El documento describe los conceptos básicos del álgebra booleana, incluyendo constantes booleanas, variables booleanas y funciones booleanas. Luego explica los postulados y teoremas booleanos que se pueden usar para manipular expresiones lógicas, así como diferentes formas canónicas de expresiones booleanas como suma de productos y producto de sumas. Finalmente, introduce las formas mínimas que buscan expresiones booleanas lo más pequeñas posible.

1. SISTEMAS DIGITALES 1

2.  El álgebra booleana define constantes y funciones
para describir sistemas binarios. Luego describe
cierto número de teoremas que se pueden usar para
manipular expresiones lógicas.
 CONSTANTES BOOLEANASCONSTANTES BOOLEANAS: consisten en "0" y
"1". El primero representa el estado falso y el
segundo el estado verdadero.
SISTEMAS DIGITALES 2
Introducción

3.  VARIABLES BOOLEANASVARIABLES BOOLEANAS: Son magnitudes que
pueden tomar diferentes valores en diferentes
momentos. Pueden representar señales de entrada,
de salida o intermedias y reciben nombres que de
ordinario consisten en caracteres alfabéticos como
"A", "B", "X" o "Y". Las variables sólo pueden tomar
los valores "0" ó "1".
SISTEMAS DIGITALES 3

4.  FUNCIONES BOOLEANASFUNCIONES BOOLEANAS: Cada una de las
funciones lógicas elementales está representada
dentro del álgebra booleana mediante un
símbolo único, como se muestra en la siguiente
tabla:
( )•
SISTEMAS DIGITALES 4
Función Símbolo Ejemplo
AND Punto
OR Más (+)
NOT Barra
C A B AB= • =
C A B= +
( ) C A=

5. SISTEMAS DIGITALES 5
Postulados Básicos
Los postulados básicos utilizados en el álgebra
booleana son los siguientes:
Postulado 1:
1xsi0x
0xsi1x
≠=
≠=
0 0 0
1 1 1
• =
+ =
Postulado 2:

6. SISTEMAS DIGITALES 6
1 1 1
0 0 0
• =
+ =
Postulado 3:
1 0 0 1 0
0 1 1 0 1
• = • =
+ = + =
Postulado 4:
0 1
1 0
=
=
Postulado 5:

7. SISTEMAS DIGITALES 7
A B
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
BA• A B+

8.  El álgebra booleana define varios teoremas que se
pueden usar para cambiar la forma de una expresión.
 Estos teoremas son los siguientes:
SISTEMAS DIGITALES 8
Teoremas Booleanos

9. SISTEMAS DIGITALES 9
0 0
0 0 0 0
1 0 1 0
• =
= → • =
= → • =
x
Si x
Si x
Teorema 1: Dual:
1 1
0 1 0 1
1 1 1 1
+ =
= → + =
= → + =
x
Si x
Si x
Teorema 2:
1
0 1 0 0
1 1 1 1
• =
= → • =
= → • =
x x
Si x
Si x
Dual:
0 0
0 0 0 0
1 0 1 1
+ =
= → + =
= → + =
x
Si x
Si x

10. SISTEMAS DIGITALES 10
0 0 0 0
1 1 1 1
+ =
= → + =
= → + =
x x x
Si x
Si x
Teorema 3: Dual: 0 0 0 0
1 1 1 1
• =
= → • =
= → • =
x x x
Si x
Si x
Teorema 4: Dual:
0
0 0 1 0
1 1 0 0
• =
= → • =
= → • =
x x
Si x
Si x
0 0 1 1
1 1 0 1
+ =
= → + =
= → + =
x x x
Si x
Si x
+ = +x y y xTeorema 5: Dual:• = •x y y x

11. SISTEMAS DIGITALES 11
Dual: ( ) ( )+ + = + + = + +x y z x y z x y z
Teorema 6:
( ) ( )• • = • = •x y z y x z x y z
( ) ( )• • = • = •x y z y x z x y z
Teorema 7: ...... ....• • • = + +x y z x y z
Dual: ... ......+ + + = • • •x y z x y z
Teorema 8: ( , ,..... , , ) , ,....., , ,+ • = • +f x y z x y z

12. Teoremas Simplificatorios
SISTEMAS DIGITALES 12
( )+ = +xy xz x y zTeorema 9: Dual: ( ) ( )+ + = +x y x z x yz
+ =xy xy xTeorema 10: Dual: ( ) ( )+ + =x y x y x
+ = +x xy x yTeorema 11: Dual: ( )+ =x x y xy
+ =x xy xTeorema 12: Dual:

13. SISTEMAS DIGITALES 13
+ + = +xy xz yz xy xzTeorema 13:
Dual: ( ) ( )( ) ( ) ( )+ + + = + +x y x z y z x y x z
Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión
EDBCDCEBCAf +++=

14. Formas Especiales de
Expresiones
Booleanas
SISTEMAS DIGITALES 14

15.  SUMA EXPANDIDA DE PRODUCTOS: En este
caso para aplicar la expansión se aplica el teorema 10
SISTEMAS DIGITALES 15
Formas Canónicas
+ =xy xy x
Cada uno de los términos en forma canónica expresado en
suma (OR de AND) se llama Mintérmino y se puede expresar
en forma simplificada. Si en este caso a la variable natural se
le asigna el valor lógico uno y la variable complementada el
valor lógico cero.

16. SISTEMAS DIGITALES 16
DAACf +=
DACACDAC += CDACDADA +=
{f ACD ACD ACD ACD ACD
míntér min o
= + + + +
Ejemplo:
CDADCADACACDf +++=
{ { { {111 110 010 000
7 6 2 0
f = + + +
)7,6,2,0(minf =
∑= )7,6,2,0(),,( DCAf

17.  PRODUCTO EXPANDIDO DE SUMAS: Esta forma
de expresar una función booleana se basa en el dual
del teorema 10
SISTEMAS DIGITALES 17
Formas Canónicas
Cada uno de los términos en forma canónica expresado en
producto (AND de OR) se llama Máxtermino y se puede
expresar en forma simplificada. Si en este caso a la variable
natural se le asigna el valor lógico cero y la variable
complementada el valor lógico uno.
( ) ( )+ + =x y x y x

18. SISTEMAS DIGITALES 18
Ejemplo: ),,())(( CBAfCABAf =++=
))(( CBACBABA ++++=+
))(( CBACBACA ++++=+
f (A B C) (A B C)(A B C)
max tér min o
= + + + + + +
14243
))()(( CBACBACBAf ++++++=
{ { {(000)(001)(011)
0 1 3
f =
)3,1,0máx(),,( =CBAf

19. 1. Mínima Suma Productos
2. Mínima Productos de Sumas
 En este caso interesa que la función booleana sea lo
más pequeña posible, es decir que si está expresada
en la forma OR de AND el número de sumandos y
el tamaño de cada sumando debe ser mínimo.
 Si la función está expresada en la forma AND de OR
entonces el tamaño y el número de factores debe ser
mínimo.
SISTEMAS DIGITALES 19
Formas Mínimas

20. SISTEMAS DIGITALES 20
Desarrollo
))()()(( EDDCBECCBAf ++++++=
))(( EEDECEDCDACBf +++++=
0=EE )()()( EDDAECDADCDAEDCECCDCCDEBECBDCBf ++++++++=
ECDCDEBf ++=
))()(( DEBECDCf ++++=
))(( DEBDECf +++=
DDEEDEBDEDCCECBf +++++=
BCDCDEECf +++=
BCDEECf ++=