Este documento presenta ejercicios de funciones y sus asíntotas. Se piden hallar las asíntotas de cuatro funciones y describir la posición de la curva respecto a ellas. Se resuelven los ejercicios encontrando asíntotas horizontales, verticales y el comportamiento de cada función al acercarse a dichas asíntotas.

1. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES
EJERCICIOS ASÍNTOTAS
Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas:
1) y =
2) y =
x
x+ 3
2x
x2 − 1
3) y =
2
3x + 6
4) y =
2
( x − 2) 2

2. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES
SOLUCIONES
x
1) lim
x→
= 1⇒
x+3
∞
asíntota horizontal en y=1 , veamos ahora cómo se sitúa la curva respecto
x
= 1 y para valores grandes de x, p.ej.
x+3
10000
x = 10000 ⇒ y =
= 0'9997 vemos que la curva se acerca “por debajo de la recta y=1”
10003
de esta asíntota: lim
x→
x
lim
=1
+∞
y para valores grandes de x, p.ej. x = − 10000 ⇒ y =
x+3
vemos que la curva se acerca “por encima de la recta y=1”
x→
−∞
− 10000
−
9997
= 1'0003
También tiene una asíntota vertical en x = -3 (cuando se anula el denominador) ya que:
x
lim
x+3
x→ − 3
−
3
= ∞ pero, veamos los signos, por la izquierda y por la derecha:
0
=
−
3,01 −
=
= +
− 0,01 −
A la izquierda p. Ej: x = − 3 − 0,01 = − 3,01 ⇒
A la derecha p. Ej: x = − 3 + 0,01 = − 2,99 ⇒
−
2,99 −
=
=−
0,01
+
Por lo tanto, tenemos una A.V. de ramas divergentes.
Gráficamente, tendremos por tanto, algo así
2x
2) lim
x→
x2 − 1
∞
=
0 ⇒ asíntota horizontal el eje OX, veamos el comportamiento al acercarse
por ambos lados: lim
x→
eje) ; lim
x→
−∞
2x
2
x −1
⇒
+∞
2x
2
x −1
⇒
x = 10000 ⇒ y =
x = − 10000 ⇒ y =
− 20000
99999999
20000
= 0'0002 > 0 (por encima del
99999999
= − 0'0002 <
0 (por debajo del eje)
Asíntota vertical cuando x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ± 1 (tenemos, dos asíntotas verticales)
lim
x→ 1
2x
=
2
x −1
2
1,98
+
= ∞ , por la izquierda: 1 − 0,01 = 0,99 ⇒ y =
=
= −
0
− 0,0199 −
por la derecha: 1 + 0,01 = 1,01 ⇒ y =
lim
x→ − 1
2x
2
x −1
=
−
2,02
+
=
= +
0,0201 +
2
− 2,02
−
= ∞ , por la izquierda: − 1 − 0,01 = − 1,01 ⇒ y =
=
=−
0
0,0201 +

3. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES
por la derecha:
1 + 0,01 = 1,01 ⇒ y =
− 1,98
−
0,0199
=
−
−
= +
Luego, la gráfica será:
3) lim
x→
∞
2
3x + 6
0 Asíntota horizontal el eje OX
2
> 0 (por encima del eje) ;
3x + 6
30006
2
2
lim
⇒ x = − 10000 ⇒ y =
< 0 (por debajo del eje)
x → −∞ 3x + 6
− 29994
lim
x→
2
=
+∞
⇒
x = 10000 ⇒ y =
Asíntota vertical: 3x + 6 = 0 ⇒ x = − 2
lim
x→ − 2
por la izquierda: − 2 − 0,01 = − 2,01 ⇒ y =
por la derecha: − 2 + 0,01 = − 1,99 ⇒ y =
4) y =
+
+
+
−
2
3x + 6
=
2
=∞
0
= −
= +
2
2
Asíntota vertical en x = 2 ya que se verifica que lim
= +∞
2
x → 2 ( x − 2) 2
( x − 2)
y es siempre positivo , por estar el denominador elevado al cuadrado. (Asíntota de ramas
2
convergentes, por arriba)y además lim
= 0 Asíntota horizontal el eje OX
x → ∞ ( x − 2) 2
2
x→
+∞
2
⇒
x = 10000 ⇒ y =
2
> 0 (por encima del eje) ;
( x − 2)
+
2
2
lim
⇒ x = − 10000 ⇒ y =
> 0 (por encima del eje)
x → −∞ 3x + 6
+
lim