinco primeros segundos
de caída.
4. Determina la derivada de las funciones
utilizando la definición de la derivada.
a. �: x ↦ �(x)= -16x + 9
b. �: x ↦ �(x)= 5x
c. �: x ↦ �(x)= x2
- x
d. �: x ↦ �(x)= 4x3
+ 3x + 2
e. �: x ↦ �(x)= x - 6x2
Actividades
Ejemplo No 1 Ejemplo No 2
Determinemos �'(x) para �: x ↦ �(x)= 8x + 5 Determinemos �'(x) para �: x ↦ �(x)= -5x2
- 3
En cada variable x insertamos la adición de h; luego restamos la función original.
Propiedad distributiva en los paréntesis. Productos notables y propiedad distributiva
en los paréntesis.
Reducimos términos semejantes
Simplificamos h Sacamos el factor común y simplificamos
Finalmente, calculamos el límite reemplazando h por 0
�'(x) = 8 �'(x)= -10x
8 (x + h) + 5 - (8x + 5)
8x + 8h + 5 - 8x - 5
8h
8h
-5 (x + h)2
- 5 - (-5x - 3)
-5x2
- 10xh - 5h2
- 3 + 5x2
+ 3
- 10xh - 5h2
-5h (2x + h)
�'(x) =
�'(x) =
�'(x) =
�'(x) =
�'(x) =
�'(x) =
�'(x) =
�'(x) =
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
h
h
h
h
h
h
h
h
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
Tabla 2.
5. Prohibida
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reproducción
95
La derivada y algunas de sus reglas básicas en funciones polinomiales
A continuación se presentan algunas reglas básicas de la derivación, las cuales permitirán
calcular las derivadas sin el uso de la definición de la derivada por límites.
Hallamos las derivadas de:
Hallamos las derivadas de:
Estudiaremos el resto de reglas en el curso superior, debido a que el propósito de explicar
únicamente las reglas mencionadas es que el estudiante pueda verificar los resultados ob-
tenidos en la diferenciación por límites.
Hallamos las derivadas de:
5. Deriva las funciones utilizando las reglas de diferenciación básicas (reglas 1 a 3).
a.
a.
a.
a. d.
b. e.
c. f.
b.
b.
b.
c.
c.
c.
d.
�: x ↦ �(x) = - 5
�: x ↦ �(x) = - 5x3
entonces �'(x)= 0
entonces �'(x)= -15x2
entonces �'(x)= 3x2
+ 16x
entonces �'(x)= 0
entonces
entonces �'(x)= 0
entonces �'(x)= 45 x4
entonces �'(x)= 45 x4
+ 36x2
entonces �'(x)= 8x-3
entonces �'(x)= 8x-3
- 15
�: x ↦ �(x) = 9πc
�: x ↦ �(x) = 9x5
�: x ↦ �(x) = x3
+ 8x2
�: x ↦ �(x) = -5x2
+ 8 �: x ↦ �(x) = -12x2
+ 8x + 15
�: x ↦ �(x) = -5π3
�: x ↦ �(x) = - 20x2
+ 12
�: x ↦ �(x) = -e2
+ �: x ↦ �(x) = πx+ 5
�: x ↦ �(x) = 9x5
+ 12x3
�: x ↦ �(x) = -4x-2
- 15x
�: x ↦ �(x) = - 4x-2
�: x ↦ �(x) =
d d
π 3
5
dx dx
= 0
+
√ 5
√ 3
3
7
√
√
Actividades
Regla 1: Sea la función constante definida por: �: x ↦ �(x) = k, donde k es constante. La derivada de una
función constante es cero. �'(x)= 0.
Explica que al derivar una función constante, en general un número real, entonces la derivada es cero.
Regla 2: Sea la función definida por: �: x ↦ �(x) = xn
. La derivada de esta función es �'(x)= nxn-1
. Cuando
n es cualquier número real.
Explica que el exponente multiplica a la función y que la base x tiene una nueva potencia reducida en
una unidad, con respecto a la función inicial.
Regla 3: La derivada en la adición o sustracción. Siendo las funciones g y h diferenciables:
Expone que la derivada de la suma o la resta de funciones es la suma o diferencia de
las derivadas independientes de cada función de manera independiente.
g' (x) - h'(x)
g' (x) + h'(x)
sea �(x) = g(x) + h(x) ⇒ �'(x)=
sea u(x) = g(x) – h(x) ⇒ u'(x)=
6. Prohibida
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reproducción
51
2. Función derivada
Como hemos visto, si calculamos la derivada de una función � en un punto de abscisa x = a, obte-
nemos como resultado un número real.
Así, podemos definir una nueva función, �', que asigne a cada punto de abscisa x el valor de la de-
rivada de � en este punto.
Esta función recibe el nombre de función derivada de � o, simplemente, derivada.
El dominio de esta función está formado por todos los puntos x0
para los que la función � es derivable.
A partir del cálculo de la función derivada de una función �, podemos hallar fácilmente el valor de
la derivada de � en diferentes puntos. Así, para calcular �'(0), �'(2) y �'(-3), siendo � la función del
ejemplo anterior, bastará sustituir x por 0, 2 y -3 en la función derivada �'(x):
�'(0) = 6 · 02
= 0; �'(2)= 6 · 22
= 24; �'(-3)= 6 · (-3)2
= 54
En la tabla 1 presentamos la derivada de las principales funciones.
Derivadas de orden superior
En aquellos puntos del dominio de �' en que �' sea derivable, podemos considerar otra fun-
ción, �″, que asigne a cada punto de abscisa x el valor de la derivada de �' en ese punto.
La función así definida recibe el nombre de función derivada segunda de �, o simplemente,
derivada segunda.
Análogamente, podemos definir las funciones �''',�(4)
,�(5)
,…, �(n)
, denominadas derivada
tercera, cuarta, quinta..., enésima de �.
Calculemos la función derivada de �(x)= 2x3
. Según la definición
de función derivada, tendremos:
�(x + h) - �(x)
, si el límite existe.
�: ℝ → ℝ
x → �'(x) = lim
h
h→0
Ejemplo
1
�(x + h) - �(x) 2(x + h)3
- 2x3
�' (a)= =
lim lim
h h
h→0 h→0
=
2x3
+ 6x2
h + 6xh2
+ 2h3
- 2x3
h (6x2
+ 6xh + 2 h2
)
lim lim
h h
h→0 h→0
= = 6x2
=
Función Función derivada
�(x) = k, k ∈ R �' (x) = 0
� (x) = xn
�' (x) = nxn−1
, n ∈ ℝ
� (x) = ln x �' (x) =1/x
� (x) = ex
�' (x) = ex
� (x ) = ax
, a≠1 ∧ a>0 �' (x) = ax
ln a
Función Función derivada
� (x ) = sen x �' (x ) = cos x
� (x ) = cos x �' (x ) = −sen x
� (x ) = tg x
� (x ) = cotg x
Tabla 1 Tabla 2
1
-1
cos2
x
= sec2
x
= -csc2
x
sen2
x
�'(x)=
�'(x)=
Si consideramos la función de posición de un objeto dependiente del tiempo, la primera deriva-
da es su velocidad instantánea, y la segunda derivada denota la aceleración en un instante t.
7. Prohibida
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52
3. Función derivada y operaciones
Aplicando la definición de derivada y teoremas de los límites, obtenemos las propiedades
para derivar funciones obtenidas de operaciones con otras funciones.
Sabiendo esto, podemos calcular de forma inmediata la derivada de cualquier función
polinómica: �(x)=an
xn
+an-1
xn-1
+ ··· +a1
x+a0
⇒ �' (x)=nan
xn-1
+(n-1) an-1
xn-2
+· ·· +2a2
x + a1
;
an
∈ ℝ ∧ n ∈ ℕ.
Propiedades
Derivada de la función suma Derivada del producto de una constante por una
función
Derivada de la función producto Derivada de la función cociente
Derivada de la función compuesta: regla de la cadena
Hallemos la derivada de �(x) = x5
− 4 x3
+ 6.
Hallemos la derivada de la función �(x) = sen2
x.
La función � es la composición de dos funciones:
g (x) = sen x y h (x) = x2
cuyas derivadas son las siguientes:
g' (x) = cos x ; h' (x) = 2 x
Aplicando la regla de la cadena, se tiene:
Luego � será la suma de las derivadas de estas tres
funciones:
�' = �'1
+ �'2
+ � '3
Además, �2
es el producto de una constante (-4)
por una función (x3
). Por tanto:
Aplicando la regla de la cadena, se tiene:
La función � es una suma de tres funciones:
�1
(x ) = x 5
; �2
(x ) = −4x 3
; f3
(x ) = 6
Luego: �' (x ) = 5x 4
− 12x 2
Ejemplo
2
Ejemplo
3
Tabla 3.
2. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
Calcula la derivada de �(x) = loga
x, a ∈ ℝ. Utiliza la regla de la cadena para, a partir de ese
resultado, obtener la derivada de loga
g(x) donde g(x) sea derivable.
�(x)= g (x) + h (x) ⇨ �'(x) = g'(x) + h'(x) �(x)= k ∙ g (x) ⇨ �'(x) = k ∙ g'(x), k ∈ ℝ
�(x)= g(x) ∙ h(x) ⇨ �'(x) = g'(x) ∙ h(x) + g(x) ∙ h'(x)
�(x) = (g o h) (x) = g(h(x))⇒ �'(x) = g'(h(x)) ∙ h'(x)
g'(x) ∙ h(x) - g(x) ∙ h'(x)
[h(x)]2
h(x)
g(x)
⇨ �'(x)
�'(x) = =
�2
(x) = -4x3
⇨ �'2
(x) = - 4(x3
)' = -4 ∙ 3 x2
= - 12 x2
⇨ �'(x) = h'(g(x)) ∙ g'(x) = 2 sen x cos x
= sen (2x)
�1
(x) = x5
⇨ �'1
(x) = 5x4
�(x) = (h o g)(x) = h(g(x)) ⇨
�3
(x) = 6 ⇨ �'3
(x) = 0
3. Dadas las funciones �(x)=5x4
yg(x)=lnx, halla:
�
�
' '
�(x) = 4x6
- 3x2
- ln x + cos x
�(x) = x2
ln x
( g ∘ �)' ( � ∘ g)'
g
g
a.
a.
b.
b. c. d.
√
5
Actividades